Números Reales - Cardenal Spínola

1 NÚMEROS REALES
PA R A
1
Representa los números enteros 5, 8, 2, 7 y 3.
–7
2
E M P E Z A R
–5
–2
0
3
8
Escribe un ejemplo de cada una de las interpretaciones de fracción.
1
Partes de una cantidad: de los alumnos de mi clase usa gafas.
5
3
Cociente indicado de dos números enteros: 3 : 4 0,25.
4
1
1
Un operador: de los alumnos de mi clase usa gafas, si en mi clase somos 25 alumnos, 25 5 alumnos usan gafas.
5
5
3
12
Halla tres fracciones equivalentes a —— con los numeradores mayores que el de ella, y otras tres con los
36
denominadores menores que el de ella.
24 36 48
Con numeradores mayores: ; ; 72 108 144
6 4 1
Con denominadores menores: ; ; 18 12 3
4
Imagina que el recorrido del puente del Alamillo es un segmento de 250 metros de longitud. Si el Ayuntamiento de Sevilla ha decidido colocar 7 papeleras a lo largo del mismo, ¿cómo lo dividirías en partes
iguales?
Dividiendo un segmento de 250 m en 6 partes iguales, utilizando el teorema de Tales.
250 m
Números racionales y números irracionales
PA R A
P R A C T I C A R
1.1 Escribe en forma decimal los siguientes números racionales.
7
a) 4
a) 1,75
123
b) 30
b) 4,1
676
c) 25
c) 27,04
3
d) 8
d) 0,375
1.2 Indica de qué tipo son los siguientes números racionales sin hacer la división.
17
a) 99
a) Periódico puro
17
b) 90
b) Periódico mixto
18
c) 90
c) Decimal exacto
1
d) 1600
d) Decimal exacto
12
c) 11
c) 1,090 909…
1
d) 7
d) 0,142 857 142 857…
1.3 Escribe en forma decimal estos números.
8
a) 9
a) 0,888…
17
b) 6
b) 2,8333…
1.4 Escribe la fracción irreducible correspondiente a cada número.
)
)
)
a) 0,4
b) 10,4
c) 1,04
104 10
94
b) 9
9
4
a) 9
E j e r c i c i o
)
d) 0,001
104 10
94
47
c) 90
90
45
1
d) 900
r e s u e l t o
)
)
1.5 Calcula: 0,83 0,8 : 0,36
Se escriben todos los decimales como fracción.
) 83 8
75
5
0,83 90
90
6
8
4
0,8 10
5
) 36
4
0,36 99
11
Se efectúan las operaciones con las fracciones y se pasa el resultado a forma decimal.
)
5
4 4
5
4 11
5
11
25 66
41
: 1,36
6
5 5
6
54
6
5
30
30
1.6 Haz las siguientes operaciones, pasando previamente a fracción todos los números que aparecen.
)
a) 1,26 1,5
)
b) 9,25 9 0,1
)
)
)
c) 10,3 0,3 : 0,03
) 15
)
d) 0,518 0,83
18
126 12 15
114 15
19
a) 90
10
90 10
10
925
1
37
33
b) 9 1 100
9
4
4
103 10
3 3
93
6
2
c) : 11 9
9 99
9
9
3
518
15
83 8
518
15
75
518
5
5
d) 0
999
18
90
999
18
90
999
6
6
1.7 Indica cuáles de los siguientes números son racionales y clasifícalos. Explica por qué los restantes no son
racionales.
a) 1,010 010 001…
c) 1,223 334 444…
e) 3
b) 1,010 101…
d) 3,0222…
f) 8
3
a) Irracional. No es periódico, entre los unos aparecen 1, 2, 3,… ceros.
b) Racional periódico puro.
c) Irracional. No es periódico, aparecen dos doses, tres treses…
d) Racional periódico mixto.
e) Irracional, 3 no es un cuadrado exacto.
f) Racional, es el número natural 2.
1.8 Sin escribirlos en forma de fracción, ordena los siguientes números de menor a mayor.
)
)
)
)
2,3; 2,3; 2,32; 2,325; 2,32
Se pueden ordenar comparando las cifras decimales.
2,3
2,3333…
)
)
)
El orden es 2,3 2,32 2,32 2,325 2,3.
2,3232…
2,325
25…
2,3222…
1.9 Ordena los siguientes números de menor a mayor, pasándolos a forma fraccionaria.
)
)
)
)
2,3; 2,3; 2,32; 2,325; 2,32
23 21 230 2302 209
Las fracciones correspondientes son , , , , .
10 9 99 990 90
2277 2310 2300 2302 2299
Se reducen a común denominador: , , , , .
990 990 990 990 990
)
)
)
)
Se ordenan según sus numeradores. El orden correcto es 2,3 2,32 2,32 2,325 2,3.
)
17
1.10 Si al número 1,416 le corresponde la fracción irreducible , escribe la fracción irreducible que corres12
ponde a cada uno de los siguientes números.
)
)
)
a) 14,16
b) 141,6
c) 2,83
170
85
a) Es el número multiplicado por 10, la fracción es .
12
6
1700
425
b) Es el número multiplicado por 100, la fracción es .
12
3
17
17
c) Es el doble del número, la fracción es 2 .
12
6
1.11 Multiplica 0,1111… por 9 en forma decimal y en forma de fracción. ¿Qué observas? ¿Cómo escribirías
los números 0,4999… , 12,999… y 2,049 99… ?
)
1
9 1
Se observa que 0,9 1
0,111… 9 0,999…
9
Por tanto, 0,4999… 0,5; 12,999… 13; 2,049 99… 2,05.
PA R A
A P L I C A R
1.12 Indica cuál es la cifra decimal que ocupa el lugar 30 de cada uno de los siguientes números.
16
a) 99
347
b) 25
22
c) 7
d) 1,010 101…
16
a) 0,161616… La cifra 30.a ocupa un lugar par, luego, será un 6.
99
347
b) 13,88; como es un decimal exacto, la cifra 30.a vale 0.
25
22
c) 3,142857142857… El período tiene seis cifras. La 30.a cifra del número es 7.
7
d) 1,010 101… La cifra 30.ª ocupa un lugar par, luego será un 1.
1.13 En la clase de Pedro aprueban Matemáticas el 0,777… de los alumnos, y en la clase de María suspenden 5 de los 27 alumnos.
a) ¿En cuál de las dos clases es mayor el porcentaje de aprobados?
b) ¿Cuántos alumnos puede tener la clase de Pedro, si sabemos que son menos de 30?
a) Se escribe la fracción que representa el número de aprobados de cada clase.
7
21
22
Clase de Pedro: 0,777… . Clase de María: .
9
27
27
El porcentaje de aprobados en la clase de María es mayor.
7
b) El número debe ser múltiplo del denominador de , ya que las cantidades deben ser números naturales. Puede haber 9, 18 ó 27
9
alumnos.
1.14 Alicia, Carlos y Elena van a comprar un libro que cuesta 17 euros.
a) ¿Podrán pagarlo a partes iguales?
b) El libro también va a ser para el hermano de Alicia, por lo que ella debe pagar por los dos. En este caso,
¿podrán pagarlo a partes iguales?
17
a) No, ya que es periódico.
3
b) Ahora sí, 17 : 4 4,25. Cada parte son 4,25 euros, Alicia debe pagar 8,50 euros.
1.15 Un coche circula a 90 kilómetros por hora.
a) ¿Qué distancia recorre en 1 minuto? ¿Y en 1 segundo? ¿Qué tipo de números se obtienen?
b) Si recorre 40 kilómetros, ¿cuánto tiempo empleará? Expresa el resultado en forma de fracción, y pásalo después a minutos y segundos.
90
1,5
a) En 1 minuto recorre 1,5 km. En 1 segundo recorre 0,025 km. Ambos números son decimales exactos.
60
60
40
4
4 60
6
6
b) Para recorrer 40 km empleará h h min 26 min 26 min 60 s 26 min 40 s.
90
9
9
9
9
1.16 Andrés ha construido un número sumando 1 a cada cifra de (si el resultado es 10, escribe solo el 0).
Su número empieza así: 4,2526… Y Ana ha restado 1 a cada cifra de (si el número es negativo, escribe un 9). Su número empieza así: 2,0304…
a) ¿Cómo son esos números?
1
b) Construye números similares a partir de 2
y ——, e indica de qué tipo son.
7
a) es irracional, luego ambos números son irracionales.
1
b) A partir de 2 (irracional) se obtienen números irracionales, 2,5253… y 0,3031… A partir de se obtienen números raciona7
16 2
les periódicos puros, 0,253 968 253 968… y 0,031 746 031 746… , y , respectivamente.
63 63
Aproximación de errores
PA R A
P R A C T I C A R
1.17 Copia y completa la tabla aproximando los números que aparecen en la columna de la izquierda.
Una cifra decimal
Por
Por
defecto
exceso
3,1
3,2
Dos cifras decimales
Por
Por
defecto
exceso
3,14
3,15
Tres cifras decimales
Por
Por
defecto
exceso
3,141
3,142
3
1,7
1,8
1,73
1,74
1,732
1,733
—1—
7
0,1
0,2
0,14
0,15
0,142
0,143
1.18 Redondea los números que aparecen en la columna izquierda de la tabla.
Una cifra
decimal
3,1
Dos cifras Tres cifras
decimales decimales
3,14
3,142
3
1,7
1,73
1,732
—1—
7
0,1
0,14
0,143
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
10
1.19 Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear con dos decimales el número .
7
10
1,428571 se redondea a 1,43.
7
10
143
10
1
Error absoluto: 1,43 7
100
7
100
1 10
7
Error relativo: : 0,001 0,1%
700 7
7000
1.20 Halla los errores absoluto y relativo cometidos al redondear 0,8484… a las décimas, a las centésimas y
a las milésimas.
84
28
0,8484… 99
33
A las décimas: 0,8.
8
28
Error absoluto: 0,8 .
165
33
A las centésimas: 0,85.
1
28
Error absoluto: 0,85 .
660
33
A las milésimas: 0,848.
28
2
Error absoluto: 0,848 .
33
4125
E j e r c i c i o
8
165
2
Error relativo: 5,71%
35
28
33
1
660
1
Error relativo: 0,17%
560
28
33
2
4125
1
Error relativo: 0,057%
1750
28
33
r e s u e l t o
1.21 Calcula una cota del error cometido al aproximar por defecto con dos decimales el número
.
20
20
4,4721…
Aproximación por defecto: 4,47
El error cometido es 0,0021…, que es menor, por ejemplo, que 0,0022.
Este número será una cota del error absoluto.
0,0021…
0,0022
El error relativo es , que es menor que 0,00049…, ya que se ha aumentado el numerador y disminuido el deno4,47
20
minador.
El error relativo es menor del 0,05%, y este valor es una cota del error relativo.
1.22 Halla una cota del error cometido al aproximar por defecto con su raíz entera el número 205
.
La raíz entera por defecto es 14.
El error absoluto es 205
14 < 1.
205 14
1
El error relativo es .
4
205
1.23 Calcula 3
con dos decimales aproximando ambos números por defecto, por exceso y redondeándolos. ¿En cuál de las sumas es menor el error absoluto?
Por defecto: 3,14 1,73 4,87
Por exceso: 3,15 1,74 4,89
Redondeando: 3,14 1,73 4,87
Con la ayuda de la calculadora se obtiene 3 4,8736…
El peor resultado se obtiene aproximando por exceso.
1 5
1.24 Redondea con cuatro cifras decimales el número áureo, — .
2
El valor pedido es 1,6180.
PA R A
A P L I C A R
1.25 Cuando se cambió la unidad monetaria en España, se utilizó la equivalencia de la figura. Estima el error
cometido en las aproximaciones.
Seis mil euros equivaldrían a 998 316 pesetas. Seis euros equivaldrían
a 998,316 pesetas.
6000 euros equivalen
a un millón de pesetas
Para las cuentas diarias
6 euros 1000 pesetas
1 euro
166,386 pts.
El error absoluto es de 1684 pesetas y 1,684 pesetas, respectivamente.
El error relativo es el mismo en ambas aproximaciones.
1684
, aproximadamente un 0,17%.
99 8316
1.26 Hemos aproximado tres números a las décimas, obteniendo a 2,3, b 5,2 y c 4,8.
Halla una cota del error cometido al calcular:
a) a b c
b) a b c
a) El valor aproximado es 27,26.
El número estará entre 2,2 5,1 4,7 26,17 y 2,4 5,3 4,9 28,37.
El error absoluto es menor o igual que el mayor de 27,26 26,17 1,09 y 28,37 27,26 1,11, es decir, 1,11.
b) El valor aproximado es 57,408.
El número estará entre 2,2 5,1 4,7 52,734 y 2,4 5,3 4,9 62,328.
El error absoluto es menor o igual que el mayor de 57,408 52,734 4,674 y 62,328 57,408 4,92, es decir, 4,92.
1.27 Paula, Luis y Maite han cenado en un restaurante y deciden pagar la cuenta a partes iguales. Como el
reparto no es exacto, redondean a cantidades en euros. Si en total han pagado 60 euros, ¿a cuánto podía ascender la cuenta? ¿Cuál es el error máximo cometido?
Redondeando, cada uno ha puesto 20 euros. Eso quiere decir cada uno debía pagar más de 19 euros y menos de 20, con lo que cada
uno habrá dejado menos de 1 euro de propina.
1.28 El diámetro de un círculo mide 20 centímetros.
a) Calcula una cota de los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar su área por 314 centímetros
cuadrados.
b) Juan afirma que la cuenta es más sencilla usando 3 como aproximación de . Así se obtiene un área de
300 centímetros cuadrados. ¿Es asumible el error?
a) El radio mide 10 cm, luego el área mide 100 cm2. El error absoluto es 100 314 0,16 cm. El error relativo será menor
0,16 , menor del 0,051%.
que 314
b) El error relativo es 14 0,04456…, más de un 4,45%. Es demasiado grande, sobre todo en comparación con el anterior.
100
Números reales. Representación y ordenación
PA R A
P R A C T I C A R
1.29 Ordena de menor a mayor los siguientes números.
51
a) 16
b) Se utiliza la expresión decimal de cada número:
51
3,14159…
3,1875
16
51
10 El orden pedido es 3,14 16
c) 3,14
d) 10
3,14 3,14
10
3,16227766
1.30 Calcula las siguientes operaciones.
a) 7 4
b) 7 4
c) 5 5 5
d) 4 9
a) 7 4 7 4 3
c) 5 5 5 5 5 5 20
b) 7 4 7 4 3 3
d) 4 9 4 9 5 5
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
14
1.31 Representa —— utilizando el teorema de Tales.
15
14
4
Como 2 , se divide en cinco partes el segmento entre 2 y 3, utilizando el teorema indicado.
5
5
–1
0
1
14 3
–––
5
2
1.32 Representa los siguientes números racionales utilizando el teorema de Tales.
5
a) 8
7
c) 3
7
b) 3
a)
3
d) 8
c)
–3 7 –2
–1
0
–1
3
0
3
0
5
8
1
b)
d)
0
1
2
7
3
8
1.33 Representa en la recta real estos números irracionales.
a) 5
b) 10
c) 20
a) 5 22 12
c) 20
42 22
Y
2
Y
1
O
1
25 3
X
b) 10
32 12
Y
1
10
1
O
2
20
4 20
X
d) 26
52 12
Y
1
O
d) 26
3 10
X
O
26
5 26 X
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
1.34 Representa en la recta real 3
.
No se puede escribir 3 como suma de cuadrados de dos números naturales, pero sí descomponer como:
2 1 (2)2 12
3 Así, para representar 3 se tiene que dibujar primero 2.
–1
0
1
2
3 2
1.35 Representa en la recta real los siguientes números.
a) 6
b) 7
c) 11
a) 6 22 2 22 (2)2. Hay que dibujar primero 2.
Y 2
1
2
O
X
1 2 2 6
b) 7 4 3 22 (3)2. Hay que dibujar primero 3, como en el ejemplo resuelto.
1
O
1 2 3
7
4
c) 11 32 (2)2. Hay que dibujar primero 2.
2
1
O
1 2
3 11
1.36 Representa en la recta real 32
y 32.
Y
Y
1
O
1
1
•
3 2
•
–3 2
X
–1
1.37 Representa en la misma recta real 8
y 22. ¿Qué observas?
Coinciden 8 y 22.
Y
2
1
8
O
1 2 2 2 2
X
O
X
13
1.38 Representa en la recta real — . (Sugerencia: representa primero 13
y utiliza el teorema de Tales para
3
dividir el segmento en tres partes iguales.)
Y
2
13
3
O
3
13
X
20
420
2
1.39 Representa en la recta real los números — y — .
5
5
2
4
Se pueden escribir así: 20
y 520
. Se dibuja el segmento que mide 20
y se divide en cinco partes iguales usando el teorema
5
de Tales.
Y
2
2 20
–
5
4 20
–
5
O
1
2
PA R A
3
4 20
X
A P L I C A R
1.40 Tomás dice que ha encontrado dos números irracionales cuya suma es racional. ¿Es posible? Si lo es, busca algunos ejemplos, y si no, justifica la razón.
Es posible. Ejemplos: y 1 , 2 y 2, etc.
1.41 Para construir una maqueta tenemos un panel cuadrado de 10 centímetros de lado. Queremos fabricar
otro panel cuadrado cuya área sea el doble.
¿Cuánto deberán medir sus lados?
El área del panel debe ser de 200 cm2.
El lado debe medir 200
102 cm.
1.42 Para luchar contra una terrible epidemia, la pitonisa de Delos recomendó duplicar un altar cúbico que
había en el templo. Si el altar hubiera sido un cubo de 1 metro de arista, ¿cuánto debería medir la arista del nuevo?
3
El cubo deberá tener un volumen de 2 m3, luego la arista medirá 2 m.
1.43 Hemos construido a escala el cubo inicial del ejercicio anterior, tomando como medida de la arista 10 centímetros.
a) ¿Cuánto mide la diagonal máxima?
b) ¿Qué tipo de número es?
c) Representa en la recta real esa diagonal.
a) Usando el teorema de Pitágoras, la diagonal de la base mide 102 102 200 cm. La diagonal de la base, la altura y la dia-
(
200) 102 gonal máxima forman otro triángulo rectángulo, en el que la hipotenusa, que es la diagonal máxima, medirá 2
300
cm.
b) Es un número irracional.
100 3 100
c) La forma más práctica es la siguiente: como 300
3
103, se representa este último número a
partir de 3, como se ha hecho anteriormente.
1.44 El Ayuntamiento de un municipio va a construir una rotonda circular que mida exactamente 100 metros
22
cuadrados. El constructor decide utilizar como valor aproximado de la fracción ——.
7
¿Cuánto debe medir el radio? Dibújalo utilizando una escala adecuada.
El área es r2 100. Con la aproximación de , se tiene que r 100
100
700
5,64 m. La escala 1 : 100 pa
22
22
7
rece la más apropiada, redondeando r a 5,6 cm.
Intervalos sobre la recta real
PA R A
P R A C T I C A R
1.45 Representa en la recta real los siguientes intervalos.
a) (2, 7)
c) [4, 0)
b) (3, 2]
d) [4, 9]
a)
b)
–2
0
–3
–2
c)
–4
d)
7
–1
0
–3
0
–2
1
–1
0
4
1
1
9
1.46 Representa en la recta real las siguientes semirrectas.
a) (, 7)
c) (4, )
b) (, 2]
d) [4, )
a)
–1
0
b)
1
–3
c)
–2
–4
d)
7
–1
0
1
0
0
1
4
1.47 Decide si los siguientes conjuntos de números son intervalos o semirrectas, y escríbelos.
a)
0
1
b)
0
1
c)
–1
d)
4
0
2
0
2
a) Intervalo (1, 4)
c) Intervalo (1, 2]
b) Semirrecta (1, )
d) Semirrecta (, 2]
1.48 Halla dos números racionales en cada uno de los siguientes intervalos.
a) (3, 4)
d) ——, ——
4 3
—35—, —45—
11 17
b) ——, ——
24 35
c)
47 48
b) , 100 100
31 33
c) , 50 50
Respuestas libres. Por ejemplo,
10 11
a) , 3 3
9
d) , 1
10
1.49 Halla dos números irracionales en cada uno de estos intervalos.
a) (0, 1)
b) (4, 5)
d) (2
,
c) (, 4)
3)
Respuesta abierta. Por ejemplo,
a)
1
1
b) 4,101 001… , 4,202 002… c) , 3
2
, 0,2
0,1
d)
, 2,2
2,1
1.50 Representa en la recta y escribe el intervalo o semirrecta correspondiente a cada desigualdad.
a) 2 x
b) x 4
a) (2, )
c) x 3
–2
–1
d) 1 x
0
–1
b) (, 4]
–1
0
1
2
3
4
c) [3, )
–1
0
1
2
3
4
d) (, 1)
E j e r c i c i o
–2
–1
0
r e s u e l t o
1.51 Representa en la recta real x 2 3.
La desigualdad puede escribirse así:
3 x 2 3
Si se suma 2 a cada término, resulta:
1 x 5
El intervalo correspondiente es el (1, 5).
1.52 Representa en la recta real estos intervalos.
a) x 4 7
b) 2x 6
c) x 5 1
a) x 4 7 → 7 x 4 7 → 3 x 11 → [3, 11]
–3
–1
0
11
b) 2x 6 → 6 2x 6 → 3 x 3 → (3, 3)
–3
0
3
c) x 5 1 → 1 x 5 1 → 6 x 4 → (6, 4)
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
d) 2x 1 5 → 5 2x 1 5 → 4 2x 6 → 2 x 3 → [2, 3]
–2
–1
0
1
2
3
d) 2x 1 5
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
1.53 Representa en la recta real los intervalos en los que se cumple que x 3 5.
x 3 5 →
x35 → x2
o
x 3 5 → x 8
(–∞, –8) ∪ (2, +∞)
0 2
–8
La solución es: (, 8) (2, ).
1.54 Representa los intervalos correspondientes a las siguientes expresiones.
a) x 2 4
a) x 2 4 →
b) x 2 1
x24 → x6
o
x 2 4 → x 2
La solución es: (, 2] [6, ).
b)
x 2 1 →
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
x21 → x3
o
x 2 1 → x 1
La solución es: (, 1) (3, ).
c) 2x 1 5 →
c) 2x 1 5
–1
0
1
2
3
4
2x 1 5 → 2x 6 → x 3
o
2x 1 5 → 2x 4 → x 2
La solución es: (, 2] [3, ).
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
1.55 Representa el intervalo correspondiente a esta expresión.
x —14— —32—
x 14 32 → 32 x 14 32 → 54 x 74 → 4,5 74
–2
–5 –1
4
0
PA R A
P r o b l e m a
1
7 2
4
3
A P L I C A R
r e s u e l t o
1.56 Se nos ha estropeado la tecla de la calculadora. ¿Cómo podremos hallar
les?
Se siguen estos pasos:
52 25
→ 5 29
6
62 36
5,32 28,09
5,42 29,16
→ 5,3 29 5,4
5,382 28,9444
→ 5,38 29
5,39
6,392 29,0521
Así se tiene una aproximación por defecto y por exceso de 29
con dos cifras decimales.
con dos cifras decima29
1.57 Aproxima por tanteo con una y con dos cifras decimales estas raíces.
a)
1000
b)
a) 312 961
→
322 1024
→ 10 (2, 3)
2,1 9,261
→ 10
(2,1; 2,2)
2,2 10,648 2,15 9,938375
→ 10
(2,15; 2,16)
2,16 10,077696
b) 23 8
33 27
(31, 32)
1000
31,62 998,56
→
31,72 1004,89
31,622 999,8244
31,632 1000,4569
3
10
3
3
(31,6; 31,7)
1000
3
3
(31,62; 31,63)
→ 1000
3
3
3
1.58 En un locutorio telefónico nos cobran por una llamada de t segundos un precio de 30 0,5t céntimos,
pero no podemos hablar más de 5 minutos seguidos.
Calcula lo que puede durar una llamada si disponemos de las siguientes cantidades de dinero.
a) 0,28 euros
b) 1 euro
c) 2 euros
a) No se puede llamar, el coste mínimo es de 30 céntimos.
b) 30 0,5t 100 → t 140. Como máximo se puede hablar durante 140 segundos (2 minutos y 20 segundos). t [0, 140].
c) 30 0,5t 200 → t 340. Supera los 5 minutos. t [0, 300].
1.59 Al lanzar una pelota hacia arriba, su altura, en metros, viene dada por la función f(t) 12t t2, donde t
indica el tiempo transcurrido en segundos.
a) ¿Qué intervalo de tiempo transcurre hasta que vuelve a caer al suelo (altura 0)?
b) ¿En qué intervalo de tiempo la pelota está a más de 35 metros de altura?
Para resolver este problema, puede ser útil elaborar una tabla que relacione el tiempo transcurrido y la
altura.
Dando valores a t, se construye la tabla.
Tiempo (s)
Altura (m)
0
0
1
11
2
20
3
27
4
32
5
35
6
36
7
35
8
32
9
27
10
20
11
11
12
0
a) 12 segundos.
b) (5, 7)
M AT E M Á T I C A S
A P L I C A D A S
PA R A
A P L I C A R
1.60 Utiliza la calculadora o la hoja de cálculo Excel para realizar aproximaciones del número utilizando los
* algoritmos de Leibnitz y de Wallis.
Algoritmo de Leibnitz
Algoritmo de Wallis
1
1
1 … 4
3
9
1
1
1 … 4
3
11
1
1
1 … 4
3
13
2
6
… 2
1
5
2
6
… 2
1
7
2
8
… 2
1
7
Algoritmo de Leibnitz
Algoritmo de Wallis
3,33968…
3,41333…
2,97604…
2,92571…
3,28373…
3,343673…
1.61 Investiga en internet otros algoritmos para calcular las cifras decimales del número .
Respuesta abierta.
A C T I V I D A D E S
F I N A L E S
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
1.62 ¿Es cierto que cualquier fracción con denominador 99 corresponde siempre a un decimal periódico puro?
99
No, si el numerador es múltiplo de 99. Por ejemplo, es 1.
99
1.63 Halla el número decimal que corresponde a cada fracción.
20
a) ——
99
37
b) ——
99
52
c) ——
99
74
d) ——
99
87
e) ——
99
49
Escribe directamente la expresión decimal de ——.
99
20
a) 0,2020…
99
37
b) 0,3737…
99
52
c) 0,5252…
99
74
d) 0,7474…
99
87
e) 0,8787…
99
49
e) 0,4949…
99
1.64 Indica qué tipo de decimal corresponde a fracciones irreducibles con estos denominadores.
13
15
20
25
36
13: periódico puro; 15: periódico mixto; 20: decimal exacto; 25: decimal exacto; 36: periódico mixto.
v
1.65 Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 2,16
6 para obtener un número decimal
exacto.
216 21
195
13
2,1666… . Al multiplicar por 3, queda denominador 2, que da un decimal exacto.
90
90
6
)
1.66 Halla el menor número natural por el que debemos multiplicar 1,348 para obtener un número decimal
periódico puro.
1348 13
1335
89
1,3484848… . Multiplicando por 2 queda un denominador 33, que da un resultado periódico puro.
990
990
66
2
1
1.67 Si —— 0,222…, ¿cuánto vale —— ?
9
1
1 ——
0,222…
1
1
1
1
9
1
1 1 1 0,222…
2
2
9
2
1
11
11
2
16
1.68 Aproxima por defecto y por exceso —— con dos cifras decimales.
7
Calcula los errores absoluto y relativo cometidos en cada caso.
16
El valor real es 2,285714…
7
1
16
228
1
1
175
Por defecto: 2,28. El error absoluto es . El error relativo es 0,001818…
7
100
175
550
22
7
3
229
16
3
3
700
Por exceso: 2,29. El error absoluto es . El error relativo es 0,0013636…
100
7
700
22
00
22
7
11
1.69 Representa en la recta real la fracción ——.
6
11
–
6
0
1
2
. A continuación, representa 41
de dos formas distintas.
40
2
a) Descomponiendo: 41 52 42
b) Descomponiendo: 41 (40
) 12
1.70 Representa en la recta real
Comprueba que se obtiene el mismo punto de la recta.
a)
Y
2
O
b)
2
X
41
Y
1
O
1
40
X
41
1.71 Representa estos intervalos o semirrectas.
b) (, 2]
a) [4, 5)
a) [4, 5)
–4
b) (, 2]
–1
–3
c) (7, )
c) (7, )
–1
–2
0
d) [1,0]
0
d) [1, 0]
1
5
–1
0
1
1
7
–1
0
8
1
1.72 Indica a qué intervalos o semirrectas corresponden las siguientes expresiones.
a) x 3
b) 2x 5 7
c) 2x 5 7
d) 3x 1 5
a) [3, )
b) 2x 5 7 → 7 2x 5 7 → 2 2x 12 → 1 x 6 → [1, 6]
c) 2x 5 7 → 2x 12 → x 6 → (, 6]
d) 3x 1 5 →
3x 1 5 → 3x 6 → x 2
o
4
3x 1 5 → 3x 4 → x 3
1.73 Representa en la recta real los números
13
y
5.
Mide las unidades en centímetros.
a) Razona cómo podrías representar 25
centímetros. ¿Y
b) Estima gráficamente 25
y
5 centímetros?
13
5 centímetros con un error absoluto menor de 1 milímetro.
13
Y
1
O
, 43 (2, )
Y
1
1 5
2 5
X
O
1
13 13 + 5
X
a) Se usa el compás para transportar los segmentos dibujados sobre la recta. Para 25 se toma la medida de 5 y se coloca a
continuación, con origen en el punto que señala 5. Para la suma, llevamos un segmento a continuación del otro.
b) Se miden los dibujos obtenidos en el apartado anterior. Los resultados aproximados serán 4,5 cm y 5,8 cm.
1.74 Hemos comprado el periódico para ver las estadísticas de un partido de baloncesto, pero hay una parte de la tabla que no se ve bien. Faltan los datos que aparecen marcados con un cuadrado. Copia y completa la tabla, teniendo en cuenta que los porcentajes se han redondeado.
Tiros de
1 punto
Tiros de
2 puntos
Tiros de
3 puntos
Canastas/Intentos
Acierto (%)
24/27
89%
30/47
64%
15/29
52%
x
En el primer caso, si 0,89 → x 0,89 27 24,03. El entero más próximo es 24, que da un 88,888… % de acierto.
27
En el segundo, 30 : 0,64 46,875. El entero más próximo, 47, da un 63,83% de acierto.
En el tercer caso, 15 : 29 0,51724…, que se redondea al 52%.
)
)
1.75 Sabiendo que la base y la altura de un triángulo miden, respectivamente, 3,48 y 0,45 metros, halla su
área expresada en forma fraccionaria.
348 34 45
90
99
3,4888… 0,4545…
157
A m2
2
2
198
1.76 El índice de masa corporal (IMC) de una persona se calcula dividiendo su peso en kilogramos entre el
cuadrado de su estatura en metros.
Si el IMC de Carlos es, aproximadamente, de 22 kg/m2 y mide 1,79 metros, ¿en qué intervalo se encuentra
su peso, suponiendo que el error en el IMC es menor de una décima?
P
Las condiciones del problema se traducen en esta desigualdad: 2 22 0,1.
1,79
1,7P9 22 0,1 → 0,1 1,7P9 22 0,1 → 21,9 1,7P9 22,1 → 70,16979 P 70,81061
2
2
2
Dado que el peso se expresa habitualmente con un máximo de tres decimales (hasta los gramos), podemos decir que el peso de
Carlos está entre 70,170 y 70,810 kg.
1.77 Dibuja un triángulo equilátero de 2 centímetros de lado.
a) ¿Cuánto mide su altura?
b) Razona si puedes construir un triángulo isósceles cuya altura mida
5 centímetros.
a) h2 22 12 → h 3 cm.
2 cm
h
b) Basta expresar 5 como diferencia de cuadrados, 9 4. El lado desigual mide 4 cm y cada uno
de los otros 3 cm.
1.78 En un banco aparece como tipo de cambio el siguiente:
1 euro 1,3807 dólares
Hemos cambiado una cantidad de euros y el banco nos ha dado 173 dólares y algunos centavos, por valor
de menos de un dólar. Expresa en qué intervalo está la cantidad que hemos cambiado.
Sea x la cantidad en euros; 1,3807 x será la cantidad en dólares. El problema se puede reformular así: 0 1,3807x 173 1.
De aquí se obtiene:
173
174
173 1,3807x 174 → x → 125,298… x 126,023…
1,3807
1,3807
Hemos cambiado una cantidad entre 125,30 y 126,02 euros, x [125,30; 126,02].
1.79 Para trabajar con potencias de base 2, Raúl usa la siguiente aproximación.
210 1024 1000
Así, para calcular 224, lo hace de la siguiente forma.
224 210 210 24 1000 1000 16 16 000 000
Calcula el error relativo cometido al aproximar de esta manera.
224 16 000 000
777 216
0,04632…, aproximadamente un 4,6%.
El error relativo es 2
24
16 777 216
1 5
1.80 Representa en la recta el número de oro, —.
2
En primer lugar, se representa 5 usando el teorema de Pitágoras.
Después se toma con el compás la medida de ese segmento y se coloca a continuación del 1.
Finalmente, se divide el segmento obtenido en dos partes, usando el teorema de Tales o dibujando la mediatriz.
Y
Y
Y
1
1
1
O
1
X
2 5
O
X
1
O
1
X
1.81 Dada la función y x2 4x, realiza las siguientes operaciones.
a) Busca los valores de x para los que y 0.
b) Con los valores del apartado anterior, la recta queda dividida en tres intervalos. Indica los intervalos o
semirrectas donde y toma valores positivos.
a) x2 4x x(x 4) 0 → x 0 ó x 4
b) Para x 0 o para x 4 se obtienen valores de y positivos, ya que en esos intervalos los dos factores x y x 4 tienen el mismo
signo.
PA R A
R E F O R Z A R
1.82 Escribe una fracción equivalente a cada una de las siguientes cuyo denominador sea una potencia de
10, y escribe después su expresión decimal directamente.
16
a) ——
5
7
b) ——
4
16
c) ——
25
25
d) ——
16
11
e) ——
8
Como todos los denominadores son potencias de 2 o de 5, solo hace falta multiplicar de forma que en cada denominador haya la
misma potencia de 2 y de 5.
16
16 2
32
a) 3,2
5
52
10
7
7 52
7
175
b) 2 1,75
2
22 52
4
100
25
15 625
d) 1,5625
16
10 000
11
1375
e) 1,375
8
1000
64
16
c) 0,64
100
25
1.83 Calcula en forma de fracción estas operaciones. Estima previamente el resultado en forma decimal.
a) 1,6666… 0,0202
b) 3,777… 5,222…
16 1
2
15
2
163
a) 1,6666… 0,0202… 9
99
9
99
99
34
47
81
b) 3,777… 5,222… 9
9
9
9
1.84 Indica a qué conjuntos pertenecen estos números.
Números
naturales
Números
enteros
Números
racionales
X
X
X
2,555
64
3,0111…
7
3
Números
irracionales
X
X
X
18
3
X
X
X
6
9
1.85 Representa en la recta real —— y ——.
8
12
3
–
4
3
Ambas fracciones equivalen a .
4
1.86 Representa en la recta real
0
1
2
.
26
Se usa el teorema de Pitágoras. Los catetos deben ser 5 y 1.
Y
1
O
1
X
26
1.87 Aproxima por defecto y por exceso con una, dos y tres cifras decimales el número
.
44
Por defecto: 6,6; 6,63; 6,633. Por exceso: 6,7; 6,64; 6,634.
1.88 Calcula
2
8,
redondeando a las milésimas.
2 8 1,414 2,828 4,242
1.89 Halla los errores absoluto y relativo cometidos al aproximar 0,333… 0,4646… por 0,3 0,5 0,8.
1
46
79
Valor real: 0,333… 0,464646… 3
99
99
8
79
1
Error absoluto: 10
99
495
1
495
1
Error relativo: 0,00253…
395
79
99
1.90 Representa en la recta real los números que cumplen estas igualdades.
a) x 3
b) x 1 4
a) 3 y 3
b) 5 y 3
c) 1 y 1
d) 0 y 2
–3
c) x 1
0
–3
0
3
1
5
–1
0
1
0
1
2
d) x 1 1
1.91 Escribe tres números pertenecientes a cada uno de estos intervalos.
d) (e, )
a) [2, 3)
1
b) ; 0,3334
3
)
c) (
2, 1,4 ]
13 14
e) , 15 15
f) (3,14; )
Respuesta abierta. Algunas soluciones son las siguientes.
a) 2,1; 2,2; 2,3
d) 2,8; 2,9; 3
b) 0,33334; 0,33335; 0,33336
131 132 133
e) , , 150 150 150
c) 1,42; 1,43; 1,44
f) 3,141; 3,1415; 3,14159
1.92 Representa en la recta real los intervalos en los que se cumplen estas expresiones.
a) x 3
d) x 1 1
b) x 4
e) x 2 1
c) x 0,7222…
f) x 2 8
a) Intervalo (3,3)
b) x 4 →
–3
–2
–1
x 4 → [4, )
o
x 4 → (, 4]
0
–5
1
–4
–3
–2
2
–1
3
0
1
2
c) x 0,7222… → R
d) x 1 1 → 1 x 1 1 → 0 x 2 → [0, 2]
–1
0
1
2
e) x 2 1 → x 2 1 → 1 x 2 1 → 1 x 3 → (1, 3)
–1
f) x 2 8 →
0
1
2
3
x 2 8 → x 6 → (6, )
o
x 2 8 → x 10 → (, 10)
–10
–1
PA R A
0
1
A M P L I A R
1.93 Pon un ejemplo de cada uno de los siguientes casos.
a) Dos números racionales no enteros cuya suma sea un número entero.
b) Dos números racionales no enteros cuyo producto sea entero.
c) Dos números irracionales cuya suma sea un número racional.
d) Dos números irracionales cuyo cociente sea un número irracional.
a) Por ejemplo, 0,4 y 0,6.
2 5
b) Cualquier par de fracciones inversas, como y .
5 2
c) Por ejemplo, 2 y 2 .
d) Por ejemplo, 2 y 3.
6
3
4
5
1.94 En una caja de 6 centímetros de ancho, 4 de largo y 3 de alto queremos colocar un tabique vertical que
la divida en dos partes iguales de base triangular.
a) ¿Cuáles serán sus dimensiones?
b) ¿Cuánto mide la diagonal máxima de esa caja?
a) La base de la caja tiene una diagonal de d 62 42 52
cm. El tabique debe tener ese ancho y el alto de la caja, 3 cm.
2
(52
32 61
b) Coincide con la diagonal del tabique, ) cm.
1.95 Expresa mediante intervalos o semirrectas los conjuntos de los números reales que cumplen las siguientes
condiciones.
a) Están a más de 3 unidades de distancia del 4.
b) Están a una distancia del 2 igual o menor que 3.
a) Al restar x (4), el resultado debe ser mayor que 3 o menor que 3, según a qué lado de 4 se encuentre el punto. Así,
x (4) 3 → x 4 3 → 3 x 4 3 → 7 x 1.
b) En este caso, x 2 debe estar entre 3 y 3, ambos inclusive. x 2 3 → 3 x 2 3 → 1 x 5
1.96 Determina el conjunto de los números reales x que cumplen que: x x 2.
Si x 0, queda x x 2 → 0 2. Todos los positivos cumplen la desigualdad. Es fácil ver que también se cumple en x 0.
Si x 0, queda x x 2 → 2x 2 → x 1, que contradice que x 0.
La solución es [0, ).
1.97 Para un número cualquiera a y un número r 0, definimos el entorno de centro a y radio r como el intervalo (a r, a r).
a) Escribe la relación que verifican los números pertenecientes a un entorno de centro 2 y radio 5.
b) Halla un número r con dos decimales lo más pequeño posible, tal que el entorno centrado en y de
radio r contenga el número 10
.
a) Los puntos del intervalo (3, 7) cumplen la inecuación x 2 5.
b) Para que se cumpla esa condición hace falta que el radio sea mayor que
males que cumple esa condición es 0,03.
. El menor número r con dos cifras deci10
1.98 Hemos construido la figura a partir de un cuadrado de 16 metros de lado, formando cada uno de los cuadrados siguientes uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado anterior.
a) Determina las medidas de los lados de cada cuadrado.
b) Expresa el cociente entre el lado de un cuadrado y el del siguiente.
c) Determina las áreas de los cuadrados.
d) A la vista de lo anterior, ¿es posible encontrar dos números irracionales cuyo producto sea un número
racional?
a) El lado del segundo cuadrado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 metros. El lado mide
l2 82 82 82 metros. El lado del tercer cuadrado es la mitad del lado del cuadrado inicial, l3 8 metros.
1
Igualmente, l4 l2 42 metros, y l5 4 metros.
2
l
l
l
l
b) 1 2 3 4 2
l2
l3
l4
l5
2
2
c) A1 l 12 256 m2; A2 (82) 128 m2; A3 82 64 m2; A4 (42) 32 m2; A5 42 16 m2
d) Sí, los lados de los cuadrados 2 y 4 son irracionales y su área es racional.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
A
1.99 El logotipo
En la siguiente figura aparece el logotipo de la empresa El
Cuerno de África, que organiza viajes por ese continente.
Para poder reproducirlo, el diseñador ha indicado las siguientes medidas.
H
AE 8 cm
F
ED 4 cm
AF 6 cm
AH 4 cm
a) Calcula, con un error menor de 0,01, las distancias IB y GC.
I
G
B
C
E
b) Considerando que IGCB se aproxima a un trapecio, estima
el valor del área de la zona gris.
a) HI 4 cm
D
Calculamos HB usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BHF:
HB 62 22 32 5,65685…
IB 32
4 1,66 cm
FC 6 cm
Calculamos FG usando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo HFG:
FG 42 22 12
3,4641…
GC 6 12
2,53 cm
(GC IB)h
(1,66 2,53) 2
b) Área del trapecio 4,19 cm2
2
2
1.100 Problema del transporte
Se deben transportar 6100 kilogramos de naranjas desde dos puntos de origen situados en Valencia y
Castellón hasta tres puntos de destino situados en Salamanca, Oviedo y Bilbao.
De Valencia deben salir 3500 kilogramos, y de Castellón, 2600.
Por otra parte, a Salamanca deben llegar 1300 kilogramos; a Oviedo, 2200, y a Bilbao, 2600.
Observa que el número de kilogramos de naranjas que deben salir coincide con el de naranjas que deben
llegar.
La siguiente tabla muestra los precios, en céntimos de euro, que se deben pagar por el transporte de cada
kilogramo de naranjas según el origen y el destino.
Valencia
Castellón
Salamanca
58
45
Oviedo
80
70
Bilbao
70
80
Establece un plan de distribución cuyo coste total no supere los 4050 euros.
Para calcular los kilos de naranjas que desde Valencia deben llegar a Salamanca, usamos la proporción con el coste por kilómetro:
58
v
58 1300
→ v 732,04 kg
58 45
1300
103
Por tanto de Castellón a Salamanca saldrán 1300 732,04 567,96 kg.
De la misma manera los kilos de naranjas de Valencia a Oviedo:
80
v
80 2200
→ v 1173,33 kg
80 70
1300
150
Por tanto de Castellón a Oviedo saldrán 2200 1173,33 1026,67 kg.
70
v
2600 70
Por último de Valencia a Bilbao saldrán: → v 1400 kg
70 60
2600
130
Por tanto de Castellón a Bilbao saldrán 2600 1400 1200 kg.
De esta manera el coste total es:
732,04 0,58 567,96 0,45 1173,33 0,8 1026,67 0,7 1400 0,7 1200 0,6 4 037,5 €
A U T O E VA L U A C I Ó N
A1.1 Escribe en forma fraccionaria los siguientes números.
a) 12,4
b) 3,2727…
c) 1,02121…
124
62
a) 12,4 10
5
327 3
324
36
b) 3,2727… 99
99
11
1021 10
1011
337
c) 1,02121… 990
990
330
A1.2 Indica a qué conjuntos pertenecen estos números.
Naturales
Entero
Racional
X
X
2,555
2,666…
Irracional
3
X
4
1
9
7
X
X
X
X
X
0,01
X
X
1,202 002…
A1.3 Ordena los siguientes números de menor a mayor.
10
3,1416
16
5
3,141414…
3
16
3 3,141414… 3,1416 10
5
A1.4 Una clase mide 7,3 metros de ancho y 6,8 metros de largo.
a) ¿Cuánto mide su superficie?
b) Calcula su superficie redondeando a metros el ancho y el largo, y estima los errores absoluto y relativo cometidos.
a) S 7,3 · 6,8 49,64 m2
b) S2 7 · 7 49 m2
Eabs 0,64 m2
0,64
Erel = 0,0128… 1,3%
49,64
A1.5 Calcula escribiendo en forma de fracción.
)
a) 0,36 4,272727…
)
)
b) 1,45 0,35 : 0,25
36 3
427 4
33
423
3867
1289
a) 0,3666… 4,2727… 90
99
90
99
990
330
145 14
35 3 25
131
32
1
b) 1,4555… 0,3555… : 0,25 : 4 90
90
100
90
90
30
A1.6 Copia y completa la siguiente tabla con las aproximaciones a las milésimas de estos números.
—4—
7
3,52857
5
Por defecto
Por exceso
Por redondeo
0,571
0,572
0,571
3,528
3,529
3,529
2,236
2,237
2,236
A1.7 Halla el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 metros.
¿Qué tipo de número obtienes?
l2 l2 102 ⇒ l 50
; A 50 m2. Es un número natural.
A1.8 Representa en la recta real los siguientes números.
19
a) 4
b)
17
18
c)
19
a) 4
1
b)
42 12
17
2
4
5
Y
1
17
O
c)
3
32 32
18
1
X
17
Y
1
O
1
X
18
A1.9 Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo los números que verifican estas relaciones.
a) 3 x 7
c) x 2
b) x 4
d) 3 x 2
a) [3, 7]
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
b) (4, )
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
c) (, 2]
–3
–2
–1
0
1
2
3
d) (3, 2]
–4
–3
–2
–1
0
1
A1.10 Indica a qué intervalos o semirrectas equivalen las siguientes expresiones.
a) x 100
c) x 6 4
b) x 3 10
d) x 7 11
a) (100, 100)
b) x 3 10 ⇒ 10 x 3 10 ⇒ 13 x 7 ⇒ [13, 7]
c) x 6 4 ⇒ 4 x 6 4 ⇒ 2 x 10 ⇒ (2, 10)
d) x 7 11 ⇒
x 7 11 ⇒ x 18
⇒ (, 4) (18, )
o
x 7 11 ⇒ x 4
E N T R E T E N I D O
L a s
Las dos
jarras son iguales
y contienen
igual cantidad
de líquido.
Voy a pasar un
vaso de leche a la jarra
de zumo y después un
vaso de la mezcla
resultante a la jarra
de leche.
d o s
j a r r a s
Al final, ¿qué hay más, zumo en la jarra de leche o leche en la jarra de
zumo?
En las dos jarras hay la misma proporción de mezcla. Vamos a verlo. Para fijar ideas
vamos a suponer que en una de las jarras hay 1 litro de leche y en la otra 1 litro de
zumo. Y vamos a suponer que el contenido de c cada vaso es de 250 mL. El bloqueo
de este problema surge al pensar que hay más leche en la del zumo que zumo en la
de la leche, porque primero echamos el 100% de leche y luego no echamos el 100%
de zumo. Para resolverlo vamos a hacer un dibujo. Cada cuadrado de la cuadrícula
representa 50 mL.
Al comienzo:
1 litro de leche
1 litro de zumo
Pasamos 250 mL de leche a la de zumo:
750 mL de leche
1250 mL de mezcla
Pasamos 250 mL de mezcla (200 mL de zumo y 50 mL de leche) a la jarra de leche:
1 litro de mezcla
1 litro de mezcla
Al final, cada jarra tiene 800 mL del contenido que tenía al principio y 200 mL del contenido de la otra jarra.