4.Definición de límite de una función vectorial 4.1. Definición en términos de esferas abiertas Sea f, una función vectorial definida en un subconjunto A de RN y con espacio de valores en RM, lo que se expresa n f: A R Rm Y sea X0 un punto de acumulación de A. Decimos que la función f(X) tiende al límite L cuando X tiende a X0 y escribimos lim f(X) = L XX0 Si para toda esfera abierta en Rm con centro en L y radio , S’(L, ), existe una esfera abierta en Rn con centro en X0 y radio , S(X0, ), tal que para todo X en el dominio de f perteneciente a S, sus imágenes f(X) estarán en S’. De manera analítica: XX0 X A ∩ S(X0, ) f(X) S’(L, ). Esto podemos visualizarlo si consideramos por ejemplo, a f definida de R2 a R2, en este caso X0= (x0, y0) y X=(x, y). Fig. 4.1 En la figura 4.1 se muestra geométricamente que siempre que las variables independientes (x, y) estén en el circulo amarillo de radio, entonces los valores de la función se encontraran en el circulo verde de radio. Y para el caso de una función real f definida en R2: f: R2 R X0= (x0, y0) X=(x, y) Fig.4.2 En la figuras 4.2 se muestra geométricamente que siempre que las variables independientes (x, y) estén en el circulo azul de radio, entonces los valores de la función que se encuentran representados por el eje Z están en el intervalo abierto (L — ; L +). 4.2Definición en términos de distancias. También conocida como definición en términos de épsilon y delta Según la explicación anterior, la distancia entre el limite L y las imágenes de la función f(x, y) puede hacerse tan pequeña como se quiera con tan solo tomar la distancia de X a X0 lo suficientemente pequeña. Teniendo en cuenta que lo que nos interesa es lo que pasa con los valores de las imágenes en las inmediaciones de X0, no en el propio punto X0. Además, este punto pudiera no pertenece al dominio de la función (aunque sea un punto de acumulación del conjunto domino) y por esta razón hacemos énfasis en lo que respecta a esta definición en que X ≠ X0. Lo anteriormente expuesto puede denotarse analíticamente así: d(f(X), L) < siempre que d(X, X0) < y X ≠ X0 Y aplicando la definición de la función distancia se tiene: d(f(X), L) = f(X) L d(X, X0) = X X0 Con lo que finalmente se tiene: X A, 0 X X0 f(X) L Que es conocida como condición de límite en X0 Con frecuencia cuando se aplica esta definición en términos de épsilon y delta se considera este método como la obtención de límites por definición, y se resume este procedimiento en que, dado un >0 se requiere que hallemos un >0, tal que se cumpla la condición de límite en X0. Y si es posible encontrar una relación valida en función de decimos que el limite existe, en caso contrario el limite no existe. Puede ser que cuando X tienda a X0 las imágenes no se acerquen a un número en particular. En este caso decimos que Para el cálculo del límite, se determina a partir de Lo que interesa no es lo que pasa en X0 sino en su cercanía. RESÚMEN Sea n f: A R Diremos que: Rm y X0 un punto de acumulación de A. lim f(X) = b XX0 Si para toda esfera abierta en Rm, S’(b, ), existe una esfera abierta en Rn S(x0, ) tal que: XX0 X A ∩ S(x0, ) f(X) S’(b, ). (Condición de límite en X0) X A, 0 X X0 f(X) b La distancia de f(X) al límite puede hacerse tan pequeña como se quiera, con tal de tomar la distancia de X a X0 lo suficientemente pequeña. Prof. Amabiles Núñez, MSc.