Matrices bandadas

Clase No. 8:
Matrices bandadas
Cálculo de la inversa y determinante
Normas vectoriales y matriciales
MAT–251
Dr. Alonso Ramírez Manzanares
CIMAT A.C.
e-mail: alram@ cimat.mx
web: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña Acevedo
CIMAT A.C.
e-mail: joaquin@ cimat.mx
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
02.09.2015
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Matrices bandadas
• Una matriz n × n se dice que es bandada si existen p, q ∈ N y
1 < p, q, < n, tales que aij = 0 si p ≤ j − i o q ≤ i − j.
• El ancho de banda es w = p + q + 1.
3
2
−1
0
1
c(−1, 6)
4
5
6
• Si p = q, entonces la condición es p ≤ |i − j|.
−1
0es tridiagonal.
1
2
3
• Si p = q = 1, la matriz
4
5
6
c(−1, 6)
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Matrices tridiagonales
Consideremos el sistema
Ax = d
donde A ∈
Rn
tal que
b1
 a2

0
 .
A=
 ..

0

0
0

c1
b2
a3
..
.
0
0
0
0
c2
b3
..
.
0
0
0
···
···
···
..
.
···
···
···
0
0
0
..
.
0
0
0
..
.
bn−2
an−1
0
cn−2
bn−1
an
0
0
0
..
.
0
cn−1
bn





,




es decir, es tridiagonal.
• El algoritmo de solución es un caso particular de eliminación Gaussiana.
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Solución del sistema tridiagonal (I)
Tenemos que
b1 x1 + c1 x2
=
d1 ,
ai xi−1 + bi xi + ci xi+1
=
di ,
an xn−1 + bn xn
=
dn
i = 2, ..., n − 1
De las dos primeras ecuaciones
b1 (
−a2 (
a2 x1
b1 x1
+b2 x2
+c1 x2
(b1 b2 − a2 c1 )x2
¯ 2 = b1 b2 − a2 c1 ,
Si b
c̄2 = b1 c2 ,
+c2 x3 )
)
+b1 c2 x3
=
=
=
b1 d2
−a2 d1
b1 d2 − a2 d1
¯ 2 = b1 d2 − a2 d1 ,
d
¯ 2 x2 + c̄2 x3 = d
¯2.
b
Con esto eliminamos x1 . Continuamos de esta forma.
Supongamos que ya hemos reducido las ecuaciones para i = 2, ..., k, de
modo que tenemos
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Solución del sistema tridiagonal (II)
¯ i xi + c̄i xi+1 = d
¯i.
b
Entonces para i = k + 1 < n, tenemos
¯k (
b
−ak+1 (
+bk+1 xk+1
+c̄k xk+1
+ck+1 xk+2 )
)
=
=
¯ k dk+1
b
¯k
−ak+1 d
¯ k bk+1 − ak+1 c̄k )xk+1
(b
¯ k ck+1 xk+2
+b
=
¯ k dk+1 − ak+1 d
¯k
b
ak+1 xk
¯ k xk
b
Si
ā1 = 0,
Joaquín Peña (CIMAT)
¯ 1 = b1 ,
b
c̄1 = c1 ,
¯ i xi + c̄i xi+1
b
=
¯i
d
¯i
b
=
c̄i
¯
di
=
¯ i−1 bi − ai c̄i−1
b
¯ i−1 ci
b
=
¯ i−1 di − ai d
¯ i−1
b
¯ 1 = d1 ,
d
i = 2, ..., n − 1
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Solución del sistema tridiagonal (III)
Finalmente, para i = n,
¯ n−1 (
b
−an (
Si definimos
+bn xn )
+c̄n−1 xn )
=
=
¯ n−1 dn
b
¯ n−1
−an d
¯ n−1 bn − an c̄n−1 )xn
(b
=
¯ n−1 dn − an d
¯ n−1
b
an xn−1
¯ n−1 xn−1
b
¯n = b
¯ n−1 bn − an c̄n−1 ,
b
xn =
Joaquín Peña (CIMAT)
¯n = b
¯ n−1 dn − an d
¯ n−1 .
d
¯n
d
¯n
b
¯ i − c̄i xi+1
d
¯i
b
xi
=
¯i
b
=
c̄i
¯
di
=
¯ i−1 bi − ai c̄i−1
b
¯ i−1 ci
b
=
¯ i−1 di − ai d
¯ i−1
b
i = n − 1, ..., 1
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Una condición suficiente
¯ i es esencial.
La hipótesis de que podemos dividir entre b
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir,
|b1 | ≥ |c1 |,
|bn | ≥ |an |,
|bi | ≥ |ai | + |ci |
i = 1, 2, ..., n,
¯ i 6= 0:
y que además se cumpla ai , ci 6= 0. Esto garantiza que b
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Una condición suficiente
¯ i es esencial.
La hipótesis de que podemos dividir entre b
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir,
|b1 | ≥ |c1 |,
|bn | ≥ |an |,
|bi | ≥ |ai | + |ci |
i = 1, 2, ..., n,
¯ i 6= 0:
y que además se cumpla ai , ci 6= 0. Esto garantiza que b
¯ 1 | = |b1 | ≥ |c1 | = |c̄1 | > 0. Supongamos que |b
¯ i | ≥ |c̄i | > 0 para
Tenemos que |b
i = 1, ..., k < n. Entonces
¯ k+1 |
|b
≥
¯ k bk+1 − ak+1 c̄k | ≥ |b
¯ k | |bk+1 | − |ak+1 | |c̄k |
|b
¯ k |(|ak+1 | + |ck+1 |) − |ak+1 | |c̄k | = |ak+1 |(|b
¯ k | − |c̄k |) + |b
¯ k ||ck+1 |
|b
≥
¯ k ||ck+1 | > 0
|b
=
¯ k ||ck+1 | = |c̄k+1 |, se tiene que
Como |b
¯ k+1 | ≥ |c̄k+1 | > 0.
|b
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Cálculo del determinante de la matriz
Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU:
A = LU.
Entonces por propiedades del determinante
det A = det(LU) = det L det U.
Como las matrices L y U son triangulares, su determinante es igual al
producto de los elementos de su diagonal. Además, para la factorización de
Doolittle, se debe tener que det L = 1, por lo que
det A = det U =
n
Y
uii .
i=1
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Cálculo de la inversa de la matriz
Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU:
A = LU.
Sea xi el vector solución del sistema lineal
Axi = LUxi = ei .
para i = 1, ..., n, donde ei es el i’esimo vector canónico. Si X = [ x1 · · · xn ],
entonces
AX = [ Ax1 · · · Axn ] = [ e1 · · · en ] = I.
Esto es, X es la inversa de A. Así, si tenemos la factorización LU de matriz,
solo tenemos que resolver n sistemas de ecuaciones lineales para obtener
las columnas de la matriz inversa.
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Normas para vectores
Definición de norma vectorial
Una norma en Rn es una función k · k : Rn → R que tiene las propiedades:
∀x ∈ Rn ,
1
kxk ≥ 0
2
kxk = 0 si y sólo si x = 0,
3
kαxk = |α| kxk
4
kx + yk ≤ kxk + kyk
∀x ∈ Rn , α ∈ R,
∀x, y ∈ Rn .
Ejemplos: Para x = (x1 , x2 , ..., xn )>
v
u n
uX
kxk2 = t x2
i
(Norma 2)
i=1
kxk1 =
n
X
|xi |
(Norma 1)
i=1
kxk∞ = max |xi |
1≤i≤n
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(Norma infinito)
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Normas para vectores
En general, para p ≥ 1, la norma p del vector x = (x1 , ..., xn )> es
kxkp = |x1 |p + · · · + |xn |p
1/ p
.
Además,
kxk∞ = max |xi |
1≤xi ≤n
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Normas para matrices (I)
Definición de norma matricial
Una norma en Rn×n es una función k · k : Rn×n → R que tiene las propiedades
para todo A, B ∈ Rn×n y α ∈ R:
1
kAk ≥ 0 y kAk = 0 si y sólo si A = 0,
2
kαAk = |α| kAk,
3
kA + Bk ≤ kAk + kBk,
Ejemplos: Para A = [aij ],
Norma de Frobenius :
kAkF =
n X
n
X
!1/ 2
a2ij
i=1 j=1
Norma natural inducida por la norma vectorial k · k :
kAk = sup
x6=0
kAxk
kxk
Esta norma tiene algunas propiedades
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Normas para matrices (II)
• kIk = 1.
• kAxk ≤ kAk kxk.
• kABk ≤ kAk kBk.
Otra alternativa para definir la norma natural es
kAk = sup kAxk = max kAxk.
kxk=1
kxk=1
Se puede ver que las normas naturales inducidas por las normas vectoriales
l1 y l∞ son
Norma infinito:
Norma 1:
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kAk∞ = max
1≤i≤n
kAk1 = max
1≤j≤n
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n
X
n
X
|aij |
j=1
|aij |
i=1
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Normas para matrices (III)
Definición
Sean k · kln , k · klm y k · kmn normas en Rl×n , Rl×m y Rm×n . Se dice que esas
normas son consistentes si
kABkln ≤ kAklm kBkmn
para todo A ∈ Rl×m y B ∈ Rm×n .
Definición
Sea k · kα una norma en Cm , k · kβ una norma en Cn y k · k una norma matricial
en Cm×n . Se dice que k · k es una norma subordinada a las normas k · kα y
k · kβ si
kAxkα ≤ kAk kxkβ
∀ A ∈ Cm×n , x ∈ Cn .
Por lo anterior, se ve que las normas naturales son subordinadas y
consistentes.
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Normas para matrices (IV)
Proposición
Si el producto AB está definido, entonces
kABkF ≤ kAkF kBkF .
Se puede ver que la norma del máximo no es consistente:
kAkmax = max |ai,j |.
i,j
A=
•
2
kAAkmax = 2
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•
1
1
˜
1
,
1
˜
2 = 2 > 1 · 1 = kAkmax kAkmax
2 max
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Aplicación de las normas matriciales (I)
Tenemos que para x ∈ R,
∞
X
k=0
xk =
1
|x| < 1.
,
1−x
La versión para matrices es la siguiente.
Proposición
Sea F una matriz en Rn×n tal que kFk < 1 y k · k norma matricial consistente.
Si I es la matriz identidad, entonces I − F es no singular y
∞
X
(I − F)−1 =
Fk .
k=0
Además,
k(I − F)−1 k ≤
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1
1 − kFk
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