Trabajo y energía cinética

1
Trabajo, energía cinética, energía potencial
Definición de trabajo
Trabajo es la integral curvilínea de la fuerza a lo largo de un camino o trayectoria. La integral curvilínea
es la integral del producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento infinitesimal. El
producto escalar de dos vectores es un tipo de producto en el que el resultado es un escalar y que se puede
calcular de por lo menos dos maneras distintas.


Si conocemos el vector fuerza F  Fx iˆ  Fy ˆj  Fz kˆ y el vector desplazamiento dr  dx iˆ  dy ˆj  dz kˆ , el
producto escalar es
 
F  dr  Fx dx  Fy dy  Fz dz
   
F  dr  F dr cos
El ángulo  es el ángulo comprendido entre
ambos vectores.
El trabajo es la integral de este producto
vectorial entre dos posiciones de la
trayectoria:

r2


W   F  dr

r1
El trabajo es una magnitud escalar que puede
ser positiva, negativa o cero.
Esta definición se puede aplicar a cada una de las fuerzas que está actuando sobre un cuerpo y también se
puede aplicar a la fuerza resultante.
Si se calcula el trabajo de cada una de las fuerzas y luego se suman dichos trabajos se obtiene el trabajo
total o trabajo neto: Wtotal  W1  W2  W3  ...Wn
(Suma escalar)
Esta operación da el mismo resultado que si se determina la fuerza resultante (fuerza neta), es decir
r2
n 



Fneta   Fi (suma vectorial), y luego se aplica la definición de trabajo: Wtotal   Fneta  dr

r1
i 1
Teorema del trabajo y la energía cinética.
Para el caso general en el cual el cuerpo (punto material) se desplaza en una trayectoria curvilínea la
 dv ˆ v 2
aceleración se puede expresar en coordenada intrínsecas: a  t 
nˆ
dt

dv
En este vector
es la componente tangencial de la aceleración at cuyo módulo depende de la “rapidez”
dt
con que varía el módulo de la velocidad v y el signo es positivo si v aumenta y negativo si v disminuye.
v2
La otra componente es
, denominada aceleración normal (o centrípeta en el caso particular del

movimiento circular). El denominador es el radio de curvatura en el punto donde está situada la partícula.
2
Entonces el trabajo total se puede expresar del siguiente modo:

r2

r
2
2
 dv
v 2   2  dv ˆ v 2 
dv
dv
Wtotal   m tˆ 
nˆ   dr   m t 
nˆ   dr tˆ   m dr   m v dt   mv dv


 
 
dt
dt
 dt
 dt
r1
r1
v1
v1
Al aplicar la propiedad distributiva el producto del versor tangencial por sí mismo da 1, ya que es el
producto de los módulos, es decir 11, por el coseno del ángulo comprendido, cos 0 = 1.
v
v
El producto del versor normal por el versor tangencial es igual a 0, ya que ambos vectores forman un
ángulo de 90º y el cos 90º = 0.
El vector desplazamiento infinitesimal no es otra cosa que un vector tangente a la trayectoria cuyo
módulo es igual a la longitud de un tramo infinitesimal de la curva, es decir es igual al producto de la
velocidad por un lapso infinitesimal de tiempo.
Al reemplazar el desplazamiento en función de la velocidad hay que cambiar los límites de la integral.
Originalmente esos límites eran la posición inicial y la posición final, pero después son los módulos de las
velocidades inicial y final respectivamente.
Finalmente la integral que queda es de fácil solución:
 v2
  m vdv  m
 2
v1
v2

1
1
  m v 22  m v12  K 2  K 1
Wtotal
2
 v1 2
1
La magnitud escalar y positiva K  m v 2 se denomina energía cinética de la partícula.
2
Hemos llegado a la conclusión de que el trabajo total, o trabajo neto, sobre un cuerpo entre dos posiciones
de una trayectoria arbitraria es igual a la diferencia entre la energías cinéticas del cuerpo en esas dos
posiciones. Es decir el trabajo total no depende ni de la forma de la curva ni de la longitud del camino
recorrido.
v2
Esto en general no es válido para el trabajo de cada una de las fuerzas particulares que actúan sobre el
cuerpo. Pero si sumamos todos estos trabajos el resultado que obtenemos es independiente del “camino”.
El trabajo total depende sólo de la masa de la partícula, del módulo de la velocidad en la posición inicial
y del modulo de la velocidad en la posición final.
Si la energía cinética aumenta, es decir K > 0, el trabajo total es positivo. Pero los trabajos de las
distintas fuerzas pueden ser negativos, positivos o cero. La suma de todos estos trabajos es positiva.
Si la energía cinética disminuye, es decir K < 0, el trabajo total es negativo.
Si en un movimiento la velocidad en la posición inicial tiene el mismo módulo que la velocidad en la
posición final ( K = 0), entonces el trabajo total es nulo.
Ejemplos con trabajo total = 0
1) Analicemos el siguiente caso particular: si tenemos un cuerpo en reposo, lo empujamos y lo
desplazamos hasta otro lugar y lo dejamos ahí en reposo, el trabajo total (suma de los trabajos de todas las
fuerzas) es cero. Está claro que para empujar el cuerpo tuvimos que ejercer una fuerza en el sentido del
movimiento entonces este trabajo es positivo. Para que el trabajo neto sea 0, tiene que haber otras fuerzas
que realizaron trabajo negativo. Por ejemplo el rozamiento.
3
2) En un tiro vertical se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad vo. Llega hasta la altura máxima
y cuando vuelve a la posición de lanzamiento tiene vf = - vo. En toda esta trayectoria la variación de la
1
1
energía cinética es cero: K  m v 2f  m v o2  0 .
2
2
Entonces el trabajo total es cero. Pero cuando el cuerpo está subiendo su desplazamiento apunta hacia
arriba y la fuerza peso hacia abajo, por lo que ambos vectores forman un ángulo de 180º. Entonces en el
ascenso el trabajo de la fuerza peso es negativo. Durante la caída tanto el vector desplazamiento como la
fuerza peso tienen sentido hacia abajo, lo que implica que ele ángulo es cero, el coseno vale 1 y el trabajo
es positivo. Si no hay otras fuerzas actuando sobre el cuerpo el trabajo total es la suma de estos dos
trabajos.
3) Un satélite en órbita circular alrededor del centro de la Tierra. Como ya hemos visto la velocidad en
estos casos tiene módulo constante. Esto se puede probar de diferentes modos. Por ejemplo se puede
argumentar que como la fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce
sobre él, esta fuerza tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra que es el centro de la
órbita. Por lo tanto es una fuerza centrípeta y entonces la aceleración del satélite es centrípeta. Por lo tanto
la aceleración tangencial es cero (si la órbita es circular) y por lo tanto v es constante.
Entonces si v es constante K = 0 para cualquier tramo de la trayectoria. Conclusión el trabajo total es

m m
cero. ¿Por qué a pesar de que actúa una fuerza dada por F12  G 1 2 2 r̂12 su trabajo es nulo? Veamos la
r

r2


definición de trabajo: W   F  dr … Si la fuerza tiene dirección radial y el desplazamiento infinitesimal

r1
tiene dirección tangencial, ambos vectores son perpendiculares y por lo tanto el producto escalar es nulo,
ya que cos 90º = 0.
Cálculo del trabajo de algunas fuerzas especiales.
Cálculo del trabajo de la fuerza peso en las proximidades de la superficie terrestre.
Consideraremos g = constante si los movimientos estudiados ocurren a alturas h mucho menores que el
radio de la Tierra. Por ejemplo h < 1 km.
Tomemos un cuerpo cualquiera que se está
moviendo en una trayectoria cualquiera.
Sobre dicho cuerpo pueden estar actuando
varias fuerzas. Una de estas fuerzas es el
peso. Vamos a calcular solamente el trabajo
de la fuerza peso.
La partícula se mueve desde la posición (x1;
z1) hacia la posición (x2; z2). El eje x es
paralelo a la superficie terrestre y el eje z es
perpendicular. Por lo tanto el eje z es la
altura h de la partícula respecto a un nivel de
referencia determinado por el eje x.
Sobre la partícula pueden estar actuando
muchas otras fuerzas además del peso que es la única que se indica en la figura. Entonces:

P  m g kˆ
 
P  dr  0  dx  (m g)  dz

dr  dx iˆ  dz kˆ
  

P  dr  P  dr cos
4
Como podemos apreciar el ángulo  es variable a lo largo de la trayectoria.
En los tramos donde el cuerpo está descendiendo  es un ángulo agudo ( < 90º) y por lo tanto el trabajo
del peso es positivo. Es decir el peso tiene una componente con el mismo sentido que el desplazamiento.
En los tramos donde el cuerpo está subiendo  es un ángulo obtuso (90º <  < 180º, cos < 0), entonces
en estos tramos el trabajo de la fuerza peso es negativo. El peso tiene una componente con sentido
opuesto al desplazamiento.
En los tramos horizontales  = 90º y cos  = 0. En estos tramos la fuerza peso no trabaja. Es decir para
un recorrido horizontal la fuerza peso no provoca cambios en el módulo de la velocidad. No puede causar
variaciones en la energía cinética y su trabajo es nulo.

r2
W peso
  z2
z
  P  dr    mg  dz  mg z  z12  mgz 2  mgz 1 

r1
z1
Esto significa que el trabajo de la fuerza peso no depende de la forma ni de la longitud de la trayectoria.
Esto se expresa diciendo que el trabajo de la fuerza peso es independiente “del camino”. En particular se
puede observar que al ser una fuerza siempre vertical no depende del desplazamiento horizontal.
Tampoco depende de dónde se haya colocado el nivel de referencia, ya que como vemos es función de la
diferencia de alturas y dicha diferencia será la misma aunque midamos las alturas desde puntos distintos.
Como el trabajo de la fuerza peso sólo depende de la posición inicial z1 =h1 y de la posición final z2 =h2,
no importa cuál sea la forma de la trayectoria por la cual se movió el cuerpo. Es decir para cualquier
camino que una un punto ubicado en h1 y otro punto ubicado en h2, el trabajo de la fuerza peso será el
mismo.
En particular si el camino es “cerrado”, si el punto de partida es el mismo punto de llegada, el trabajo de
la fuerza peso es cero. Esto se debe a que el sentido de la fuerza peso es siempre hacia abajo, así que en su
recorrido hacia abajo y en su recorrido hacia abajo los trabajos son de igual valor absoluto y de signos
opuestos.
Por definición a la magnitud mgh se la denomina energía potencial U. Entonces el trabajo de la fuerza
peso se puede expresar en forma muy resumida así:
Wpeso  U 2  U1   U
Si la energía potencial aumenta, el cuerpo sube, U > 0, y el trabajo del peso es negativo.
Si la energía potencial disminuye, el cuerpo desciende, U < 0, y el trabajo del peso es positivo.
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Cálculo del trabajo de la fuerza de rozamiento dinámico
Este caso lo vamos a explicar con un
ejemplo concreto.
Supongamos que
lanzamos con velocidad inicial vo hacia
arriba un cuerpo de masa m apoyado sobre
un plano inclinado. El cuerpo asciende y se
va frenando. Se detiene y comienza a
descender, aumentando el módulo de la
velocidad hasta llegar al nivel 0 con cierta
vf. Conocemos el coeficiente de rozamiento
cinético d entre el cuerpo y la superficie del
plano inclinado y la inclinación del plano
Hacemos el diagrama del cuerpo libre para una posición cualquiera del trayecto de subida y para una
posición cualquier del trayecto de descenso.
Mientras el cuerpo está subiendo la fuerza de rozamiento cinético que tiene sentido opuesto a la
velocidad tiene sentido  x.
El cuerpo tiene velocidad en el sentido + x,
pero como se está frenando la aceleración en
el ascenso tiene sentido  x.
En el descenso la fuerza de rozamiento
cambia de sentido. Si la componente del
peso paralela al plano es mayor que el
rozamiento el cuerpo tiene aceleración hacia
abajo ( x). En este caso la velocidad y la
aceleración tienen igual sentido.
Tanto en al subir como al bajar la fuerza de rozamiento forma un ángulo de 180º con el desplazamiento y
por lo tanto el trabajo es negativo. En el ascenso…

h h

Wroz A   f roz  dr    k N dx cos180º    k m g cos  dx    k m g cos  x    k m g cos  1 o
sen
En el descenso…

h f  h1

Wroz D   f roz  dr    k N dx cos180º   k mgcos  dx    k mgcos  x   k mgcos 
sen
Para todo el recorrido…
h f  h1
h h
2h  h
Wroz   k mgcos 
  k mgcos  1 0   k mgcos  1 0
sen
sen
sen
En este caso podemos apreciar que el trabajo de la fuerza de rozamiento depende de la trayectoria ya que
la normal, de la cual depende el rozamiento, es función del ángulo de inclinación del plano. Además
h h
depende de la longitud del camino recorrido ya que la distancia recorrida en el ascenso es x A  1 o ,
sen
h
y la distancia recorrida en el descenso es x D  1
sen 
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Algo muy distinto ocurre con el trabajo de la fuerza peso. En el ascenso dicho trabajo es negativo y se
puede calcular como vimos antes o de esta otra forma:
W p , A  m g x A cos 
  90º 
W p, A  m g
h1  ho
 sen   m g(h1  ho )
sen
Para el descenso, el trabajo es positivo, y lo podemos calcular por medio de la variación de la energía
potencial como vimos anteriormente. Pero también podemos hacerlo así:
W p , D  m g x D cos(90º  )
W p, A  m g
h1
sen   m gh1
sen
Entonces el trabajo de la fuerza peso es independiente del ángulo. Es decir el trabajo que realiza la fuerza
peso cuando un cuerpo se mueve por un plano inclinado no depende de la inclinación del plano.
Tampoco depende de cuántos metros ha recorrido el cuerpo sobre el plano. Supongamos que el cuerpo
recorrió 5 metros en su ascenso y 8 metros al bajar, entonces el trabajo de la fuerza de rozamiento es
proporcional a esos 13 metros. Pero el trabajo de la fuerza peso sólo depende de dónde partió, es decir ho,
y adónde llegó, en este caso hf = 0. Notemos que el trabajo de la fuerza peso en todo el recorrido no
depende de la altura alcanzada h1 ya que Wp  WP, A  WP,D  mgh f  ho   mgho
Si el cuerpo parte de cierta altura inicial y regresa al mismo punto el trabajo del peso es 0. Pero el trabajo
del rozamiento es negativo y proporcional a todo el camino recorrido de ida y vuelta.
Fuerzas conservativas
Hay cierto tipo de fuerzas, como el peso, para las cuales el cálculo del trabajo no depende del camino. Es
decir el trabajo de estas fuerzas no depende ni de la forma de la trayectoria ni de la longitud del camino
recorrido. Estas fuerzas se llaman CONSERVATIVAS.
Otra forma de definir a esta tipo de fuerzas es diciendo que son aquellas fuerzas para las cuales el trabajo
para cualquier camino cerrado es nulo.
Para este tipo de fuerzas se puede demostrar que el trabajo resulta igual a la diferencia de energía
potencial con signo cambiado. Se puede definir una función de la posición (en el caso del peso, de la
altura) llamada energía potencial. Haciendo la diferencia entre la energía potencial de la posición final y
la energía potencial de la posición inicial y cambiando de signo se obtiene el trabajo de una fuerza
CONSERVATIVA.
Energía mecánica: La energía mecánica E es la suma de la energía potencial más la energía
cinética: E  K  U Si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo fuerzas que son conservativas, según el
teorema del trabajo y de la energía cinética podemos plantear que:
Wtotal  K
WF C  WF NO C  K
WF C  K
 U  K
K  U  0
E  0  E  cte
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Es decir si el trabajo de las fuerzas NO CONSERVATIVAS es cero, entonces la energía mecánica se
mantiene constante. Es decir se conserva. La suma de la energía cinética más la energía potencial se
mantiene sin cambios. Si aumenta la energía cinética es porque disminuye la potencial y viceversa.
Los sistemas que cumplen con esta propiedad se denominan sistemas conservativos. Ejemplos. Un cuerpo
en caída libre si despreciamos el efecto de la resistencia del medio; un péndulo ideal, un satélite en órbita
circular; un cuerpo de masa m unido a un resorte perfectamente elástico y sin rozamiento ni resistencia
del medio…
Ley de conservación de la energía mecánica: Si sobre un sistema el trabajo de las fuerzas no
conservativas es cero, entones se conserva la energía mecánica. Es decir, si las únicas fuerzas que hacen
trabajo son las conservativas la suma de la energía cinética y la energía potencial no varía.
Por eso el nombre de conservativas que se les da a esas fuerzas.
Sistema masa resorte horizontal
Trabajo de la Fuerza elástica
Energía potencial elástica
Consideremos un carrito de masa m unido a un resorte
de constate k que se puede mover a lo largo de un riel
horizontal. Tomamos el origen de coordenadas x = 0 en
la posición de equilibrio para la cual el resorte no está ni
estirad ni comprimido y por lo tanto la fuerza elástica es
nula.
Si despreciamos el rozamiento, la única fuerza que actúa
en la dirección horizontal es la fuerza elástica que el
resorte ejerce sobre el carrito.

F  k x iˆ
Aplicando la definición de trabajo al movimiento del carrito desde una posición cualquiera x1 hasta otra
posición cualquiera x2.
x
x2
x2

 2
ˆ
ˆ
Wel   F  dr    kx i  dx i    kx dx   k  x dx
x2
x1
x2
Wel  k
2
x1
x2
x1
x1
x1
 x2 x2 
1
1

 k  2  1    kx22  kx12 
2 
2
2

 2
a) Según la deducción anterior, la fuerza elástica, ¿es una fuerza conservativa? ¿Por qué?
¿Cuál es la definición de fuerza conservativa?
b) Si la fuerza elástica es conservativa, ¿se puede definir la energía potencial elástica? Si se
puede, ¿cuál debería ser su expresión?
c) Si el carrito realiza una oscilación completa, vuelve al punto de partida. Es decir x1 = x2.
Entonces cuál es el significado físico de la expresión del trabajo de la fuerza elástica. ¿Y si
realiza un número entero de oscilaciones completas?
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d) Si aplicamos el teorema del trabajo y la energía cinética al sistema masa resorte, ¿podemos
llegar a la conclusión que la energía mecánica se conserva?
Wel  WP  W N  K
1 2 1 2
m v2  m v1
2
2
e) ¿Cómo sigue?.....................................................................................................................................
Wel 
Sistema masa resorte horizontal
Conservación de la energía mecánica
Demostraremos que la energía mecánica K + U es independiente del tiempo. Es decir para todo tiempo t
la energía mecánica tiene el mismo valor igual a la energía mecánica inicial. Esto es lo mismo que decir
que cuando la energía cinética aumenta la energía potencial disminuye en la misma cantidad.
x  A cos t 
E  K U 
v   A sen t 
1 2 1 2
mv  k
2
2
1
1
2
2
m A sen t   k A cos t 
2
2
1
1
E  m A2 2 sen 2  t   kA2 cos2  t 
2
2
E
Pero, como hemos demostrado cuando estudiamos el MOAS
2 
k
, entonces:
m
1
k
1
m A2 sen2  t   kA2 cos2  t 
2
m
2
1
1
E  kA2 sen2  t   kA2 cos2  t 
2
2
1
E  kA2 sen2  t   cos2  t 
2
1
E  kA2
2
E


f) ¿Qué relación existe entre este resultado y las respuestas a las preguntas e), f) g) h) i)?
9
Sistema masa resorte vertical
En la posición de equilibrio la fuerza elástica, fuerza
que ejerce el resorte sobre la pesa, tiene igual módulo
que la fuerza peso (fuerza que ejerce la Tierra sobre la
pesa).
Entonces el resorte estará estirado un le que debe ser
igual al peso dividido por la constante del resorte.
Si desde esta posición de equilibrio desplazamos a la
pesa y por lo tanto variamos la longitud del resorte, éste estará ejerciendo una fuerza distinta del peso.
Elegimos un sistema de coordenadas en el cual el origen coincide con la posición de equilibrio.
Supongamos que levantamos la pesa hasta una posición yo. El resorte estará ejerciendo fuerza hacia abajo,
ya que está comprimido y junto a la fuerza gravitatoria provocará una aceleración hacia abajo sobre la
pesa. Mientras la pesa cae, la fuerza que ejerce el resorte disminuye. Cuando la pesa pasa por y = 0 ambas
fuerzas se igualan, y luego la fuerza elástica será mayor al peso. Esto provocará una aceleración en
sentido opuesto, en nuestro caso en +y, que irá frenando a la pesa hasta que en cierto instante se
detendrá. Se puede demostrar que esto ocurrirá cuando y =  yo.
Planteamos la 2da ley de Newton en una posición x cualquiera como la indicada en la figura de la
derecha:
2
d y
 k  y  l e  ˆj  m g ˆj  m 2 ˆj
dt
2
d y
 ky  kl e  m g  m 2
dt
En la 1ra ecuación y le es la que está estirado el resorte cuando su extremo unido a la pesa está en la
posición y. Pero al aplicar la propiedad distributiva nos quedan dos términos que se anulan entre sí, ya
que como hemos dicho el valor del estiramiento del resorte en equilibrio es igual al peso/k. Por lo tanto la
ecuación diferencial del movimiento del sistema queda de la misma forma que en el caso del sistema
horizontal cuando la única fuerza que actúa en el sentido del movimiento es la fuerza elástica.
d2y
 ky  m 2
dt
Pero hay una diferencia:
En el sistema masa resorte horizontal x lo que está estirado el resorte, o comprimido, y también es la
posición del móvil.
En el sistema masa resorte vertical y es la posición del móvil pero no es igual a lo que está estirado el
resorte, o comprimido
Las dos ecuaciones diferenciales quedaron idénticas porque en ambos casos se tomó el origen de
coordenadas en la posición de equilibrio.
En el sistema masa resorte horizontal dicha posición corresponde a fuerza resultante nula y a fuerza
elástica nula.
10
En el sistema masa resorte vertical la posición de equilibrio corresponde a fuerza resultante nula pero
la fuerza que está ejerciendo el resorte es igual al peso y por lo tanto el resorte está estirado
Una consecuencia importante de esta identidad entre las ecuaciones diferenciales es que la soluciones
correspondientes a la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, x = x(t), v = v(t) y a = a(t),
serán las mismas en ambos casos y la frecuencia angular  en ambos casos es función de k y de m, pero
es independiente de la aceleración de la gravedad g.
Resumimos las soluciones….
y  y o cos ( t )
v   y o  sen ( t )
a   y o  2 cos ( t )
a   2 y
2 
k
m
T  2
m
k
Si cambiamos la denominación de la posición inicial yo y la llamamos A nos queda todo igual al caso de
el oscilador horizontal.
g) En las posiciones extremas + yo y  yo (o en A y en A) cuánto valen la velocidad y la
aceleración. ¿En qué instantes el móvil alcanza estas posiciones?
h) Cuando la pesa pasa por la posición y = 0, ¿cuánto vale la aceleración? ¿Qué valor alcanza la
velocidad?
i) Tomando la posición y = 0 como nivel de referencia para la energía potencial gravitatoria,
¿cuánto vale la energía mecánica (cinética + potencial elástica en esa posición)? Se pide la
expresión en función de los datos que sean relevantes
j) Cuando la pesa esté en la posición yo = A, ¿cuánto vale la energía mecánica en esa posición?
¿Cuáles formas de energía están contenidas en ella? Se pide la expresión en función de los
datos que sean relevantes
k) Para una posición y cualquiera expresar la energía mecánica como la suma de la energía
cinética más la energía potencial (y ésta como la suma de la gravitatoria más la elástica).
l) A partir de la expresión anterior en función del tiempo, demostrar que la energía mecánica
es independiente del tiempo, es decir, constante. Para esta demostración es importante
recordar que la energía potencial elástica depende del estiramiento, o compresión, del
resorte. Además no olvidar la relación entre la frecuencia angular la constante k y la masa.
m) Según la pregunta o) la energía mecánica se conserva. ¿Es coherente este resultado con el
trabajo realizado sobre la pesa? ¿Qué fuerzas realizan este trabajo? ¿Son conservativas?
11
Trabajo de la fuerza gravitatoria. Energía potencial gravitatoria con g variable.
Consideremos un cuerpo de masa m que se
desplaza en una trayectoria cualquiera en
una región donde existe un campo
gravitatorio. Para simplificar supongamos
que este campo gravitatorio es el producido
por un planeta esférico de masa M. Mientras
el cuerpo se desplaza pasa por distintas
posiciones a distintas distancias r del centro
del planeta y por lo tanto al fuerza
gravitatoria sobre él varía, pero su dirección
siempre será radial y su sentido hacia el
centro del planeta.
El vector desplazamiento infinitesimal se
puede descomponer utilizando coordenadas
polares en una componente radial y una
componente perpendicular a la dirección r.

dr  drradial rˆ  rd ˆ
Donde  es el ángulo formado entre el vector fuerza y el vector desplazamiento. Es decir, entre el vector
desplazamiento y la dirección radial.
La fuerza se puede expresar como:

mM
F  G 2 rˆ
r
Entonces
el trabajo
queda:



r2
r2
r2


mM
mM
W   F  dr    G 2 rˆ  (dr rˆ  rd ˆ)    G 2 dr



r
r
r1
r1
r1
Como se puede apreciar la fuerza gravitatoria sólo hace trabajo para desplazamientos en la dirección
radial. Para la coordenada  los desplazamientos son perpendiculares a la fuerza y por lo tanto el trabajo
de la fuerza gravitatoria es nulo.
Esto se puede ver descomponiendo una trayectoria cualquiera en tramos infinitesimales radiales y
perpendiculares a r.
Entonces:

r2
W  G

r1
2
2

mM
dr
mM  
m M 
 1




dr


Gm
M


Gm
M




G


G


2
2
 r

 
r
r
r
r


r
2
1




r1

1
r
r
W  U
La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa. La energía potencial gravitatoria tiene su valor máximo
U = 0, en el infinito y disminuye a medida que nos acercamos a la masa M.
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Si un satélite se mueve en una órbita, no necesariamente circular, su energía mecánica se conserva. Es
decir la cantidad K + U permanece constante. Esto significa que si el satélite se acerca r = 0 la energía
potencial disminuye, es comos si estuviera cayendo, y la energía cinética aumenta. Si el satélite, planeta,
cometa, etc…se aleja su energía potencial aumenta y por lo tanto la energía cinética disminuye.
Por ejemplo un planeta que se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol tiene r variable desde un rmín
(perihelio) hasta un rmáx (afelio). Cuando el planeta está en el punto más cercano al Sol (perihelio) tiene
energía potencial mínima y por lo tanto energía cinética máxima (es decir, máxima velocidad). En el
punto “más alto” (afelio) la energía potencial es máxima y la cinética mínima (acá el planeta se mueve
más despacio).
13