Norma y distancia inducidas por un producto interno

Norma y distancia
inducidas por un producto interno
Objetivos. Definir la norma y la distancia en un espacio vectorial V real o complejo con
un producto interno h·, ·i.
Requisitos. Definición y ejemplos de espacios con producto interno, desigualdad de
Schwarz (llamada también desigualdad de Cauchy–Schwarz o desigualdad de Cauchy–
Bunyakovski–Schwarz).
En estos apuntes usamos el convenio que el producto interno es homogéneo con respecto
al segundo argumento:
hx, λyi = λ hx, yi.
1. Desigualdad de Schwarz (repaso). Sea V un espacio vectorial complejo o real con
un producto interno h·, ·i. Entonces para todos x, y ∈ V
|hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi.
(1)
2. Criterio de la igualdad en la desigualdad de Schwarz (repaso). Sean x, y ∈ V .
Entonces la igualdad
|hx, yi|2 = hx, xi hy, yi
se cumple si y sólo si los vectores x, y son linealmente dependientes.
Definición general de norma
Empecemos con la definición general de norma en un espacio vectorial complejo (el caso
real es similar).
3. Definición (norma en un espacio vectorial). Sea V un espacio vectorial complejo.
Una función k · k : V → R se llama norma si cumple con las siguientes propiedades
(axiomas de norma):
1. Propiedad subaditiva (o desigualdad triangular para la norma):
kx + yk ≤ kxk + kyk
∀x, y ∈ V.
2. kλxk = |λ| kxk para todo x ∈ V y todo λ ∈ C.
3. kxk > 0 para todo x ∈ V \ {0}.
Si k · k es una norma, entonces se dice que (V, k · k) es un espacio normado.
4. Ejemplos de normas en Cn . En el espacio vectorial Cn hay una infinidad de normas
diferentes. Las más importantes son:
!1/2
n
n
X
X
kak1 :=
|ak |,
kak2 :=
|ak |2
,
kak∞ := max |ak |.
k=1
k=1
1≤k≤n
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Norma inducida por un producto interno
5. Proposición (de la norma inducida por un producto interno). Sea V un espacio
vectorial complejo con un producto interno h·, ·i. Entonces la función N : V → [0, +∞)
definida mediante la siguiente regla es una norma sobre V :
p
N (x) := hx, xi
(x ∈ V ).
Demostración. 1. Si x 6= 0, entonces hx, xi > 0 y por lo tanto N (x) > 0.
2. hλx, λxi = λλhx, xi = |λ|2 hx, xi. Sacamos la raı́z cuadrada: N (λx) = |λ| N (x).
3. Usando la desigualdad de Schwarz demostremos la propiedad subaditiva de la norma.
Primero notemos que
hx, yi + hy, xi = 2 Rehx, yi ≤ 2|hx, yi|.
Aquı́ hemos aplicado con α = hx, yi las fórmulas generales
α + α = 2 Re(α),
Re(α) ≤ | Re(α)| ≤ |α|.
Luego notemos que la desigualdad de Schwarz se puede escribir de la siguiente manera:
|hx, yi| ≤ N (x) N (y).
Ahora es fácil demostrar la propiedad subaditiva:
N (x + y)2 = hx + y, x + yi
= hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi
= N (x)2 + 2 Re(hx, yi) + N (y)2
≤ N (x)2 + 2|hx, yi| + N (y)2
≤ N (x)2 + 2N (x)N (y) + N (y)2
= (N (x) + N (y))2 .
6. Definición (norma inducida por un producto interno). Sea V un espacio vectorial complejo con un producto interno h·, ·i La norma en V inducida por el producto
interno, se define mediante la regla
p
kxk := hx, xi.
7. Tarea adicional. Determine cuándo se cumple la igualdad kx + yk = kxk + kyk.
8. Ejercicio. Sea k · k la norma inducida por un producto interno h·, ·i. Demuestre que
kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2 Re(hx, yi);
kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2 Re(hx, yi).
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9. Ejercicio (identidad de paralelogramo). Demuestre que la norma inducida por un
producto interno satisface la siguiente propiedad (identidad de paralelogramo):
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 )
∀x, y ∈ V.
10. Ejercicio (identidades de polarización en el caso real). Sean V un EV real
con un producto interno h·, ·i, y sea k · k la norma inducida por este producto interno.
Demuestre las siguientes igualdades:
1
1
hx, yi =
kx + yk2 − kx − yk2 ,
hx, yi =
kx + yk2 − kxk2 − kyk2 .
4
2
11. Proposición (identidad de polarización en el caso complejo). Sea V un espacio vectorial complejo con un producto interno. Entonces el producto interno se puede
expresar a través de la norma inducida por este producto interno mediante la siguiente
fórmula:
3
1X k k
hx, yi =
i k i x + yk2
4 k=0
1
2
2
2
2
=
kx + yk + i k i x + yk − k − x + yk − i k − i x + yk .
4
12. Ejercicio. Demuestre la identidad de polarización en el caso complejo.
13. Ejemplo. La función kxk1 := |x1 | + |x2 | es una norma en C2 . Demostremos que esta
norma no se puede inducir por ningún producto interno. Construyamos un contraejemplo
para la identidad de paralelogramo:
1
0
x=
, y=
,
kx + yk21 + kx − yk21 = 8, 2(kxk21 + kyk21 ) = 4.
0
1
Ángulo entre dos vectores en un espacio real con producto interno
14. Definición (ángulo entre dos vectores en un espacio real con producto
interno). Sea V un espacio vectorial real con producto interno y sean u, v vectores no
nulos en V . El ángulo entre u y v, denotado por ∠(x, y), se define como
∠(x, y) = arc cos
hx, yi
.
kxk kyk
La desigualdad de Schwarz garantiza que el cociente
por eso el arc cos de este cociente está bien definido.
hx,yi
kxk kyk
toma valores entre −1 y 1,
15. Ejercicio. En el espacio Rn con el producto interno canónico consideremos dos vectores:
>
>
u = e1 = 1, 0, . . . , 0 ,
v = e1 + e2 + . . . + en = 1, 1, . . . , 1 .
Notemos que e1 es un lado del cubo unitario y v es la diagonal de este cubo. Calcule
∠(u, v). Calcule el lı́mite de ∠(u, v) cuando n → ∞.
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Definición general de distancia
Recordemos la definición general de distancia.
16. Definición (distancia). Sea X un conjunto. Una función d : X × X → R se llama
distancia o métrica en X si cumple con las siguientes propiedades (axiomas de métrica):
1. d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X.
2. Si x, y ∈ X y d(x, y) = 0, entonces x = y.
3. d(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈ X.
4. Desigualdad triangular :
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
∀x, y, z ∈ X.
Si d es una métrica en X, entonces se dice que (X, d) es un espacio métrico.
Distancia inducida por una norma
17. Proposición (de la distancia inducida por una norma). Sea V un espacio
vectorial real o complejo y sea k · k una norma en V . Entonces la función d : V × V → R
definida mediante la siguiente regla es una distancia en V :
∀x, y ∈ V
d(x, y) := kx − yk.
18. Ejercicio. Demuestre la proposición.
19. Definición (distancia inducida por una norma). Sea V un espacio vectorial con
una norma k · k. La distancia (métrica) inducida por la norma k · k se define mediante la
siguiente fórmula:
d(x, y) := kx − yk.
20. Resumen. Un espacio vectorial real o complejo con un producto interno h·, ·i se
puede considerar como un espacio normado con la norma
p
kxk := hx, xi
y como un espacio métrico con la métrica
d(x, y) := kx − yk =
p
hx − y, x − yi.
La norma se puede expresar a través de la métrica mediante la fórmula kxk = d(x, 0),
y el producto interno se puede expresar a través de la norma mediante la identidad de
polarización.
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