2 - proyectosdemates

Bloque I
Actividad VIII: Aplicaciones semejanza triángulos
Nombre y apellidos: Francisco Javier Benjumeda Muñoz
Fecha: 25/02/2012
Asignatura: COMPLEMENTOS DE FORMACIÓN
1. TEOREMA DE TALES
Dadas dos rectas secantes ‫ݎ‬y ‫ݏ‬cortadas por sendas rectas paralelas en los puntos ‫ܣ‬, ‫ ’ܣ‬y
‫ܤ‬, ‫ ’ܤ‬respectivamente. Entonces se cumplen las relaciones de proporcionalidad:
Demostración:
ܱ‫ܣ‬′ ܱ‫ܤ‬′ ‫ܣ‬′‫ܤ‬′
=
=
ܱ‫ܣ‬
ܱ‫ܤ‬
‫ܤܣ‬
Para demostrarlo utilizaremos los triángulos ⊿‫’ܤ’ܣܣ⊿ ݕ ܤ’ܣܣ‬.
Ambos triángulos tienen idéntica área por compartir la base ‫’ܣܣ‬
y altura ℎ. Además, se cumplen:
‫ݔ ∙ ܤܣ‬
2
‫ܣ‬′‫ܤ‬′ ∙ ‫ݔ‬′
‫ܤ’ܣܣ⊿(ܽ݁ݎܣ‬′) =
2
‫= )ܤ’ܣܣ⊿(ܽ݁ݎܣ‬
Igualando ambas expresiones se obtiene:
‫ܣ ݔ ∙ ܤܣ‬′‫ܤ‬′ ∙ ‫ݔ‬′
‫ܣ ݔ‬′‫ܤ‬′
=
⟹ =
2
2
‫ݔ‬′
‫ܤܣ‬
Por otra parte, si expresamos el área del triángulo ⊿ܱ‫ ’ܣܣ‬tomando como bases ܱ‫ ܣ‬y ܱ‫’ܣ‬
respectivamente, obtenemos dos expresiones de sus áreas que deben ser iguales:
ܱ‫ܣܱ ݔ ∙ ܣ‬′ ∙ ‫ݔ‬′
‫ܣܱ ݔ‬′
=
⟹ =
2
2
‫ݔ‬′ ܱ‫ܣ‬
Igualando las dos expresiones para la razón entre ‫ ݔ‬y ‫ ’ݔ‬se tiene el resultado del teorema:
ܱ‫ܣ‬′ ‫ܣ‬′‫ܤ‬′
=
ܱ‫ܣ‬
‫ܤܣ‬
La otra igualdad es consecuencia directa de las propiedades de las proporciones y de que:
ܱ‫ܤ‬′ ܱ‫ܣ‬ᇱ + ‫ܣ‬′‫ܤ‬′
=
ܱ‫ܤ‬
ܱ‫ ܣ‬+ ‫ܤܣ‬
Para el otro caso la demostración es también válida.
1
Corolario:
ܱ‫ܣ‬′ ܱ‫ܤ‬′
=
‫ܣܣ‬′ ‫ܤܤ‬′
Para demostrarlo basta trazar una paralela a la recta ܱ‫ܤ‬
pasando por ‫ ’ܣ‬y aplicar el resultado tomando como vértice a ‫ ’ܤ‬en lugar de ܱ.
Triángulos en posición de Tales:
Dos triángulos se dice que están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los
lados opuestos paralelos.
Dos triángulos en posición de Tales tienen los tres ángulos iguales y los tres lados
proporcionales, ya que puede aplicárseles el teorema de Tales a sus lados.
2. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.
Para comprobar que dos triángulos son semejantes no es necesario comprobar la igualdad
entre todos sus ángulos y la proporcionalidad de todos sus lados. Existen criterios que nos
permiten comprobar la semejanza utilizando menos condiciones. Distinguimos algunos:
Criterio 1 - LLL: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales.
Criterio 2 - ALA: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Criterio 3 - LAL: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los
lados que lo forman.
2
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos:
Las condiciones de semejanza de triángulos se reducen en caso de los triángulos rectángulos,
ya que éstos siempre tienen uno de sus ángulos iguales, el ángulo recto.
Criterio 1: Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son proporcionales.
Criterio 2: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos
agudos.
3. APLICACIONES A PROBLEMAS PRÁCTICOS.
La semejanza de triángulos, y en especial de triángulos rectángulos, tiene una gran
importancia y numerosas aplicaciones en problemas reales. Gracias a la semejanza de
triángulos pueden calcularse distancias desconocidas y/o a puntos inaccesibles con la ayuda de
medidas conocidas o fáciles de calcular. En la mayoría de problemas aparecen situaciones
como las siguientes:
1. Triángulos en posición de Tales o triángulos rectángulos formando el mismo ángulo con la
horizontal: En estos casos será conveniente separar ambos triángulos y establecer la
proporcionalidad entre sus lados uno a uno para no cometer errores en las proporciones.
Este caso es muy usual cuando quieren medirse alturas comparando la sombra de los
objetos a medir con otros de medida conocida, ya que el ángulo de inclinación de la luz
solar es la misma para ambos objetos.
2. Triángulos rectángulos enfrentados por el vértice: En este caso los ángulos
correspondientes al vértice común son iguales. Existen dos tipos de situaciones según la
formación de los triángulos:
El segundo caso es uno de los más usuales y es el que ocurre cuando se utiliza algún reflejo
(espejos, charco, agua, cristal, etc.) para observar algún objeto. Es una propiedad de la luz
que el ángulo de reflexión es el mismo en el rebote. Se utiliza también para cinemática
cuando el objeto golpea sin rozamiento o sin efecto.
3. Casos particulares: En otras ocasiones, el problema en cuestión deberá mostrarnos la
relación entre los ángulos de los triángulos implicados para poder establecer la semejanza.
Algunos de estos ejemplos son el teorema del cateto y de la
altura:
Teorema del cateto: ܿଶ = ݊ ∙ ܽ
3
Teorema de la altura: ℎଶ = ݊ ∙ ݉
y
ܾଶ = ݉ ∙ ܽ
A continuación enunciaremos numerosos problemas de aplicación de las semejanzas de
triángulos agrupándolas según los tipos indicados anteriormente:
Tipo I:
1)
Para hallar la altura de un árbol, Manuel ha colocado un palo de 1 metro clavado en el
suelo y ha medido su sombra, que mide 1,78 metros. Posteriormente ha medido la
longitud de la sombra del árbol que mide 21,36 metros. ¿Puede conocer así la altura del
árbol? ¿Cómo? En ese caso, ¿cuánto mide el árbol?
Solución:
Mediante este método, Manuel pretende utilizar semejanza de triángulos, ya que ambos
triángulos son semejantes por ser rectángulos y formar el mismo ángulo con la
horizontal. El cálculo se realiza estableciendo una proporción entre los lados de los
triángulos formados y despejando la incógnita:
2)
‫ܣ ܤܣ‬′‫ܤ‬′
‫ݔ‬
1݉
21,36 ݉
=
⟹
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 12 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
‫ܤ ܥܤ‬′‫ܥ‬′
21,36 ݉ 1,78 ݉
1,78 ݉
Un gran pino, a las once de un cierto día, arroja una sombra de 6,5 m. Próximo a él, una
caseta de 2,8 m de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del pino?
Solución:
Para calcularlo utilizaremos que ambos triángulos son semejantes por ser rectángulos y
formar el mismo ángulo con la horizontal, luego:
3)
‫ݔ‬
625 ܿ݉
625 ∙ 280
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 2500 ܿ݉ = 25 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
280 ܿ݉
70 ܿ݉
70
María mide 1,62 m. En el momento en que su sombra mide 196 cm, la sombra de la torre
de la iglesia de su pueblo mide 24 m. ¿Cuánto mide la torre?
Solución:
Para calcularlo utilizaremos que ambos triángulos son semejantes por ser rectángulos y
formar el mismo ángulo con la horizontal, luego:
4
‫ݔ‬
162 ܿ݉
162 ∙ 2400
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 1983,67 ܿ݉ ≈ 19,84 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
2400 ܿ݉ 196 ܿ݉
196
4)
Un chico de altura 150 cm quiere medir un árbol utilizando su sombra. Para ello, sabe que
su sombra mide 2 metros y ha comprobado que la sombra del árbol a esa hora es de 12m.
a) ¿Qué relación hay entre ambos ángulos? ¿Cómo
son los triángulos?
b) ¿Cuánto mide el árbol?
Solución:
a) Ambos triángulos son semejantes al ser rectángulos y formar el mismo ángulo con
la horizontal, ߙ ൌ ߚ.
b) Para calcular la medida del árbol, utilizaremos la relación de semejanza entre los
triángulos:
5)
‫ݔ‬
ͳʹ ͲͲܿ݉
150 ∙ 1200
=
ฺ ‫ݔ‬ൌ
ൌ ͻͲͲܿ݉ ൌ ͻ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
ͳͷͲܿ݉
ʹ ͲͲܿ݉
200
Sabiendo que Amelia mide 162 cm, halla la altura de la farola.
Solución:
Para calcularla utilizaremos que ambos triángulos son semejantes por estar en posición
de Tales, luego:
6)
‫ݔ‬
ͳ͸ʹ ܿ݉
162 ∙ 250
=
ฺ ‫ݔ‬ൌ
ൌ ʹ ͹Ͳܿ݉ ൌ ʹ ǡ͹݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
ʹ ͷͲܿ݉ ͳͷͲܿ݉
150
Halla la altura del árbol grande:
Solución:
Para calcular la altura, hemos de tener en cuenta que los dos
triángulos rectángulos se forman a una altura (la del observador)
de 160 cm. Por tanto, utilizaremos que ambos triángulos
obtenidos son semejantes por estar en posición de Tales, aunque
debemos reducir dicha distancia y sumarla luego al resultado obtenido:
5
‫ݔ‬
15,6 ݉
15,6 ∙ 34
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 44,2 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
34 ݉
12 ݉
12
7)
Luego el árbol medirá 44,2 + 1,6 = 45,8 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
Dada la situación de la figura, calcule:
a) ¿A qué altura se encuentra el globo?
b) Explica detenidamente qué resultados ha utilizado para medir la altura.
Solución:
a) Para calcular la altura del globo, utilizaremos la relación de semejanza entre los
triángulos:
‫ݔ‬
1݉
62
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 31 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
62 ݉ 2 ݉
2
b) Hemos utilizado la semejanza de triángulos, ya que ambos se encuentran en
posición de Tales.
8)
Juan y Miguel quieren medir la anchura de un río y proceden de la siguiente manera:
Juan se coloca en el borde del río y Miguel
tres metros detrás de él, alineados ambos con un
árbol de la otra orilla de forma perpendicular al río.
Posteriormente caminan paralelamente al río, Juan
2,8 metros y Miguel 6 metros, hasta que vuelven a
estar alineados con el árbol.
a) Explica qué resultado han utilizado para su medición.
b) ¿Qué anchura tiene el río?
Solución:
a) La idea de los amigos es formar dos triángulos en posición
de Tales y utilizar las propiedades de la semejanza entre
ambos triángulos para calcular una distancia desconocida a
través de otras que se pueden medir fácilmente.
b) Para calcular la anchura del río, utilizan la relación de
semejanza entre los triángulos:
6
(‫ ݔ‬+ 3) ݉
‫ݔ‬
=
⟹ 6‫ = ݔ‬2,8 ∙ (‫ ݔ‬+ 3) ⟹ 6‫ = ݔ‬2,8‫ ݔ‬+ 8,4
2,8 ݉
6݉
8,4
⟹ 3,2‫ = ݔ‬8,4 ⟹ ‫= ݔ‬
= 2,625 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
3,2
9)
Halla la altura del edificio sabiendo que la mesa mide 1m de altura y 80 cm de ancha, y que
la regla mide 52 cm.
Solución:
Este ejercicio es parecido al 6. Para calcular la altura, hemos de tener en cuenta que los
dos triángulos rectángulos se forman a una altura (la de la mesa) de 1 m. Por tanto,
utilizaremos que ambos triángulos obtenidos son semejantes por estar en posición de
Tales, aunque debemos reducir dicha distancia y sumarla luego al resultado obtenido:
‫ݔ‬
ͷʹ ܿ݉
52 ∙ 2400
=
ฺ ‫ݔ‬ൌ
ൌ ͳͷ͸Ͳܿ݉ ൌ ͳͷǡ͸Ͳ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
ʹ ͶͲͲܿ݉ ͺͲܿ݉
80
Luego el edificio medirá ͳͷǡ͸Ͳ ൅ ͳ ൌ ͳ͸ǡ͸Ͳ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬de altura.
10)Una paparazzi
pretende fotografiar al actor Famosote
tomando el sol en su jardín. Para ello se sube a un árbol
alcanzando los 3,75 metros de altura. El árbol está
situado a 6 metros de la tapia del jardín del actor. Si la
altura del muro es 2,25 metros, ¿cuál es la máxima
separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro
famoso si no desea ver turbada su intimidad?
Solución:
Para calcularla utilizaremos que ambos triángulos son semejantes por estar en posición
de Tales, luego:
͵ ǡ͹ͷ݉
ʹ ǡʹ ͷ݉
=
ฺ ͵ ǡ͹ͷ‫ ݔ‬ൌ ʹ ǡʹ ͷ ȉ(͸ ൅ ‫ ͵ ฺ )ݔ‬ǡ͹ͷ‫ ݔ‬ൌ ͳ͵ ǡͷ ൅ ʹ ǡʹ ͷ‫ݔ‬
(͸ ൅ ‫݉)ݔ‬
‫݉ݔ‬
11)Dada la situación
7
ฺ ͳǡͷ‫ ݔ‬ൌ ͳ͵ ǡͷ ฺ ‫ ݔ‬ൌ
13,5
ൌ ͻ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
1,5
de la figura, halla la altura de la torre:
a) Escribe la relación de semejanza entre ambos triángulos.
b) Halla la altura de la torre.
Solución:
a) Ambos triángulos son semejantes al estar en posición de Tales, luego las
relaciones de proporcionalidad son:
‫ܤܣ ܤܥ ܥܣ‬
=
=
‫ܤܦ ܤܧ ܧܦ‬
b) Para calcular la medida de la torre, utilizaremos la relación de semejanza entre
los triángulos dadas en a):
12)En unas
‫ݔ‬
50 ݉
50 ∙ 6
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 8,1 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
6 ݉ (50 − 13) ܿ݉
37
excavaciones arqueológicas en el
Peloponeso, se encontró un trozo de cuero en el que
se describía el método utilizado por los antiguos
griegos para hallar la profundidad de un pozo: Se
colocaba un bastón, perpendicular al suelo, de
manera que la visual del geómetra pasara por el
extremo del bastón y dos vértices opuestos del
pozo, tal como se muestra en el dibujo.
a) Explique cómo hacían para calcular la profundidad del pozo y los resultados que
utilizaban.
b) Calcule las dimensiones del pozo del dibujo si el palo mide 1 metro, la distancia de B a
C 40 cm., y la anchura del pozo 1,2 metros.
Solución:
a) Para calcular la profundidad del pozo utilizaban la semejanza entre ambos
triángulos derivada del teorema de Tales, ya que son rectángulos y forman el
mismo ángulo con la horizontal por ser rectas paralelas. Entonces,
‫ܥܣ ܥܤ ܤܣ‬
=
=
‫ܧܥ ܧܦ ܦܥ‬
b) Para calcular la profundidad del pozo utilizaremos la relación de semejanza entre
los triángulos dadas en a):
13)Halla
8
1݉
0,40 ݉
1,2
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 3 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
‫݉ݔ‬
1,2 ݉
0,4
la altura de estos faros explicando los resultados utilizados en cada caso:
Solución:
a) Para calcular la altura del faro utilizamos la semejanza existente entre los
triángulos, ya que son rectángulos y forman el mismo ángulo con la horizontal.
Entonces,
ℎ݉
32 ݉
32 ∙ 1,3
=
⟹ℎ=
= 27,73 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
1,3 ݉
1,5 ݉
1,5
b) Para calcular la altura del faro en este caso, utilizamos la semejanza existente
entre los triángulos por estar en posición de Tales. Entonces:
14)El método del pintor
ℎ݉
6݉
50 ∙ 6
=
⟹ℎ=
= 25 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
50 ݉ 12 ݉
12
se utiliza para medir distancias desconocidas utilizando la medida de un
pincel y la distancia del mismo hasta el ojo del artista como muestra la figura:
a) Explica en qué consiste dicho método y en qué resultados matemáticos se basa.
b) Utiliza el método del pintor para calcular la altura del edificio de la imagen sabiendo
que el pincel mide 22 cm. y está situado a 40 cm. del ojo.
Solución:
a) El método del pintor utiliza el teorema de Tales y la semejanza de triángulos
derivada del mismo para calcular distancias desconocidas a través de otras
conocidas como puede ser la del pincel y la distancia hasta el ojo del pintor.
b) Para calcular la altura del edificio utilizamos la semejanza existente entre los
triángulos por estar en posición de Tales. Entonces:
15)Determinar
0,4 ݉ 0,22 ݉
50 ∙ 0,22
=
⟹ℎ=
= 27,5 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
50 ݉
ℎ݉
0,4
las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono
circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente:
9
Solución:
Se trata de un problema de optimización que utiliza la
semejanza de triángulos para su resolución:
Hay que maximizar el área lateral del cono inscrito.
Las dimensiones de éste son: r radio de la base, h altura y se
especifican en la figura de la siguiente manera:
El área lateral del cono es ‫ܮ ∙ݎ ∙ ߨ = ܣ‬, siendo L la longitud
lateral del cono. Para poder maximizar la función necesitamos
una ecuación auxiliar para dejar una sola variable. Para ello
utilizamos la semejanza de triángulos:
3−ℎ ‫ݎ‬
= ⟹ 3 − ℎ = 3‫ ⟹ ݎ‬ℎ = 3 − 3‫ݎ‬
3
1
Gracias a esto, podemos despejar la longitud en función del radio:
‫ = ܮ‬ඥ ℎଶ + ‫ݎ‬ଶ = ඥ (3 − 3‫)ݎ‬ଶ + ‫ݎ‬ଶ = ඥ 10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9
Y sustituyendo en el área lateral queda:
‫ ∙ݎ ∙ ߨ = ܣ‬ඥ 10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9
Determinamos los puntos críticos:
‫ܣ‬ᇱ(‫ ∙ ߨ = )ݎ‬ඥ 10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9 +
Igualando a cero, obtenemos:
‫ܣ‬ᇱ(‫ = )ݎ‬0 ⟺
Las soluciones son:
ߨ‫(ݎ‬10‫ݎ‬− 9)
√10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9
ߨ(4‫ݎ‬− 3)(5‫ݎ‬− 3)
√10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9
‫=ݎ‬
=
ߨ(4‫ݎ‬− 3)(5‫ݎ‬− 3)
√10‫ݎ‬ଶ − 18‫ݎ‬+ 9
= 0 ⟺ (4‫ݎ‬− 3)(5‫ݎ‬− 3) = 0
3
3
⟶ ݉ í݊݅݉ ‫ ݉ ⟶ = ݎ ;݋‬á‫݋ ݉݅ݔ‬
4
5
ଷ
଺
Luego el radio de la base del cono inscrito debe ser ‫ = ݎ‬ହ ܿ݉ y la altura ℎ = ହ ܿ݉
Tipo II:
16)El gato de
Leticia se ha subido a un árbol, y Leticia podía verlo reflejado en un charco.
Sabiendo las distancias medidas del dibujo, ¿a qué altura se encuentra el gato?
10
Solución:
Los dos triángulos del ejercicio son semejantes por el criterio ALA, ya que ambos son
rectángulos y, al ser triángulos enfrentados, tienen también igual el ángulo común.
Recordemos que los “reflejos” hacen que el ángulo de entrada y de salida de la luz sea el
mismo. Por tanto, estableciendo la relación entre lados semejantes se tiene:
17)Calcula
‫ݔ‬
400 ܿ݉
162 ∙ 400
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 540 ܿ݉ = 5,40 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
162 ܿ݉ 120 ܿ݉
120
la anchura del rio:
Solución:
Este es un caso particular del teorema de Tales visto anteriormente. Los dos triángulos
del ejercicio son semejantes por el criterio ALA, ya que ambos son rectángulos y, al ser
triángulos enfrentados, tienen también igual el ángulo común por ser opuestos por el
vértice. Por tanto, estableciendo la relación entre lados semejantes se tiene:
18)Halla a
‫ݔ‬
37 ݉
37 ∙ 4
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 21,14 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
4݉
7݉
7
qué altura se encuentra la paloma:
19)¿Cuánto mide
el edificio que se refleja en la fuente?
Solución:
Ambos ejercicios se resuelven de la misma forma e igual que el ejercicios 16. Los dos
triángulos son semejantes por tener dos ángulos iguales. Recordemos que los “reflejos”
hacen que el ángulo de entrada y de salida de la luz sea el mismo. Por tanto,
estableciendo la relación entre lados semejantes se tiene:
11
a) Ejercicio 18:
b) Ejercicio 19:
‫݉ݔ‬
(32 − 2) ݉
30 ∙ 1,75
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 26,25 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
1,75 ݉
2݉
2
20)Calcula el ancho del río
ℎ݉
(32 − 2) ݉
30 ∙ 1,6
=
⟹ ‫=ݔ‬
= 24 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
1,6 ݉
2݉
2
según las medidas del dibujo:
Solución:
El ejercicio se resuelve de la misma forma que el ejercicio 17. Los dos triángulos son
semejantes por tener dos ángulos iguales, ya que son rectángulos y el ángulo opuesto por
el vértice es también coincidente. Por tanto, estableciendo la relación entre lados
semejantes se tiene:
ܽ݉
3݉
3 ∙ 25
=
⟹ ܽ=
= 15 ݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
25 ݉ 5 ݉
5
21)En una mesa de billar, la posición de las bolas es la de la siguiente figura:
Suponiendo que golpeamos la bola sin efecto:
a) Calcule donde debe golpear la bola blanca a la banda para que el rebote alcance a la
bola negra en la situación representada.
b) Si en lugar de jugar con la bola blanca, lo hiciéramos con la bola roja para alcanzar a la
blanca, ¿en qué punto de la banda tendríamos que golpear? Razone su respuesta.
c) Si el ancho de la mesa de billar es de 1 metro, indique la distancia a la que debe
golpear la bola blanca en la otra banda para golpear a la negra. Realice el esquema
solicitado.
Solución:
El ejercicio se resuelve de la misma forma que los anteriores. Los dos triángulos son
semejantes por tener dos ángulos iguales, ya que son rectángulos y el ángulo opuesto por
12
el vértice es también coincidente al golpear la bola “sin efecto”. La diferencia en este caso
es que las medidas de la banda no son conocidas, luego su resolución requerirá de una
ecuación auxiliar dada por la igualdad ݉ + ݊ = 70 ܿ݉
a) Estableciendo la relación entre lados semejantes se obtiene:
60 ܿ݉
݊ ܿ݉
=
⟹ 25݊ = 60 ∙ (70 − ݊) ⟹ 25݊ = 4200 − 60݊
25 ܿ݉ (70 − ݊) ܿ݉
4200
= 49,41 ܿ݁݊‫ݏ݋ݎݐ݁ ݉݅ݐ‬
85
b) En este caso es claro que el planteamiento será el mismo aunque el resultado
deseado será ݉ = 70 − ݊ = 20,59 ܿ݉
⟹ 85݊ = 4200 ⟹ ݊ =
c) Para este apartado tenemos que considerar los triángulos obtenidos en el otro
lado de la mesa. Teniendo en cuenta que el ancho de la mesa es de 1 metro,
podemos “rehacer” el problema con los datos:
Tipo III:
75 ܿ݉
(70 − ‫݉ܿ )ݔ‬
=
⟹ 75‫ = ݔ‬40 ∙ (70 − ‫ ⟹ )ݔ‬75‫ = ݔ‬2800 − 40‫ݔ‬
40 ܿ݉
‫݉ܿ ݔ‬
2800
⟹ 115‫ = ݔ‬2800 ⟹ ‫= ݔ‬
= 24,34 ܿ݁݊‫ݏ݋ݎݐ݁ ݉݅ݐ‬
115
22)Se ha construido un
hipermercado H cercano a tres ciudades A, B y C. Conociendo las
distancias del mismo a las ciudades B y C, calcule:
a) Distancia de la ciudad A al hipermercado.
b) ¿A qué distancias se encuentran las ciudades A y B?
Solución:
En este ejercicio existen tres triángulos semejantes entre sí. Las propiedades de
semejanza de esos tres triángulos entre sí son utilizadas para demostrar el teorema del
cateto y el teorema de la altura. Siguiendo esas mismas premisas podemos establecer las
relaciones entre los lados. No obstante, para su resolución puede utilizarse el teorema de
la altura o del cateto.
13
a) Utilizamos el teorema de la altura:
‫ ܪܣ‬ଶ = ‫√ = ܪܣ ⟹ ܥܪ ∙ ܪܤ‬27 ∙ 48 = 36 ‫݈݅ܭ‬ó݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
b) Para resolver este apartado podemos utilizar la semejanza entre los triángulos
⊿‫ ܥܤܣ‬y ⊿‫ܣܤܪ‬, de donde obtendríamos:
27 ݇݉
‫݉݇ ܤܣ‬
=
⟹ ‫ܤܣ‬ଶ = 27 ∙ (27 + 48) = 2025
‫݉݇ ܤܣ‬
(27 + 48) ݇݉
⟹ ‫√ = ܤܣ‬2025 = 45 ‫݈݅ܭ‬ó݉ ݁‫ݏ݋ݎݐ‬
Podríamos haber utilizado el teorema del cateto igualmente.
23)Halla el área del triángulo sombreado:
Solución:
La resolución de este ejercicio es muy semejante al anterior, y consiste en utilizar la
semejanza de los triángulos ⊿‫ ܥܤܣ‬y ⊿‫ ܪܥܣ‬para calcular la altura:
Luego el área será:
24)Calcule
10 ܿ݉ 6 ܿ݉
6∙8
=
⟹ℎ=
= 4,8 ܿ݉
8 ܿ݉
ℎ ܿ݉
10
‫=ܣ‬
10 ∙ 4,8
= 24 ܿ݉ ଶ
2
la altura del edificio de la figura según las medidas y el ángulo conocido:
Solución:
Este ejercicio, aunque parecido a los del tipo II difiere en un aspecto muy importante. En
este caso los ángulos de incidencia y reflexión son complementarios, pero no iguales. Al
ser ambos rectángulos, esa complementariedad hace que los ángulos iguales sean los
marcados como ߙ. Por tanto, utilizando esta igualdad la proporción entre los lados será:
21,6 ݉
ℎ݉
1,5 ∙ 21,6
=
⟹ℎ=
= 18 ݉
1,8 ݉
1,5 ݉
1,8
14
25)Determinar
las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de
radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.
Solución:
Se trata de un problema de optimización que utiliza la semejanza de triángulos para su
resolución:
Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito.
Si el radio de la base es r y h su altura, el volumen vendrá dado por:
ߨ
ܸ = ∙ ‫ݎ‬ଶ ∙ ℎ
3
Haciendo un corte transversal a la figura obtendríamos la figura:
Para poder minimizar la función necesitamos una ecuación auxiliar para dejar una sola
variable. Para ello utilizamos la semejanza de triángulos:
⊿‫ܥܤܣ⊿ ≅ ܥܤܣ‬
Luego
ܴ √ℎଶ − ܴଶ
ℎ∙ܴ
=
⟹ ‫=ݎ‬
‫ݎ‬
ℎ
√ℎଶ − ܴଶ
Gracias a esto, podemos despejar el volumen en función de la altura:
Determinamos los puntos críticos:
Igualando a cero, obtenemos:
ᇱ(
ܸ ℎ) = 0 ⟺
Las soluciones son:
ܸᇱ(ℎ) =
ܸ=
ߨ ଶ
ߨ ℎ ଷ ∙ ܴଶ
∙‫∙ ݎ‬ℎ=
3
3 (ℎଶ − ܴଶ)
ߨ ∙ ܴଶ ℎଶ(ℎଶ − 3ܴଶ)
(ℎଶ − ܴଶ)ଶ
3
ߨ ∙ ܴଶ ℎଶ(ℎଶ − 3ܴଶ)
= 0 ⟺ ℎଶ(ℎଶ − 3ܴଶ) = 0
(ℎଶ − ܴଶ)ଶ
3
ℎ = 0 ⟶ ݊‫ ;݋ݒ݅ݐ݈ܽ݁ݎ ݋ ݉݁ݎݐݔ݁ ݋‬ℎ = −√3ܴ ⟶ ݉ á‫ ;݋ ݉݅ݔ‬ℎ = √3ܴ ⟶ ݉ ݅݊݅݉ ‫݋‬
Luego la altura del cono circunscrito debe ser ℎ = √3ܴ ܿ݉ y su radio ‫= ݎ‬
√ଷோ
ܿ݉ .
ଶ
Francisco Javier Benjumeda Muñoz
15