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Profesor Juan J. Sanmartín
1
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
La velocidad es una magnitud vectorial, ya que para
que quede completamente definida hay que dar,
además
d á d
de su valor
l numérico
é i y su unidad,
id d su dirección
di
ió
y su sentido.
El tiempo es una magnitud escalar, ya que queda
completamente definida dando su valor numérico
y la unidad en la que se mide.
mide
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2
SISTEMA DE REFERENCIA
Los pasajeros del tranvía están en reposo respecto al conductor, pero los peatones que están en la
acera ven a los pasajeros en movimiento.
movimiento Un objeto está en reposo o en movimiento según el
Sistema de Referencia que se escoja.
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3
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
Un atleta que de una vuelta completa a la pista,
tendrá
un
desplazamiento
nulo.
El
desplazamiento es la diferencia entre la
posición
ó final
f l (s)
( ) y la
l posición
ó iniciall (s
( 0) de
d un
móvil.
La trayectoria es la línea que describe
el móvil en su movimiento. La longitud
que recorre el móvil medida sobre la
t
trayectoria
t i es ell espacio
i recorrido.
id
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4
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
espacio recorrido
vm =
tiempo invertido
Velocidad Media:
Velocidad Instantánea:
Velocidad media en un intervalo muy
pequeño de tiempo.
La unidad de velocidad en el Sistema Internacional es: m/s
Aceleración:
var iación de velocidad
a=
tiempo invertido
La unidad de aceleración en el Sistema Internacional es: m/s2
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5
Cambio de Unidades al Sistema Internacional
km 1000m. 1h.
90
⋅
⋅
= 25 m
s
h
1Km. 3600s.
60s
45 min⋅
= 2700s
1min
1000m
30km ⋅
= 30000m
1km
EN LOS PROBLEMAS EL RESULTADO TENDRÁ QUE ESTAR
SIEMPRE EN UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL
Y CON SU UNIDAD CORRESPONDIENTE EJEMPLO 5000m.
5000
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6
TIPOS DE MOVIMIENTO
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Un automóvil que se desplaza en línea recta con velocidad
constante lleva un movimiento rectilíneo uniforme.
La posición del móvil en un instante, t, viene dada por:
Gráfica s-t
s t de un MRU
MRU. La pendiente de la
recta coincide con la velocidad.
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s = s0 + v ⋅ t
G áfi v-t de
Gráfica
d un MRU
MRU.
7
Problemas
Movimiento
M
i i t
Rectilíneo
Uniforme
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8
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)
Problema nº1.-(TIPO I):
Una moto parte de una ciudad A a una velocidad de 150 km/h,
km/h al cabo de 50 min.
min parte de la
misma ciudad un coche, con la misma dirección y sentido que la moto anterior pero a una velocidad
de 210 km/h. Calcula que el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto y a que distancia de la
ciudad A la alcanza.
Lo primero que debéis tener en cuenta
es el tipo de movimiento (en este caso
M R U ) y las
M.R.U.)
l
fó
fórmulas
l
que le
l
corresponden
s = s0 + v ⋅ t
s − s0
v=
t
E recomendable
Es
m
mientras realizáis los ejercicios
m
j
en clase o casa tener las f
fórmulas
mu
de los
movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
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9
Planteamos el Problema
Ambos vehículos parten del mismo punto y en el momento que el coche alcanza a la
moto HAN RECORRIDO EL MISMO ESPACIO,
ESPACIO es decir,
decir LOS ESPACIOS
RECORRIDOS SON IGUALES.
smoto = s0 + v moto ⋅ t circulando ambos a la vez
La moto está circulando durante 50 min. antes de que el coche arranque, consideramos
que el espacio recorrido por la moto durante ese tiempo es su espacio inicial.
60s

= 3000s

1min
 → sinicialmoto = 41,7 × 3000 = 125100m.
1h
1000m
km
= 150
⋅
⋅
= 41,7 m 
s 
h 3600s 1km
t inicial = 50 min⋅
v moto
Hemos calculado el espacio que recorrió la moto mientras el coche estaba parado.
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10
Entonces
smoto = scoche
Y por lo tanto…
v coche ⋅ t circulando ambos a la vez = s0 + v moto ⋅ t circulando ambos a la vez
Resolvemos
v coche = 210
1h
1000m
km
⋅
⋅
= 58,3 m
s
h 3600s 1km
125100 + 41,7 ⋅ t = 58,3 ⋅ t → 58,3t − 41,7t = 125100
125100
16,6t = 125100 ⇒ t =
= 7536,1s.
16,6
7536,1 s. es el tiempo que tarda el coche en alcanzar a la moto
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11
Si queremos saber el tiempo que circula la moto, tendremos que sumar el tiempo
inicial en que la moto circulaba mientras el coche estaba parado y el tiempo en que
circulan ambos,
ambos es decir,
decir
3000s+7536 1s=10536
3000s+7536,1s
10536,1s
1s
Para calcular el espacio que recorren, se puede calcular tanto con el espacio de la
moto como con el del coche ya que ambos son iguales.
smoto = 125100 + 41,7 ⋅ t = 125100 + 41,7 ⋅ 7536,1 = 439355,37m ≈ 439,4km.
scoche = 58,3 ⋅ t = 58,3 ⋅ 7536,1 = 439354,6m ≈ 439,4km.
LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES
REALIZADAS
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12
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE (M.R.U.)
Problema nº2.-(TIPO II):
Dos trenes parten al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 270 km.
km en la misma
dirección y distinto sentido, uno cara B y el otro cara a A respectivamente. El tren A (llámese así
por partir de la ciudad A) circula a 140 km/h. y el tren B a 180km/h. Calcula a qué distancia de
ambas ciudades se encuentran y qué tiempo tardan en encontrase.
En este
E
t
problema
bl
a diferencia
dif
i
d l
del
anterior, ambos salen a la vez pero de
diferentes puntos. En principio no
tenemos espacio inicial, entonces…
s = v ⋅t
E recomendable
Es
m
mientras realizáis los ejercicios
m
j
en clase o casa tener las f
fórmulas
mu
de los
movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
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13
Partiendo de la idea de que ambos trenes salen de una ciudad para ir a la opuesta
llegamos a la conclusión que en el MOMENTO QUE SE CRUZAN los dos trenes HAN
RECORRIDO ENTRE LOS DOS EL ESPACIO TOTAL.
s tren_A + s tren_B = stotal
Resolvemos
km
1h
1000m
⋅
⋅
= 38,9 m
s
h 3600s 1km
km
1h
1000m
= 180
⋅
⋅
= 50 m
s
h 3600s 1km
v tren _ A = 140
v tren _ B
stren _ A +s tren _ B = v tren _ A ⋅ t + v tren _ B ⋅ t = stotal = 270
270kkm = 270000m.
entonces
38,9t + 50t = 270000m. → 88,9t = 270000 → t =
27000
= 3037,1s
88,9
3037,1 s. es el tiempo que tardan los trenes en cruzarse
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14
Para calcular la distancia a cada estación, es fácil, calculamos el espacio recorrido en un
tren y la diferencia con el total se corresponde con lo que falta a la otra estación.
stren _ a = 38,9 ⋅ 3037,1 = 118143,2m. → 270000 − 118143,2 = 151856,8m.
stren _ B = 50 ⋅ 3037,1 = 151855m. → 270000 − 151855 = 118145m.
LAS DIFERENCIAS OBTENIDAS SON DEBIDAS A LAS APROXIMACIONES
REALIZADAS
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15
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.
Un avión,
ó cuando despega, va aumentando su
velocidad. Tiene aceleración positiva.
Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta
pararse Tiene aceleración negativa.
pararse.
negativa
v −v0
a=
t
Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
v f = v 0± a ⋅ t
v =v ± 2 ⋅ a ⋅s
2
f
2
0
1
s = s0 + v0 ⋅t + a ⋅t 2
2
Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea
negativa (decelere o frene)
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16
GRÁFICAS DEL M.R.U.A.
Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicial
V0,, y sin velocidad inicial.
Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene una
Parábola.
Gráfica a-t
a t de un MRUA.
MRUA
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17
NINGÚN
Ú MOVIMIENTO
PUEDE PARTIR DEL REPOSO
SIN ACELERACIÓN
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18
Problemas
Movimiento
M
i i t
Rectilíneo
Uniforme
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19
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)
Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio
ha recorrido mientras aceleraba?
Lo primero que debéis tener en cuenta es el
tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.)
y las fórmulas que le corresponden
1
s = s0 + v0 ⋅t ± a ⋅t 2
2
vf =v 0 ± a ⋅t
v f2 = v 02 ± 2 ⋅ a ⋅ s
E recomendable
Es
m
mientras realizáis los ejercicios
m
j
en clase o casa tener las f
fórmulas
mu
de los
movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)
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20
Solución:
Datos que tenemos:
vo = 0 m
s
× 1000 m
= 27,777 = 27,8 m
v final = 100 km × 1h
h
3600s
1km
s
t = 7s.
Aplicamos las fórmulas
v − v 0 27,8 − 0
=
= 3,97 = 4 m 2
s
7
t
1
1
s = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 = 0 + 0 ⋅ 7 + ⋅ 4 ⋅ 7 2 = 98m.
2
2
vf =v 0 + a ⋅t ⇒ a =
O también
v 2 − v o2 27,8 2 − 0 2
=
= 97 ≈ 98m.
v =v + 2 ⋅ a ⋅s ⇒ s =
2⋅a
2⋅4
2
f
2
o
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21
Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo
situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para
detener el coche antes de llegar
g al obstáculo?.
vf =v 0 ± a ⋅t
v f2 = v o2 ± 2 ⋅ a ⋅ s
1
s = s0 + v0 ⋅t ± a ⋅t 2
2
De las fórmulas que tenemos, solamente podremos
utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita
Solución:
Datos que tenemos:
v final = 0 m
s
v 0 = 80 km × 1h
× 1000 m
= 22,2222 = 22 m
h
s
3600s
1km
s = 50m.
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22
No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente
fórmula
v f2 = v o2 ± 2 ⋅ a ⋅ s ⇒ 0 2 = 222 − 2 ⋅ a ⋅ 50
¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA
0 2 = 222 − 2 ⋅ a ⋅ 50 → 2 ⋅ a ⋅ 50 = 222 − 0 2
222 − 0 2
a=
= 4,84 m 2
s
2 ⋅ 50
Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de
calcular.
calcular
v 0 − v 22,2 − 0
vf =v 0 − a ⋅t ⇒ t =
=
= 4,586 = 4,6s.
a
4,84
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23
Problemas
Movimientos
Combinados
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24
Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50
segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.
•¿Cuál es esta velocidad?
•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?
Q tiempo
p transcurrió hasta q
que el tren llega
g a otra estación distante de la primera
p
2500m?
•¿Qué
PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir
los tipos de movimiento en cada momento.
Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL
REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN
M.R.U.A. POR DEFINICIÓN.
…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.
NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO
RECTILÍNEO UNIFORME
TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta
alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad
constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.
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25
Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.
Solución: (M.R.U.A.)
Datos que tenemos:
t acelerado = 50s.
¡¡¡¡IMPORTANTE!!!!
UNIDADES EN EL SISTEMA
INTERNACIONAL
a = 80 cm
= 0,8
v0 = 0 m
s
v final = ?
s
s0 = 0m.
Comenzamos
1m
2 ⋅
100cm.
m
s2
v f = v 0+a ⋅ t ⇒ v f = 0 + 0,8 ⋅ 50 = 40 m
s
1
1
2
s = s 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t = 0 + 0 ⋅ 50 + ⋅ 0,8 ⋅ 50 2 = 1000m.
2
2
Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras
aceleraba.
l
b Por
P lo
l tanto,
t t no le
l quedan
d los
l 2500 m. hasta
h t la
l estación
t ió sino
i la
l diferencia.
dif
i
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26
Solución: (M.R.U.)
Datos que tenemos:
v = 40 m
s
tvelocidad _ cte. = ?
Consideramos que el espacio inicial es el que ha
recorrido mientras ACELERABA.
s0 = 1000 m.
sfinal = 2500 m.
Entonces
s final = s0 + v ⋅ t ⇒ 2500 = 1000 + 40t
s final − s0 2500 − 1000
t=
=
= 37,5s.
v
40
tTOTAL = t acelerado + tvelocidad _ cte. = 50 + 37,5 = 87,5s.
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27
Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a
130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto
para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que
ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.
37
CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que
acciona el freno,, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U.,, es decir,, tenemos
dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).
M.R.U.
1000m
1h.
⋅
= 36,1 m
v = 130 km ⋅
h 1km 3600s.
s
t acelerado = 0,4s.
0 4s
s0 = 0m.
smientras_no_frena = s0 + v ⋅ t ⇒ s = 0 + 36,1 ⋅ 0,4 = 14,44m.
Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U.
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28
M.R.U.A.
v 0 = 36,1 m
s
v final = 0 m
t acelerado
s
=?
m
s2
s0 = 14,4m.
a = 3,7
s = s0 + v0 ⋅t +
v 0 − v f 36,1 − 0
v f = v 0 −a ⋅ t ⇒ t =
=
= 9,8s.
98
a
3,7
E t
Entonces
ell espacio
i mínimo
í i
será…
á
1
1
a ⋅ t 2 = 14,4 + 36,1 ⋅ 9,8 − 3,7 ⋅ 9,8 2 = 109,5m.
2
2
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29
MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE
El movimiento
i i t vertical
ti l es un caso particular
ti l de
d M
M.R.U.A.
RUA
La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es
la de la g
gravedad,, cuyo
y valor es aproximadamente
p
g = 9,81
, m/s2
Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:
vf =v 0 ± g ⋅t
1
h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2
2
v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.
Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su
valor con signo negativo.
negativo
Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se
g positivo.
p
toma su valor con signo
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30
Problemas
Caída Libre
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31
Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer
libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.
v0 = 0 m
v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v f = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅100 = 44,3 m
s
v final = ?.
vf = v0 + g ⋅ t → t =
t acelerado = ?
g = 9,81 m
h = 100m.
100
s2
s
v f − v 0 44,3 − 0
=
= 4,5s.
45
9,81
g
O también se puede hacer así…
así
1
h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2
2
1
100 ⋅ 2
100 = 0 + 0 ⋅ t + 9,81
9 81 ⋅ t 2 → t =
= 4,5s.
4 5s
9,81
2
v final = v 0 + g ⋅ t = 0 + 9,81⋅ 4,5 = 44,1m
Consideramos h inicial 0
porque no tiene movimiento
anterior y tenemos la h
anterior,
final porque sabemos lo que
va a recorrer
s
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32
Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola
verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar
dicha altura?
v final = 0 m
v f2 = v 02 − 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v 02 = v f2 + 2 ⋅ g ⋅ h
s
v 0 = ?.
t desacelerado = ?
g = 9,81
9 81 m
s
v 0 = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ 20 = 19,8 m
s
2
h = 20m.
vf = v0 − g ⋅ t → t =
v 0 − v f 19,8 − 0
=
= 2s.
2s
g
9,81
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior,
anterior y tenemos la h
final porque sabemos lo que va a recorrer
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33
Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia
abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo
tarda en caer?.
v final = 0 m
v 0 = 10 m
s
s
t =?
g = 9,81 m
v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h ⇒ v f = 10 2 + 2 ⋅ 9,81
9 81 ⋅ 300 = 77,4
77 4 m
vf = v0 − g ⋅ t → t =
s2
s
v f − v 0 77,4 − 10
=
= 6,9s.
g
9 81
9,81
h = 300m.
Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h
final porque sabemos lo que va a recorrer
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34
Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de
50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.
v 7s. = 50 m
v final = 0 m
s
s
v0 = ?
g = 9,81 m
s2
Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que
desconocemos
v 7s = v 0 − g ⋅ t → v 0 =v 7s+g ⋅ t = 50 + 9,81⋅ 7 = 118,7 m
s
Una vez que tenemos la velocidad inicial,
inicial calculamos el tiempo que
tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.
v 0 − v f 118,7 − 0
vf = v0 − g ⋅ t → t =
=
= 12,1s.
, s
g
9,81
EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO
EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL
PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…
t total = 2 ⋅ t h_máxima
h máxima = 2 ⋅12,1 = 24,2s.
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35
Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración
de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula
p transcurrido desde que
q despegó
p g hasta caer al suelo.
libre. Calcular cual es el tiempo
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y
todos ellos M.R.U.A.
El PRIMER MOVIMIENTO es un
movimiento acelerado, con aceleración
positiva de 2 m/s2 Datos:
v0 = 0 m
s
v final = ?.
?
t acelerado = 1,2min = 72s.
m
s2
h0 = 0m.
a=2
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36
Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el
combustible.
1
1
2
h = h0 + v 0 ⋅ t ± a ⋅ t ⇒ h = 0 + 0 ⋅ 72 + 2 ⋅ 722 = 5184m.
2
2
v final = v 0 + a ⋅ t = 0 + 2 ⋅ 72 = 144 m
s
El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula
libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad
g=9,81
9 81 m/s
/ 2 lo
l acaba
b frenando.
f
d
v 0 = 144 m
s
v final = v 0 − g ⋅ t → t =
v final = 0 m .
s
t decelerado = ?
1
h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t 2
2
g gravedad = 9,81m
h0 = 5184 m.
s2
v 0 − v final 144 − 0
=
= 14,7s.
g
9,81
9
81
1
h = 5184 + 144 ⋅14,7 − 9,81 ⋅ 14,72 = 6240,9m.
2
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37
El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una
vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese
momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando.
Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE
SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la
gravedad.
v0 = 0 m
s
v final = ?.
t aceleracion_gravedad = ?
g gravedad = 9,81 m
h = 6240,9m.
6240 9m
h0 = 0m.
1
g ⋅t 2
2
1
6240,9 ⋅ 2
6240,9 = 0 + 0 ⋅ t + 9,81 ⋅ t 2 → t =
= 35,7s.
2
9,81
h = h0 + v 0 ⋅ t ±
s2
NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO
EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA
FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO,
Ó
ES LA MISMA A LA QUE
SE HA ELEVADO.
EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS
t total = t1er movimiento + t2ºmovimiento + t3 er movimiento = 72 + 14,7 + 35,7 = 122,4s.
Profesor Juan J. Sanmartín
38
Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en
pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra
?
ell marco superior
i de
d lla ventana?
?
Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos
que suponer varias cosas que complican su resolución
Solución:
Ant s de
Antes
d nada
n d vamos
m s a ver los
l s datos
d t s que tenemos
t n m s
vo = ?
2,5 m.
v final = ?
t ventana = 0,3s.
hventana = 2,5m.
a = g = 9,81m
LA CLAVE DEL PROBLEMA E
MODIFICAR EL PUNTO DE
REFERENCIA.
s2
Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA
VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le
lleva. Como es caída libre utilizaremos g.
Profesor Juan J. Sanmartín
39
CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una
distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que
recorrerá, pero si sabemos…
h −h 0 = 2,5m.
Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio
que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la
ventana.
t
E t
Entonces…
1
1
2
h = h0 + v 0 ⋅ t ± g ⋅ t ⇒ h − h0 = v 0 ⋅ t + g ⋅ t 2
2
2
1
2,5 − 0,44
2,5 = v 0 ⋅ 0,3 + 9,81⋅ 0,32 → 2,5 = 0,3v 0 + 0,44 → v 0 =
= 6,87 m
s
2
0,3
Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la
que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por
delante de la ventana.
Profesor Juan J. Sanmartín
40
CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA:
Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de
la ventana.
C
Consideramos
id
que parte de
d 0 en la
l cornisa
i (velocidad
( l id d inicial)
i i i l) y que la
l velocidad
l id d con la
l
que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento
anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.
Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior
también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad
final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco
superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.
2
6
,
87
v f2 = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h → 6,87 2 = 0 2 + 2 ⋅ 9,81 ⋅ h → h =
= 2,4m.
9,81 ⋅ 2
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41
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Cada una de las agujas del reloj describe ángulos iguales en
tiempos iguales. Llevan un Movimiento Circular Uniforme
(MCU).
U M.C.U.
Un
M C U tiene
ti
velocidad
l id d constante
t t y su Trayectoria
T
t i es una circunferencia.
i
f
i
En el S.I. se define el radián como el ángulo
g
cuyo arco es igual al radio.
360º = 2 π rad
La relación entre el arco y el ángulo descritos
en una circunferencia es:
s = ϕ . R
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42
MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO
Velocidad angular: Es el ángulo descrito por el móvil en la unidad de tiempo. En
el S.I. se mide en rad/s.
ω=
ϕ
t
Periodo: El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa Se mide en segundos
completa.
segundos.
2π
T=
ω
Frecuencia: La frecuencia (ν) es el número de vueltas que efectúa el
móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o s-1
υ=
1
T
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43
•La velocidad angular de una rueda es de 600 r.p.m. ¿Cuántas vueltas dará en 5 minutos? Si la rueda tiene 10 cm de diámetro, ¿cuánto vale
Relación M.C.U. y M.R.U.
s
s[m.
m ] → ϕ [rad.
rad ] ⇒ s = ϕ ⋅ r(radio) → ϕ =
r
v
rad.
m
v
→ω
⇒ v = ω⋅r → ω =
s
s
r
s = s0 + v ⋅ t → ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t
[ ]
[
]
Relación M.C.U.A. y M.R.U.A
a




rad.
m
a
→α
2 ⇒ a = α ⋅r →α =
 s 2 

s 
r
1
1
s = s0 + v 0 ⋅ t ± a ⋅ t 2 → ϕ = ϕ0 + ω0 ⋅ t ± α ⋅ t 2
2
2
v f = v 0 ± a ⋅ t → ωf = ω 0 ± α ⋅ t
v f2 = v 02 ± 2 ⋅ a ⋅ s → ωf2 = ω02 ± 2 ⋅ α ⋅ ϕ
Profesor Juan J. Sanmartín
44
Problemas
Movimiento
Ci l
Circular
Uniforme
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45
Problema nº8 .- La velocidad angular de una rueda de 10 cm. de radio es de 600 r.p.m. Calcula la
velocidad y el espacio angular al cabo de 5 min. Y el espacio y la velocidad lineal en un punto de la
periferia en ese mismo tiempo. (1 revolución=1vuelta)
rev. 2πrd.
rev
rd 1min.
1min
d
⋅
⋅
= 20π rad
ω = 600r.p.m. = 600
s
min. 1rev. 60s.
t = 5min. = 300s.
ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t = 0 + 20π ⋅ 300 = 6000 πrad.
m
s = ϕ ⋅ r = 6000 πrad ⋅ 0,1
0
1
= 1885m.
1885m

rad.
r = 10cm. = 0,1m
= 6,28 m .
v = ω ⋅ r = 20π rad s ⋅ 0,1m rad.
rad
s
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46
Problema nº9 .- Una rebarbadora gira a 2500 revoluciones por minuto.
Sabiendo que su disco tiene 12 cm. de diámetro. Calcula la velocidad angular
y lineal del disco y el espacio lineal y angular recorrido por un punto de la
periferia a los 2 min. (1 revolución=1vuelta)
d 1min.
1 i
rev. 2πrd.
⋅
⋅
= 83,3π rad
ω = 2500r.p.m. = 2500
s
min. 1rev. 60s.
t = 2min.
min = 120s.
s
ϕ = ϕ0 + ω ⋅ t = 0 + 83,3π ⋅ 120 = 9996 πrad.
12cm.
cm
= 0,06m →
2
m
s = ϕ ⋅ r = 9996 πrad
= 1884m.
d
⋅
0
0,
06

rad.

= 15,7 m .
v = ω ⋅ r = 83,3π rad s ⋅ 0,06 m rad.
rad
s
d = 12cm. → r =
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47
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
En el M.C.U. la velocidad cambia de dirección en cada instante, luego existe
aceleración, la aceleración centrípeta.
v2
ac =
R
Cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, la
tendencia es a salirnos de la curva. La aceleración
centrípeta lo impide al tirar de nosotros hacia dentro
de la curva.
curva
Para una misma velocidad, cuanto mayor sea el radio de la curva, menor será la
aceleración centrípeta.
Profesor Juan J. Sanmartín
48