MEDIDAS RESUMEN

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3
MEDIDAS RESUMEN
OBJETIVOS
Al término de la unidad el alumno podrá:
3.1 Comprender las medidas como una herramienta más que describe los
datos obtenidos en una investigación social o de la vida diaria.
3.2 Comprender los significados de las diferentes medidas de tendencia
central.
3.3 Calcular las diferentes medidas de tendencia central para datos no
agrupados y agrupados.
3.4 Comprender los significados de las diferentes medidas de posición.
3.5 Calcular las medidas de posición para datos no agrupados y agrupados.
3.6 Comprender los significados de las diferentes medidas de dispersión en
valor absoluto y en valor relativo.
3.7 Calcular las diferentes medidas de dispersión para datos no agrupados y
agrupados.
3.8 Diferenciar variancia y desviación estándar, de una muestra y de una
población
3.9 Comprender el significado de la desviación estándar al ser aplicada la
regla empírica y el teorema de Chebyshev.
3.10 Entender el significado de sesgo
y curtosis.
3.11 Calcular las medidas de forma para datos no agrupados y agrupados.
3.12 Entender las gráficas de caja- bigote y curva normal.
3.13 Construir las gráficas caja-bigote y curva normal como recursos para el
análisis del comportamiento de datos, basado en el cálculo de algunas
medidas resumen.
3.14 Aplicará las medidas resumen identificando las que mejor se adecuen a
situaciones particulares.
1

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3
MEDIDAS RESUMEN
3.1 Medidas resumen, 8
3.2 Medidas de tendencia central, 8
3.2.1 Media aritmética, 8
3.2.2 Media geométrica, 12
3.2.3 Media armónica, 14
3.2.4 Comparación teórica entre media aritmética, geométrica
armónica, 17
3.2.5 Mediana, 17
3.2 6 Moda, 20
3.2.7 Comparación entre media, mediana y moda, 23
3.2.8 Rango medio, 24
3.2.9 Eje medio, 26
3.2.10 Cuadro resumen de las medidas de tendencia central, 27
3.3 Medidas de posición, 30
3.3.1 Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles, 30
3.4 Medidas de variabilidad, 37
3.4.1 Rango, 38
o Intercuartílico, 39
3.4.2 Desviación media, 41
3.4.3 Varianza, 45
3.4.4 Desviación estándar, 50
3.4.5 Interpretación de la desviación estándar, 53
o Regla empírica, 53
o Teorema de Chebyshev, 54
3.4.6 Coeficiente de variación, 55
3.4.7 Puntuaciones estandarizadas (puntuaciones z), 56
3.4.8 Cuadro resumen de las medidas de variabilidad, 57
2

y
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.5 Medidas de forma, 60
3.5.1 Asimetría, 60
3.5.2 Curtosis, 60
3.6 Representaciones gráficas, 61
3.6.1 Caja-bigote, 61
3.6.2 Curva normal, 61
Resumen del capítulo, 62
Glosario, 64
Fórmulas, 65
Respuestas a Autoexámenes, 69
Bibliografía, 70
3

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Objetivo general: Identificar a las medidas descriptivas o medidas
resumen como un recurso de análisis que concentran la información
más relevante de un conjunto de datos.
Objetivos de aprendizaje del
capítulo
Apartados del capítulo
3.1 Comprender las medidas como 3.1 Medidas resumen
una herramienta más que
describe los datos obtenidos en
una investigación social o de la
vida diaria.
3.2 Comprender los significados de 3.2 Medidas de tendencia central
las diferentes medidas de
3.2.1 Media aritmética
tendencia central.
3.2.2 Media Geométrica
3.3 Calcular las diferentes medidas
3.2.3 Media Armónica
de tendencia central para datos
3.2.4 Comparación teórico entre
no agrupados y agrupados.
media
aritmética,
geométrica y armónica
3.2.5 Mediana
3.2 6 Moda
3.2.7 Comparación entre media,
mediana y moda
3.2.8 Rango medio
3.2.9 Eje medio
3.2.10 Cuadro resumen de
medidas de tendencia
central
3.4 Comprender los significados de 3.3 Medidas de posición
las diferentes medidas de
3.3.1 Cuantiles: cuartiles, deciles
posición.
y percentiles
3.5 Calcular las medidas de posición
para datos no agrupados y
agrupados.
3.6 Comprender los significados de 3.4 Medidas de dispersión
las diferentes medidas de
3.4.1 Rango
dispersión en valor absoluto y
Intercuartílico
en valor relativo.
Interpercentílico
3.7 Calcular las diferentes medidas
3.4.2 Desviación media
de dispersión para datos no
3.4.3 Varianza
4

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
agrupados y agrupados.
3.8 Diferenciar variancia y
desviación estándar, de una
muestra y de una población
3.4.4 Desviación estándar
3.9 Comprender el significado de la
desviación estándar al ser
aplicada la regla empírica y el
teorema de Chebyshev.
3.4.5 Teorema de Chebyshef
3.4.6 Coeficiente de variación
3.4.7Puntuaciones
estandarizadas
(puntuaciones z)
3.4.8Cuadro resumen de las
medidas de variabilidad
3.10
Entender el significado de 3.5 Medidas de forma
sesgo
y curtosis.
3.5.1 Asimetría
3.11 Calcular las medidas de forma
3.5.2 Curtosis
para datos no agrupados y
agrupados.
3.12 Entender las gráficas de caja- 3.6 Representaciones gráficas
3.6.1 Caja-bigote
bigote y curva normal.
3.6.2 Curva normal
3.13 Construirá los gráficos cajabigote y curva normal como
recursos para el análisis del
comportamiento de datos,
basado en el cálculo de
algunas medidas resumen.
3.14 Aplicará las medidas resumen
identificando las que mejor se
adecuen
a
situaciones
particulares.
5

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Pafnuti L. Vovich Chebyshef1
Nació el 4 de mayo de 1821 en la aldea rusa de Okatovo. De niño mostraba gran satisfacción
inventando juguetes mecánicos. Su madre le dio sus primeras clases de lectura y escritura, y su
prima las de Aritmética y Francés. En el año 1832 la familia Chebyshev se trasladó a Moscú para
facilitar a sus hijos la preparación para los estudios superiores y la asistencia a la Universidad. A los
16 años se matriculó en la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de Moscú y acabó la
carrera en 1841 con un trabajo de ecuaciones algebraicas premiado con una medalla.
Sus años universitarios fueron de gran importancia para él, pues no sólo adquirió sólidos
conocimientos sino que, al mismo tiempo, recibió de destacados profesores importantes impulsos y
estímulos para su propio trabajo. En 1846, a los 25 años de edad, hizo su tesis de Magister y a los
29 años era ya catedrático de la Universidad de Petersburgo.
Desempeñó un importante papel como creador de la escuela matemática de Petersburgo. En sus
clases, impartidas de modo cautivador, intercalaba a menudo observaciones históricas sobre
cualquier problema matemático. Ayudaba a los estudiantes a superar muchas dificultades con
valiosos consejos. Les proponía para el estudio personal problemas que prometían importantes e
interesantes soluciones y evaluaba trabajos para oposiciones y tesis doctorales. Una vez a la
semana recibía en su casa a todos los estudiantes y jóvenes científicos que buscaban consejo en
cuestiones matemáticas.
Chebyshev poseía la rara habilidad de ofrecer a los jóvenes problemas atractivos y ricos en
variantes, que siempre los entusiasmaban de nuevo por los estudios y por las Matemáticas. Algunos
de sus discípulos han destacado y para muestra basta un botón; podemos citar a Markov cuyas
famosas cadenas de Markov, del campo de probabilidades, han tenido aplicación en el estudio y la
evolución de la propagación de cierto tipo de cáncer que seguían uno de los modelos de las
llamadas cadenas de Markov.
Llevó una vida totalmente dedicada a la ciencia ya que permaneció soltero y murió
inesperadamente el 26 de Noviembre de 1894. Es conocido por su trabajo en el área de la
probabilidad y estadística. La desigualdad de Chebyshev se emplea para la demostración de la ley
de los grandes números y el teorema de Bertrand-Chebyshev (1845-1850). Se considera a
Chebyshev uno de los fundadores de la matemática rusa. Entre sus estudiantes estuvieron Dmitry
Grave, Aleksandr Korkin, Aleksandr Lyapunov y Andrei Markov, conocidos y prolíficos matemáticos.
De acuerdo al Mathematics Genealogy Project, Chebyshev tiene alrededor de 4.000 descendientes
matemáticos.
1 www.mundofree.com/jesusgomez/CHEBYSHEV.htm
6

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.1
MEDIDAS RESUMEN
Dentro del manejo de la información numérica, un análisis de datos no se limita a la
presentación de ellos mediante gráficas y tablas, sino además comprende el
cálculo, resumen y análisis de las características importantes de una muestra o una
población. Como ya se mencionó anteriormente en el capítulo 1 a estas medidas
descriptivas o medidas resumen se le llama estadísticos cuando se calculan a
partir de una muestra ( ˆ ) y parámetros ( ) cuando se generan a partir de una
población.
De forma general, las medidas resumen descriptivas se dividen en:
Centralización o tendencia central. Se refiere a los valores centrales
respecto a los que la mayoría de los datos tienden a agruparse.
Posición. Dividen un conjunto ordenado de datos en subconjuntos iguales
que contiene la misma cantidad de datos.
Dispersión. Indican la mayor o menor concentración de datos con respecto a
las medidas de centralización.
Forma. Implica dos características que tiene relación con la simetría y el
apuntamiento o curtosis que presenta la distribución de los datos.
Estas medidas resumen pueden ser calculadas tanto para datos no agrupados
como agrupados, es decir, pueden generarse a partir de los datos sin procesar o
también calcularse a partir de datos resumidos en una tabla de frecuencias.
3.2
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
En el capítulo anterior, se mencionó que la presentación gráfica de los datos
proporciona una descripción general de los datos en cuanto a su comportamiento,
sin embargo, ésta no permite un tratamiento estadístico de los mismos, para ello se
utilizan algunas otras medidas denominadas de tendencia central en las que se
puede observar cómo se agrupan la mayoría de los datos alrededor de un valor
central.
3.2.1 MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, es un valor central que se obtiene al calcular el promedio aritmético
de un conjunto de datos, se denota como x (“x” barra) si se obtuvo de una muestra y
(letra griega mu) si la medida se obtiene de la población. El cálculo de la media se
realiza con ayuda de las siguientes fórmulas:
Poblacional
7

Muestral
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
N
n
xi
Datos no agrupados
xi
i 1
(3.1)
N
i 1
x
(3.2)
n
donde:
= Media poblacional
N = Número de elementos en la población
x = Media muestral
n = Número de elementos en la muestra
N
xi
Suma de todos los datos
i 1
N
n
( fi
Datos agrupados
xi )
i 1
( fi
(3.3)
N
x
xi )
i 1
(3.4)
n
donde:
x = Media muestral
= Media poblacional
N = Número de elementos en la población
n = Número de elementos en la muestra
fi= Frecuencia de la clase o del intervalo i
xi =Marca de clase del intervalo i
N
( f i * xi )
Suma de todos los productos fi*xi
i 1
EJEMPLO 3.1
En la carrera de Relaciones Internacionales de la Universidad
Hispanoamericana se obtuvo una muestra de 33 alumnos del
grupo 2001, de los que se registró la edad en la tabla que se
presenta a continuación.
18
22
17
19
19
18
18
19
19
17
18
19
19
17
18
20
18
19
17
19
20
18
19
19
18
18
18
19
17
18
20
17
21
a. Calcula el promedio aritmético para las edades del grupo
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la media, es preciso notar que debido a que
los datos no están agrupados y se generaron a partir de una
muestra, por lo tanto la fórmula a utilizar es la siguiente:
n
xi
x
8

i 1
n
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
x = 18+19+18+17+…+19+18+18+21=612/33=18.54
EJEMPLO 3.2
El número de cheques que se cobran en el Banco Santander
durante el mes de abril fueron:
Clase
0-199
200-399
400-599
600-799
800-999
f
10
13
17
42
18
a. Calcula la media aritmética del monto de los cheques que
cobra el banco al mes
SOLUCIÓN
Como los datos son totales, respecto al registro mensual, se
asume que son poblacionales y debido a que se presentan de
forma agrupada ya que están resumidos en la tabla de
frecuencias, por lo que se debe utilizar la fórmula (3.3):
N
( fi
xi )
i 1
N
Clase
0-199
200-399
400-599
600-799
800-999
Total
f
10
13
17
42
18
100
pm
99.5
299.5
499.5
699.5
899.5
Total
f *xi
995
3893.5
8491.5
29379
16191
58950
El cálculo de la media se realiza a partir de la suma de cada una
de las frecuencias multiplicadas por la marca de clase y dividido
entre el número total de datos. Para este caso el cálculo es el
siguiente:
995 3893.5 8491.5 29379 16191
589.50
100
9

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Observa que, tanto para datos agrupados como para no agrupados, la esencia del
cálculo es la misma, ya que se refiere a la suma de los datos divididos entre el total de
los mismos.
Una de las ventajas de la media es que es un concepto que resulta claro, además de
ser la medida de tendencia central más utilizada, por otra parte, para cada conjunto de
datos existe una y sólo una media. Otra ventaja es que permite realizar
comparaciones entre dos o más grupos de datos.
Dentro de las desventajas que presenta la media, la primera es que, aún cuando el
cálculo de la media toma en cuenta cada uno de los valores, ésta es afectada por la
presencia de valores extremos, para evitar esto será necesario eliminar los casos
atípicos.
Por otra parte, si se cuenta con muchos datos, el cálculo de la media para datos no
agrupados es tedioso, por lo que se recomienda llevarlo a cabo a partir de una tabla
de frecuencias, y por último, si el cálculo de la media se realiza para datos agrupados
a partir de una tabla de frecuencias con intervalos abiertos, el cálculo de la media
resulta imposible.
Autoexamen 3.1
Las respuestas se encuentran al final del capítulo.
1. En una oficina del sector público que se localiza en un centro comercial,
donde se atienden quejas relacionadas con el servicio telefónico
desarrolló un proceso para atender a sus clientes durante una hora pico.
Se registró el tiempo de espera en minutos de una muestra de 15 clientes
desde el momento de su llegada hasta el momento en que los atendieron.
4.21
2.34
5.38
5.55
3.54
5.12
3.02
3.20
6.46
5.13
4.50
6.19
4.77
6.10
3.79
a. Calcula la para el tiempo de espera de los clientes desde el momento
en que llegan hasta que son atendidos.
2. La edad de los residentes de la Casa Hogar La Luz tiene la siguiente
distribución:
Clase
Frecuencia
47-51.9
52-56.9
57-61.9
62-66.9
67-71.9
4
9
13
42
39
10

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
72-76.9
77-81.9
20
9
a. Calcula la media aritmética de edad de los residentes de este lugar.
3.2.2 MEDIA GEOMÉTRICA
En ocasiones es necesario conocer la tasa promedio de variación que presenta un
grupo de datos que cambian cada cierto periodo. La media geométrica se suele
utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc. Donde el
valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. La
media geométrica de una cantidad finita de n números es la raíz n-ésima del
producto de todos los números y se denota como M.G.
M.G
M .G
n
n
producto de todos los valores
( x1 )(x2 )(x3 )...(xn )
(3.5)
Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos, si uno de
ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si existe un número negativo impar, entonces
la media geométrica es negativa o bien inexistente en los números reales.
EJEMPLO 3.3
Las siguientes son las cifras de las Green Cards otorgadas
por el gobierno de Estados Unidos de América a mexicanos
durante el periodo 2001-2005.
2001
14,310
2002
15,600
2003
15,741
2004
15,965
2005
17,630
a. Calcula el promedio aritmético de Green Cards otorgadas
durante estos cinco años
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la media geométrica, es preciso notar que
debido a que los datos no están agrupados y se generaron a
partir de una muestra, por lo tanto la fórmula a utilizar es la
siguiente:
M .G
M .G
5
( x1 )(x2 )(x3 )...(xn )
14310 * 15600 * 15741 * 15965 * 17630
11

n
15,814.07
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Cuando las observaciones estan agrupadas en clases y se
tienen valores numéricos grandes, no es conveniente utilizar la
fórmula siguiente:
M .G
n
f1
f2
f3
fn
( x1 )(x2 )(x3 )...(xn )
Es mejor la expresión matemática que involucra a los
logartmos en base 10, ya que los valores que se encuentran
son pequeños y por lo tanto fáciles de manejar:
1 n
G anti log
f i log x
(3.6)
ni1
Es conveniente mencionar que, dependiendo del tipo de datos que se estén
analizando, será conveniente utilizar la media aritmética o la media geométrica.
Una de las ventajas que presenta la media geométrica es que en su cálculo se
utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el inconveniente de que su valor (tanto en el caso de la
media aritmética como geométrica) se puede ver influido por valores extremos, que
se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían
condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
Autoexamen 3.2
Las respuestas se encuentran al final del capítulo.
1. Una fábrica de telas ha elevado el costo de tul en un periodo que
abarca los últimos cinco años en los siguientes porcentajes.
1989 1990
1991 1992 1993
5% 10.5% 9.0% 6.0% 7.5%
a. Calcula la media geométrica para este periodo
2. Un sociólogo ha estudiado el número de procesados asignados al
Reclusorio Norte. Los datos están expresados en términos de aumento
porcentual en el número de presos (un número negativo indica una
disminución porcentual).
12

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
1988 1989 1990 1991 1992 1993
-4%
5% 10% 3%
6%
-5%
a. Calcule el aumento porcentual promedio de 1988 a 1993
Consejo:
El término promedio en algunas ocasiones se utiliza para señalar cualquier
medida de tendencia central y, en forma particular para identificar a la media.
Por esta ambigüedad, es conveniente no usar el término cuando se alude a
una medida de tendencia central específica. En su lugar, se deberá señalar el
término concreto, tal como media, mediana, moda, rango medio y eje medio.
Cuando en algún medio de comunicación se reporte un valor como promedio,
se prestará a entenderse que el valor puede ser el resultado de cualquiera de
las distintas definiciones.
3.2.3 MEDIA ARMÓNICA
La media armónica, aunque no es utilizada tan frecuentemente como la media
aritmética, se aplica cuando se requiere promediar razones. La razón usualmente
indica la relación entre dos tipos diferentes de unidades, por lo que para estos
casos es conveniente la aplicación de la media armónica cuando se trata de
promediar valores que son expresados en diferentes unidades. Por ejemplo, si una
persona caminó 10 millas en dos horas, esta razón puede ser expresada de la
siguiente forma:
10 millas
2 horas
5 millas
1 horas
2 horas
10 millas
5 millas por hora
1
horas por milla
5
La media armónica de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso,
de la media aritmética de los recíprocos de dichos números y se representa por H. Así,
dados los números x1, x2, ..,xn, la media armónica será igual a:
13

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
n
H
Datos no agrupados
n
i 1
n
1
xi
(
1
xi
...
1
)
xn
(3.7)
donde:
H = Media armónica
1/xi= Recíproco del valor xi
n = Número de elementos en la muestra
xi
Suma de todos los recíprocos de cada dato xi
H
n
n
( fi *
Datos agrupados
i 1
1
)
xi
(3.8)
donde:
xi= Marca de clase del intervalo
fi= Frecuencia del intervalo i
n= Suma de las frecuencias absolutas
EJEMPLO 3.4
Tres autos recorren en una competencia 100000 kilómetros.
Sus recorridos están dados en la siguiente tabla:
Auto
A
B
C
Km por hora
90
80
100
a. Calcula el promedio del recorrido de los tres autos
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la media armónica, lo primero que se tiene
que calcular es el recíproco o la razón de cada competidor.
Auto
A
B
C
Km por hora
1/90
1/80
1/100
En seguida se calcula la media armónica
14

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
H
1
90
1
1
80 100
3
720000
3
240000 kilómetros por hora
La media armónica resulta poco influida por la existencia de valores extremos altos con
relación al conjunto, siendo en cambio más sensible a valores extremos pequeños. La
media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores
nulos o ceros. Esta medida se utiliza comúnmente para promediar velocidades,
tiempos, rendimiento, etc.
EJEMPLO 3.5
A continuación se presenta el número de reportes que se
reciben en el departamento de soporte técnico de la compañía
EDS tomadas de una muestra de 10 días.
clases
1-3
3-5
5-7
7-9
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la media armónica para datos agrupados se
requiere calcular
clases
1-3
3-5
5-7
7-9
H
1
1
2
H
3
1
4
Marca de clase
2
4
6
8
f
1
3
4
2
10
10
4
1
6
10
2 18 16 6
24
15

f
1
3
4
2
2
1
8
1
2
10
52
24
240
52
3
4
4
6
2
8
4.61 5
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Por lo tanto, el promedio de reportes que se esperan por día es
5.
3.2.4 COMPARACIÓN TEÓRICA ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y
ARMÓNICA
Entre la media aritmética, la media geométrica y media armónica se da siempre la
siguiente relación:
H G X
3.2.5. MEDIANA
La mediana de un conjunto finito de valores es el valor que divide al conjunto en
dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana
es igual al número de valores menores o igual a estos. Su aplicación se ve limitada
ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no las propiedades de los
M
~
datos, como sucede en el caso de la media. La mediana se denota por e o x .
Para el cálculo de la mediana lo primero que se requiere es ordenar los datos en
forma ascendente o descendente (cualquiera de los dos criterios conducen al
mismo resultado), después se aplica la fórmula siguiente según sea el caso.
Para el caso de datos no agrupados en el que el número de valores es impar, el
valor central es único, pero cuando el número de valores en el conjunto es par, no
existe un solo valor medio, existen dos valores medios y por lo tanto, la mediana es
el promedio de los mismos.
Impar
Par
Me :(
Datos no agrupados
n 1
)
2
(3.9)
n=Número de elementos del arreglo
16

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Me
Datos agrupados
Li
n
2
f acum(i
1)
*i
f mediana
(3.10)
donde:
Li = Limite real inferior donde se encuentra la clase mediana
n
2 en la frecuencia acumulada de la
Clase mediana se ubica al encontrar
distribución
n = Número de observaciones o frecuencia total.
f acum i 1
= frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
f mediana
= Frecuencia absoluta de la clase mediana
i = Ancho de la clase en la que se encuentra la clase mediana
Algunas ventajas de la mediana es que al igual que la media es que es un valor
único, es sencilla en su cálculo y como es un valor medio respecto a la ubicación,
los valores extremos no tienen efectos importantes sobre el cálculo de la misma,
situación que si ocurre con la media.
EJEMPLO 3.6
Dados los tiempos de ensamble de un juguete “x” en el área
de electrónicos. A partir de los tiempos registrados para siete
trabajadores diferentes. Calcule la mediana para este conjunto
de datos.
Juguete
Tiempo
SOLUCIÓN
1
9.0
2
4.3
3
4.7
4
4.2
5
5.1
6
5.0
7
4.8
Como primer paso se debe ordenar el arreglo anterior
Juguete
Tiempo
1
4.2
2
4.3
3
4.7
4
4.8
5
5.0
6
5.1
7
9.0
Una vez ordenado el arreglo, se observa que el número de
datos es impar
Me
17

n 1
2
7 1
2
4
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Por lo que el valor de la mediana es aquel que se ubica en la
cuarta posición contando de derecha a izquierda o viceversa.
Para este caso el valor de la ~
x 4.8
EJEMPLO 3.7
En el Hospital General, se registraron las edades de las
atenciones médicas brindadas por el hospital. Calcula la
mediana para los siguientes datos.
Tabla de frecuencias de edad según el número de
atenciones en un fin de semana
Intervalos
Marca de
clase
fi
f acumulada
xi
[10-20)
15
8
8
[20-30)
25
20
28
[30-40)
35
14
42
[40-50)
45
8
50
[50-60)
55
2
52
[60-70)
65
2
54
[70-80)
75
1
55
55
SOLUCIÓN
Para calcular la mediana, lo primero que se tiene que ubicar
es la clase mediana. Dado que n = 55 la clase mediana se
ubica según n / 2 26.5 , por lo tanto donde se ubica la clase
mediana es el intervalo que corresponde a [20-30). Ahora es
necesario determinar lo siguiente:
Li
20
f acum(i
1)
8
f mediana
20
Sustituyendo en la ecuación tendremos:
Me
18

Li
n
2
f acum(i
f mediana
1)
*i
i 10
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Me
20
55
8
2
*10
20
29.75
Por lo tanto se concluye que el 50% de las personas
atendidas en un fin de semana por el hospital tienen una
edad inferior a los 20.926 años.
3.2.6 MODA
La moda de un conjunto de datos, que suele representarse por Mo; es el valor que
ocurre con mayor frecuencia, es decir, es el dato que se presenta en más ocasiones.



Cuando ningún valor se repite, se dice que no existe moda.
Cuando dos valores ocurren con la misma frecuencia y ésta es la más alta,
ambos valores son moda, por lo que se dice que el conjunto de datos es
bimodal.
Cuando más de dos valores ocurren con la misma frecuencia y ésta es la
más alta, todos los valores son moda, por lo tanto el conjunto de datos es
multimodal.
Lo anterior se puede visualizar en forma gráfica en la siguiente figura:
Sin moda
Datos no agrupados
Valor o valores con frecuencia mayor
Mo
Datos agrupados
LMo
d1
d1
d2
*i
(3.11)
19

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
donde:
LMo = Límite real inferior de la clase modal
Clase modal= Ubicación de la clase donde la frecuencia sea mayor
d1 = Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia que se
encuentra por debajo de ella.
d2 = Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase
que se encuentra inmediatamente por encima de ella
i = Ancho de la clase o intervalo de la clase modal
EJEMPLO
EJEMPLO 3.6
3.8
Se tomaron los tiempos de ensamble de un juguete “x” en el
área de electrónicos durante tres días seguidos, tiempos que
se registraron en la siguiente tabla. Calcule la moda para el los
días 1, 2 y 3.
Juguete
Tiempo
1
9.0
2
4.3
Día 1
3
4
4.7
4.2
5
5.1
6
5.0
7
4.8
Juguete
Tiempo
1
5.1
2
4.3
Día 2
3
4
5.1
4.2
5
5.1
6
5.0
7
4.8
2
5.0
Día 3
3
4
4.7
4.7
5
5.1
6
5.0
7
4.8
Juguete
Tiempo
SOLUCIÓN
1
4.8
Al observar el conjunto de datos y la definición del concepto
moda, se puede concluir que para estos datos tomados durante
tres días seguidos, se tiene que:
a) En el día 1 no existe moda
b) Para el día 2, la moda es el tiempo 5.1 y a este caso se
le denomina unimodal
c) El día 3 presenta tres valores que se repiten dos veces
cada uno de ellos, los cuales son 5.1, 5.0 y 4.8. Por lo
que a este caso se le denomina multimodal.
20

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
EJEMPLO 3.9
Cuando se trata de datos agrupados, el cálculo de la moda se
lleva a cabo mediante la fórmula 3.10. Retomando el ejemplo
del Hospital General durante un fin de semana. La clase modal
se ubica en la clase donde se encuentre la mayor frecuencia,
para este caso es [20-30), por lo tanto:
Tabla de frecuencias de edad según el número de
atenciones en un fin de semana
Marca de
clase
Intervalos
fi
xi
[10-20)
15
8
[20-30)
25
20
[30-40)
35
14
[40-50)
45
8
[50-60)
55
2
[60-70)
65
2
[70-80)
75
1
55
SOLUCIÓN
LMo
Mo
20
d1
20
20 8 12
12
* 10
12 6
20
d2
20 14
(. 666 ) * 10
6
20
i 10
6.66
26 .66
La moda, por ser una medida de posición central, tiene la ventaja de que es adecuada
tanto para datos cualitativos como cuantitativos, no se ve afectada por valores extremos
y se puede utilizar aún cuando una o más clases sean de extremo abierto2.
2
Los intervalos se clasifican según sus características en:
21

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Es importante señalar que la moda también puede obtenerse no solo para datos
numéricos sino también en datos categóricos. Observe la siguiente tabla.
Resultados de la votación para Presidente
de los EUM por entidad Federativa
AGUASCALIENTES
Partido
No. de
votantes
PAN
193588
PRD
89920
PRI
97513
ALTERNATIVA
1275
5597
ALIANZA
Para el caso de datos categóricos el concepto de la moda sigue siendo semejante que
para datos de tipo numéricos, observe que para este ejemplo la moda corresponde al
Partido de Acción Nacional (PAN) que tiene la frecuencia más alta en votos.
3.2.7. COM PARACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA
Las distribuciones presentan una característica denominada sesgo, el sesgo habla
de la agrupación del conjunto de datos o una mayor concentración hacia la
o
Acotados
o
No acotados
[a,b]
(-
[a, b)
, a]
(-
(a,b]
, a) [a,
)
(a,b)
(a,
)
A su vez se denominan cerrados o abiertos según entren o no los extremos. Así por ejemplo:
o [2,3] es cerrado
o (3,6] es abierto a la izquierda y cerrado a la derecha
o (4, 5) abierto
o [7,9) es cerrado a la izquierda y abierto a la derecha
22

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
izquierda si es un sesgo positivo o hacia la derecha si es un sesgo negativo. Es
importante mencionar que cuando en un conjunto de datos la
media=mediana=moda se hace referencia a una distribución simétrica, lo que
gráficamente significaría que:
x = x̂ = ~
x
En una distribución sesgada a la derecha (positiva). Para determinar el valor
de la moda, primero se ubica el punto más alto de la curva (x,y) y el valor de la
moda es el que toma la abscisa (x); la mediana se encuentra a la derecha de
la moda y la media se presenta a la derecha de la mediana.
~
x (x,y)
x
x̂
En una distribución sesgada a la izquierda (negativa), el valor de la moda es el
que toma la abscisa (x), pero el valor de la mediana se encuentra a la
izquierda y la media se encuentra con un valor por debajo de la mediana.
~
x
x
3.2.8 RANGO MEDIO
23

x̂ (x,y)
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
El rango medio es una medida de tendencia central que permite ubicar el centro a partir
de los valores extremos, también es llamado alcance.
Datos no agrupados
Rangomedio
Datos agrupados3
EJEMPLO 3.10
DMayor
DMenor
2
(3.12)
Seguros Atlas registra la edad de sus asegurados para el
llevar a cabo el cálculo de las primas
SOLUCIÓN
El rango medio se utiliza generalmente en análisis de tipo financiero,
meteorológicos porque es una medida resumen sencilla, rápida y adecuada que
caracteriza a todo un conjunto de datos. La desventaja de esta medida es que
cuando se utiliza en datos como acciones al cierre o lecturas de temperaturas o
cualquier conjunto que no contenga datos extremos. Por lo que hay que tener
mucho cuidado al utilizar el rango medio, ya que como sólo toma en cuenta dos
valores. Así, cuando existe un valor atípico no es muy conveniente utilizar el rango
medio.
Autoexamen 3.2
Las respuestas se encuentran al final del capítulo.
De acuerdo con el siguiente conjunto de datos que se registraron como
minutos de espera para la evaluación de una cajera en una sucursal
bancaria fueron de 7,4,9,7,3,10, 4, 3, 5
a. Calcula el rango medio del conjunto de datos.
b. Explica si resulta recomendable utilizar para este conjunto de
3
Para datos agrupados se toma el Li de la primera clase y el Ls de la última clase como dato menor y mayor
respectivamente
24

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
datos el rango medio como resumen.
3.2.9 EJE MEDIO
El eje medio es una medida resumen que se utiliza para superar posibles
problemas que introducen los valores extremos de los datos, ya que utiliza para su
cálculo los cuarteles, que son medidas de posición “no central” que se utilizan para
resumir grandes cantidades de datos.
Ejemedio
Datos no agrupados
Q1
Q3
2
(3.13)
donde:
Q1= primer cuartil
Q3= tercer cuartil
Debido a que los cuartiles son denominadas medidas de posición o ubicación, el
cálculo de las mismas se verá a fondo en la siguiente sección.
A continuación se presenta un cuadro resumen de las medidas de tendencia
central más importantes y algunas de sus propiedades.
25

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
26

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.2.10 CUADRO RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Tabla 3.1 Comparación de las medidas de tendencia central
Medias de
tendencia
central
Media
Definición
REPRESENTACIÓN
SIMBÓLICA
Es el promedio aritmético
de un conjunto de datos
y se obtiene al sumar
todos los números y
dividirlos entre el total de
ellos
Muestral
¿Qué tan
común
es?
La más
común
Existencia
¿Toma
en
cuenta
cada
valor?
¿Se ve
afectada por
los valores
extremos?
V: Ventajas y
D: Desventajas
Siempre
existe
Sí
Sí
V: Es un concepto familiar para la
mayor parte de la gente, se
calcula en forma rápida y es
aplicable
en
muchos
procedimientos estadísticos
(X )
Poblacional
(
Mediana
Moda
Es el valor medio o el
promedio aritmético de
los valores medios de un
conjunto ordenado de
números
Es el valor que se
presenta con más
frecuencia en un
)
Md
MO
De uso
común
Siempre
existe
Menos
común,
pero, bajo
27

Podría no
existir;
podría
No
No
No
No
D: Es inadecuada si se presenta
una clase de extremo abierto en la
parte inferior o superior de la
escala, en el caso de datos
agrupados
V: Puede calcularse para una
distribución de clase abierta, si la
mediana no se encuentra en dicha
clase; se puede obtener para
datos de nivel ordinal, de intervalo
y de razón. Es una buena
alternativa si hay algunos valores
extremos.
D: Se sacrifica exactitud al elegir
un valor o un promedio aritmético
de un par de valores,
para
representar una distribución.
V: Ampliamente útil para datos en
nivel de medición nominal y
ordinal; se puede determinar para
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
conjunto de datos
Media
geométrica
Media
armónica
Es la e-nésima raíz del
producto de n valores
positivos
Es el inverso de la media
aritmética de los
inversos de los n
números
ciertas
circunstancias,
puede
tener un
valor
singular.
G o MG
H
haber más
de una
Es común
su empleo
en las
áreas de
negocios
y de
economía
De uso
limitado
Siempre
existe
28

Siempre
existe
cualquiera de los niveles de
medición. Los valores extremos
no la afectan en forma indebida y
se pude obtener aun cuando se
tenga una o más clases de
extremo abierto.
Sí
Sí
Sí
No
D: Es difícil de interpretarla y
compararla cuando se tiene una
distribución
de
frecuencias
multimodal. En muchos de los
conjuntos de datos no existe o
cada valor es una moda. No es
aprovechable para posteriores
procedimientos estadísticos.
V: Para su cálculo no se requiere
la ordenación de los valores como
para la obtención de otros valores
medios. Su empleo cuando los
datos se refieren a medidas de
variaciones acumulativas o su
aplicación en
temas de
correlación y números índices.
D: No puede obtenerse por una
simple ojeada de los datos; su
valor no se calcula de manera tan
sencilla como ocurre con la
media. No puede usarse cuando
en un conjunto de datos, uno de
ellos es cero o negativo
V: Su empleo para promediar
variables
tales
como
productividades,
velocidades,
tiempos, rendimientos, tipos de
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
cambio.
Rango
medio
Eje medio
Valor que está a la
mitad, entre el valor más
grande y el más bajo
Es la suma del primer
cuartil con el tercer
cuartil dividida entre dos
RM
EM
Es común
su empleo
en las
áreas de
finanzas y
de
meteorolo
gía
De uso
limitado
Siempre
existe
No
Sí
D:
No es aconsejable en
distribuciones de variables con
valores pequeños y ningún valor
puede ser cero, en virtud de que
1/0 esta indeterminado
V: La manera sencilla de
obtenerse.
D: Si en el conjunto de datos se
presenta un valor extremo, el
rango medio no es apropiado.
Siempre
existe
No
No
V: No se ve afectado por valores
extremos muy pequeños o muy
grandes.
D: Medida de tendencia central
poco conocida y utilizada.
Comentarios generales:
En una colección de datos aproximadamente simétrica (Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su histograma es
aproximadamente una imagen en espejo de su mitad derecha) todos los promedios tienden a ser iguales.
En una colección de datos simétrica es conveniente trabajar con la media y la mediana.
No existen criterios objetivos para determinar la medida de tendencia central más representativa para todos los conjuntos de datos. Cada
una de ellas ofrecen ventajas y desventajas, como anteriormente se han señalado.
Deberá recordarse que en una investigación social se obtiene primero una distribución de frecuencias y después se calcula para cada
variable la medida de tendencia central más adecuada, de acuerdo a los propósitos de la investigación y los niveles de medición.
La media aritmética se utiliza mucho y por lo general es lo que los investigadores citan cuando usan la palabra media.
29

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.3
MEDIDAS DE POSICIÓN
3.3.1 CUANTILES: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Las medidas de posición “no central” también llamadas cuantiles (o fractiles) deben
su nombre al número de partes en las que dividen a un conjunto de datos y se
emplean como medidas resumen cuando se tienen grandes cantidades de datos
numéricos, lo que significa que para cada intervalo existe el mismo número de
valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos y se requiere
obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro,
en diez o en cien partes, así son denominados cuartiles, deciles y percentiles
según corresponda. Parecido a la mediana que divide un conjunto de datos
exactamente por la mitad (el 50% de las observaciones) los cuartiles dividen el total
de las observaciones en varios segmentos que corresponden a:
Q1:contiene el 25% de los datos
Q2:contiene el 50% del conjunto de datos
Q3:contiene el 75% del total de las observaciones
La representación gráfica sería la siguiente:
Q2
Q1
Q3
Valor mínimo
Valor máximo
25%
50%
75%
100%
Otros cuantiles utilizados son los deciles que dividen al conjunto de datos en diez y
los percentiles que lo dividen en cien partes iguales. Como se puede observar, los
cuartiles dividen el total de datos en cuatro partes iguales y de acuerdo a la
definición de la mediana, este valor corresponde también al del segundo cuartill o
Q2.
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn entonces:
Q1 :
Datos no agrupados
30

(n 1)
4
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
(3.14)
Q3 :
3(n 1)
4
(3.15)
donde:
Q1= primer cuartil
Q2= mediana=segundo cuartil
Q3= tercer cuartil
EJEMPLO 3.11
Las siguientes son las edades de una muestra de estudiantes
tomada entre los asistentes a un curso en la compañía SPSS
México. Calcule los cuartiles Q1, Q2 y Q3 para el conjunto de
datos.
19 17 15 20 23 41 33 21 18 20
18 33 32 29 24 19 18 20 17 22
55 19 22 25 28 30 44 19 20 39
SOLUCIÓN
Para calcular el Q1, Q2 y Q3 es necesario ordenar los datos,
recordemos que por ser un concepto similar al de la mediana,
lo que se está calculando es la posición que divide al conjunto
de datos en cuatro partes iguales. A continuación se presenta
el arreglo de datos ordenados.
Q1
15 17 17 18 18 18 19 19 19 19
20 20 20 20 21 22 22 23 24 25
28 29 30 32 33 33 39 41 44 55
Q2
Q3
Para ello se utiliza la fórmula
Q1
(n 1)
4
Q1
(30 1)
4
31
4
7.75 8
Observe que el valor que corresponde a la posición 8 es el 19,
el valor Q1=19. La obtención del cuartil Q2 se obtiene a partir de
31

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
la fórmula para la mediana de datos pares, es decir, se calcula
el promedio de los dos valores centrales 21 y 22, por lo tanto:
Q2
Me
21 22
2
21.5
El valor que divide al conjunto de datos en 50% por ciento es el
21.5. Para el cuartil Q3 se utiliza la siguiente fórmula:
Q3
3(n 1)
4
3(30 1)
4
93
4
23.25 23
Gráficamente se puede observar lo siguiente:
Q2=21.5
Q1=19
Q3=30
Valor mínimo
15
Valor máximo
55
25%
50%
75%
100%
Recuerda que o una tabla de frecuencias, los cuartiles se localizan mediante las
siguientes fórmulas, cabe aclarar que la fórmula indica la posición del valor en el
que se dividen los datos. :
Q1
(n 1)
4
Q3
3(n 1)
4
Datos no agrupados
32

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
(3.15)
donde:
Q1= Primer cuartil
Q2= Segundo cuartil
Q3= Tercer cuartil
Ck :
númerodecuartildeseado
( n)
totaldecuartiles
(3.16)
Datos agrupados
Ck
Lik
dc
* ik
fc
(3.17)
donde:
Ck= Cuantil k (recuerde que esta variable toma la letra Qk si se calcula
cuartiles, Dk si son deciles y Pk si son percentiles)
Lik = Límite inferior real de la clase en la que se encuentra el cuartil k
n = Número de datos
dc = Diferencia
entre el valor calculado del cuartil en estudio. Localiza su
pocisión en la columna de frecuencia acumulada f a menos la frecuencia
anterior
Fc = Frecuencia
absoluta del intervalo donde se encuentra ubicado el cuartil
en estudio
ik = Amplitud del intervalo o la clase donde se ubica el cuartil k
EJEMPLO 3.12
Las siguientes son las edades de una muestra de estudiantes
tomada entre los asistentes a un curso en la compañía SPSS
México. Calcule los cuartiles Q1, Q2 y Q3 para el conjunto de
datos.
19 17 15 20 23 41 33 21 18 20
18 33 32 29 24 19 18 20 17 22
33

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
55 19 22 25 28 30 44 19 20 39
SOLUCIÓN
Para calcular el Q1, Q2 y Q3 es necesario ordenar los datos,
recordemos que por ser un concepto similar al de la mediana,
lo que se está calculando es la posición que divide al conjunto
de datos en cuatro partes iguales. A continuación se presenta
el arreglo de datos ordenados.
Q1
15 17 17 18 18 18 19 19 19 19
20 20 20 20 21 22 22 23 24 25
28 29 30 32 33 33 39 41 44 55
Q3
Q2
Para ello se utiliza la fórmula
Q1
(n 1)
4
Q1
(30 1)
4
31
4
7.75 8
Observe que el valor que corresponde a la posición 8 es el 19,
el valor Q1=19. La obtención del cuartil Q2 se obtiene a partir de
la fórmula para la mediana de datos pares, es decir, se calcula
el promedio de los dos valores centrales 21 y 22, por lo tanto:
Q2
Me
21 22
2
21.5
El valor que divide al conjunto de datos en 50% por ciento es el
21.5. Para el cuartil Q3 se utiliza la siguiente fórmula:
Q3
3(n 1)
4
3(30 1)
4
93
4
23.25 23
Gráficamente se puede observar lo siguiente:
34

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Q2=21.5
Q1=19
Q3=30
Valor mínimo
15
Valor máximo
55
25%
50%
75%
100%
EJEMPLO 3.13
El vicepresidente de una cadena de locales de comida rápida,
estudia las ventas de 100 locales de comida que se
encuentran en el Distrito Federal y ha preparado la siguiente
tabla de frecuencias. Calcule los cuartiles para el siguiente
conjunto de datos.
Ventas (miles de
Frecuencia
pesos)
SOLUCIÓN
700-799
4
800-899
7
900-999
8
1000-1099
10
1100-1199
12
1200-1299
17
1300-1399
13
1400-1499
10
1500-1599
9
1600-1699
7
1700-1799
2
1800-1899
1
Para el cálculo de los cuartiles se utiliza la fórmula que
corresponde a datos agrupados:
35

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Paso #1 Calcular la frecuencia acumulada a partir de la tabla
Ventas (miles de pesos)
f
fa
700-799
4
4
800-899
7
11
900-999
8
19
1000-1099
10
29
1100-1199
12
41
1200-1299
17
58
1300-1399
13
71
1400-1499
10
81
1500-1599
9
90
1600-1699
7
97
1700-1799
2
99
1800-1899
1
100
Paso #2 Calculo de la ubicación de los cuartiles
1
C1 : (100)
4
25
se ubica en el intervalo 1000-1099
2
C2 : (100)
4
50
se ubica en el intervalo 1200-1299
3
C3 : (100)
4
75
se ubica en el intervalo 1400-1499
4
C4 : (100) 100
4
se ubica en el intervalo 1900-1899
Paso #3 Se obtiene la diferencia entre el valor calculado y
la frecuencia acumulada anterior al cuartil que se está
calculando.
C1 : 25 19
6
C2 : 50 41 9
36

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
C3 : 75 71
4
C4 : 100
99 1
Paso #4 Sustituir en la fórmula 3.12 para los cuartiles
cuando los valores están agrupados en intervalos
3.4
Q1
999.5
Q2
1199.5
6
(100) 999.5 60 1059.5
10
9
(100) 1199.5 52.94 1252.44
17
Q3 1399.5
4
(100) 1399.5 40 1439.5
10
Q4
1
(100) 1799.5 100 1899.5
1
1799.5
MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Si bien las medidas de tendencia central proporcionan información acerca de los
valores particulares de un conjunto de datos, los investigadores en el campo de las
ciencias sociales requieren de otras herramientas estadísticas que permitan
obtener una descripción numérica más completa. Estas herramientas son las
medidas de variabilidad, que describen la dispersión de un conjunto de datos.
Por ejemplo, en las unidades de diagnóstico médico de la cadena Pfizer se mide el
porcentaje de grasa corporal a una muestra aleatoria de 50 varones, realizado en
un fin de semana y resulta que la mediana es de 25.8 %. ¿El porcentaje de grasa
es normal en este grupo de hombres? La respuesta es no, de acuerdo con los
valores nominales ya establecidos; pero ¿qué se puede esperar de los resultados
de los otros hombres que se practicaron el estudio y no formaron parte de la
muestra? ¿ellos también tiene un porcentaje de grasa de 25.8%?¿qué puede
concluirse cuando se sabe que existen diagnósticos de algunas con porcentajes de
grasa que van desde un 15% a un 32%. Las medidas de variabilidad proporcionan
la información adicional necesaria para contestar estas preguntas.
La figura 3.5.X muestra tres diferentes grupos cuyas distribuciones presentan que
50) pero las variabilidades difieren.
la media aritmética es la misma (
1=50
2=50
37

3=50
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Al observar estas distribuciones se puede concluir que es necesaria una medida
que permita complementar la información descriptiva que proporciona la media.
Las medidas de variabilidad se clasifican en absolutas y relativas, como se ilustra a
continuación.
MEDIDAS DE VARIABILIDAD
DATOS NO AGRUPADOS / DATOS
AGRUPADOS
EN VALOR ABSOLUTO
EN VALOR RELATIVO
RANGO
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
RANGO INTERCUARTIL
DESVIACIÓN MEDIA
VARIANZA
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Figura 3.5.XX Clasificación de las medidas de variabilidad
Es importante señalar que los métodos de cálculo de las medidas de variabilidad al
igual que para las medidas de tendencia central y las de ubicación difieren para
datos no agrupados y agrupados.
3.4.1 RANGO
La medida de dispersión más sencilla es el rango, también conocido por los
expertos en estadística como alcance, recorrido o amplitud total, es de cálculo
sencillo y se define como la diferencia entre el valor más grande del conjunto de
datos y el valor más pequeño. Si bien el rango es fácil de calcular y de comprender,
es una medida burda de variabilidad que sólo describe la distancia entre los límites
exteriores del conjunto de datos; esto hace que sea una medida limitada de
dispersión, además de que se ve afectada por valores atípicos. Un uso importante
del rango es en el aseguramiento de calidad, donde el rango se utiliza para
38

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
construir gráficas de control4. La fórmula para la obtención del rango tanto para
datos agrupados como no agrupados es la siguiente:
Datos no agrupados
Rango
Datos agrupados5
DM
Dm
(3.18)
A continuación se muestra en la tabla 3.2 que contiene información sobre el PIB
trimestral a precios de 1993 en valores absolutos del 2004 hasta la fecha.
Tabla 3. 2
Valores absolutos del PIB a precios de 1993
en el sector servicios
Unidad de Medida: Miles de pesos a precios de 1993.
Periodo
Servicios
2004/01
1,080,667,914
2004/02
1,107,526,001
2004/03
1,084,465,827
2004/04
1,158,798,626
2005/01
1,124,002,591
2005/02
1,155,367,126
2005/03
1,133,147,713
2005/04
1,204,293,569
2006/01
1,184,857,898
El rango de precios en servicios en este conjunto se calcula obteniendo la
diferencia entre el valor más alto que es 1,204,293,569 y el valor mínimo
1,080,667,914. El resultado es 123,625,655.
o RANGO INTERCUARTIL
Otra medida de variabilidad es el rango intercuartil que se define como la diferencia
entre tercer y el primer cuartil, es decir Q3 – Q1; en términos de percentiles, ésta es
la distancia entre los valores 75% y 25% (P75 – P25). El rango intercuartil es
especialmente útil en situaciones en donde los usuarios de datos están interesados
en valores hacia el medio (rango del 50% central) y menos interesados en los
extremos.
4
Gráficos de control. Establecidos por Shewhart como una manera de estimar la incertidumbre de
una medida y sus componentes a partir de información que se recolecta.
5
Para datos agrupados el DM –dato mayor– corresponde al límite superior de la última clase o
intervalo y el Dm –dato menor– corresponderá al límite inferior de la primera clase o intervalo
39

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Datos no agrupados
RangoIntercuartil
Datos agrupados
Q3
Q1
P75
P25
(3.19)
EJEMPLO 3.14
La siguiente tabla muestra las puntuaciones obtenidas por
alcohólicos de sexo masculino que están en pleno proceso de
rehabilitación (de una escala del 0 al 60 de valores continuos el
especialista determina con base en pruebas bio-sicológicas la
puntuación del paciente):
Puntuaciones
0-5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
30 - 35
35 - 40
40 - 45
45 - 50
50 - 55
55 - 60
SOLUCIÓN
hombres
1
7
12
19
27
28
26
17
13
9
3
1
El cálculo del rango intercuartil requiere a su vez la obtención de
los Q1 y Q3 para ello es necesario seguir el procedimiento ya visto
en el ejemplo ___.
puntaje
f
fa
Li
real
Ls
real
0-5
5-10
10-15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
30 - 35
35 - 40
40 - 45
45 - 50
50 - 55
55 - 60
1
7
12
19
27
28
26
17
13
9
3
1
1
8
20
39
66
94
120
137
150
159
162
163
0
4.5
9.5
14.5
19.5
24.5
29.5
34.5
39.5
44.5
49.5
54.5
4.5
9.5
14.5
19.5
24.5
29.5
34.5
39.5
44.5
49.5
54.5
59.5
40

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Paso #1 Se obtiene la ubicación del cuartil buscado
Q1: (1/4)*163=40.75
Q3: (3/4)*163=122.25
Paso #2 Se calcula la diferencia entre el valor obtenido en el paso 1
y la frecuencia acumulada anterior al cuartil buscado
Q1= 40.75-39=3.75
Q3=122.25-120=2.25
Paso #3 Se aplica la fórmula _____ para la obtención de Q1 y Q3
Q1= 19 .5
Q3= 34 .5
1.75
*163 19 .8224
27
2.25
*163 35 .162
17
Por lo tanto el rango intercuartil es Q3-Q1=15.33. Recuerde que el
rango intercuartil es el alcance que existe entre el Q3 y Q1, la
ventaja de éste es que no es sensible a datos atípicos. Este 15.33
significa entonces que el 50% de los datos se encuentran entre los
datos 19.882 y 35.162 gráficamente sucede lo siguiente:
Q1
Q3
3.4.2 DESVIACIÓN MEDIA
Esta medida también conocida como desviación media absoluta6 o desviación
promedio o desviación promedio absoluta, se denota por las siglas DM y es el
promedio de los valores absolutos de las diferencias respecto a la media y en
términos de una fórmula, se calcula para una muestra como sigue:
6
¿Por qué se ignora los signos de las desviaciones de la media? Esto es así para evitar que las desviaciones
positivas y negativas de la media se compensan entre sí, lo que de ocurrir así provocaría siempre una media
cero, lo que daría como resultado un estimador sin ninguna utilidad.
41

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
n
xi
Datos no agrupados
x
i 1
MD
n
(3.20)
donde:
xi el valor de cada observación
X es la media de los valores
n es el número de observaciones en la muestra
Indica el valor absoluto
n
f i xi
MD
Datos agrupados
x
i 1
n
(3.21)
donde:
xi es la marca de clase
f es la frecuencia de clase
X es la media de los valores
n es el número de observaciones en
la muestra
Indica el valor absoluto
EJEMPLO 3.15
Una muestra de los archivos de nueve empleados de la embajada de
Japón en México, reveló que, durante un periodo de cuatro meses,
perdieron el siguiente número de días por enfermedades: 2, 0, 5, 4, 9,
3, 1, 2 y 3. Calcule la desviación media e interprete el resultado.
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la desviación media es necesario realizar el cálculo
de la media aritmética
2 0 5 4 9 3 1 2 3
9
x
29
9
3.22
DM=
2 3.22
0 3.22
5 3.22
4 3.22
9
9
3.22
3
3.22
1 3.22
9
= 1.85
42

2
3.22
3
3.22
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
EJEMPLO 3.16
SOLUCIÓN
Se registraró el consumo de energía eléctrica de una muestra de 38
hogares de la colonia San Cristóbal durante un estudio socioeconómico
realizado en el Estado de México.
Consumo de energía eléctrica
(Kwh)
No. de hogares
298-304
4
304-310
5
310-316
10
316-322
7
322-328
6
328-334
3
334-340
2
340-346
1
Para el cálculo de la desviación media es necesario:
1. Se determina la media aritmética mediante el procedimiento
ya conocido.
2. Para calcular la desviación media se determina el valor
absoluto de cada marca de clase menos la media aritmética
3. Se multiplica el valor absoluto por la frecuencia de cada
intervalos de clase.
4. Se suman todos los productos y se dividen entre el número
total de observaciones.
5. Se obtiene el valor absoluto de la diferencia de cada Se marca
de clase.
Intervalos
de clase
(Kwh)
Marca de
clase xi
fi*xi
fi
298-304
4
301
1204
16.42
65.68
304-310
5
307
1535
10.42
52.1
310-316
10
313
3130
4.42
44.2
316-322
7
319
2233
1.58
11.06
322-328
6
325
1950
7.58
45.48
328-334
3
331
993
13.58
40.74
334-340
2
337
674
19.58
39.16
340-346
1
343
343
25.58
25.58
8

38
i 1
f43
12062
i * xi
xi
x
f i * xi
324
x
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
x
12062
38
DM
324
38
317.42
8.53
Para su interpretación se tiene que la x DM se obtienen los valores
317.42 8.53 de lo cual obtenemos los límites (308.89, 325.95) al
localizar estos valores dentro de los intervalos de clase tenemos que el
308.89 se encuentra en el tercer intervalo mientras que el 325.95 se
encuentra en el 5º. Intervalo por lo que sumando las frecuencias
absolutas que corresponden a estos tres intervalos es 23. Aplicando la
“regla de tres” se tiene que:
38 100%
23 x
Lo que corresponde a 60.52% de los datos caen en este intervalo. Es
conveniente aclarar que éste porcentaje es único para este problema en
particular. Más adelante se estudiará la interpretación de la desviación
estándar y en ella se presenta la regla empírica que no es la que se está
aplicando en este momento. Cuando se trabaja la DM, se obtiene el
porcentaje para cada en particular.
La desviación media tiene como ventaja que su comprensión es sencilla, ya que
es el promedio de desviación de todos los valores con relación a la media, además
que utiliza para su cálculo todos los valores de la muestra, lo que al calcular el
rango y el rango intercuartil no sucede. Su principal desventaja, es que usa los
valores absolutos, y éstos requieren un mayor esfuerzo para el tratamiento
algebraico. La desviación media se utiliza con menor frecuencia que otras medidas
de tendencia central como la desviación estándar y la varianza.
Autoexamen 3.2
Las respuestas se encuentran al final del capítulo.
1. La Procuraduría Federal del Consumidor realiza una investigación con
relación a las deudas por uso de tarjetas de crédito en la Ciudad de
México y para tal efecto encuesta a una muestra de doce personas entre
los 25 y 40 años de edad que tienen deudas mayores a los $5,000.00.
44

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Los resultados mostraron que todos ellos pagaban un promedio de un
poco más de $300.00 al mes. A continuación se presenta las cantidades
que cada consumidor abonó a su saldo un mes anterior.
$510 $526 $505 $499 $512 $491 $500 $514 $501 $520 $493 $495
a. ¿Cuál es el rango de las cantidades abonadas?
b. Calcule el rango intercuartil de las cantidades abonadas e interprete el
resultado
c. Calcule la desviación media de las cantidades abonadas e interprete
2. En una compañía de Venta de bienes raíces se realizó un estudio para
determinar las habilidades que los agentes poseen para realizar una
venta. Se realizaron dos mediciones en diferentes grupos. Uno
experimental (el Grupo 1) que había recibido un curso de apoyo y otro
grupo más (Grupo 2) que aún no recibía ninguna capacitación. La prueba
de habilidades tiene 100 puntos como calificación máxima. La siguiente
tabla muestra los resultados obtenidos por ambos grupos en la prueba de
habilidades:
Intervalos
32-38
39-45
46-52
53-59
60-66
67-73
Grupo 1
fi
5
12
17
10
5
3
Grupo 2
fi
4
11
15
9
4
2
a. Calcule el rango para los dos grupo ¿Puede ser ésta una medida
resumen de comparación?
b. Calcule el rango intercuartil para ambos grupos.
c. Calcule la desviación media de cada grupo y compare.
3.4.3 VARIANZA
Como se estudió en los apartados anteriores, el rango y el rango intercuartil
son medidas de variabilidad que no contemplan la forma en que se distribuyen
o agrupan los valores que están entre los extremos. De todas las medidas de
variabilidad absolutas la varianza es una de las dos más importantes que
emplea todos los valores. La varianza mide la dispersión promedio alrededor
45

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
de la media, es decir, qué tanto varían los valores más grandes que están por
encima de ella y cómo se distribuyen los valores menores que están por debajo
de ella.
La varianza se basa en la diferencia entre el valor de cada observación (xi) y la
media aritmética ( x para una muestra,
para una población); a esta diferencia
se le denomina desviación respecto al promedio. Para una muestra, la
desviación con relación a la media se expresa como ( xi x ) ; para una
) . Para calcular la varianza las desviaciones respecto al
población es ( xi
promedio se elevan al cuadrado y se dividen entre n -1 para una muestra y N
para una población. La varianza de la población se representa por 2 y de la
muestra por s2. Por lo tanto la varianza se define como la media o promedio de
los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable a la media, es
decir, el momento de segundo orden respecto a la media. Y cuenta con las
siguientes propiedades más importantes:





Por definición la varianza nunca puede ser negativa. Esto quiere decir que,
dado que la fórmula eleva al cuadrado las diferencias, la suma de las
mismas nunca podrá ser negativa.
A menos que todos los elementos del conjunto de datos de la población o
de la muestra tengan el mismo valor, la varianza no puede ser cero.
Es igual al momento de segundo orden respecto al origen menos el de
primer orden elevado al cuadrado.
Si se suma o se resta el mismo número a todos los valores, la varianza no
se modifica.
Si se multiplica los valores de una distribución de frecuencias por una
constante k la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.
Poblacional
N
Datos no
N
(3.22)
donde:
N= Tamaño de la población
n= Tamaño muestral
x = Media aritmética muestral
=Media poblacional
46

xi
s2
i 1
agrupados
n
2
xi
2
Muestral
x
2
i 1
n 1
(3.23)
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
x i = Dato i-ésimo
Poblacional
Muestral
n
N
Datos
f i * ( xi
2
)
i 1
agrupados
f i * ( xi
2
s2
x)2
i 1
N
(3.24)
n 1
(3.25)
donde:
N= Tamaño de la población
n= Tamaño muestral
= Media poblacional
fi= Media muestral
x = Media aritmética del conjunto de datos
x i = Marca de clase del intervalo i-ésimo
s2=Varianza muestral
2
=Varianza poblacional
El uso del denominador o divisor (n-1) al calcular la varianza de una muestra es un
procedimiento estándar que hace que la varianza resultante de la muestra sea un
mejor estimador de la varianza de la población de la cual se obtuvo la muestra. En
realidad, para tamaños de la muestra grandes (por ejemplo, n 30) , restar 1 de n
implica muy poca diferencia.
EJEMPLO 3.17
Se registraró el consumo de energía eléctrica de
una muestra de 38 hogares de la colonia San
Cristóbal durante un estudio socioeconómico
realizado en el Estado de México.
47

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
SOLUCIÓN
Consumo de energía eléctrica
(Kwh)
No. de hogares
298-304
4
304-310
5
310-316
10
316-322
7
322-328
6
328-334
3
334-340
2
340-346
1
Para el cálculo de la varianza es necesario:
1. Determinar la media aritmética mediante el procedimiento
ya conocido para datos agrupados, fórmula ( )
x 316.9
2. Para calcular la varianza se obtiene las diferencias entre las
marcas de clase y la media obtenida en el paso anterior.
Consumo
xi
de
No. de Marca
energía
hogares de
eléctrica
clase
(Kwh)
300.5
298-304
4
304-310
5
310-316
10
312.5
316-322
7
322-328
xi
xi
x
2
f i * xi
x
2
-16.4
268.96
1075.84
108.16
540.8
-4.4
19.36
193.6
318.5
1.6
2.56
17.92
6
324.5
7.6
57.76
346.56
328-334
3
330.5
13.6
184.96
554.88
334-340
2
336.5
19.6
384.16
768.32
340-346
1
342.5
25.6
655.36
655.36
306.5
-10.4
n
f i * xi
s2
ii 1
n 1
48

x
x
2
4153.28
37
112 .25
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Cuando calculamos la varianza, cada diferencia se expresa en
unidades al cuadrado, por lo que en muchas ocasiones su
interpretación resulta complicada, ya que para este caso tendríamos
kwh2 por lo que este resultado no tiene un significado y para su
interpretación siempre resultará más conveniente utilizar la
desviación estándar.
Existen fórmulas alternativas que permite y facilitan su cálculo si éste no se realiza
mediante un software estadístico.
Poblacional
Muestral
N
n
xi2
Datos no agrupados
2
N
2
xi2
s2
i 1
N
nx 2
i 1
n 1
(3.26)
(3.27)
donde:
N= Tamaño de la población
n= Tamaño muestral
x = Media del conjunto de datos
x i = Dato i-ésimo
Media poblacional
2
Varianza poblacional
Poblacional
Muestral
n
N
fi x
Datos agrupados
2
2
i
N
s2
i 1
N
(3.28)
donde:
2
Varianza de la población
s
Varianza muestral
= Media de la población
N = Tamaño de la población
fi = Frecuencia de la clase i
xi = punto medio de la clase i
2
49

f i xi2
2
i 1
n 1
nx 2
n 1
(3.29)
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.4.4 DESVIACIÓN ESTÁNDÁR
La desviación estándar o desviación típica s 2 o 2 es una medida de dispersión
para variables de razón y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Está definida como la raíz cuadrada de la varianza s
s2 o
2
.
Es una medida resumen que mide el grado de dispersión que presenta un conjunto
de valores o simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la
media aritmética de todos los valores. Hablar de una desviación estándar grande
significa que los puntos están lejos de la media y una desviación pequeña indica
que los datos están agrupados muy cercanos a su media.
Por ejemplo, se tomaron tres muestras en diferentes colonias de cuatro casas para
medir el número de focos que se presentaron fue:
A (0, 0, 14, 14)
xA
7
s A2
7
B (0, 6, 8, 14)
xB
7
s B2
5
C (6, 6, 8, 8)
xC
7
s C2
1
Como se puede observar, la muestra C tiene una desviación mucho menor que las
otras dos porque sus valores están más cercanos al 7. A continuación se presentan
las fórmulas para el cálculo de la desviación típica.
Población
n
N
Datos no agrupados
Muestra
xi
2
i 1
s
N
(3.30)
donde:
N = Tamaño de la población
n = Tamaño muestral
= desviación estándar poblacional
s = desviación estándar muestral
= media poblacional del conjunto de datos
x = Media muestra del conjunto de datos
50

xi
x
2
i 1
n 1
(3.31)
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
x i = Dato i-ésimo
Población
Muestra
N
N
)2
f i * ( xi
Datos agrupados
i 1
f i * ( xi
i 1
s
N
x)2
n 1
(3.33)
(3.32)
donde:
N = Tamaño de la población
n = Tamaño muestral
= desviación estándar poblacional
s = desviación estándar muestral
= media poblacional del conjunto de datos
x = Media muestra del conjunto de datos
x i = Dato i-ésimo
fi
frecuencia de la clase i
EJEMPLO 3.18
Se realiza una estadística en dos centros de enseñanza, uno
público y otro privado, referente a la nota global del bachillerato
de cada uno de los alumnos que van a acudir a los exámenes de
selección para ingresar a nivel superior. Las distribuciones de
frecuencias que presentaron fueronlas siguientes:
Centro privado
Nota global
de cada
alumno.
5
6
7
8
9
51

6
7
8
9
10
Frecuencias
10
15
20
30
15
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Centro público
Nota global
de cada
alumno.
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9
Frecuencias
225
150
100
20
25
a) Calcula la varianza de los dos grupos y compara. ¿Cuál es
el grupo que presenta mayor variabilidad en los resultados
del examen?
b) Calcula la desviación estándar de cada grupo ¿Qué
significan estos valores obtenidos?
SOLUCIÓN
Para el cálculo de la desviación estándar, en ocasiones es
conveniente elaborar una tabla de apoyo que simplifique los
cálculos, como se muestra a continuación:
Centro privado
Nota
global de
cada
alumno.
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9
N
Media
xi - x
x
fi*(xi- x )2
-2.28
5.19
51.88
-1.28
1.63
24.49
7.78
-0.28
0.08
1.54
7.78
0.72
0.52
15.65
7.78
1.72
2.97
Varianza
44.49
1.53
xi
10
15
20
30
15
5.5
55
7.78
6.5
97.5
7.78
7.5
150
8.5
255
90
xi *f
(xi- x ) 2
F
9.5
142.5
Media 7.78
La suma de los elementos de la columna xi *fi
Media
x privado
700
90
7.78
La suma de los elementos de la columna fi*(xi- x )2
s privado
52

138.06
1.53
90
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Centro público
Nota
global
5
6
7
8
9
F
6
7
8
9
10
225
150
100
20
25
N
520
xi
mc*f media
xi-x
(xi-x) 2
f*(xi-x)2
5.5 1237.5
6.48
-0.98
0.96
216.43
6.5
975
6.48
0.02
0.00
0.06
7.5
750
6.48
1.02
1.04
103.88
8.5
170
6.48
2.02
4.08
81.55
6.48
3.02
9.12
Varianza
227.89
1.21
9.5 237.5
Media 6.48
La institución que presenta una mayor variabilidad en los
resultados de sus alumnos es el centro privado.
a) Para la obtención de la desviación estándar sólo es
necesario aplicar la raíz cuadrada al resultado de la
varianza.
público
1.53 1.23
privado
1.21 1.10
Estos resultados significan que cada valor se aleja de su media
aproximadamente en 1.23 para el Centro privado y en 1.10 para
el Centro público. El cálculo es importante y relativamente
sencillo, sin embargo la interpretación de la desviación estándar
se analizará con mayor detalle en el próximo tema.
3.4.5 INTERPRETACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación estándar se emplea como una medida para comparar la
dispersión en dos o más conjuntos de observaciones. Se interpreta a partir de
lo siguiente
o Regla empírica: Para una distribución de frecuencias simétrica en forma
de campana, aproximadamente 68% de las observaciones estarán a
más y menos una desviación estándar de la media, aproximadamente
un 95% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos
desviaciones estándar de la misma; y prácticamente todas las
observaciones (99,7%) se hallarán a más y menos tres desviaciones
estándar
con respecto a la media. Como se observa en la curva
simétrica de campana que muestra las relaciones entre la desviación
estándar y la media
53

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
-3 -2 -
0
2
3
68%
95%
99.7%
La regla empírica apoya a medir cómo se distribuyen los valores por
debajo y por encima de la media. Esto permite identificar los valores
atípicos cuando se analiza un conjunto de datos numéricos. La regla
empírica señala que aproximadamente uno (5%) de cada 20 (100%)
valores estará alejado más allá de dos desviaciones estándar en
cualquier dirección. Se puede tomar como una regla general que, los
valores que no se ubiquen en el intervalo
2 se consideran como
posibles valores atípicos. Esta regla también implica que
aproximadamente tres de cada 1000, estarán alejados de la media más
allá de tres desviaciones estándar. Por consiguiente, se consideran
como valores extremos los que no se ubiquen en el intervalo
3 .
o Teorema de Chebyshev. En los conjuntos de datos que presentan una
desviación estándar grande será resultado de que los valores se
encuentran muy dispersos con relación a la media. Un matemático ruso
llamado Chebyshev creó un teorema que refleja esta situación. En él
cuantifica el porcentaje mínimo de valores que se ubicarán dentro de un
número determinado de desviaciones estándar a partir de la media y
aplica a todas las distribuciones cualquiera que sea su forma, es decir,
se puede utilizar siempre que la forma de la distribución de los datos sea
desconocida o sea anormal.
Este teorema de Chebyshev expresa que para un conjunto cualquiera
de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los
valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándar desde la
media es al menos de 1 – 1/k2, donde k es una constante mayor que 1.
Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media
μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de los valores caerán en
el intervalo (μ-2 σ, μ+2 σ).
54

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Porcentaje de valores que se encuentran en los intervalos alrededor de la media
Intervalo
Teorema de Chebyshev
(para toda distribución)
)
Al menos el 0%
2 ,
2 )
Al menos el 75%
3 ,
3 )
Al menos el 88.89%
(
,
(
(
Para ilustrar este resultado, supongamos que un grupo de estudiantes
presenta para su materia de redacción 50 ensayos que tienen una extensión
media de 1000 caracteres y una desviación estándar de 200 caracteres. De
la desigualdad de Chebyshev se deduce que al menos el 75% de los
artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres (k
= 2).
3.4.6. EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN
La desviación estándar es útil como medida de variación dentro de un
conjunto de datos. Sin embargo, cuando se desea comparar la dispersión en
dos conjuntos de datos, cotejar las desviaciones estándar puede conducir a
resultados ilógicos o puede ser que las dos variables que intervienen se
midan en unidades diferentes.
El coeficiente de variación es una medida que permite:
o Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos a
distintos sistemas de unidades de medida. Por ejemplo, kilogramos y
centímetros.
o Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos obtenidos por dos
o más personas distintas.
o Determinar si cierta media es consistente con cierta varianza.
Lo que se necesita en situaciones como ésta es una medida de variación
relativa, en lugar de una de variación absoluta. Esa medida se encuentra en
el coeficiente de variación, el cual expresa a la desviación estándar como un
porcentaje de la media.
La ventaja del coeficiente de variación es que se encuentra dado en
porcentajes y es más comprensible.
Población
Datos no agrupados
C.V
100
Datos agrupados
(3.34)
55

Muestra
C.V
s
100
x
(3.35)
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
donde:
= Desviación estándar poblacional
s= Desviación estándar muestral
= Media aritmética poblacional
x =Media muestral
EJEMPLO 3.19
Se aplicaron encuestas a dos grupos de amas de casa para
conocer el gasto promedio mensual en salud de 100 familias
de una zona de alto nivel socioeconómico del D.F. Los dos
grupos registrados fueron de nivel D al cual se le realizaron
60 entrevistas y 40 entrevistas de nivel D+. Los resultados
de las entrevistas se presentan a continuación:
Nivel socioeconómico
D
D+
150.5
230.5
2500
3200
s
x
a. Calcule el coeficiente de variación de ambos niveles
socioeconómicos y responda, ¿Cuál de ellos presenta mayor
variabilidad?
SOLUCIÓN
Para responder a esta pregunta es necesario calcular el
cociente de cada desviación muestral respecto a su media.
CVD
150 .5
*100
2500
6.02 %
CVD*
230
*100
3200
7.20 %
Lo que significa que en general ambos niveles presentan
muy poca variación pero en el nivel socioeconómico D+ los
datos presentan mayor variabilidad respecto a su media que
los gastos promedios mensuales que presenta el nivel D.
3.4.7 PUNTUACIONES ESTANDARIZADAS (PUNTUACIONES Z)
56

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.4.8 CUADRO RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Tabla 3.2
Medias de
variabilidad
Comparación de las medidas de variabilidad o de dispersión
Definición
REPRESENTACIÓN
SIMBÓLICA
¿Qué tan
común
es?
Existencia
¿Toma
en
cuenta
cada
valor?
¿Se ve
afectada por
los valores
extremos?
V: Ventajas y
D: Desventajas
Rango
Es la diferencia entre el
valor más grande del
conjunto de datos y el valor
más pequeño.
R
De uso
limitado
Podría no
existir
No
Sí
V: Fácil de calcular y de entender.
D: En algunas distribuciones no
podría existir, si se presenta una
clase de extremo abierto.
No dice nada sobre la forma de la
distribución
entre
las
puntuaciones
extremas.
Es
muchas distribuciones no es
confiable ya que se apoya sólo en
dos valores extremos.
Rango
intercuartil
Es la diferencia entre el
valor del tercer cuartil y
el primero.
RI
De uso
limitado
Siempre
existe
No
No
V: Puede calcularse para una
distribución de clase abierta. Es
una buena alternativa si hay
algunos valores extremos. Es
especialmente útil en situaciones
donde los usuarios de datos están
especialmente interesados en
valores hacia el medio y menos
interesados en los extremos. Su
empleo en la construcción de la
gráfica de caja y bigote.
Desviación
La media aritmética de
DM
No es de
57

Siempre
Sí
Sí, pero
D: No tomar en cuenta el 50 % de
los datos y su poco empleo en
métodos estadísticos posteriores.
V: Fácil de comprender. Da igual
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
media
los valores absolutos de
las desviaciones de la
media.
Varianza
La media aritmética de
las desviaciones
cuadradas de la media.
uso
común
2
Poblacional
existe
menos
afectada
que la
desviación
estándar.
Es de uso
común
Siempre
existe
Sí
Sí
La de uso
más
común
Siempre
existe
Sí
SÍ
ponderación a la desviación de
cada valor con relación a la media
aritmética. Es más sensible que el
rango y el rango intercuartil y
generalmente tiene un error de
muestreo más pequeño.
D: Es un poco complicada de
manejar algebraicamente, ya que
los signos negativos deben
ignorarse en su cálculo.
V: Concepto importante en la
estadística inferencial.
D: Medida un tanto confusa, en
virtud de que las unidades son el
cuadrado de las unidades de los
datos.
2
S
Muestral
Desviación
estándar
La raiz cuadrada de la
varianza
Poblacional
58

V: Es aplicable a muchos
métodos estadísticos posteriores.
Es más confiable como estimador
del valor de la población que
cualquier otra medida de
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
dispersión, siempre que la
distribución sea normal.
S
Muestral
D: Es un poco difícil de calcular y
de entender.
CV
Es una medida de
De uso
Siempre
Sí
SÍ
V:
Especialmente
útil
para
dispersión relativa y es
común
existe
comparar dos o más grupos de
el cociente de la
datos con medias diferentes. Es la
desviación estándar y la
medida de dispersión relativa más
media aritmética
empleada
expresado en porcentaje
Comentarios generales:
Si los valores alto y bajo no se encuentran muy separados de los demás, el rango puede ser una buena medida de dispersión.
Es recomendable emplear la desviación media en muestras pequeñas que incluyan valores extremos.
No compare la dispersión en los conjuntos de datos empleando la desviación estándar, a menos que las medias aritméticas sean muy
parecidas.
Coeficiente
de variación
59

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
3.5 MEDIDAS DE FORMA
Las medidas de forma son herramientas estadísticas que se pueden emplear para
describir la forma de una distribución de datos numéricos. En este apartado, se
examinará dos medidas de forma: sesgo y curtosis.
3.5.1 SESGO O ASIMETRÍA
Una característica que presentan los histogramas y que puede resultar de interés,
es la asimetría, especialmente cuando los datos son unimodales. Si la cola
derecha es más numerosa y se extiende más que la cola izquierda, decimos que
se tiene asimetría positiva. Si es al revés, con la cola izquierda es larga, decimos
asimetría negativa.
La medida numérica de la asimetría se denota como (alpha) y se calcula mediante
la siguiente fórmula:
n
xi
Datos no agrupados
alpha
x
3
i 1
(3.36)
n * s3
3
f * xi
Datos agrupados
=0
Simétrica
alpha
>0
Sesgo positivo
x
(3.37)
n * s3
<0
Sesgo negativo
Esta medición de la asimetría es absoluta, ya que las unidades de medición no la
afectan.
3.5.2 CURTOSIS
Una característica de los histogramas que no es común analizar es la llamada
curtosis. Con esta palabra se denota lo "picudo" que pueda resultar una moda. Si la
60

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
moda está muy picuda, se tiene curtosis grande; si la moda está muy roma o plana,
se tiene curtosis pequeña. La curtosis es normal cuando vale tres. La desventaja
es que tanto la simetría como la curtosis son cálculos más complicados y no son de
uso frecuente.
La curtosis es también una medida absoluta porque las unidades de medición no la
afectan. La curtosis se compara siempre con el número 3. Así, si la curtosis
calculada es mayor que tres, el resultado será positivo, indicando una moda más
afilada que lo normal. Si el resultado es negativo, indica una moda más chata que
lo normal.
n
xi
beta
Datos no agrupados
x
4
i 1
n * s4
(3.38)
4
n
xi
Datos agrupados
beta
x
i 1
n * s4
(3.39)
=3
Mesocúrtica
>3
Leptocúrtica
3.6 REPRESENTACIONES GRÁFICAS
3.6.1 CAJA-BIGOTE
3.6.2 CURVA NORMAL
61

<3
Planticúrtica
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Resumen del capítulo
El tratamiento estadístico no se limita únicamente a resumir mediante tablas y gráficas los
datos, para complementarlo existen las medidas resumen, dependiendo de donde se
obtengan reciben el nombre de estadísticos si se calculan a partir de una muestra ( ˆ ) o
parámetros ( ) cuando son obtenidos a partir de una población, ambos pueden ser
calculados tanto para datos no agrupados como agrupados.
Las medidas estadísticas resumen o descriptivas incluyen medidas de tendencia central, de
posición, de variabilidad y medidas de forma (sesgo y curtosis). Todas ellas se calculan de
manera diferente para datos no agrupados y agrupados.
Las medidas de tendencia central son útiles para describir los valores típicos de los datos. Las
tres más comunes son la media, mediana y moda. Pero existen otras, tales como: la media
geométrica, la media armónica, el rango medio y el eje medio.
La media aritmética es la más importante de todas las medidas numéricas utilizadas para
describir datos, constituye lo que la mayoría de la gente y lo que los investigadores citan
cuando usan la palabra media. La media poblacional y la media muestral se calculan de la
misma manera pero se denotan con símbolos diferentes. A la media aritmética la afecta cada
valor y es influenciada por valores extremos.
La mediana es el valor medio de un conjunto ordenado de números que contienen un número
impar de valores. Para un conjunto con número par de valores, la mediana es la media
aritmética de los dos valores medios. La mediana no resulta afectada por la magnitud de
valores extremos. Esta característica hace de la mediana una medida más útil y apropiada de
ubicación al reportar elementos como son el ingreso, edad y precios de casas.
La moda es el valor que se presenta con más frecuencia en un conjunto de datos. Si dos
valores empatan para la moda, los datos son bimodales. Los conjuntos de datos pueden ser
multimodales. Entre otras cosas, la moda se emplea en negocios para determinar tamaños.
Los cuantiles o fractiles son medidas de posición, ubicación o no centrales y se dividen en
cuartiles, deciles y percentiles. Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes o grupos. Los
tres cuartiles son Q1, que es el primer cuartil y el más bajo; Q2, que es el segundo cuartil y es
igual a la mediana; y Q3, que es el tercer cuartil y el superior. Los deciles dividen un conjunto
de datos en diez partes o grupos, lo cual significa que se requiere de 9 deciles; el decil cinco
que se denota D5, es igual a la mediana. Los percentiles dividen un conjunto de datos en 100
partes o grupos, lo cual significa que se requiere de 99 percentiles.
Las medidas de variabilidad o de dispersión son herramientas estadísticas empleadas en
conjunto con las medidas de tendencia para describir datos. Las medidas de variabilidad
describen cuán dispersos se encuentran los datos. Las medidas de dispersión se dividen en
absolutas y relativas. Entre las medidas de dispersión en valor absoluto más comunes están
el rango, desviación media absoluta, varianza, desviación estándar y rango intercuartil y la
más utilizada en valor relativo es el coeficiente de variación.
Una de las medidas más elementales de variabilidad es el rango. Es la diferencia entre los
valores más grande y más pequeño. Aun cuando el rango es fácil de calcular, tiene utilidad
limitada; su principal campo de aplicación es en el control de calidad. El rango intercuartil es
62

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
la diferencia entre los cuartiles tercero y primero.
La desviación media absoluta (DMA) se calcula al promediar los valores absolutos de las
desviaciones desde la media. La desviación media absoluta da la magnitud de la desviación
promedio pero sin especificar su dirección. La desviación media absoluta tiene uso limitado en
estadística, pero hay creciente interés para su uso en el campo de pronósticos.
La varianza se utiliza ampliamente como herramienta en estadística pero se emplea poco
como medida independiente de variabilidad. La varianza es el promedio del cuadrado de
desviaciones alrededor de la media.
La raíz cuadrada de la varianza es la desviación estándar. También es una herramienta muy
usada en estadística. Se emplea con mayor frecuencia que la varianza como medida
independiente. La desviación estándar se comprende mejor al examinar sus aplicaciones para
determinar en dónde están los datos en relación con la media. La regla empírica y el teorema
de Chebyshev son enunciados acerca de las proporciones de valores de datos que están
dentro de varias veces la desviación estándar desde la media.
La regla empírica revela el porcentaje de valores que están dentro de una, dos o tres
desviaciones estándar de la media para un conjunto de datos. La regla empírica aplica sólo si
los datos son una distribución en forma de campana. De acuerdo con la regla empírica,
aproximadamente 68% de todos los valores de una distribución normal están dentro de más o
menos una desviación estándar de la media. Noventa y cinco por ciento de todos los valores
están dentro de dos desviaciones estándar a cualquier lado de la media, y prácticamente
todos los valores 99.7 % están dentro de tres desviaciones estándar de la media.
El teorema de Chebyshev también delinea la proporción de valores que están dentro de un
número dado de desviaciones estándar desde la media; sin embargo, aplica a cualquier
distribución. Según el teorema de Chebyshev, al menos 1- 1/ k2 valores están dentro de k
desviaciones estándar de la media. El valor z representa el número de desviaciones estándar
que un valor está desde la media para datos normalmente distribuidos.
El coeficiente de variación es una razón entre una desviación estándar y su media, dado
como porcentaje. Es especialmente útil para comparar desviaciones estándar o varianzas que
representan datos con medias diferentes.
Dos medidas de forma son el sesgo y la curtosis. El sesgo es la falta de simetría en una
distribución. Si una distribución está sesgada, está alargada en una dirección o la otra. La
parte sesgada de la gráfica es su parte larga y delgada. Una medida de sesgo es el
coeficiente de Pearson.
La curtosis es el grado de apuntamiento de una distribución. Una distribución alta y delgada
se conoce como leptocúrtica. Una distribución plana es platicúrtica, y una distribución con un
apuntamiento más normal se dice que es mesocúrtica.
Una gráfica de caja y bigote es una representación gráfica de una distribución. La gráfica se
construye al usar el valor más bajo, la mediana, el cuartil inferior, el cuartil superior y el valor
más alto. Puede dar información acerca del sesgo y resultados aislados.
63

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Glosario
Bimodal Distribución que posee dos modas.
Coeficiente de asimetría ( ) . Denominado
también alpha y corresponde a la medida de forma
que mide el sesgo que presenta una distribución.
Coeficiente de curtosis ( ) . Denominado también
coeficiente Beta que mide lo puntiagudo de la
distribución.
Coeficiente de variación (CV) La razón entre la
desviación estándar y la media, expresada en
porcentaje.
Cuartiles Medidas de posición que dividen un
conjunto de datos en cuatro partes.
Curtosis Es la característica de la distribución que
permite determinar la cantidad de su apuntamiento.
Deciles Medidas de posición que dividen un conjunto
de datos en diez partes.
Desviación estándar. Medida de variabilidad que
promedia las distancias entre cada dato respecto a la
media del conjunto, su resultado se encuentra en las
mismas unidades que los datos de origen.
Desviación media absoluta (DMA) Es el promedio
de los valores absolutos de las desviaciones
alrededor de la media para un conjunto de
observaciones.
Eje medio Es una medida de tendencia central y es
la diferencia entre el tercer cuartil y el primero.
Fractiles Es el nombre genérico que se le da a los
cuartiles, deciles y percentiles.
Leptocúrtica
Distribuciones que son altas y
delgadas.
Media aritmética Medida de tendencia central que
promedia todos los valores de un conjunto de datos.
Media armónica Es el reciproco de la media
aritmética del reciproco de los números.
Media geométrica Es la raiz enésima del producto
de las observaciones.
Mediana Valor medio o media aritmética de los
valores medios de un conjunto ordenado de números.
Medidas de forma Herramientas que se pueden
utilizar para describir la forma de una distribución de
datos.
64

Medidas de posición Herramientas que se pueden
emplear para dividir un conjunto de datos en cuatro,
diez o cien partes.
Medidas de tendencia central Un tipo de medida
resumen que se usa para describir un conjunto de
números en relación al centro de los mismos.
Medidas de variabilidad Estadísticas que describen
la dispersión en valor absoluto o relativo de un
conjunto de datos.
Mesocúrtica Distribuciones que son normales en
forma, es decir, no demasiadas altas ni demasiadas
planas.
Moda Valor que presentan con la mayor frecuencia
en un conjunto de datos.
Medidas resumen Valores que contienen las
características principales de una muestra o de una
población.
Multimodal Conjunto de datos que tiene más de
dos modas.
Percentiles Medidas de posición que dividen un
conjunto de datos en cien partes.
Platicúrtica Distribuciones que son planas y se
extienden.
Rango También denominado alcance, recorrido o
amplitud total es la diferencia entre los valores
máximo y mínimo de un conjunto de datos.
Rango intercuartil Rango de valores entre el
primero y tercer cuartiles.
Rango medio Medida de tendencia central que
calcula el promedio entre los valores máximo y
mínimo.
Regla empírica Principio que da el porcentaje
aproximado de valores que caen dentro de un
número determinado de desviaciones estándar de la
media aritmética de un conjunto de datos que se
encuentran normalmente distribuidos.
Sesgo Falta de simetría de un conjunto de valores.
Teorema de Chebyshev Teorema que indica que al
2
menos 1 – 1/k valores caerán dentro de + k
desviaciones estándar de la media, cualquiera que
sea la forma de la distribución.
Unimodal. Distribución que se caracteriza por
poseer una moda única.
Varianza Promedio del cuadrado de desviaciones
alrededor de la media aritmética para un conjunto de
datos.
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Fórmulas del Capítulo
1. Media aritmética poblacional para datos no agrupados
N
xi
i 1
N
2. Media aritmética muestral para datos no agrupados
n
xi
i 1
x
n
3. Media aritmética poblacional para datos agrupados
N
( fi
xi )
i 1
N
4. Media aritmética muestral para datos agrupados
n
( fi
xi )
i 1
x
n
5. Media geométrica para datos no agrupados
M.G
n
producto de todos los valores
M .G
n
( x1 )(x2 )(x3 )...(xn )
6. Media geométrica para datos agrupados
M .G
G
n
f1
f2
f3
anti log
1
n
n
f i log xi
i 1
65

fn
( x1 )(x2 )(x3 )...(xn )
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
7. Media armónica para datos no agrupados
n
n
H
n
1
1
1
(
...
)
xi
xn
i 1 xi
8. Media armónica para datos agrupados
n
H
n
1
( fi * )
xi
i 1
9. Mediana para datos no agrupados
Posición o ubicación M e : (
n 1
)
2
10. Mediana para datos agrupados
n
f acum(i 1)
Me Li 2
*i
f mediana
11. Moda para datos no agrupados
Valor o valores con frecuencia mayor
12. Moda para datos agrupados
Mo
LMo
d1
d1
*i
d2
13. Rango medio
Rangomedio
DMayor
DMenor
2
14. Eje medio
Ejemedio
Q1
Q3
2
15. Primer cuartil para datos no agrupados
(n 1)
Q1 :
Posición o ubicación
4
66

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
16. Tercer cuartil para datos no agrupados
3(n 1)
Posición o ubicación Q3 :
4
17. Cálculo de los fractiles (cuartiles, deciles y percentiles)
número de fractil deseado
( n)
total de fractiles
Posición o ubicación Fk :
Fk
dc
* ik
fc
Lik
18. Rango o alcance
Rango
DM
Dm
19. Rango intercuartil
Rango Intercuartil
Q3
Q1
P75
P25
20. Desviación media para datos no agrupados
n
xi
x
i 1
DM
n
21. Desviación media para datos agrupados
n
f i xi
DM
x
i 1
n
22. Varianza poblacional para datos no agrupados
N
2
xi
2
i 1
N
23. Varianza muestral para datos no agrupados
n
xi
s2
i 1
n 1
67

x
2
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
24. Varianza poblacional para datos agrupados
N
)2
f i * ( xi
2
i 1
N
25. Varianza muestral para datos agrupados
n
f i * ( xi
s2
x)2
i 1
n 1
26. Coeficiente de variabilidad poblacional y muestral
s
100
x
27. Coeficiente de asimetría alpha para datos no agrupados
C.V
100
C.V
n
xi
3
x
i 1
alpha
n * s3
28. Coeficiente de asimetría alpha para datos agrupados
3
f * xi
alpha
x
n * s3
29. Coeficiente de curtosis para datos no agrupados
n
xi
x
4
i 1
beta
n * s4
30. Coeficiente de curtosis para datos agrupados
4
n
xi
beta
i 1
n * s4
68

x
 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Bibliografía
Anderson, D. R., D. J. Sweeney y T. A. Williams (2005). Estadística para administración y
economía. México: Thomson, 8a edición.
Berenson, M. L., Levine. D. M. y Krehbiel, T. C. (2001). Estadística para Administración. México:
Pearson Educación, 2a edición.
Black, K. (2005). Estadística en los negocios. México: CECSA, 4ª edición en inglés, 1a
edición en español.
Chao, L. L. (1993). Estadística para las ciencias administrativas. México: McGraw-Hill, 3a
edición.
Flores García, R. y H. Lozano (1998). Estadística aplicada a la administración. México:
Iberoamérica.
Freund, W. y Perles (1990). Estadística para la Administración. Un enfoque moderno. México:
Prentice Hall.
Glass, G. V. y Stanley, J. C. (1980). Métodos estadísticos aplicados a las Ciencias Sociales. México:
Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.
Hopkins, Kenneth D., B. R. Hopkins y G. V. Glass (1997). Estadística básica para las
ciencias sociales y del comportamiento. México: McGraw-Hill.
Johnson, R. y P. Kuby (2004). Estadística elemental, lo esencial. México: Thomson, 3a
edición.
Johnson, R. (1996). Elementary Statistics. California, USA: Ed. Belmont, Duxbury.
Kazmier Leonard y Mata Alfredo (1993). Estadística aplicada a la administración y a la economía.
México: McGraw-Hill Serie Shaums.
Kenned, J. B. y Neville A. M. (1974). Estadística para Ciencias e Ingeniería. México: Harla & Row
Latinoamericana.
Lassar G. G. (1969). Estadística Descriptiva. Texto programado. México. Editorial Limusa.
Levin, R. I., D. S. Rubin, M. Balderas, J. C. Del Valle y R. Gómez (2004). Estadística para
administración y economía. México: Pearson Educación, 7a edición.
Levine, D. M., T. C. Krehbil y M. L. Berenson (2006). Estadística para adminitración.
México: Pearson Educación, 4a edición.
Lind, D. A., W. G. Marchal y S. A. Wathen (2005). Estadística aplicada a los negocios y la
economía. México: McGraw- Hill, 12ª edición.
Lind, D. A., R. D. Mason y W. G. Marchal (2004). Estadística para administración y
economía. México: Alfaomega, 11a edición.
Martínez, C. (2001). Estadística básica aplicada. Bogotá, Colombia: ECOE Ediciones.
Mendenhall, W., R. J. Beaver (2002). Introducción a la probabilidad y la estadística.
México: Thomson.
69

 MEDIDAS RESUMEN
CAPÍTULO 3
Martínez, C. (2002). Estadística y muestreo. Bogotá, Colombia: ECOE Ediciones.
Mures, M. J. Coordinadora (2004). Problemas de estadística descriptiva aplicada a las
ciencias sociales. Madrid: Pearson Educación -(Universidad Complutense de León).
Newbold, P. (1997). Estadística para los negocios y la economía. México: Prentice Hall
(Pearson Educación).
Peña, D. y J. Romo (1997). Introducción a la estadística para las ciencias sociales.
Madrid: McGraw-Hill.
Pérez, C. (2002). Estadística aplicada con EXCEL. Madrid: Pearson Educación(Universidad Complutense de Madrid).
Pérez, C. (2003). Estadística. Problemas resueltos y aplicaciones. Madrid: Pearson
Educación -(Universidad Complutense de Madrid).
Pulido S. R. (1978). Estadística y técnicas de Investigación. Madrid: Ediciones Pirámide.
Rickmers, A. D. y Todd H. N. (1971). Introducción a la estadística. Barcelona: España.
Compañía Editorial Continental S.A.
Ritchey, F. J. (2002). Estadística para ls ciencias sociales. El potencial de la imaginación
estadística. México: McGRAW-Hill.
Stevenson, W. J. (1981). Estadística para administración y economía. Conceptos y
aplicaciones. México: Alfaomega-Oxford.
Runyon Haber (1984). Estadística para las Ciencias Sociales. México: Fondo
Educativo Interamericano.
Triola, M. F. (2004). Estadística elemental. México: Pearson Educación, 9a edición.
Webster, A. L. (2000). Estadística aplicada a los negocios y la economía. México:
McGraw-Hill, 3a edición.
Weiers, R. M. (2006). Introducción a la estadística para negocios. México: Thomson, 5a
edición.
Weinberg, S. L. y G. Kenneth (1982). Estadística básica par alas ciencias sociales.
México: Nueva Editorial Interamericana.
70
