conceptos fundamentales en eldiseño de filtros

TEMA 3
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL
DISEÑO DE FILTROS
3.1 Normalización
Cuando se trabaja con circuitos eléctricos es usual normalizar la frecuencia y el nivel de
impedancia. La normalización no causa ninguna pérdida de generalidad y se efectúa únicamente
por conveniencia en el cálculo numérico, especialmente en el cálculo a mano, para evitar la tediosa manipulación de grandes potencias de 10. También minimiza el efecto de los errores de
redondeo.
La normalización en frecuencia consiste simplemente en un cambio en la escala de frecuencia mediante la división de la variable de frecuencia por una frecuencia de normalización
Ωo escogida adecuadamente. Por tanto la frecuencia normalizada es,
s
s n = ------Ωo
(3.1)
De forma análoga la normalización del nivel de impedancias se efectúa dividiendo todas
las impedancias del circuito por una resistencia de normalización Ro. Las resistencias, inductores y condensadores se transforma como sigue,
R
R n = -----Ro
s⎞
⎛ -----⎝ Ω o-⎠ Ω o L
s n L n = ----------------------Ro
1
1
1
----------- = ------- ----------------sn Cn
s Ω CR
------- o o
Ωo
(3.2)
Los valores normalizados son:
R
R n = -----Ro
Ωo
L n = L ------Ro
C n = CΩ o R o
Es conveniente hacer las siguientes puntualizaciones sobre la normalización:
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(3.3)
CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS
1) Un efecto de la normalización es eliminar las dimensiones del circuito (sn, Rn, Ln y Cn
son magnitudes adimensionales). Esto facilita recordar las relaciones para la desnormalización.
2) Funciones de sistema adimensionales tales como cocientes de intensidades o la función
de transferencia en tensión H(s)=Vout/Vin son independientes del nivel de impedancia.
Por tanto, la resistencia de normalización Ro es un parámetro libre que el diseñador
puede escoger para obtener valores convenientes de los elementos.
3.2 Clasificación de filtros
3.2.1 Filtros paso de baja
La función básica de un filtro paso de baja (LP) es pasar las frecuencias bajas con muy
pocas pérdidas y atenuar las altas frecuencias. La Fig. 3.1 muestra un esquema típico de especificaciones de un filtro paso de baja. El filtro LP debe pasar las señales entre DC y la frecuencia
de corte ωp, con una atenuación máxima de Amax dB. La banda de frecuencias entre DC y ωp se
conoce como banda de paso. Las frecuencias por encima de ωs deben tener al menos Amin dB
de atenuación. La banda de frecuencias entre ωs y infinito se denomina banda de rechazo y ωs
se denomina frecuencia límite de la banda de rechazo. La banda de frecuencias entre ωp y ωs
se denomina banda de transición. Los parámetros ωp, ωs, Amin, y Amax describen completamente las especificaciones del filtro LP.1
Fig.3.1 Daryanani
Figura 3.1: Especificaciones de filtro paso de baja.
Una función de transferencia de segundo orden que implementa una característica paso de
baja es:
1. Una descripción más general de la banda de rechazo podría incluir diferentes niveles de atenuación en
distintas secciones de la banda de rechazo. En la mayoría de las aplicaciones es suficiente establecer un
único nivel por lo que nos limitaremos a este caso.
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Análisis y síntesis de circuitos
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3.2 Clasificación de filtros
2
Vo
ωp
b
Ganancia = ------ = ------------------------=
--------------------------------2
Vi
2
2 ωp
s + as + b
s + ------s + ω p
Qp
(3.4)
Como se muestra en la Fig. 3.2 la atenuación a bajas frecuencias se aproxima a la unidad (0 dB)
mientras que a altas frecuencias aumenta como s2, es decir 40 dB/década. La función de transferencia tiene dos polos, como se muestra en la Fig. 3.2(b). La localización de los polos determina el aspecto de la respuesta del filtro en la banda de paso. Para polos de alta Q la protuberancia de la banda de paso ocurre a la frecuencia del polo ωp y lo afilado de la protuberancia aumenta con la Q del polo.
Fig.3.3 Daryanani
Figura 3.2: Función LP de segundo orden: (a) Atenuación; (b) Diagrama polo/cero.
Una aplicación familiar de filtros LP es en el control del tono de algunos amplificadores
de alta fidelidad.
3.2.2 Filtros paso de alta
Un filtro paso de alta (HP) pasa las frecuencias por encima de una frecuencia dada denominada frecuencia de corte. Tal como se muestra en la Fig. 3.3 la banda de paso se extiende
desde ωp a ∞ y la banda de rechazo desde 0 hasta ωs. Los parámetros ωs, ωp, Amin y Amax caracterizan completamente las especificaciones del filtro HP.
Una función de transferencia de segundo orden con característica paso de alta es
2
2
Vo
s
s
------ = ------------------------- = --------------------------------2
Vi
2
2 ωp
s + as + b
s + ------s + ω p
Qp
(3.5)
La ganancia tiene un par de polos complejos y un cero doble en el origen como se muestra en
la Fig. 3.4(a). La atenuación a alta frecuencia se aproxima a la unidad mientras que a baja frecuencia aumenta a 40 dB/década, como aparece en la Fig. 3.4(b).
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Análisis y síntesis de circuitos
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS
Fig. 3.4 Daryanani
Figura 3.3: Especificaciones de filtro paso de alta.
Fig. 3.5 Daryanani
Figura 3.4: Filtro HP de segundo orden: (a) Diagrama polo-cero; (b) Atenuación.
3.2.3 Filtros paso de banda
Los filtros paso de banda pasan las señales en una banda de frecuencias con atenuación
muy baja mientras que rechazan las frecuencias a ambos lados de esta banda, tal como se
muestra en la Fig. 3.5. La banda de paso de ω1 a ω2 tiene una atenuación máxima de Amax dB
y las dos bandas de rechazo, de DC a ω3 y de ω4 a ∞, tienen una atenuación mínima de Amin dB.
Una función de transferencia de segundo orden con característica paso de banda es
ωp
------s
Vo
Qp
------ = --------------------------------Vi
2 ωp
2
s + ------s + ω p
Qp
(3.6)
Esta función tiene un par de polos complejos en el semiplano izquierdo del plano s y un cero en
el origen (Fig. 3.6(a)). A bajas frecuencias y a altas frecuencias la atenuación aumenta como s,
es decir, 20 dB/década. A la frecuencia de polo ωp la atenuación es la unidad (Fig. 3.6(b)).
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Análisis y síntesis de circuitos
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3.2 Clasificación de filtros
Fig.3.6 Daryanani
Figura 3.5: Especificaciones típicas de filtro paso de banda.
Fig.3.7 Daryanani
Figura 3.6: Filtro BP de segundo orden: (a) Diagrama polo-cero; (b) Atenuación.
3.2.4 Filtros rechazo de banda
Los filtros rechazo de banda (BR) se usan para rechazar una banda de frecuencias de una
señal, como se muestra en la Fig. 3.7. La banda de frecuencias a rechazar es la banda de rechazo
entre ω3 y ω4. La banda de paso se extiende por debajo de ω1 y por encima de ω2.
Fig.3.12 Daryanani
Figura 3.7: Especificaciones de filtro rechazo de banda.
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Análisis y síntesis de circuitos
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS
Una función de segundo orden con característica rechazo de banda es
2
2
s + ωz
Vo
------ = --------------------------------Vi
2
2 ωp
s + ------s + ω p
Qp
(3.7)
Esta función tiene polos complejos en el semiplano izquierdo del plano s y ceros complejos en
el eje jω. Si ωz=ωp la frecuencia de los polos es igual que la frecuencia de los ceros (Fig. 3.8(a)).
La atenuación a bajas frecuencias y altas frecuencias se aproxima a la unidad mientras que la
atenuación a la frecuencia de cero s=jωz es infinito (Fig. 3.8(b)). Este caso se denomina "symmetrical notch".
Fig.3.13 Daryanani
Figura 3.8: Filtro BR de segundo orden: (a) Diagrama polo-cero; (b) Atenuación.
Si ωz»ωp, (3.7) representa una función paso de baja con un cero en la banda de rechazo,
como se muestra en la Fig. 3.9(a). En este caso la atenuación a altas frecuencias es mayor que
a bajas frecuencias. Esta característica de filtro se denomina corte de paso de baja ("low-passnotch"). Si ωz«ωp la función obtenida se denomina corte de paso de alta ("high-pass-notch").
3.2.5 Ecualizadores de ganancia
Los ecualizadores de ganancia se utilizan para modificar el espectro de ganancia frente a
frecuencia de una señal dada. Cualquier forma de ganancia frente a frecuencia que no entra dentro de una de las cuatro categorías estándar (LP, HP, BP, BR) se considera un ecualizador de
ganancia.
3.2.6 Ecualizadores de retraso
Hasta ahora se han discutido características de ganancia de los filtros pero no se ha prestado atención a las características de fase. Para realizar las especificaciones de magnitud más
eficientemente (función de sistema H(s) con el menor orden posible) normalmente se ponen todos los ceros de transmisión (raíces de N(s)) en el eje jω. La función de sistema resultante tiene
fase mínima. Se puede demostrar que en esta función de fase mínima, magnitud y fase no son
independientes. Una vez que se especifica la magnitud, la fase viene determinada. En muchas
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3.2 Clasificación de filtros
Fig.3.14 Daryanani
Figura 3.9: (a) Low-Pass-notch; (b) High-pass notch.
aplicaciones esto es justificable porque el oído humano es insensible a los cambios de fase. En
la transmisión de voz no es necesario tener en cuenta las características de fase de los filtros. Sin
embargo, en los sistemas de transmisión digital, donde la información se transmite como pulsos
cuadrados en el dominio del tiempo, las distorsiones de fase introducidas por el filtro causan un
retraso variable que no puede ignorarse.
En estos casos el retraso ha de ser corregido, para lo que se introduce un ecualizador de
retraso detrás del filtro. Los ecualizadores de retraso se usan para compensar las distorsiones
de retraso introducidas por otros filtros u otras partes del sistema de transmisión. El propósito
del ecualizador de retraso es introducir la modificación de retraso necesaria para hacer el retraso
total (filtro+ecualizador) tan plano como sea posible. Además, el ecualizador de fase no debe
perturbar la característica de atenuación del filtro.
En situaciones como ésta. en la que se especifica magnitud y fase, la función de sistema
no puede ser de fase mínima, es decir, H(s) debe tener ceros en el semiplano derecho. Esta función se separa en dos componentes:
H NMP ( s ) = H MP ( s )H AP ( s )
(3.8)
donde el subíndice NMP significa "non-minimum phase", MP "minimum phase" y AP "allpass".
Esta separación se consigue añadiendo un polo y un cero a HNMP(s) en el semiplano
izquierdo en las posiciones especulares de los ceros del semiplano derecho. HAP(s) se forma in-
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Análisis y síntesis de circuitos
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CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN EL DISEÑO DE FILTROS
cluyendo en NAP(s) los ceros del semiplano derecho y en DAP(s) los polos que son imágenes
especulares. HMP(s) (fase mínima) incluye los restantes polos y ceros.
Ejemplo
Expresar la siguiente función, que no es de fase mínima, como producto de una función
de fase mínima HMP(s) y una función pasa todo HAP(s):
2
2
( s + 2s + 6 ) ( s – 4s + 8 ) ( s – 3 )
H NMP ( s ) = -----------------------------------------------------------------------------2
2
( s + s + 4 ) ( s + 3s + 7 ) ( s + 1 )
(3.9)
HNMP(s) tiene tres ceros en el semiplano derecho, uno en s1=3 y s2,3=2±j2. Aumentamos
HNMP(s) con tres polos y tres ceros que son imágenes especulares de s1, s2, y s3:
2
2
2
( s + 2s + 6 ) ( s – 4s + 8 ) ( s – 3 ) ( s + 3 ) ( s + 4s + 8 )
H NMP ( s ) = -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
2
( s + s + 4 ) ( s + 3s + 7 ) ( s + 1 ) ( s + 3 ) ( s + 4s + 8 )
(3.10)
Se separa en:
2
N AP ( s )
( s – 3 ) ( s – 4s + 8 )
H AP ( s ) = ----------------- = ----------------------------------------------2
D AP ( s )
( s + 3 ) ( s + 4s + 8 )
2
2
N MP ( s )
( s + 3 ) ( s + 4s + 8 ) ( s + 2s + 6 )
H MP ( s ) = ------------------ = -----------------------------------------------------------------------------2
2
D MP ( s )
( s + 1 ) ( s + s + 4 ) ( s + 3s + 7 )
(3.11)
y HNMP(s)=HMP(s)HAP(s). El precio pagado es un aumento del orden de la función de sistema
en el número de ceros en el semiplano derecho.
Un ecualizador de retraso de segundo orden viene dado por la función
2
Vo
s – as + b
------ = ------------------------2
Vi
s + as + b
(3.12)
Los polos y ceros complejos de esta función son simétricos respecto al eje jω, tal como se
muestra en la Fig. 3.10.
Para explicar la denominación "all-pass" o pasa todo consideremos que HAP(s) tiene en
NAP(s) raíces en el semiplano derecho que son imágenes especulares de las raíces de DAP(s) en
el semiplano izquierdo. Por tanto,
N AP ( s ) = ± D AP ( – s )
(3.13)
por lo que
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3.2 Clasificación de filtros
Fig.3.18 Daryanani
Figura 3.10: Diagrama polo-cero de un ecualizador de retraso de segundo orden.
D AP ( – s )
H AP ( s ) = ± --------------------D AP ( s )
(3.14)
La magnitud |HAP(jω)|=1 para cualquier frecuencia ω, es decir, las señales pasan perfectamente
bien a cualquier frecuencia. Por tanto,
H AP = e
jφ AP ( ω )
(3.15)
donde
D Api ( ω )
φ AP ( ω ) = – 2 atan -------------------D APr ( ω )
(3.16)
Una función de sistema pasa todo puede realizar una función arbitraria de la fase. Esta
característica nos permite encontrar una función de transferencia H(s) eficiente, apropiada para
las especificaciones de magnitud e implementar el filtro correspondiente. Si la fase o retraso resultante no es satisfactorio se busca una función pasa todo HAP(s) que multiplique a H(s) de forma que la fase total φ(t) o retraso total τT sea el requerido. Los dos circuitos se conectan en cascada y las fases o retrasos individuales se suman,
φ T ( ω ) = φ ( ω ) + φ AP ( ω )
(3.17)
τ T ( ω ) = τ ( ω ) + τ AP ( ω )
El filtro pasa todo en cascada únicamente puede aumentar la fase y el retraso de H(s) pero esto
no es problema puesto que normalmente sólo es importante la linealidad de la fase o constancia
del retraso.
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