Variable Compleja I Tema 1: Números complejos El cuerpo de los números complejos 1 El cuerpo de los números complejos 2 Conjugación y módulo 3 Argumentos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El cuerpo de los números complejos El cuerpo C Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto por escalares: λ (x, y) = (λx, λy) ∀ λ, x, y ∈ R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma (x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2 Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma (x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2 x −y = (1, 0) (x, y) 2 , x + y2 x 2 + y2 ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma (x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2 x −y = (1, 0) (x, y) 2 , x + y2 x 2 + y2 ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo: El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma (x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2 x −y = (1, 0) (x, y) 2 , x + y2 x 2 + y2 ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo: El cuerpo de los números complejos, que se denota por C El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El cuerpo C R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Suma: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) ∀ x, y, u, v ∈ R Producto: (x, y)(u, v) = (xu − yv, xv + yu) ∀ x, y, u, v ∈ R R2 con la operación suma es un grupo abeliano El producto es asociativo, conmutativo y distributivo respecto a la suma (x, y)(1, 0) = (x, y) ∀ (x, y) ∈ R2 x −y = (1, 0) (x, y) 2 , x + y2 x 2 + y2 ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} Por tanto, con las dos operaciones tenemos un cuerpo conmutativo: El cuerpo de los números complejos, que se denota por C Como conjuntos: C = R2 El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Partes real e imaginaria de un número complejo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) Partes real e imaginaria de un número complejo El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) Partes real e imaginaria de un número complejo Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1 def y (0, 1) = i (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) Partes real e imaginaria de un número complejo Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1 def y (0, 1) = i (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) Partes real e imaginaria de un número complejo Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1 def y (0, 1) = i (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R x es la parte real de z: x = Re z El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Partes real e imaginaria de un número complejo Inclusión de R en C x 7→ (x, 0), de R en C, monomorfismo de cuerpos. Por tanto, R ∼ = {(x, 0) : x ∈ R} ⊂ C Identificamos R 3 x ≡ (x, 0) ∈ C con lo que R ⊂ C El producto por escalares en R2 es caso particular del producto en C: λ(x, y) = (λx, λy) = (λ, 0)(x, y) Partes real e imaginaria de un número complejo Base usual de R2 : (1, 0) ≡ 1 def y (0, 1) = i (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + yi Cada z ∈ C se escribe de manera única como z = x + iy con x, y ∈ R x es la parte real de z: x = Re z y es la parte imaginaria de z: y = Im z El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Re(z + w) = Re z + Re w Im(z + w) = Im z + Im w Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Re(z + w) = Re z + Re w Im(z + w) = Im z + Im w Producto Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Re(z + w) = Re z + Re w Im(z + w) = Im z + Im w Producto Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Re(z + w) = Re z + Re w Im(z + w) = Im z + Im w Producto Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 zw = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i2 yv = (xu − yv) + i(xv + yu) Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Operaciones con parte real e imaginaria z, w ∈ C , z = x + iy , w = u + iv , x, y, u, v ∈ R Suma z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) Re(z + w) = Re z + Re w Im(z + w) = Im z + Im w Producto Basta tener en cuenta que i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 zw = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i2 yv = (xu − yv) + i(xv + yu) Re(zw) = Re z Re w − Im z Im w Im(zw) = Re z Im w + Im z Re w Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación Complejo conjugado Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Propiedades de la conjugación Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Propiedades de la conjugación z+w = z + w Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Propiedades de la conjugación z+w = z + w zw = z w Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Propiedades de la conjugación z+w = z + w zw = z w z =z Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Conjugación Complejo conjugado z = Re z − i Im z ∀ z ∈ C Re z = Re z = z+ z z− z , Im z = − Im z = 2 2i Propiedades de la conjugación z+w = z + w zw = z w z =z Automorfismo involutivo del cuerpo C Argumentos El cuerpo de los números complejos Módulo de un número complejo Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 Propiedades del módulo = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 Propiedades del módulo |z| ∈ R+ 0 ∀z ∈ C = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 Propiedades del módulo |z| ∈ R+ 0 ∀z ∈ C |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 = (Re z)2 + (Im z)2 Propiedades del módulo |z| ∈ R+ 0 ∀z ∈ C |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 |z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C 1/2 ∀z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Propiedades del módulo |z| ∈ R+ 0 ∀z ∈ C |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 |z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C max | Re z|, | Im z| 6 |z| 6 | Re z| + | Im z| ∀ z ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Módulo de un número complejo Módulo de un número complejo |z| = z z 1/2 = (Re z)2 + (Im z)2 1/2 ∀z ∈ C Propiedades del módulo |z| ∈ R+ 0 ∀z ∈ C |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 |z| − |w| 6 |z ± w| 6 |z| + |w| ∀ z, w ∈ C max | Re z|, | Im z| 6 |z| 6 | Re z| + | Im z| ∀ z ∈ C |z w| = |z| |w| ∀ z, w ∈ C Argumentos El cuerpo de los números complejos Argumentos Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene: El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene: ( cos θ = Re z / |z| θ ∈ Arg z ⇐⇒ sen θ = Im z / |z| El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene: ( cos θ = Re z / |z| θ ∈ Arg z ⇐⇒ sen θ = Im z / |z| Relación entre ellos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene: ( cos θ = Re z / |z| θ ∈ Arg z ⇐⇒ sen θ = Im z / |z| Relación entre ellos z ∈ C∗ , θ1 , θ2 ∈ Arg z =⇒ ∃ k ∈ Z : θ2 = θ1 + 2kπ El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumentos Argumentos de un número complejo no nulo def z ∈ C∗ = C \ {0} Arg z = θ ∈ R : z = |z| cos θ + i sen θ Equivalentemente, para z ∈ C∗ y θ ∈ R se tiene: ( cos θ = Re z / |z| θ ∈ Arg z ⇐⇒ sen θ = Im z / |z| Relación entre ellos z ∈ C∗ , θ1 , θ2 ∈ Arg z =⇒ ∃ k ∈ Z : θ2 = θ1 + 2kπ Por tanto: θ ∈ Arg z =⇒ Arg z = {θ + 2kπ : k ∈ Z} El cuerpo de los números complejos El argumento principal Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos El argumento principal Argumento principal Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El argumento principal Argumento principal Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al intervalo semiabierto ] − π, π ] . Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El argumento principal Argumento principal Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al intervalo semiabierto ] − π, π ] . Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z . Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El argumento principal Argumento principal Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al intervalo semiabierto ] − π, π ] . Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z . De hecho se tiene: arg z = sgn Im z arc cos entendiendo que sgn(0) = 1. Re z |z| ∀ z ∈ C∗ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo El argumento principal Argumento principal Para cada z ∈ C ∗ , existe un único argumento de z que pertenece al intervalo semiabierto ] − π, π ] . Se le llama argumento principal de z y se denota por arg z . De hecho se tiene: arg z = sgn Im z arc cos Re z |z| ∀ z ∈ C∗ entendiendo que sgn(0) = 1. A partir del argumento principal obtenemos los demás: Arg z = arg z + 2kπ : k ∈ Z Argumentos El cuerpo de los números complejos Argumento de un producto Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Argumento de un producto Planteamiento algebraico: Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗ luego tenemos una aplicación (sobreyectiva) Arg : C∗ → R/2πZ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗ luego tenemos una aplicación (sobreyectiva) Arg : C∗ → R/2πZ Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗ luego tenemos una aplicación (sobreyectiva) Arg : C∗ → R/2πZ Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene: Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗ luego tenemos una aplicación (sobreyectiva) Arg : C∗ → R/2πZ Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene: Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w Ası́ pues, Arg : C∗ → R/2πZ es un epimorfismo de grupos Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto Planteamiento algebraico: 2πZ = {2kπ : k ∈ Z} es un subgrupo aditivo de R Considerando el grupo cociente R/2πZ, es claro que Arg z ∈ R/2πZ ∀ z ∈ C∗ luego tenemos una aplicación (sobreyectiva) Arg : C∗ → R/2πZ Propiedad clave del conjunto de todos los argumentos Para cualesquiera z, w ∈ C∗ se tiene: Arg (z w) = Arg z + Arg w = θ + ϕ : θ ∈ Arg z , ϕ ∈ Arg w Ası́ pues, Arg : C∗ → R/2πZ es un epimorfismo de grupos def Restringido a T = {z ∈ C : |z| = 1} es un isomorfismo: T ∼ = R/2πZ Argumentos El cuerpo de los números complejos Argumento de un producto (cont.) Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗ Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗ Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗ Inconvenientes de elegir un argumento Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗ Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗ Inconvenientes de elegir un argumento Para z = w = −1 se tiene arg z + arg w = 2π 6= 0 = arg (zw) Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumentos Argumento de un producto (cont.) Consecuencias Arg (z/w) = Arg z − Arg w ∀ z, w ∈ C∗ Arg (1/z) = Arg z = − Arg z ∀ z ∈ C∗ Inconvenientes de elegir un argumento Para z = w = −1 se tiene arg z + arg w = 2π 6= 0 = arg (zw) No existe una función ϕ : C∗ → R que verifique ϕ(z) ∈ Arg z ∀ z ∈ C∗ y ϕ(zw) = ϕ(z) + ϕ(w) ∀ z, w ∈ C∗ El cuerpo de los números complejos Argumento de un producto (cont.) Conjugación y módulo Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Interpretación geométrica del producto Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Interpretación geométrica del producto Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u: |uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz) ∀ z ∈ C∗ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Interpretación geométrica del producto Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u: |uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz) ∀ z ∈ C∗ Dado ρ ∈ R+ la aplicación z → ρz es la homotecia de razón ρ: |ρz| = ρ |z| , arg (ρz) = arg z ∀ z ∈ C∗ Argumentos El cuerpo de los números complejos Conjugación y módulo Argumento de un producto (cont.) Interpretación geométrica del producto Dado u ∈ T, la aplicación z → uz es el giro de ángulo θ = arg u: |uz| = |z| , arg u + arg z ∈ Arg (uz) ∀ z ∈ C∗ Dado ρ ∈ R+ la aplicación z → ρz es la homotecia de razón ρ: |ρz| = ρ |z| , arg (ρz) = arg z ∀ z ∈ C∗ Por tanto, dado w ∈ C∗ , la aplicación z → wz es composición de la homotecia de razón ρ = |w| con el giro de ángulo θ = arg w. Argumentos