Límite de funciones de varias variables

Capı́tulo 1
Lı́mite de una función de varias variables
En el pasado, en el curso cálculo 10, tuvimos nuestro primer contacto con los lı́mites,
en esa oportunidad, estudiamos el lı́mite para funciones de una variable. Esto es, investigamos qué valor (si lo hubiese) toma f (x) cuando x esta muy próximo a x0 (bien sea
por la derecha de x0 o por la izquierda de x0 ). Si L es el valor que toma f (x) cuando
x se aproxima a x0 (sin llegar a ser x0 ), entonces decimos que:
lı́m f (x) = L
x→x0
y se lee “el lı́mite cuando x tiende a x0 de f (x) es L”.
Formalmente, la definición de lı́mite de una función f en el punto x0 es:
Definición 1.1 lı́m f (x) = L, si y sólo si, para todo ϵ > 0, existe δ(ϵ) > 0 tal que si
x→x0
0 < |x − x0 | < δ entonces |f (x) − L| < ϵ
Una vez retomado el concepto de lı́mite, o lo que es igual, una vez que hemos vivido
nuevamente el concepto de lı́mite (recordar es vivir) regresemos a Cálculo 30. En la
actualidad, nos ocupa nuevamente estudiar el lı́mite, pero esta vez, para funciones de
dos o más variables. Lo bueno, es que la idea inmersa en el estudio de lı́mites (la
definición de lı́mite) para funciones de una variable se mantiene intacta para el caso de
funciones de dos o más variables. Es decir, si f es una función de dos o más variables
nos interesa investigar el valor que toma f (x) (si éste existe) cuando x (x = (x, y)
para f de dos variables, x = (x, y, z) para f de tres variables, . . .) se aproxima a x0
(x0 = (x0 , y0 ) para f de dos variables, x0 = (x0 , y0 , z0 ) para f de tres variables, . . .). Si
L es el valor que toma f (x) cuando x se aproxima a x0 (sin llegar a ser x0 ), entonces
decimos que:
lı́m f (x) = L
x→x0
Formalmente, la definición de lı́mite para una función f de dos o más variables en un
punto x0 es:
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Definición 1.2 lı́m f (x) = L, si y sólo si, para todo ϵ > 0, existe δ(ϵ) > 0 tal que si
x→x0
0 < ∥x − x0 ∥ < δ entonces |f (x) − L∥ < ϵ
Al comparar ambas definiciones se advierte que difieren prácticamente en nada. Bueno,
un lector dedicado notarı́a que para funciones de una variable usamos 0 < |x − x0 | < δ,
mientras que para funciones de varias variables usamos 0 < ∥x − x0 ∥ < δ. La expresión
∥ · ∥ denota la norma que se emplea para medir la distancia entre dos puntos.
Para funciones de dos variables, tenemos x = (x, y) y x0 = (x0 , y0 ), ası́:
√
∥x − x0 ∥ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2
Para funciones de tres variables, tenemos x = (x, y, z) y x0 = (x0 , y0 , z0 ), ası́
√
∥x − x0 ∥ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
Establecido el concepto de lı́mite para funciones de varias variables, lo siguiente es,
responder la pregunta
¿Cómo se calcula el lı́mite de una función de varias variables?
La cual, conlleva a la siguiente pregunta
¿Cómo sabemos si el lı́mite existe o no existe?
Enfrentados a la necesidad de calcular un lı́mite, lo primero es probar con la sustitución
directa de las variables; si el resultado es un número, entonces el lı́mite existe y el valor
lı́mite es el valor obtenido. Sin embargo, si el lector no se convence de esta manera
con la existencia del lı́mite y que dicho número es el valor lḿite , lo puede demostrar
usando la definición.
Ejemplo 1.3 Calcular el siguiente lı́mite
lı́m
(x,y)→(1,2)
(x2 − y)
Solución. Hacemos la sustitución directa, esto es:
lı́m
(x,y)→(1,2)
(x2 − y) = 1 − 2 = −1.
Entonces, el lı́mite existe y vale −1.
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Supongamos que usted, mi querido lector, no esta convencido de este resultado y requiere que el mismo sea demostrado. En ese caso, apelamos a la definición y para
demostrar que existe y vale −1 buscaremos la existencia de un δ > 0 para un ϵ > 0
dado que garantice que para valores de x = (x, y) cercanos a x0 = (1, 2) las imágenes
de f (x) están muy cercanas a L = −1. Es decir:
lı́m (x2 − y) = −1 si y sólo si para cada ϵ > 0, buscamos un δ(ϵ) > 0 tal que si
(x,y)→(1,2)
0 < ∥(x, y) − (1, 2)∥ < δ entonces |x2 − y + 1| < ϵ. En este caso,
√
∥(x, y) − (1, 2)∥ = (x − 1)2 + (y − 2)2 < δ
Notemos que:
√
√
(x − 1)2 < (x − 1)2 + (y − 2)2 < det lo que implica |x − 1| < δ
√
√
|y − 2| = (y − 2)2 < (x − 1)2 + (y − 2)2 < det lo que implica |y − 2| < δ
|x − 1| =
Ahora tomamos de la definición lo que se desea acotar con ϵ, lo manipulamos algebraicamente para aplicar la desigualdad triangular y al conseguirlo aparecerán los términos
anteriores que están acotados por δ. Puede ocurrir que aparezcan términos que no estén
acotados por δ, en ese caso, necesitaremos asignarle a δ un valor muy pequeo (sin perder
generalidad, podemos asignarle a δ el valor de 1) que nos permita acotar tales términos
por un número. Veamos que ocurre
|x2 − y + 1| = |x2 − y − 1 + 2| = |x2 − 1 + (−y + 2)| ≤ |x2 − 1| + |y − 2| (1.1)
= |x − 1||x + 1| + |y − 2|
(1.2)
Tal como esperábamos |x − 1| y |y − 2| están acotados por δ, pero |x + 1| no lo esta.
Para poder acotarlo, asignamos δ = 1 y partimos de |x − 1| < δ = 1. Luego usando
propiedades del valor absoluto encontraremos una cota para |x + 1|.
|x − 1| < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇒ 1 < x + 1 < 2 ⇒ −2 < 1 < x + 1 < 2
⇒ −2 < x + 1 < 2 ⇒ |x + 2| < 2
Ahora retomanos 1.1 y sustituimos las tres cotas obtenidas:
|x2 − y + 1| ≤ |x − 1||x + 1| + |y − 2| < 2δ + δ = 3δ < ϵ ⇒ δ <
ϵ
3
Por lo tanto, si tomamos δ = mı́n{1, 3ϵ } garantizamos que el lı́mite de f (x, y) = x − y 2
cuando (x, y) se aproxima a (1, 2) es −1.
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No hay nada especial en el ejemplo anterior, comprobar la existencia de un lı́mite
requiere realizar este procedimiento. Ahora bien, si miramos detenidamente la función
veremos que la misma esta definida en el punto (1, 2) lo cual nos permite hacer la
evaluación directa y obtener el resultado, gracias a ello, resulta muy sencillo (no siempre
es fácil) comprobar su existencia mediante la definición. Desde este punto de vista,
aceptamos de manera natural la existencia del lı́mite y el valor que toma. Observe en
el siguiente ejemplo, el punto donde se desea calcular el lı́mite esta definida la función,
por ello el lı́mite se calcula a través de una sustitución directa.
Ejemplo 1.4 Calcule el valor de los siguientes lı́mites.
1.
lı́m
(x,y)→(1,−1)
(x3 − 2xy + 1) = (1)3 − 2(1)(−1) + 1 = 4
2.
x + y2
1 + 02
1
=
=−
(x,y,z)→(1,0,−2) 3z − xy
3(−2) + (1)(0)
6
3.
sen x + 2 cos y
sen(π/2) + 2 cos π
=
=1
(x,y)→(π/2,π)
sen(x + y)
sen(π/2 + π)
lı́m
lı́m
En todos los casos el lı́mite existe y vale lo que indica (si el lector lo desea puede
corroborar los resultados demostrando la existencia empleando la definición). Con lo
explicado hasta ahora hemos dado parte de la respuesta a la pregunta ¿Cmo se calcula
el lı́mite de una función de varias variables?, pues hasta ahora, un lı́mite se puede
calcular vı́a evaluación directa siempre y cuando la función este definida en el punto.
Aún nos queda pendiente la siguiente pregunta ¿Cómo calcular el lı́mite si la funcin no
esta definida en el punto?. En este caso, el álgebra y/o un cambio de variable podrı́a
ayudar a calcular el lı́mite. Observe el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.5 Calcular los siguientes lı́mites
x2 + 2xy + y 2
1.
lı́m
(x,y)→(0,0)
x+y
2
2
Solución. Evidentemente, la función f (x, y) = x +2xy+y
no esta definida en
x+y
(0, 0) por lo que no es posible calcular el lı́mite por medio de una sustitución
directa. Observe que, si a pesar de ello decidı́eramos evaluar obtenemos la indeterminación 00 . No obstante, note que
x2 + 2xy + y 2 = (x + y)2
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Entonces:
x2 + 2xy + y 2
(x + y)2
= lı́m
= lı́m (x + y) = 0
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x + y
(x,y)→(0,0)
x+y
lı́m
sen(x2 + y 2 )
2.
lı́m
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
Solución. Nuevamente, evaluar el
{ lı́mite no es posible. Pero, podemos hacer el
x2 + y 2 = t,
siguiente cambio de variable C.V.
como (x, y) → (0, 0) entonces t → 0+ .
Por lo tanto:
sen t
sen(x2 + y 2 )
= lı́m+
=1
2
2
(x,y)→(0,0)
t→0
x +y
t
]
[
π cos(x2 + y 2 )
3.
lı́m
−
(x,y)→(0,0) 2
x2 + y 2
Solución. Nuevamente, evaluar el
{ lı́mite no es posible. Pero, podemos hacer el
x2 + y 2 = t,
siguiente cambio de variable C.V.
como (x, y) → (0, 0) entonces t → 0+ .
lı́m
Por lo tanto:
[
lı́m
(x,y)→(0,0)
4.
lı́m
√
]
[
]
π cos t
π cos(x2 + y 2 )
−
= lı́m+
−
= −∞
t→0
2
x2 + y 2
2
t
x2 + y 2
x2 + y 2 + 1 − 1
Solución. Nuevamente, evaluar el
{ lı́mite no es posible. Pero, podemos hacer el
x2 + y 2 = t,
siguiente cambio de variable C.V.
como (x, y) → (0, 0) entonces t → 0+ .
(x,y)→(0,0)
Por lo tanto:
lı́m
(x,y)→(0,0)
√
x2 + y 2
x2 + y 2 + 1 − 1
= lı́m+ √
t→0
t
t+1−1
Nótese que hemos llegamos al lı́mite de una variable, puedes usar conjugada o la
regla de L’Hopital, emplea el método que te cause mayor placer, para terminar
de obtener el valor lı́mite.
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Al parecer todo esta finalmente claro, sin embargo, existen muchos lı́mites que ni el
álgebra, ni un cambio de variable ayudan a determinar su existencia. Tal es el caso del
siguiente lı́mite:
3x2
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
En funciones de una variable x se aproxima a x0 sobre la recta real únicamente de
dos maneras: por la derecha (x → 0+ ) o por la izquierda (x → 0− ). Por esta razón la
existencia del lı́mite, en Cálculo 10, se garantiza cuando el lı́mite por la derecha es igual
al lı́mite por la izquierda. En cambio, en funciones de varias variables existen infinitas
maneras en la que el punto x puede aproximarse al punto x0 . Para tener una idea
de lo que expreso, pongamos el caso de funciones de dos variables donde x = (x, y) y
x0 = (x0 , y0 ). Es evidente, en este caso, que el punto x0 no necesariamente se encuentra
sobre una recta, pues, podrı́a ser un punto arbitrario en el plano y la pregunta simple
es ¿Cuántas curvas pueden pasar sobre el punto x0 de modo que sobre ellas el punto x
pueda acercarse a x0 ?
En la figura adjunta se muestran varias curvas
(C1 , C2 , C3 , C4 ) que pasan por x0 , tenga en cuenta que
C
en realidad por el punto x0 pueden pasar infinitas cury
C
vas, por lo que existen infinitas manera de acercarse a
C
x0 y para que el lı́mite exista cada uno de los lı́mites
x
C
calculados sobre cada una de las infinitas curvas debe
existir y dar igual.
Es decir, el lı́mite en el punto x0 existe si y sólo si el lı́mite existe y da el mismo valor
sobre todas las curvas que pasan por el punto x0 . En términos matemáticos:
1
0
2
3
0
4
lı́m f (x) existe ⇔
x→ x0
lı́m f (x) =
lı́m f (x) =
lı́m f (x) = · · ·
x → x0
x → x0
x → x0
x ∈ C1
x ∈ C2
x ∈ C3
Espero que el lector haya apreciado que es prácticamente imposible calcular el lı́mite
sobre todas las curvas que pasan por x0 . Por lo que resulta imposible demostrar la
existencia del lı́mite calculando todos los lı́mites sobre los infinitos caminos. El contrarecı́proco de este resultado nos brinda un criterio para demostrar la no existencia de
un lı́mite en el punto x0 .
Criterio para la no existencia de lı́mites: Si en el punto x0 el lı́mite existe y da
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diferente sobre dos caminos diferentes, entonces en el punto x0 el lı́mite no existe.
Ejemplo 1.6 Aplica el criterio para demostrar que el siguiente lı́mite no existe
3x2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Solución. Sobre el punto (0, 0) pasan las siguientes curvas: x = 0, y = 0, y = x,
y = 2x, y = 3x, y = x2 , y = x3 ,... espero que el lector haya captado que son bastantes curvas, recuerde que pueden ser infinitas, pero para aplicar el criterio no necesito
tenerlas todas, sólo necesito usar dos donde el lı́mite, en cada una, sea diferente.
Calculemos el lı́mite sobre la curva x = 0, entonces:
3x2
3(0)2
=
lı́m
=0
y→0 02 + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Calculemos el lı́mite sobre la curva y = 0, entonces
3x2
3x2
3x2
=
lı́m
=
lı́m
=3
x→0 x2 + 02
x→0 x2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
El lı́mite no existe ya que el resultado es diferente sobre curvas diferentes.
En ocasiones utilizar un camino parametrizado puede ayudar a demostrar la no existencia del lı́mite. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.7 Demuestra que el siguiente lı́mite no existe.
lı́m
(x,y)→(0,0) x2
xy
+ y2
Solución. La curva parametrizada y = mx evidentemente pasa por el punto (0, 0) sin
importar el valor de m (el parámetro). Por lo tanto, calculemos el lı́mite sobre la curva
y = mx.
3x2
3x2
3
xy
=
lı́m
=
lı́m
=
2
2
2
2
2
2
x→0 x + (mx)
x→0 x (1 + m )
(x,y)→(0,0) x + y
1 + m2
lı́m
Al quedar el valor del lı́mite dependiendo del parámetro muestra que el lı́mite en el
punto (0, 0) no existe. Expliquemos la razón:
Si m = 1 el lı́mite se calcula sobre la curva y = x y el valor del lı́mite es 3/2
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Si m = 2 el lı́mite se calcula sobre la curva y = 2x y el valor del lı́mite es 3/5
Finalmente, podemos encontrar funciones cuyo lı́mite en el punto x0 existe, aún cuando
la función no esta definida en el punto x0 . En estos lı́mites, no podemos evaluar por
lo que demostrar su existencia va más allá de una simple sustitución directa. Para
demostrar la existencia de dichos lı́mites se emplea el Teorema de la Función Acotada
(T.F.A.) o el Teorema de la Función Intermedia (T.F.I.), teniendo en cuenta algunas
acotaciones. conjunto con las siguientes acotaciones.
Teorema 1.8 (Teorema de la Función Acotada) Sea f y g definidas en un intervalo I, tales que para algún número M > 0 y x0 ∈ I un punto de acumulación, se
cumple que: |f (x)| ≤ M para todo x ∈ I y lı́m g(x) = 0. Entonces
x→x0
lı́m (f (x) · g(x)) = 0
x→x0
El T.F.A. establece: Si f (x) es una función acotada y el lı́mite de g(x) cuando x → x0
es cero, entonces el lı́mite del producto f (x)g(x) cuando x → x0 es también cero
Teorema 1.9 (Teorema de la Función Intermedia) Sean f , g y h funciones definidas en un intervalo I tales que para todo x ∈ I se cumple:
g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)
Si el lı́m g(x) = a y lı́m h(x) = a entonces
x→x0
x→x0
lı́m f (x) = a
x→x0
El T.F.I. establece: Si f (x) es una función que se encuentra limitada inferiormente
por otra función g(x) y superiormente por otra función h(x) y el lı́mite de g(x) y
h(x) cuando x → x0 es un valor a, entonces el lı́mite cuando x → x0 de la función
intermedia f (x) es el valor a.
Acotaciones usuales en el cálculo de lı́mites
En la matemática es muy frecuente el uso de acotaciones, las más empleadas en el
cálculo de lı́mites se presentan a continuación. Para todo x, y número real, se verifican
la siguientes afirmaciones:
1. | sen x| ≤ 1
2. | cos x| ≤ 1
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3. 0 ≤
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x2
≤1
x2 + y 2
4. 0 ≤ √
|x|
x2 + y 2
≤1
Ejemplo 1.10 Utiliza el T.F.A. para demostrar el siguiente resultado (el lı́mite existe
y vale cero)
5x2 y
lı́m
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Solución. Como se mencionaba en lı́neas anteriores, en este lı́mite no se puede demostrar la existencia mediante sustitución directa. Por esa razón emplearemos el T.F.A.
Lo primero a considerar es que la función se puede descomponer en dos factores donde
uno de los factores esta acotado (véase la cota 3) y el otro factor tiende a cero cuando
(x, y) → (0, 0). Veamos:
5x2 y
=
x2 + y 2
x2
·
5y
|{z}
x2 + y 2
| {z }
tiende a cero
esta acotado
Por lo tanto, aplicando el T.F.A. se tiene:
]
[
5x2 y
x2
lı́m
= lı́m
· 5y = Acot · 0 = 0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
En el siguiente ejemplo, demostraremos el mismo resultado, pero esta vez usaremos
el T.F.I.
Ejemplo 1.11 Utiliza el T.F.I. para demostrar que el siguiente resultado.
5x2 y
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Solución. Se quiere mostrar que el lı́mite existe y vale cero. Por la forma que tiene
x2
el lı́mite tiene sentido emplear la cota 0 ≤ 2
≤ 1 (véase la cota 3) para poder
x + y2
construir la función multiplicando toda la expresión por el factor que falta: 5y (observe el numerador). Evidentemente, dicho factor puede ser positivo o negativo. De ser
positivo, no afecta la desigualdad y la cota queda igual. De ser negativo, se voltéa la
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desigualdad y la cota se invierte. En cualquier caso, la cota no se ve afectada. Por lo
que, sin pérdida de generalidad podemos proceder de la siguiente manera:
0≤
x2
5x2 y
5x2 y
≤
1
⇒
5y
·
0
≤
≤
5y
·
1
⇒
0
≤
≤ 5y
x2 + y 2
x2 + y 2
x2 + y 2
Ahora aplicamos el lı́mite cuando (x, y) → (0, 0)
lı́m
(x,y)→(0,0)
0≤
5x2 y
5x2 y
≤
lı́m
5y
⇒
0
≤
lı́m
≤0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Entonces por el teorema de la función acotada se concluye que:
5x2 y
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
En ambos ejemplos 1.10 y 1.11, se afirmó de entrada que el lı́mite existe y vale cero. No
siempre se conoce, de entrada, la existencia del lı́mite por lo que se debe inspeccionar la
posibilidad de su existencia o inexistencia. No hay nada escrito al respecto que permita
afirmar un comportamiento generalizado al momento de inspeccionar la existencia del
lı́mite. Lo que usualmente se hace es emplear caminos para tener una idea del valor
que puede tener el lı́mite, si por algún golpe de suerte al emplear caminos se llega a
resultados diferentes se demuestra su inexistencia. Pero si los resultados son siempre
el mismo valor, a pesar de haber empleado 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 caminos diferentes
no se puede concluir que el lı́mite existe, en lugar de afirmar tal cosa, lo que se puede
es conjeturar su existencia. Por lo que, el paso siguiente es demostrar su existencia
empleando las cotas y cualquiera de los dos teoremas. En adelante, emplearemos el
T.F.A. cada vez que sea necesario demostrar la existencia de un lı́mite que no pueda ser
evaluado mediante sustitución directa. Lea detenidamente los siguientes dos ejemplos
que se presentan a continuación.
Ejemplo 1.12 Investiga la existencia del siguiente lı́mite
4x2 y
(x,y)→(0,0) x2 + y 3
lı́m
Solución. Inspeccionemos qué valor podrı́a tener el lı́mite.
Calculemos el lı́mite sobre la curva y = x.
4x2 x
4x3
4x
4x2 y
=
lı́m
=
lı́m
= lı́m
=0
2
3
2
3
2
x→0 x + x
x→0 x (1 + x)
x→0 1 + x
(x,y)→(0,0) x + y
lı́m
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Calculemos el lı́mite sobre la curva x =
11
√
y
√
4( y)2 y
4x2 y
4y 2
4y 2
4y
lı́m
=
lı́m
=
lı́m
=
lı́m
= lı́m
=0
√
2
3
2
3
3
2
y→0 ( y) + y
y→0 y + y
y→0 y(1 + y )
y→0 1 + y 2
(x,y)→(0,0) x + y
√
√
Dejamos al lector que pruebe con los caminos y = x2 , y = x, y = x3 , y = 3 x
y encontrará que en todos el valor del lı́mite es cero. ¿Se puede afirmar que el
lı́mite es cero? NOOOOOOO!.
√
Calculemos el lı́mite usando el camino x = y 4 − y 3
√
4( y 4 − y 3 )2 y
4x2 y
4(y 4 − y 3 )y
√
lı́m
=
lı́m
=
lı́m
y→0 (
(x,y)→(0,0) x2 + y 3
y 4 − y 3 )2 + y 3 y→0 y 4 − y 3 + y 3
4(y − 1)y 4
= lı́m 4(y − 1) = −4
y→0
y→0
y4
= lı́m
El último resultado indica que el lı́mite no existe.
Es seguro que usted, mi paciente lector, debe estar intrigado por el origen de ese camino
tan inusual. Pues, en ocasiones es posible deducir un camino muy particular para cada
lı́mite que nos brinde garantı́a que el resultado no será cero. Si esta interesado en saber
cómo obtuve este camino, lea detenidamente lo que a continuación pretendo explicar.
Lo primero es observar si una de las variables se repite en el numerador y denominador
con la misma potencia. En este problema el numerador es: 4x2 y y el denominador
es: x2 + y 3 . Es evidente, se repite x2 . Debido a esto, se plantea la siguiente igualdad
y n = x2 + y 3 y se despeja la variable x2 . Es decir, x2 = y n − y 3 . Luego se reemplaza
ambos en la función (no se coloca el lı́mite).
4x2 y
4(y n − y 3 )y
4y 4 (y n−3 − 1)
=
=
x2 + y 3
yn
yn
De la única forma que ocurra una cancelación es que n = 4. Por lo tanto, la curva
y 4 = x2 + y 3 ⇒ x2 = y 4 − y 3 ⇒ x =
√
y4 − y3
es el camino que deseamos para comprobar la no existencia del lı́mite. Estamos seguro
que funciona porque al sustituir n = 4 en la expresión y n−3 − 1 la potencia de y es
positiva. Si al hacer la sustitución la potencia resulta negativa el camino encontrado
no funciona.
Lı́mite de una función de varias variables
Prof. Derwis Rivas
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Ejemplo 1.13 Investiga la existencia del siguiente lı́mite
x3 y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Solución. Procedemos a usar caminos para inspeccionar qué valor podrı́a tener el lı́mite:
Calculemos el lı́mite sobre el camino y = mx (estamos usando un camino parametrizado que representa las infinitas rectas que pasan por el (0, 0)).
x3 y 2
x3 (mx)2
m2 x5
m2 x3
=
lı́m
=
lı́m
=
lı́m
=0
x→0 x2 + (mx)2
x→0 x2 (1 + m2 )
x→0 1 + m2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
A pesar que hemos usado infinitas rectas que pasan por el origen y todas dan el
mismo valor lı́mite, no podemos concluir que el lı́mite existe. Recuerde que todavı́a
existen infinitas curvas que pasan por el origen y aún no las hemos empleado.
Por ejemplo, las curvas y = mx2 .
Calculemos el lı́mite sobre el camino y = mx2 .
x3 y 2
x3 (mx2 )2
m2 x 7
m2 x 5
=
lı́m
=
lı́m
=
lı́m
=0
x→0 x2 + (mx2 )2
x→0 x2 (1 + m2 x2 )
x→0 1 + m2 x2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Nuevamente, este resultado en modo alguno demuestra la existencia del lı́mite.
√
√
Todavı́a quedan muchas curvas por utilizar. Por ejemplo, y = m x, y = m 3 x
√
y x = m y. Dejamos al lector que dedique unos minutos a comprobar que el
lı́mite sobre esos caminos resulta cero. Aún después de comprobar todo esto, NO
SE PUEDE CONCLUIR QUE EL LIMITE EXISTE. Lo que podemos es simplemente conjeturar su existencia. Es decir, sólo podemos decir “al parecer este
lı́mite existe y vale cero”.
Tenemos la impresión de que el siguiente resultado es verdadero:
x3 y 2
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lı́m
Vamos a demostrar que el lı́mite existe y vale cero. Para ello usemos el T.F.A. y
lo primero a tener en cuenta es observar si es posible descomponer la función en dos
factores donde uno de ellos este acotado. Una mirada veloz nos advierte que lo anterior
es posible. Hagámoslo:
y2
x3 y 2
=
· x3
x2 + y 2
x2 + y 2 |{z}
| {z } →0
acotado
Lı́mite de una función de varias variables
Por lo tanto:
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[
]
x3 y 2
y2
3
= lı́m
· x = Acot · 0 = 0
lı́m
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
En este punto, el lector debe estarse preguntando: ¿Cómo sé cuando un lı́mite existe?
pues si sé cuando existe evito emplear muchos caminos y me voy directo a demostrar
su existencia. Mi querido lector, nadie puede determinar eso a simple vista. Se requiere
de mucho esfuerzo y dedicación para desarrollar la habilidad de detectar la existencia
o inexistencia de lı́mites con el ojo. Sin embargo, la presencia de la expresión x2 + y 2
en el denominador ofrece un dato que vale la pena tener en cuenta, ya que si alguno de
los términos x2 o y 2 es factor en el numerador se tiene entre manos la función acotada.
Observe el Ejemplo 1.10, notara la presencia del factor x2 en la expresión 5x2 y y en el
Ejemplo 1.13, notara la presencia de y 2 en la expresión x3 y 2 . Gracias a este hecho fue
posible plantear la cota y aplicar el teorema. Esto en modo alguno representa un procedimiento, pero no quedan dudas de que ayuda muchı́simo. El siguiente ejemplo muestra
la razón del por qué no puede considerarse como un procedimiento generalizado.
Ejemplo 1.14 Investiga la existencia del siguiente lı́mite
x3 |y|
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lı́m
Solución. Basado en lo explicado en el último párrafo cualquiera afirmarı́a que este
lı́mite no existe y procederı́a a buscar caminos para mostrar dos diferentes con resultados diferentes... Pero, mi querido lector, permı́tame explicarle que en efecto este lı́mite
existe y vale cero. La razón se debe a que es posible construir cotas (no son las preestablecidas) que nos permiten demostrar su existencia. Observe lo siguiente y notara que
se trata de un hecho válido para todo número real x, y.
√
√
√
0 ≤ x2 = x4 ≤ x4 + y 2 lo que implica 0 ≤ x2 ≤ x4 + y 2
√
√
√
0 ≤ |y| = y 2 ≤ x4 + y 2 lo que implica 0 ≤ |y| ≤ x4 + y 2
Luego al multiplicar se obtiene una cota para este lı́mite:
)2
(√
x2 |y|
0 ≤ x2 |y| ≤
x4 + y 2 ⇒ 0 ≤ 4
≤1
x + y2
Ahora procedemos a calcular el lı́mite:
[ 2
]
x |y|
x3 |y|
= lı́m
· x = Acot · 0 = 0
lı́m
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
Lı́mite de una función de varias variables
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A pesar de que no es posible establecer una metodologı́a a la hora de inspeccionar la
existencia de un lı́mite en funciones de varias variables, podemos presentar un mapa
semántico que brinda cierta orientación. Se sugiere tenerlo en cuenta.
la función esta
definida en el punto
Cálculo
de límites
evaluamos directamente
Aplicamos el álgebra o un cambio de
variable para obtener el valor del límite
puede
ocurrir
que
El límite no existe y se demuestra
usando el criterio
la función no esta
definida en el punto
El límite existe y vale cero y se
demuestra usando el Teorema de la
función acotada y las acotaciones
Espero, que este aporte te ayude a calcular lı́mites XD.