César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS (Universidad del Perú, Decana de América) Modelo de crecimiento con factor tierra Este modelo ya era planteado de la época de Malthus en su libro sobre la población donde plantea las hipótesis que hoy son llamadas “Hipótesis de Malthus”, en ella nos dice que la población crece en forma geométrica, mientras los alimentos lo hacen en forma aritmética. La implicancia de esta hipótesis es que al crecer la población en forma geométrica esto generara una escasez de alimento aumentando la brecha entre el crecimiento de la población y la producción de alimentos, por ende se ocasionara en el mundo hambruna, aumento de la pobreza, guerras por los alimentos, etc. Pero en la revolución industrial se demostró que esta hipótesis no era valida, por que la producción supero los rendimientos decrecientes. Para comenzar a desarrollar el modelo mencionaremos que es una extensión de modelo de Solow ya estudiado en páginas anteriores de este libro, solo al modelo mencionado se le añade implícitamente el factor tierra. Supuestos del modelo A los supuestos básicos del modelo de Solow se le añaden los siguientes supuestos particulares: Existe una función de producción que coincide con el factor tierra. La tierra es de oferta fija. Función de producción agregada Se plantea la siguiente función: Yt Bt K t T L1t ( FPA) 0 1 s.a : 0 1 Donde T : Stock de tierra agregado fijo. K t : Stock de capital agregado. Lt : Fuerza de trabajo agregada. Yt : Producción agregada. 05120153@unmsm.edu.pe 1 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico : Elasticidad producto respecto al capital. : Elasticidad del producto respecto a la tierra. Bt : Índice del nivel de tecnología. B(t ) B0e m L .t Con las propiedades Si t 0 entonces B( t 0 ) 1 Si t 1 entonces B( t ) 1 B (t ) 0 Propiedades de la función de producción 1º. F K t , T , Lt BK t T L1t Si multiplicamos a la función por un 0 F K t , T , Lt B (K t ) (T ) (Lt )1 F K t , T , Lt . BK t T L1t Yt La función presenta rendimientos de escala constante 2º. Los productos marginales del capital y trabajo son positivos. Yt PmgK BK t 1T L1t 0 K t + + Yt PmgT BK t T 1L1t 0 T + + Yt PmgL (1 ) BK t T Lt ( ) 0 Lt + + Sabemos que 0 1 0 1 , si sumamos estas dos desigualdades obtenemos 0 2 x 1 0 ( ) 2 1 1 1 ( ) 1 , para nuestros fines tomaremos los valores positivos de esta desigualdad. 05120153@unmsm.edu.pe 2 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico a. La derivada de los productos marginales on crecientes y negativos 2Yt PmgK ( 1) BKt 2T L1t 0 2 K t K t + + Recordemos 0 1 , entonces 0 1 1 1 1 0 es una constante negativa. 2Yt PmgT ( 1) BK t T 2 L1t 0 2 T T + + Recordemos 0 1 , entonces 0 1 1 1 1 0 es una constante negativa. 2Yt PmgL (1 ) BK t T Lt (1 ) 0 2 Ltt Lt + + 3º. Veremos que los límites requeridos por las condiciones de INADA se cumplen: (1 / ) 0 Lím PmgK B K 1 K .T L1t 0 1 t (1 / 0) Lím PmgK B K 0 1 K . t L1t 1 t (1 / ) 0 Lím PmgT .BK K 1 T 1 L1t 0 (1 / 0) Lím PmgK BK t K 0 1 T 1 L1t (1 / ) 0 Lím PmgL (1 ) BK t T L 1 t L 0 (1 / 0) Lím PmgL (1 ) BK t T L0 05120153@unmsm.edu.pe 1 t L 3 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico Vemos que cumple las condiciones de INADA Ahora dividiremos la función de producción entre Yt Yt K t 1 B T Lt t Yt Yt K Yt1 Bt t Yt 1 T Lt K Yt Bt t Yt 1 T L1t 1 1 1 t K t 1 1 11 T Lt Yt 1 1 t Kt Yt Yt B Yt B 1 1 1 1 T Lt ( I ) Determinación de la tasa de crecimiento Para determinar la tasa de crecimiento de la natural a la ecuación (I). economía, aplicaremos logaritmo 1 K t Ln(Yt ) Ln( Bt ) Ln Ln(T ) 1 Ln( Lt ) 1 1 Yt 1 1 Tomando la derivada temporal a la ecuación anterior, nos ayuda a obtener la tasa de crecimiento de la economía. dLn (Yt ) 1 dLn ( Bt ) dLn K t / Yt dLn (T ) dLn ( Lt ) 1 dt dt 1 dt 1 1 dt 1 dt 1 gY gB g( K / Y ) g T 1 g L ( II ) 1 1 1 1 dLn( K t / Yt ) ( K t / Yt ) (Y t / Yt )( K t / Yt ) Nota: dt K t / Yt 05120153@unmsm.edu.pe 4 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico dLn( K t / Yt ) K t / Yt (Y t / Yt ) dt K t / Yt dLn ( K t / Yt ) g K gY g ( K / Y ) dt Puesto que se asume que la tierra es de oferta fija entonces gT 0 . Así mismo sabemos que la relación capital-producto K / Y v , es una relación constante entonces g ( K / Y ) 0 . Reemplazando estos dos supuestos en la ecuación (II) obtenemos: 1 gY g B 1 g L ( III ) 1 1 Asumiendo que la tasa de crecimiento poblacional esta representado por n , entonces g L g poblacional n . Reemplazando en la ecuación (III), tenemos: 1 gY g B 1 n( IV ) 1 1 Donde g B mL : Tasa de progreso tecnológico debido a la eficiencia del trabajo. La ecuación (IV) nos quiere decir, que en una economía capitalista en la cual se esta considerando la tierra como un factor fijo, la tasa de crecimiento del producto (PBI) en el largo plazo dependerá de la tasa de progreso Tecnológico ( g B ) y de la tas de crecimiento de la población ( n ). Para hallar la tas de crecimiento por trabajador que es lo que nos importa, pasaremos a reemplazar la tasa de crecimiento del producto por su equivalente en términos per cápita. yt Yt dLn ( yt ) dLn (Yt ) dLn ( Lt ) Lt dt dt dt 05120153@unmsm.edu.pe g y gY n gY g y n(V ) 5 César Antúnez. I Notas de Crecimiento Económico Reemplazando la ecuación (V) en la ecuación (IV) 1 gy n g B 1 n 1 1 1 gy gB n (VI ) 1 1 La ecuación (VI) nos quiere decir que la tasa de crecimiento del producto por trabajado depende directamente de la tasa de progreso tecnológico e inversamente de la tasa de crecimiento poblacional. Tipología En este caso se abstrae el progreso tecnológico de la ecuación (VI), quedando: g y n 1 Lo que nos da el caso de Malthus, por que no considera el progreso tecnológico, esto implica que en esta economía la tasa de crecimiento del producto por trabajador va ser negativo por que no considera la tasa de progreso tecnológico y esto lleva a la llamada “profecía de Malthus”. 05120153@unmsm.edu.pe 6