Mecánica Cuántica 2016 Instituto de Física Facultad de Ciencias Práctico 1 1. Considere la forma de la densidad de energía para un cuerpo negro en función de la frecuencia obtenida por Planck, u( ν ,T )= 3 8π h ν , calcule la densidad de energía en 3 h ν/ kT c e −1 un intervalo de longitud de onda ∆λ. Use su expresión para calcular el valor de λ = λmax, para el cual la densidad es máxima. Muestre que λmax es de la forma b/T, calcule el valor de b, y utilice el valor de T=6000 K como estimación de la temperatura de la superficie solar para calcular el valor de λmax para la radiación solar. (Nota: Para calcular b necesitará resolver la ecuación trascendente 5-x = 5 e-x por métodos numéricos, por ejemplo, Excel, Matlab o similar). 2. Un fotón de 100 MeV colisiona con un protón en reposo: calcule la máxima energía perdida posible para el fotón. 3. Un electrón de 100 MeV colisiona con un fotón de longitud de onda de 3 x 10 6 nm (que corresponde a la radiación de fondo). Calcule la máxima energía que puede perder el electrón en este choque. Si no sabe qué es la radiación de fondo: infórmese. 4. Usar las reglas de cuantización de Bohr para calcular los niveles de energía del oscilador 2 2 2 armónico, para el cual la energía es de la forma p /2m+ m ω r /2 es decir que la fuerza es m ω2 r . Considere únicamente órbitas circulares. ¿Cuál la formula análoga a la de Rydberg? Mostrar que el principio de correspondencia es satisfecho para todos los valores del número cuántico n usado para cuantizar el momento angular. 5. Use las reglas de cuantización de Bohr para calcular los niveles de energía correspondientes a un potencial de la forma V =V 0 r a () k , con k>>1. Haga un diagrama cualitativo de la forma del potencial y muestre que los niveles de energía se aproximan a 6. La energía clásica de un rotor plano esta dada por E= E n≃C n 2 . 2 ⃗ L , donde I es el momento de 2I inercia y L es el momento angular. Aplique las reglas de cuantización de Bohr para obtener los niveles de energía de un rotor. Si se supone que se verifica la condición en la frecuencia de Bohr para la radiación en las transiciones de estados etiquetados como n 1 a estados etiquetados como n2, demostrar que: (a) el principio de correspondencia se cumple, y que (b) esto implica que solo pueden ocurrir transiciones con ∆n = ±1. (c) Las moléculas se comportan como rotores en determinados rangos de energías. Suponga que el espectro rotacional de la molécula de H 2 es caracterizado por radiación de longitud de onda del orden de 106 nm, y se desea usar dicho dato para estimar la distancia entre los átomos de hidrogeno de la misma. ¿De qué orden de magnitud serán las longitudes calculadas? 7. Considere la función de onda positivas. ψ( x ,t )= Ae−λ ∣x∣ e−i ω t donde A, λ, y ω son constantes reales a) Normalice la función de onda. b) Determine el valor esperado de x y x2. 2 c) Encuentre la desviación estándar σ de |x|. Esboce el gráfico de |ψ| como función de x y marque los puntos <x>+σ , y <x>-σ , para indicar el sentido en el cual σ representa la dispersión de x. ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula sea encontrada fuera de ese rango? 8. Considere una partícula cuántica cuya función de ondas forma un paquete de ondas planas, de la forma: +∞ ψ( x , t )= ∫ d κ A( κ) e i( κ x−ω t) con A(κ)= N para −K ≤κ≤ K y A(κ)=0 para κ> K . ∣ ∣ −∞ Verifique que para la condición inicial condición ∆x ∆k > 1/2. ψ( x , t=0)=0 de este paquete cuadrado se verifica la 9. Considere una partícula cuántica cuya función de ondas forma un paquete de ondas planas, +∞ de la forma: ψ( x , t)= ∫ d κ A( κ)e i (κ x−ωt ) con A(κ)= −∞ N 2 . κ +α Bosqueje A(κ ) y ψ( x , t) y demuestre que independientemente del valor de α , ∆x ∆k > 1/2. 2 ψ( x , t=0)=0 para se verifica, 10. Considere un paquete de ondas planas Gaussiano, con un A(k) tal que el pico en k=k 0 esta muy acentuado. En ese caso se puede hacer la siguiente aproximación: ω( k )≃ω( k 0 )+ ( k−k 0 ) ∂ ω ∂k ( ) + k =k 0 2 1 ( k−k 0 )2 ∂ ω2 2 ∂k ( ) [ ( k x−ω t )≃(k 0 x−ω (k 0) t )+ (k −k 0 ) x− ∂ ω ∂k ( ) k =k 0 Por lo tanto podemos escribir: k=k 0 2 1 t − (k −k 0 )2 ∂ ω2 2 ∂k ( ) ] t k =k 0 Utilice esta expresión en el paquete de onda, y poniendo k - k0 = q, obtenga: ψ( x , t) ≃ e i (k 0 x−ω (k 0)t ) +∞ 2 2 2 ∫ dq A(q+ k 0) e i q (x−v t ) e −i q (∂ ω /∂ k ) / 2 −∞ g k0 v g =(∂ ω /∂ k )k . Utilice esta expresión para calcular ψ( x , t ) y compare la forma de ∣ψ ( x ,t=0) ψ( x ,t =0)∣ con la de ∣ψ∗( x , t ) ψ( x , t )∣ . donde se ha utilizado que la velocidad de grupo se calcula como ∗ 0