Potències i radicals

2
Potències i radicals
Objectius
En aquesta quinzena aprendreu a:
•
Calcular i operar amb
potències d'exponent enter.
•
Reconéixer les parts d'un
radical i el seu significat.
•
Obtindre radicals equivalents a
un de donat.
•
Expressar un radical com a
potència d'exponent
fraccionari i viceversa.
•
Operar amb radicals.
•
Racionalitzar expressions amb
radicals al denominador.
•
Emprar la calculadora per
operar amb potències i
radicals.
1. Radicals ……………………………………… pàg. 22
Potències d'exponent fraccionari
Radicals equivalents
Introduir i extreure factors
Càlcul d'arrels
Reduir a índex comú
Radicals semblants
2. Propietats ………………………………… pàg. 25
Arrel d'un producte
Arrel d'un quocient
Arrel d'una potència
Arrel d'una arrel
3. Simplificació ……………………………… pàg. 26
Racionalització
Simplificar un radical
4. Operacions amb radicals …………… pàg. 28
Suma i resta
Multiplicació de radicals
Divisió de radicals
RESUM
Exercicis per a practicar
Per a saber-ne més
Resum
Autoavaluació
Activitats per a enviar al tutor o tutora
MATEMÀTIQUES B „
19
20
„ MATEMÀTIQUES B
Potències i radicals
Abans de començar
Propietats
de les potències
d'exponent enter
convé que recordeu les propietats i les operacions
amb potències d'exponent enter, que ja coneixeu de
cursos anteriors.
9 El producte de potències de la mateixa base és
x2·x7 = x2 +7 = x9
una altra potència de la mateixa base, l’exponent
del qual és la suma dels exponents.
an·am = an+m
9 El quocient de potències de la mateixa base és una
28
= 28 −5 = 23
25
altra potència de la mateixa base, l’exponent del
qual és la resta dels exponents.
an
= an−m
m
a
9 La potència d’una potència és una altra potència
(x )
7
3
= x7·3 = x21
de la mateixa ¡base, l’exponent del qual és el
producte dels exponents.
(a )
n
70 = 1
m
= an·m
9 Una potència amb exponent zero igual a la unitat.
a0 = 1
9 El producte de potències del mateix exponent és
25·35 = (2·3) = 65
5
una altra potència amb el mateix exponent, la
base de la qual és el producte de les bases.
an·bn = ( a·b )
n
9 El quocient de potències amb el mateix exponent
6
6
8
⎛8⎞
= ⎜ ⎟ = 26
46 ⎝ 4 ⎠
és una altra potència amb el mateix exponent, la
base de la qual és el producte de les bases.
n
an ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟
bn ⎝ b ⎠
MATEMÀTIQUES B „
21
Potències i radicals
1. Radicals
Definició
Anomenem arrel n-èsima d'un nombre donat a el
nombre b que elevat a n ens dóna a.
n
3
8 = 2 por ser 23 = 8
1
a = b ⇔ bn = a
3
Un radical és equivalent a una potència
d'exponent fraccionari en la qual el denominador
de la fracció és l'índex del radical i el numerador de
la fracció és l'exponent del radicand.
n
5 = 53
5
x
2
=
2
x5
p
ap = an
Radicals equivalents
Dos o més radicals s'anomenen equivalents si les
fraccions dels exponents de les potències associades
són equivalents.
Donat un radical es poden obtindre radicals
equivalents
infinits,
multiplicant
o
dividint
l'exponent del radicand i l'índex de l'arrel pel mateix
nombre. Si es multiplica s'anomena amplificar i si es
dividix s'anomena simplificar el radical.
Un radical és irreductible quan la fracció de la
potència associada és irreductible.
Introducció i extracció de factors
Per introduir un factor dins d'un radical s'eleva el
factor a la potència que indica l'índex i s'escriu a dins.
Si algun factor del radicand té per exponent un
nombre més gran que l'índex, es pot extreure fora del
radical dividint l'exponent del radicand entre l'índex.
El quocient és l'exponent del factor que ix fora i la
resta és l'exponent del factor que queda dins.
22
„ MATEMÀTIQUES B
3
6
x2 = x 4
Són equivalents per ser:
2 4
=
3 6
Amplificar:
3
x2 =
3·2
x2·2 = x 4
Simplificar:
6
x4 =
6:2
x 4:2 = x 2
3
6
3
x2
Irreductible per ser MCD (3,2)=1
Introducir:
3
3
x3 x = x 3 ·x = x 4
3
23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24
Extraer:
5
5
x13 = x 2 x 3
13
5
3
2
Potències i radicals
Càlcul d'arrels
1728 2
864 2
432 2
216 2
108 2
3
1728 = 3 26 ·33 =
= 22·3 = 12
54 2
27 3
9
3
Per calcular l'arrel n-èsima d'un nombre primer es
factoritza i s'escriu el nombre en forma de potència i
després s'extreuen tots els factors que siga possible.
Si tots els exponents del radicand són múltiples de
l'índex, l'arrel és exacta.
3
3
1
Reduir a índex comú
6
10
2 ;
3
m.c.m. (6,10)=30
6
2 =
10
3 =
30
25 =
30
33 =
30
32
30
27
Els següents radicals són
semblants:
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Reducció a índex comú
Reduir a índex comú dos o més radicals és trobar
radicals equivalents als donats que tinguen el mateix
índex.
Un índex comú és qualsevol múltiple del mcm dels
índexs.
El mínim índex comú és
habitualment es tria aquest.
el
mcm
dels
índexs;
Radicals semblants
Els radicals semblants són aquells que tenen el
mateix índex i el mateix radicand. Poden diferir
únicament en el coeficient que els multiplica.
Els següents radicals no són
semblants:
23 4 ; 25 4 L'índex és diferent
MATEMÁTICAS B „
23
Potències i radicals
EXERCICIS resolts
1.
Escriviu els següents radicals com a potència d'exponent fraccionari:
1
2.
a)
5
3
5
3 = 35
b)
5
X3
5
X3
Escriviu les següents potències com a radicals:
1
1
a) 72
72 = 7
2
2
53 = 3 52 = 3 25
b) 53
3.
4.
5.
Escriviu un radical equivalent, amplificant el que s'ha proporcionat:
3
5
3
5 =
b)
5
x4
5
x4 =
a)
6
b)
35
49
x 28
7
b)
6
49 = 72 =
6
35
x 28 =
35:7
6:2
72:2 = 3 7
x 28:7 =
5
x4
2·4 3 = 4 2 4·3 = 4 16·3 =
7
x 2 x3 = 7 (x 2 )7 ·x 3 =
7
4
48
x14·x 3 =
7
x17
128
4
128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8
7
x30
7
x30 =
7
x28 +2 =
7
x28 ·x2 = x 4 7 x2
Calculeu les següents arrels:
a)
5
1024
5
1024 = 5 210 = 22 = 4
b)
7
x84
7
x84 =
7
x12·7 = 7 (x12 )7 = x7
Reduïu a índex comú
b)
24
x12
4
2 = 6 23 = 6 8 ;
3; 3 5
a)
9.
15
x 4·3 =
Extraieu els factors del radical:
a)
8.
5·3
Introduïu els factors dins del radical:
b) x 2 x3
7.
6
51·2 = 52 = 6 25
Escriviu un radical equivalent, simplificant el que s'ha proporcionat.
a) 2·4 3
6.
3·2
a)
4
x3 ; 6 x5
4
x3 =
12
x9 ;
6
x5 =
3
5 = 6 52 = 6 25
12
x10
Indiqueu quins radicals són semblants
a)
4
3;54 3
4
3 i 54 3 Són semblants
b)
4
x; 3 x
4
x i3x
„ MATEMÀTIQUES B
No són semblants, l’index és diferent.
Potències i radicals
2. Propietats
Arrel d'un producte
3
L'arrel n-èsima d'un producte és igual al producte de
les arrels n-èsimes dels factors.
2·5 = 3 2·3 5
n
7
2
4
7
2 7
a ·b = a · b
4
a·b =
n
a·n b
1
Demostració:
n
1
1
a·b = (a·b)n = an ·bn = n a·n b
Arrel d'un quocient
5
2
=
3
5
2
5
3
4
a
5
=
b3
L'arrel n-èsima d'un quocient és igual al quocient de
les arrels n-èsimes del dividend i del divisor.
5
a
5
b3
n
4
a
=
b
n
a
n
b
1
1
Demostració:
a ⎛ a ⎞ n an
n
=
= 1 =
b ⎜⎝ b ⎟⎠
bn
n
a
n
b
Arrel d'una potència
5
3
5
3
8= 2 =
7
x =
( 2)
5
3
Per trobar l'arrel d'una potència, es calcula l'arrel de
la base i després s'eleva el resultat a la potència
donada.
n
( x)
3
7
ap =
( a)
p
n
p
Demostració:
n
p
⎛ 1⎞
ap = an = ⎜⎜ an ⎟⎟ =
⎝ ⎠
( a)
n
p
Arrel d'una arrel
5 3
2 = 15 2
L'arrel n-èsima de l'arrel m-èsima d'un nombre és
igual a l'arrel n·m-èsima del nombre esmentat.
n m
a =
n·m
a
1
Demostració:
1
⎛ 1 ⎞n
nm
a = ⎜⎜ am ⎟⎟ = an·m =
⎝ ⎠
n·m
a
MATEMÀTIQUES B „
25
Potències i radicals
3. Simplificació
Racionalització
Racionalitzar una expressió amb un radical en el
denominador consistix a trobar una expressió
equivalent que no tinga arrels en el denominador.
Per això es multiplica el numerador i el denominador
per l'expressió adequada perquè, en operar, l'arrel
desaparega.
Si el denominador és un binomi es multiplica el
numerador i el denominador pel conjugat del
denominador.
Quan el denominador
és un radical
1
3
5
1
7
x4
=
1·3 52
3
=
3
2
5· 5
=
3
52
3
3
1·7 x3
7
x 4 ·7 x3
∗ El conjugat de a + b és a − b
=
26
L'índex i l'exponent siguen primers entre ells.
•
No es puga extreure cap factor del radicand.
•
El radicand no tinga cap fracció.
„ MATEMÀTIQUES B
7
=
7
x3
x7
)(
5+ 3
=
5−3
Simplificar un radical
•
5
3
25
5
7
=
x3
x
Quan el denominador
és un binomi
1
5+ 3
=
=
5− 3
5− 3
5+ 3
(
Simplificar un radical és escriure'l en la forma més
senzilla, de manera que:
=
6
8 = 6 23 = 2
7
a30 = a4 7 a2
)
5+ 3
2
Potències i radicals
EXERCICIS resolts
10.
11.
12.
Escriviu amb una sola arrel:
a)
5
b)
7
7
X4 x =
7
x8·x = 14 x9
4
3·4 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
5
x·5 x2
5
x·5 x2 =
5
x3
Escriviu amb una sola arrel:
3
16
3
5
5
2
3
16
3
x4
5
x3
5
=
3
16 3
= 8 =2
2
=
5
x4
=
x3
2
x4
x3
5
x
Racionalitzeu
a)
b)
1
5
1
5
9
1
=
9
2
2
5·3 4
5·3 4
5
=
=
2
3
1·5 32
5
2
2 5
3
3 · 3
=
5·3 22
=
5
32
5
5
=
3
2·3 2
=
5·3 22 ·3 2
5
9
3
2·3 2
5·3 23
=
2·3 2 3 2
=
5·2
5
Racionalitzeu
a)
b)
15.
3 = 10 3
a)
b)
14.
X4 x
5
Escriviu amb una sola arrel:
a)
13.
3
1
7
1
x4
7
x4
=
1
1
x2 7 x3
x2 7 x3
1·7 x3
7
=
x4 ·7 x3
=
7
x3
7
x7
1·7 x 4
x2 7 x3 ·7 x 4
=
7
7
=
x3
x
x4
=
x2 7 x7
7
7 4
x4
x
=
x2·x
x3
Racionalitzeu
a)
b)
c)
1
3− 2
1
3− 2
2
2
5 +2
5 +2
1
1
3− x
3− x
=
=
=
(
1· 3 + 2
(
)(
)
3− 2· 3+ 2
(
2· 5 − 2
)
)
=
(3 − x )(· 3 + x )
=
(
)(
5 +2 · 5 −2
(
1· 3 + x
)
)
=
(
3+ 2
3−2
)=
(
3+ 2
)
10 − 2 2
= 10 − 2 2
5−4
3+ x
9−x
MATEMÀTIQUES B „
27
Potències i radicals
4. Operacions amb radicals
8 + 2 = 23 + 2 =
Suma i resta de radicals
Per sumar o restar radicals cal que siguen semblants
(que tinguen el mateix índex i el mateix radicand).
Quan això passa se sumen o es resten els coeficients
de fora i es dixa el mateix radical.
=2 2+ 2 =3 2
x + 6 x3 =
x+ x =2 x
Producte de radicals
Per multiplicar radicals cal que tinguen el mateix
índex. Quan això passa el resultat és un radical del
mateix índex i que té com a radicand el producte dels
radicands.
En cas de tindre un índex diferent, en primer lloc es
reduïxen a índex comú.
3
3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72
5
x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7
Quocient de radicals
Per dividir radicals cal que tinguen el mateix índex.
Quan això passa el resultat és un radical amb el
mateix índex i que té com a radicand el quocient dels
radicands.
Si tenen un índex diferent, primer es reduïxen a índex
comú.
28
„ MATEMÀTIQUES B
2
3
2
4
x
8
x
=
=
6
23
6
22
8
x2
8
x
= 62
=
8
x
Potències i radicals
EXERCICIS resolts
16.
Calculeu la suma:
a)
40 + 90
b) 2 32 − 8
c)
3
4 + 6 16
1
+5 8
2
d) 2
17.
18.
4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10
2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2
3
4 + 6 42 =
3
4 + 6 16 =
1
+5 8 =
2
2
3
4 + 3 4 = 23 4
4·1
+ 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2
2
Calcular i simplificar
a)
4
3·5 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
3
x·9 x2
5
x·5 x2 =
c)
5
x3 x· x
5
x3 x· x =
d)
3
2· 2·4 8
3
2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27
3
16
5
x3
5
x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9
Calcular i simplificar
a)
b)
a)
b)
19.
40 + 90 =
3
16
5
5
2
7
x4
7
x4
14
x3
14
x3
2
6
84
6
84
8
3
4
8
3
3
X4 x
4
3
=
3
24
5
14
x8
14
x3
=
8
x4 x
x
15
=
2
6
4
4
x
=
15
2
4
3
=
3
2
6
212
8
6
x·x8
=
= 15 217 = 215 22 = 215 4
3
= 14 x5
(2 )
(2 )
3
220
4
=
2
=
x
24
(2 )
(2 )
12
6
x9
4
x
=
12
12
=
3
6
24
4
x18
x
24
248
24
18
2
=
24
230 = 4 25 = 2 4 2
= 12 x15 = x12 x3
3
Calcular i simplificar
2·3 4
a)
4
2·3 4
8
4
5
b)
5
2 2·3 4
8
=
2 2·3 4
8
2·3 22
4
23
5
=
12
26 ·12 28
12
2·22 ·3 22
23
8
=
=
1
30
216
=
29
=
30
30
=
10
12
224
12
23 ·3 22
23
214
216 ·30 214
= 12 215 = 4 25 = 2 4 2
29
=
=
30
30
214
30
230
29 ·30 220
30
=
245
30
=
214
=
2
30
229
30
245
=
15
27
2
MATEMÀTIQUES B „
29
Potències i radicals
Per a practicar
1.
Escriviu com a potència d'exponent
fraccionari
a)
5
b)
3
x2
c)
a3
d)
5
a3
8. Multipliqueu els radicals següents
a)
c)
e)
2. Escriviu com un radical:
1
3
a) 32
b) 52
1
5
5
3
c) x
3.
d) x
4
c)
14
25
x6
b)
8
d)
30
a)
18
b)
c)
9a3
d)
3
c) 3a· 2a2
d) ab2 3 a2b
6. Reduïu a l'índex mínim comú
següents radicals.
c)
4
3; 8 7; 2
d)
c)
e)
6x
3x
9x
3
3x
3
9
9
3
75x2y3
b)
d)
f)
5 3xy
3
8a3b
4
4a2
6
x5
8
x3
11. Calculeu:
els
a)
5
24 2
b)
5
x2 4 x3
c)
4
x3 3 x2 x
d)
6
23 2 2
4; 4 3; 2
12. Racionalitzeu
3; 6 32 ; 3 5
7. Sumeu els següents radicals indicats.
a)
45 − 125 − 20
b)
75 − 147 + 675 − 12
c)
175 + 63 − 2 28
d)
1
20 +
45 + 2 125
3
c)
2
b)
7
2a
2ax
d)
1
3
1
5
x3
13. Racionalitzeu
a)
c)
„ MATEMÀTIQUES B
)
2− 3· 2
a)
a)
30
(
10. Dividiu els radicals següents
98a3b5c7
3
f) 4 2x2y3 ·6 5x2
16
b) 2· a
b)
2ab·4 8a3
x·3 2x2
d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )
16·x8
a) 3· 5
5; 4 3
d)
c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2
82
5. Introduïu dins del radical tots els
factors possibles que s'hi troben fora.
a)
12·3 9
b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3
4. Extraieu tots els factors possibles
dels radicals següents
a)
b) 5· 2·3· 5
9. Multipliqueu els radicals següents
Simplifiqueu els següents radicals:
a)
3
3· 6
2
3 −1
5
4-
11
b)
d)
3+ 5
3− 5
2
2 +1
Potències i radicals
Per a saber-ne més
Aproximació
d'una
mitjançant fraccions
1
n = a1 +
a2 +
1
a3 +
1
a4 +
1
...
arrel
quadrada
Qualsevol nombre irracional es pot aproximar
mitjançant una fracció, que s'obté a partir del seu
desenvolupament en fracció contínua.
Mitjançant les fraccions contínues es pot aproximar
qualsevol arrel a una fracció.
Desenvolupament de:
Algorisme
2 = 1' 4142
La primera xifra a1 és la part sencera de l'arrel
1+
1+
1
=
2
3
2
1
2+
1
7
=
5
a1 = ⎡⎣x1 ⎤⎦ = ⎡ 2 ⎤ = 1
⎣ ⎦
= 1' 4
La segona xifra a2 és la part sencera de x2
2
1
1+
x1 = 2
= 1'5
=
1
2+
2+
17
12
1
2 =1+
2
1
1+
=
1
2+
2+
29
= 1' 4167
2
1
99
70
= 1' 4142
1
1
2+
2+
1
1
⇒ 2 −1 =
⇒ x2 =
x2
x2
1
2 −1
= 2 +1
a2 = ⎡⎣x2 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
⎣
⎦
x2 = 1 +
=
2+
1
x2
La tercera xifra a3 és la part sencera de x3
1
1
2+
41
1
2+
1+
= 1' 4166
x1 = 1 +
1
x3
2 +1 = 2 +
1
1
⇒ 2 −1 =
⇒ x3 =
x3
x3
1
2 −1
= 2 +1
a3 = ⎡⎣x3 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2
⎣
⎦
1
2
No és necessari fer més càlculs perquè
repetisquen periòdicament els quocients.
es
Altres desenvolupaments
3 = ⎡⎣1,12⎤⎦
5 = ⎡⎣2, 4⎤⎦
6 = ⎡⎣2,24⎤⎦
7 = ⎡⎣2,1114⎤⎦
8 = ⎡⎣2,14⎤⎦
10 = ⎡⎣3,6 ⎤⎦
2 = ⎡⎣1,2⎤⎦ = 1 +
1
1
2+
2+
1
2 + ...
MATEMÀTIQUES B „
31
Potències i radicals
Recordeu el més
important
Potència d’exponent
fraccionari
Radicals
Anomenem arrel n-èsima d’un
nombre donat el nombre que
elevat a n ens dóna el primer.
Un radical és equivalent a una
potència
d’
exponent
fraccionari,
en
què
el
numerador de la fracció és
l’exponent del radicand i el
denominador de la fracción és
l’índex de l’arrel.
L’expressió és n a un radical d’
n i el radicand a.
n
a = b ⇔ a = bn
n
Propietat fonamental
m
am = a n
El valor d’un radical no varia si es
multi pliquen o es dividixen per
un mateix nombre l’índex i
l’exponent del radicand.
n
am =
n·p
am·p
Reduir a índex comú
Operacions amb radicals
Reduir a índex comú dos radicals donats és
trobar dos radicals equi valents a aquests
radicals que tinguen el mateix índex.
Per multiplicar (o dividir) radicals del
mateix índex es dixa l’índex i es
multipliquen (o dividixen) els radicands.
Per trobar l’arrel d’un altre radical es
dixa el radicand i es multipliquen els
índexs.
Radicals semblants
Els radicals semblants són aquells que
tenen el mateix índex i el mateix radicand.
Poden diferir únicament en el coeficiente
que els multiplica.
Per sumar (o restar) radicals semblants
es dixa el radical i se sumen (o resten) els
coeficients.
Racionalitzar
Racionalitzar una expressió amb radicals
que no tinga arrels en el denominador.
32
„ MATEMÀTIQUES B
en el denominador és trobar una expressió equivalent
Potències i radicals
Autoavaluació
1. Calculeu l’arrel següent:
7
78125
2. Escriviu en forma d’exponent fraccionari:
3. Calculeu:
10
x3
18 − 98
4. Introduïu el factor en el radical: 6 4 5
5. Calculeu, simplifiqueu i escriviu com un únic radical:
7
73 3
6. Extraieu factors del radical:
7. Racionalitzeu:
4
243
45
3
25
8. Calcular i simplificar:
9. Calcular i simplificar:
4
2·5 4
7
125
3
5
10. Quant fa l’aresta d’un cub si el seu volum és 1331m3
MATEMÀTIQUES B „
33
Potències i radicals
Solucions dels exercicis per a practicar
1
2
1. a) 52
b) x 3
a)
3
3
c) a2
d) a5
c)
2. a)
c)
3
5
3. a)
c)
7
e)
5
x
d)
3
5
b)
4
x3
d)
15
x5
c)
6. a)
4
8
d)
4
32a5b f)
6
12
4x7
200x10y9
c) 8 6 + 4 10 − 20
d) 2
4x2
10. a)
2
b) y x
6
81x
d)
e)
6
243
f)
11. a)
4
2
b)
20
d)
3
2 33
2abc
c)
45
b)
4a
18a4
d)
25; 4 3
3
a5b7
c)
b)
12
256;12 27;12 4
c)
18
9; 8 7; 8 216
d)
6
6
27; 32; 25
7. a) −4 5 b) 11 3
c) 4 7
108
b) 14 5 + 30
b) 2 3 2
6
3
9. a) 2 − 6
c) 3a a d) 7ab c
5. a)
b) 15 10
3
b)
4. a) 3 2
18
d) 15 5
12. a)
c)
13. a)
24
x23
2 7
7
b)
6
24
8a3b2
x11
x11
x2
3
3
5
x2
x
2ax
x
d)
3 +1
b) −7 − 3 5
c) 4 +
11 d) 2 -
2
8.
Solucions de
l'AUTOAVALUACIÓ
1. 5
3
2. x10
3. −4 2
6480
4.
4
5.
21
1029
6. 3 4 3
7. 93 5
8.
20
8192
9.
21
25
10. 11 cm
34
„ MATEMÀTIQUES B
No us oblideu d'enviar les activitats al tutor o tutora
f