Mecánica del Continuo 2do cuatrimestre - 2016 Práctica 6

Mecánica del Continuo
2do cuatrimestre - 2016
Práctica 6 - Cuerpo rígido
1- Tres esferas de masas m 1 , m2 y m3 se encuentran rígidamente unidas mediante una plantilla de
masa despreciable, formando un triángulo equilátero de lado l. Los radios de las esferas son
despreciablemente pequeños comparados con la longitud l. Suponga que el sistema es libre de
girar alrededor de un eje que puede fijarse perpendicularmente en cualquiera de los puntos de
la plantilla.
a) Determine el trabajo necesario para poner el sistema en rotación uniforme con velocidad
angular ω0 , para una posición arbitraria del eje.
b) Determine la posición a la que debe fijarse el eje sobre la plantilla para que el trabajo calculado
en la parte a) sea mínimo.
c) Suponiendo que el sistema puede girar libremente en el espacio. Determine los momentos
de inercia principales, respecto al centro de masa, y pruebe que las componentes no diagonales
del tensor de inercia son nulas cuando el sistema de coordenadas se orienta según los ejes
principales. ¿En qué cambia la situación si uno de los lados del triángulo fuera de longitud l1
(con l1 < l)?
2- Determinar los momentos principales de inercia, con respecto al centro de masa, de los siguientes
cuerpos homogéneos:
a) cilindro circular de radio R y altura h.
b) esfera de radio R.
c) cono circular de radio R y altura h.
d) paralelepípedo rectangular de aristas a, b, c.
3- Suponga que I ik denota las componentes del tensor de inercia respecto de un sistema de ejes con
origen en el centro de masa de cierto cuerpo rígido de masa M. Pruebe que las componentes
de dicho tensor respecto de un sistema paralelo al primero, cuyo origen se encuentra en una
posición ~a respecto del centro de masa, vienen dadas por (teorema de Steiner),
0
I ik + M ( a 2 δ ik − a i a k )
I ik
4- Determinar los momentos principales de inercia, con respecto al punto O (como se muestra en
la Fig. 1), del cuerpo homogéneo formado por un cono circular de radio R y altura h, y una
semiesfera de radio R.
5- Un cilindro no homogéneo de masa M y radio R rueda sin deslizar sobre un plano. La distribución de masa es tal que el centro de masa (CM) se encuentra a una distancia a del eje del cilindro
y un eje principal de inercia, con respecto al CM, es paralelo al eje del cilindro. Denominando I
al momento de inercia con respecto a dicho eje principal, encuentre
a) la energía cinética.
b) las ecuaciones de movimiento mediante la formulación Lagrangiana.
6- Calcule la energía cinética y el impulso angular (respecto al centro de masa) de un elipsoide,
cuyos momentos principales de inercia con respecto al centro de masa son datos ( I1 , I2 , e I3 ) .
Dicho elipsoide rota alrededor del eje principal z 0 con velocidad angular ω. Este a su vez rota, con
velocidad angular ω0, alrededor de un eje vertical que pasa por el centro de masa del elipsoide,
de tal forma que dichos ejes mantienen un ángulo constante β. Identifique los ángulos de Euler
y considere que ω y ω0 son constantes.
7- Dos masas muy pequeñas de masa m están unidas por una barra de masa despreciable. Su centro
de masa está fijo y las masas pueden moverse alrededor del mismo. Analizar el movimiento si
se les aplica una fuerza impulsiva.
8- Considere un cono homogéneo de masa M, altura h y ángulo 2α, que rueda sin deslizar sobre
un plano; la generatriz de contacto forma un ángulo β ( t ) con un eje de referencia fijo en dicho
plano. Determine su energía cinética como función de M, h, α y β.
9- Una barra homogénea de masa m, largo l y diámetro despreciable está suspendida por uno de sus
extremos de un resorte de constante k (como muestra la Fig. 2). La barra puede oscilar en un plano
vertical bajo la acción de la gravedad y el resorte puede moverse solo en la dirección vertical.
Determine las ecuaciones diferenciales de movimiento mediante la formulación Lagrangiana.
10- Dos cilindros homogéneos de igual masa, uno macizo y el otro hueco, parten del reposo desde
el extremo superior de un plano inclinado.
a) Calcule las velocidades de los mismos al llegar al extremo inferior mediante:
a 1 ) conservación de la energía,
a 2 ) ecuaciones dinámicas en la formulación Newtoniana.
Considere que el cilindro hueco tiene radios R 1 y R 2 , y que el plano inclinado forma un ángulo
α con la horizontal.
11- Dos esferas iguales de masa M y radio R giran con velocidades angulares de igual magnitud
Ω0 , como muestra la Fig. 3. Una de ellas gira alrededor del eje que une los centros, mientras
que la otra gira alrededor de un eje perpendicular al primero. Luego de un lento proceso de
aproximación, las dos esferas quedan rígidamente unidas.
a) Describa el movimiento del sistema mediante los ángulos de Euler.
b) Determine la fracción de la energía mecánica convertida en energía térmica a lo largo del
proceso.
12- Un trompo asimétrico está fijo en el punto O, sujeto a la acción de la gravedad. Su centro de
masa está a lo largo del eje z 0, el cual coincide con un eje principal de inercia respecto a O. Si en
t 0 el trompo rota alrededor de z 0, hallar las derivadas temporales de las componentes de la
velocidad angular en t 0.
2
o
R
h
Figura 1: Ejercicio 4.
Figura 2: Ejercicio 9.
Figura 3: Ejercicio 11.
3