Álgebra lineal y Geometrı́a II Daniel Hernández Serrano Darı́o Sánchez Gómez Departamento de MATEMÁTICAS SEMINARIO I. 1. Clasificación de Endomorfismos. 1.1. Anulador y diagonalización. 1. Calcular el polinomio caracterı́stico y anulador de las siguientes matrices: a 0 0 a 0 0 a 0 0 0 a 0 , 1 a 0 , 1 a 0 . 0 0 a 0 0 a 0 1 a 3 2. Sea {e1 , e2 , e3 } una base de R y T el endomorfismo de R3 cuya matriz en esta base es: 1 4 −12 0 3 −9 . 0 1 −3 Calcular el polinomio caracterı́stico y el anulador. Estudiar la diagonalización de T . 3. Calcular el polinomio anulador y estudiar la diagonalización del endomorfismo T cuyas ecuaciones son: x0 = x + t , y 0 = y , z 0 = z − t , t0 = 3z + 5t . 4. Estudiar en función de los distintos valores del parámetro a la diagonalización de la matriz: a + 1 0 2a a 2a A= 1 −1/2 0 0 Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalización. 5. Sea M2×2 (k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiar la diagonalización del endomorfismo: TA : M2×2 (k) → M2×2 (k) B 7→ A · B 1 1 donde A = y a ∈ k. 0 a 6. Demostrar que para todo endomorfismo de C2 de determinante 1 y traza distinta de ±2 existe λ 0 una base en la que su matriz es . 0 1/λ 1 2 Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO I. 4. Estudiar en función de los distintos valores del a+1 A= 1 −1/2 parámetro a la diagonalización de la matriz: 0 2a a 2a 0 0 Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalización. Solución: Calculemos el polinomio caracterı́stico cA (x) de A. x − (a + 1) −1 cA (x) = |xId − A| = 1/2 0 x−a 0 −2a −2a = (x − a)2 (x − 1) . x Los valores propios de A serán x = a (dos veces) y x = 1. Calculemos los subespacios de vectores propios correspondientes. a 0 2a x 0 o n a − 1 2a y = 0 Ker(T − Id) = (x, y, z) : 1 −1/2 0 −1 z 0 ( −x/2 = z = (1 − a)(x − y) = 0 x 0 o 1 0 2a n 0 2a y = 0 Ker(T − aId) = (x, y, z) : 1 z 0 −1/2 0 −a = { x + 2az = 0 = h(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)i Distinguimos dos casos: 1) a 6= 1, entonces Ker(T − Id) = z = −x/2 y=x = h(2, 2, −1)i Ker(T − aId) = h(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)i 2) a = 1, sólo hay un valor propio x = 1 y Ker(T − Id) = h(−2, 0, 1), (0, 1, 0)i Teniendo en cuenta el criterio de diagonalización por el polinomio caracterı́stico se tiene que A diagonaliza cuando a 6= 1. En ese caso una base de diagonalización viene dada por {(2, 2, −1), (−2a, 0, 1), (0, 1, 0)} . 5. Sea M2×2 (k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiar la diagonalización del endomorfismo: TA : M2×2 (k) → M2×2 (k) B 7→ A · B donde A = 1 0 1 y a ∈ k. a Álgebra Lineal y Geometrı́a II. Grado en Fı́sicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano, D. Sánchez Gómez n 1 0 0 1 0 0 0 Solución: La matriz asociada a TA respecto de la base , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 es TA = 0 0 a 0. Calculemos su polinomio caracterı́stico 0 0 0 a x − 1 0 −1 0 0 x−1 0 −1 = (x − 1)2 (x − a)2 . cTA (x) = |xId − TA | = 0 0 x − a 0 0 0 0 x − a 3 0 o 1 Los valores propios son x = 1 (dos veces) y x = a (dos veces). Calculando los subespacios de vectores propios asociados a estos valores propios tenemos: 0 0 1 n 0 0 0 Ker(TA − Id) = (x, y, z, t) : 0 0 a − 1 0 0 0 z=0 = t=0 1 0 0 1 =h , i. 0 0 0 0 1−a 0 n 0 1 − a Ker(TA − aId) = (x, y, z, t) : 0 0 0 0 ( (1 − a)x + z = 0 = (1 − a)y + t = 0 1 0 0 1 =h , i. a−1 0 0 a−1 0 x 0 y 0 o 1 = 0 z 0 0 t a−1 0 x 1 0 y 0 o 0 1 = 0 0 z 0 0 t 0 0 En consecuencia si a 6= 1 1 { 0 el endomorfismo TA diagonaliza en la base 0 0 1 1 0 0 1 , , , } 0 0 0 a−1 0 0 a−1 1 1 . y la matriz respecto de dicha base es a a 2 6. Demostrar que para todo endomorfismo de C de determinante 1 y traza distinta de ±2 existe λ 0 una base en la que su matriz es . 0 1/λ Solución: Hay que demostrar que existe una base de C2 en la que T diagonaliza, siendo sus valores propios uno inverso del otro y distintos. Como C es algebraicamente cerrado el polinomio caracterı́stico de T es de la forma cT (x) = (x − z1 )(x − z2 ) con z1 , z2 ∈ C. Ya que el determinante de T es 1 se tiene que z2 = 1/z1 . Si z1 = z2 , se sigue que z12 = 1, luego z1 = ±1 lo que contradice que la traza sea distinta de ±2. Por lo tanto z1 6= z2 , es decir T tiene dos valores propios distintos, siendo además uno inverso del otro. Existe entonces una base respecto de la cual T diagonaliza siendo la matriz asociada como la del enunciado.