Clase 4 La gestación de la Mecánica Cuántica. La radiación del cuerpo negro. Ya mencionamos en la introducción que hacia finales del siglo XIX se conocían una serie de fenómenos para los cuales se carecía de una explicación satisfactoria, aunque se creía que el encontrarla, basándose en los conocimientos entonces disponibles (lo que ahora llamamos Física Clásica), era tan solo una cuestión de tiempo. Uno de estos fenómenos era el espectro óptico emitido por una cavidad practicada en algún objeto refractario, cuando éste se calentaba a temperaturas elevadas: la llamada radiación del cuerpo negro. En el proceso de explicación de este fenómeno, Max Planck, un producto de la más conservadora tradición científica alemana, se vio en la necesidad de postular una idea que estaría llamada a modificar, también de manera esencial, nuestras concepciones sobre la estructura de la materia. Veamos cómo fueron sucediendo las cosas. Es un hecho conocido por casi todo el mundo que un objeto caliente emite radiación visible si su temperatura es suficientemente elevada. Menos conocido es el hecho de que el espectro de la radiación emitida por el interior de una cavidad practicada en un material refractario es independiente de su forma o composición. Por ejemplo, si la temperatura es suficientemente alta, es imposible distinguir los objetos que se encuentran en el interior de un horno, por variada que pueda ser su composición. Es decir, toda cavidad radiante emite el mismo espectro, independientemente de su forma, tamaño o composición. La distribución espectral de esta radiación depende de la temperatura a la que se encuentre la cavidad, y su aspecto general se muestra en la figura 5-9. La radiación en el interior de la cavidad está en equilibrio térmico con los materiales en su interior (objetos, paredes). La radiación térmica emitida por la cavidad es de mayor intensidad que la emitida por la parte corpórea que la constituye. A la radiación proveniente de la cavidad se le llama radiación del cuerpo negro, en virtud de que, en una situación idealizada, la cavidad absorbe toda la radiación que a ella llega. La coloración observada de la radiación emitida por un cuerpo negro varía con la temperatura de la siguiente manera: 550 C (823 K) rojo oscuro. 750 C (1023 K) rojo cereza. 900 C (1173 K) anaranjado. 1000 C (1273 K) amarillo. 1200 C (1473 K) blanco. Intensidad relativa 800 K 1000 K 1200 K 1500 K 0 1 2 3 4 Frecuencia (x 10 Hz) Figura 5-9. Distribución espectral de una cavidad radiante como una función de . Llamemos (,T)d a la energía radiada por unidad de volumen comprendida entre y d; es decir, , T 1 dE , en donde E es la energía promedio de la radiación dentro V d de la cavidad de volumen V. En 1879 Joseph Stefan (de manera empírica) y en 1884 Ludwing Boltzmann (teóricamente) encontraron que la energía total emitida por unidad de área y por unidad de tiempo R por la cavidad (también llamada radiancia) debería ser proporcional a la cuarta potencia de la temperatura; es decir R T 4 (5-5) en donde = 5.6693 x 10-8 W/m2K4 es la llamada constante de Stefan-Boltzmann. En 1893, Wilhem Wien demostró que (,T)d debería tener la forma general (,T)d = f(/T)d (5-6) y, por lo tanto, f(/T) debería tener un significado fundamental, en virtud del carácter universal de la radiación del cuerpo negro. En 1896, el mismo Wien propuso, usando un argumento dudoso, que f(/T) = exp(-ß/T) (5-7) (,T)d = 3 exp(-/T)d (5-8) así que (de la ecuación anterior se puede demostrar, calculando el máximo de (,T), que Tmax = cte, que es la forma más conocida de la ley de Wien). La ley de Wien explicaba los datos conocidos experimentalmente hasta 1899, sobre todo para altas frecuencias (ver la Fig 5-10). Por otra parte, en 1900 Lord Rayleigh y en 1905 James Jeans, encontraron, basándose en consideraciones geométricas y termodinámicas, que , T d 8 2 kTd , c3 (5-9) Ley de Rayleigh-Jeans Intensidad Intensidad Ley de Wien Frecuencia Figura 5-10. La ley de Wien Frecuencia Figura 5-11. La ley de Rayleigh-Jeans en donde k se llama constante de Boltzmann. Esta expresión estaba evidentemente mal, ya que conducía a una emisión de radiación que tendía a infinito para altas frecuencias (Fig. 5-11), fenómeno que recibió el curioso nombre de catástrofe ultravioleta. Max Planck, basándose en los trabajos anteriores, hizo una revisión exhaustiva del problema, tomando como hipótesis y metodología las de Boltzmann (osciladores armónicos en equilibrio con la radiación electromagnética de la cavidad) y llegó a la conclusión de que la única manera de explicar cuantitativamente los datos experimentales recientes de la radiación del cuerpo negro (obtenidos en 1900 por dos amigos suyos: Heinrich Rubens y Ferdinand Kurlbaum) era suponiendo que la radiación emitida o absorbida por los osciladores armónicos, por los cuales sustituyó a los átomos de las paredes de la cavidad, tenía que estar cuantizada (es decir, la radiación se tenía que absorber o emitir en "paquetes") de tal forma que E = h(5-10 en donde es la frecuencia de la radiación. Planck presento sus resultados el último mes (14 de diciembre) del último año (1900) del siglo XIX. Con esta hipótesis, Planck llegó a la siguiente expresión para la densidad de energía radiada por el cuerpo negro: , T d 8h 3 1 d 3 h kT c e 1 (5-11) la cual concordó totalmente con los datos experimentales disponibles, incluyendo la zona de bajas frecuencias (Fig. 5-12). El valor de h que resulta de ellos es h = 6.6256 x 10-34 Js. (5-12) ¡El óvulo había sido fecundado! Intensidad Ley de Planck Frecuencia Figura 5-12. Distribución de intensidades como función de la frecuencia según la ley de Planck. Podemos obtener la densidad de energía total radiada por el cuerpo negro integrando la expresión (5-7) a todas las frecuencias; es decir Etotal 8 h 3d 8 h k 4T 4 x 3dx ( )d 3 h kT 3 4 x aT 4 V c 0e 1 c h 0 e 1 0 con h x , kT El valor de la constante a es y hd dx kT (5-13) a 51.9504 k4 3 3 ch 7.5643x1016 J (5-14) m K4 3 que está directamente relacionada con la constante de Stefan-Boltzmann Por otra parte, la expresión de Planck concuerda con la ley de Wien cuando la frecuencia tiende a infinito. , T 8h 3 1 3 h kT c e 1 8h 3 h kT e c3 (5-15) y también concuerda con la ley de Rayleigh-Jeans cuando la constante de Planck tiende a cero. lim , T h0 8 2kT c3 (5-16) ya que e h kT 1 h kT y e h kT 1 h kT La frecuencia para la cual la intensidad de la emisión es máxima se obtiene de 1 2 h h kt d 24h 2 h kt 8h3 h kt e 1 e 1 0, e 3 3 d c c kT (5-17) o bien: 1 - e-x – x/3 = 0 con x = h/kT = hc/kT. (5-18) Por aproximaciones sucesivas se obtiene que x = 2.8214 y de ahí T = cT/= b = constante = 2.897 x 10-3 m x K (5-19) Es interesante notar que, a 1273 K (1000 oC) el máximo de la emisión cae en el infrarrojo mediano ( = 2276 nm) ¿Por qué entonces se ve amarilla la radiación emitida por un cuerpo a esa temperatura? Más aun, la figura 5-12 muestra la distribución espectral a diferentes temperaturas y en ella se puede apreciar que, en todos los casos, el máximo de la distribución está muy alejado de la región visible del espectro. Intensidad relativa 1450 K 1810 K 1930 K 2230 K 2415 K 0 1 2 3 4 5 6 7 Longitud de onda (en m) Figura 5-13. Distribución espectral como función de la longitud de onda emitidas por un cuerpo negro a diferentes temperaturas. La banda de colores indica la región visible del espectro.