Redes de dos puertos

Redes de dos puertos
Introducción
Consideremos un circuito que no tiene fuentes independientes y que tiene dos terminales de acceso, tal como lo ilustra la
figura 1. Las variables circuitales son los dos voltajes y las dos corrientes. Nuestro interés consiste en determinar las ecuaciones del sistema cuando dos de las variables son funciones de las otras dos.
+
V1
I1
I2
+
V1
-
-
Parámetros de admitancia de cortocircuito
Figura 1
Supongamos que las variables independientes son los voltajes; en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes
I1 = y11V1 + y12V2,
I2 = y21V1 + y22V2.
En forma matricial, tenemos:
I1
y11 y12 V1
G= G .
= G==
I2
y21 y22 V2
Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de admitancia de cortocircuito se definen de la siguiente manera:
I1 =
I
V 0 y21 = 2 V2 = 0,
V1 2
V1
y11 =
I1 =
V 0,
V2 1
I
y22 = 2 V1 = 0.
V2
y12 =
El circuito equivalente, en términos de los parámetros de admitancia de cortocircuito, se muestra en la figura 2.
Los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar aplicando las técnicas de análisis previamente presentadas.
+
V1
+
y
12
y V
12
y V
2
12
-
1
y
22
V2
-
Figura 2
:: Circuitos eléctricos II — Programa de Educación Virtual —Ude@— Para ser, saber y saber hacer ::
Ejemplo 1
Determine los parámetros de admitancia de cortocircuito para el circuito de la figura 3.
R
I1
Vx
C
I2
+
+
V1
V2
L
-
-
Figura 3
Las ecuaciones del circuito son:
V1 - Vx
,
Ls + R
I1 =
I2 = Cs (V2 - Vx),
V1 - Vx +
V
Cs (V2 - Vx) = x .
Ls
Ls + R
Despejando Vx en la tercera ecuación, tenemos:
LsV1 + (L2 Cs 3 + RLCs 2) V2
Vx = 2 3
.
L Cs + RLCs 2 + 2Ls + R
Reemplazando el resultado anterior en las dos primeras ecuaciones, obtenemos:
R
V
- LCs 2
LCs 2 + 1
S
W
2
3
2
2
3
2
I1
+
+
+
+
+
+
S
W=V1 G
2
L
Cs
RLCs
2
Ls
R
L
Cs
RLCs
Ls
R
= G= S
2
2
W V2 .
+
LCs
2
LCs
RCs
I2
2
3
2
2
3
2
S L Cs + RLCs + 2Ls + R L Cs + RLCs + 2Ls + R W
T
X
Puede notarse que:
- LCs 2
.
L Cs + RLCs 2 + 2Ls + R
y12 = y21 =
2
3
Lo anterior es cierto para cualquier circuito pasivo.
Admitancia de entrada y ganancia de voltaje
A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar las funciones circuitales de interés cuando
a la entrada se coloca una fuente ideal de voltaje y a la salida se conecta una carga resistiva, tal como lo ilustra la figura 4.
I1
vi (s)
+
-
I2
y
11
y V
12
y V
2
12
1
y
22
R
+
v0 (s)
-
Figura 4
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Las ecuaciones del circuito son:
I1 = y11 V1 + y12 V2,
I2 = y21 V1 + y22 V2,
V1 = Vi (s),
Vo (s)
.
I2 =R
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones, obtenemos:
G (s ) =
- y21
Vo (s)
=
,
1
Vi (s)
y22 +
R
Yin (s) = y11 -
Ejemplo 2
y12 y21
.
1
y22 +
R
Los parámetros de admitancia de cortocircuito de un circuito están dados por:
=
y11
y21
R
V
2 (s 2 + 1)
- 2s 2
S
W
3
2
3
2
y12
S
W
+
+
+
+
+
+
s
s
s
s
s
s
2
3
4
3
2
3
4
3
G= S
2
2
W.
- 2s
4s + 3 s
y22
S 2s 3 + 3s 2 + 4s + 3 2s 3 + 3s 2 + 4s + 3 W
T
X
a. Determine la ganancia de voltaje del circuito cuando se le conecta una carga: R = 0.9 X.
b. Dibuje el diagrama de polos y ceros.
c. Encuentre la respuesta al escalón unitario y represente gráficamente.
Solución
a. La ganancia de voltaje del circuito es:
- 2s 2
18s 2
2s + 3s 2 + 4s + 3 =
G (s) =2
3
20s + 66s 2 + 67s + 30.
10 +
4s + 3s
9
2s 3 + 3s 2 + 4s + 3
-
3
b. La función tiene un cero doble en el origen y tres polos, dados por:
p1 = -2,
p2 = -0.65 - j 0.57,
p3 = -0.65 + j 0.57.
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Pole zero map
ImagAxis
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
0
-1.5 -1 -0.5
Real Axis
0.5
Figura 5
La figura 5 ilustra el diagrama de polos y ceros. Se puede observar el cero doble en el origen.
c. Para hallar la respuesta al escalón unitario escribimos la ganancia de voltaje en forma factorizada, así:
Vo (s) = G (s)
1 =
18s 2
.
s
(s + 2) (20s 2 + 26s + 15) s
La transformada inversa de Laplace de la salida es:
vo (t) =-
36 + -2t + -0.65t ; 36
198
e
e
cos (0.57t) sen (0.57t) E u (t) .
43
5633
43
Respuesta al escalón
0.2
0.2
0.1
vo(t)
0
-0.1
-0.2 -0.2
0
0
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
10
10
Figura 6
Parámetros de impedancia de circuito abierto
Supongamos que las variables independientes son los voltajes; en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes:
V1= Z11I1 + Z12 + I2,
V2= Z21I1 + Z22 + I2,
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En forma matricial, tenemos:
V1
Z1 Z12 I1
G= G .
= G==
V2
Z2 Z22 I2
Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de impedancia de circuito abierto se definen de la siguiente manera:
Z11 =
V1 =
I
0,
I1 2
Z21 =
V2 =
I
0,
I1 2
Z12 =
V1 =
I 0,
I2 I
Z22 =
V2 =
I 0.
I2 I
Z
Z
11
22
+
V1
Z I
12
2
+
-
+
-
-
Z I
21
1
+
V2
-
Figura 7
El circuito equivalente, en términos de los parámetros de impedancia de circuito abierto, se muestra en la figura 7.
Los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar aplicando las técnicas de análisis previamente presentadas.
Ejemplo 3
Determine los parámetros de impedancia de circuito abierto para el circuito de la figura 8.
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R
I1
L
Vx
C
+
V1
L
-
I2
+
V2
-
Figura 8
Las ecuaciones del circuito son:
V1 = (Ls + R) I1 + Ls (I1 + I2),
V2 =
1 +
I Ls (I2 + I1) .
Cs 2
Por simple inspección, resulta la matriz de los parámetros de impedancia de circuito abierto, así:
=
Ls
Z11 Z12
2Ls + R
1
G=>
Ls + H.
Z21 Z22
Ls
Cs
Relaciones entre los parámetros y y los parámetros z
A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden obtener los parámetros de impedancia de circuito abierto y
viceversa, así:
I1
y11 y12 V1
G= G .
= G==
I2
y21 y22 V2
Multiplicando por la inversa, tenemos que:
-1
V1
y11 y12 I1
G = G.
= G==
V2
y21 y22 I2
En consecuencia, la matriz de los parámetros de impedancia de circuito abierto es la inversa de la matriz de parámetros de
admitancia de cortocircuito.
-1
Z11 Z12
y11 y12
G==
G .
=
Z21 Z22
y21 y22
De manera similar, la matriz es la inversa de la matriz z.
=
-1
y11 y12
Z11 Z12
G==
G .
y21 y22
Z21 Z22
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Ejemplo 4
A partir de los parámetros de impedancia de circuito abierto obtenidos en el ejemplo anterior, determine los parámetros de
admitancia de cortocircuito.
Solución
Ls
y11 y12
2Ls + R
1
G=>
=
Ls + H .
y21 y22
Ls
Cs
-1
Desarrollando la inversa, obtenemos:
R
V
- LCs 2
LCs 2 + 1
S
W
2
3
2
2
3
2
y11 y12
+
+
+
+
+
+
S
W
2
L
Cs
RLCs
2
Ls
R
L
Cs
RLCs
Ls
R
G= S
=
2
2
W.
+
LCs
2LCs RCs
y21 y21
S L2 Cs 3 + RLCs 2 + 2Ls + R L2 Cs 3 + RLCs 2 + 2Ls + R W
T
X
Puede verse que el resultado obtenido es idéntico al encontrado en el ejemplo 1. En general, la inversa de la matriz de
parámetros z, es:
R
V
- y12
y22
S
W
-1
S y11 y22 - y12 y21 y11 y22 - y12 y21 W
z11 z12
y11 y12
G==
G =S
=
W.
- y21
y11
z21 z22
y21 y22
S
W
S y11 y22 - y12 y21 y11 y22 - y12 y21 W
T
X
Parámetros híbridos
Aunque se pueden definir dos tipos de parámetros híbridos, nos limitaremos a los parámetros más comúnmente utilizados, en
los que las variables independientes son la corriente de entrada y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito
son:
V1 = h11 I1 + h12 V2,
I2 = h21 I1 + h22 V2.
En forma matricial, tenemos:
-1
V1
h11 h12
I1
G = G.
= G==
I2
h21 h22 V2
Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros híbridos se definen de la siguiente manera:
h11 =
V1 =
V 0,
I1 2
h21 =
I2 =
V 0,
I1 2
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h12 =
V1 =
I
0,
V2 1
I
h22 = 2 I1 = 0.
V2
El circuito equivalente, en términos de los parámetros híbridos, se muestra en la figura 9.
Los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar aplicando las técnicas de análisis previamente presentadas. Los parámetros híbridos no tienen las mismas unidades; lo anterior puede verse analizando las definiciones de arriba.
Usualmente se utilizan los parámetros híbridos para modelar el transistor bipolar a bajas frecuencias.
h
11
+
V1
h V
12
2
+
-
-
h I
12
1
h
22
V2
-
Figura 9
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