Métodos Numéricos: Ejercicios Tema 3: Integración Numérica

Métodos Numéricos: Ejercicios
Tema 3: Integración Numérica
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Marzo 2008, versión 1.3
Ejercicio 1 Consideramos la fórmula de cuadratura
Z 1
0
f (x) dx ' F (f )
con
F (f ) = α1 f (a) + α2 f (1) .
Determina α1 , α2 y a para que la fórmula de cuadratura tenga el mayor
grado de precisión posible.
Ejercicio 2 Consideramos la integral
I=
Z 0.2
0
2
e−x dx.
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.
2. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.
3. Calcula el valor de la integral con Maple.
4. Calcula los errores absolutos que resultan al aplicar la fórmula del
trapecio y de Simpson.
Ejercicio 3 Consideramos la integral
I=
Z 1.5
x2 ln x dx.
1
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.
2. Calcula una cota superior de error.
3. Calcula manualmente el valor exacto de la integral y verifica el resultado.
4. Calcula una primitiva con Maple.
5. Calcula con Maple el valor exacto de la integral.
1
Ejercicios
Tema 3: Integración numérica. 2
Ejercicio 4 Consideramos la integral
I=
Z 0.5
x sin x dx.
0
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula del trapecio simple.
2. Usando las propiedades del valor absoluto, calcula una cota superior
para |f 00 (x)| sobre [0, 0.5]
3. Determina una cota superior de error.
4. Calcula manualmente el valor exacto de la integral y verifica el resultado.
5. Verifica con Maple la cota de |f 00 (x)| .
6. Calcula una primitiva con Maple.
7. Calcula con Maple el valor exacto de la integral.
Ejercicio 5 Consideramos la integral
I=
Z 1.5
x2 ln x dx.
1
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.
2. Calcula una cota superior de error y verifica el resultado.
Ejercicio 6 Consideramos la integral
I=
Z 0.5
x sin x dx.
0
1. Aproxima el valor de I usando la fórmula de Simpson.
¯
¯
¯
¯
2. Calcula una cota superior para ¯f (4) (x)¯ sobre [0, 0.5].
3. Determina una cota superior de error.
¯
¯
¯
¯
4. Verifica con Maple la cota de ¯f (4) (x)¯ .
5. Calcula con Maple el valor del error.
Ejercicio 7 Consideramos la integral
I=
Z 1.5
1
x2 ln x dx.
Ejercicios
Tema 3: Integración numérica. 3
1. Aproxima el valor de I con 3 decimales exactos usando la fórmula del
trapecio compuesto.
2. Verifica el valor de la aproximación con el comando trapezoid de la
librería student de Maple.
3. Verifica el resultado calculando el error con Maple.
Ejercicio 8 Consideramos la integral
I=
Z 1.5
x2 ln x dx.
1
1. Aproxima el valor de I con 6 decimales exactos usando la fórmula de
Simpson compuesto.
2. Verifica el valor de la aproximación con el comando simpson de la
librería student de Maple.
3. Verifica el resultado calculando el error con Maple.
Ejercicio 9 Consideramos la integral
I=
Z 1
2
ex dx.
0
1. Determina el número de intervalos necesario para aproximar el valor de
I con 4 decimales exactos usando la fórmula del trapecio compuesto.
2. Escribe un programa con Maple que te permita calcular el valor de la
aproximación.
3. Verifica el resultado del apartado anterior con el comando trapezoid
de la librería student de Maple.
4. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.
Ejercicio 10 Consideramos la integral
I=
Z 1
2
ex dx.
0
1. Determina el número de intervalos necesario para aproximar el valor
de I con 6 decimales exactos usando la fórmula de Simpson.
2. Calcula el valor de la aproximación con el comando simpson de la
librería student de Maple.
3. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.
Ejercicios
Tema 3: Integración numérica. 4
Ejercicio 11 Consideramos la integral
I=
Z b
f (x) dx,
a
y supongamos que cuando la aproximamos usando la fórmula de Simpson,
la cota de error
|ES | ≤
h5
M4 ,
90
¯
¯
¯
¯
M4 = max ¯f (4) (x)¯
x∈[a,b]
nos garantiza al menos t decimales exactos.
1. Demuestra que la fórmula de Simpson nos proporcionará al menos t
decimales exactos en todas las integrales
Z b1
f (x) dx,
a1
a ≤ a1 < b1 ≤ b.
2. ¿Será cierto un resultado análogo para la fórmula del trapecio?
3. ¿Y para las fórmulas compuestas?
Ejercicio 12 La longitud del arco de la curva
y = f (x)
desde el punto P = (a, f (a)) , hasta Q = (b, f (b)) se define como
L=
Z bq
a
1 + [y 0 (x)]2 dx.
Queremos calcular la longitud del arco de parábola
y = x2
desde el punto P = (0, 0) , hasta Q = (1, 1) .
1. Representa gráficamente el arco y plantea la integral que da su longitud.
2. Supongamos que queremos calcular el valor de la longitud de arco con
6 decimales exactos. Usa para ello la fórmula de Simpson compuesta
(m)
FSC hasta que el error estimado
(m)
¯
¯ (m)
¯
¯
(m−1) ¯
ĒSC = ¯FSC − FSC
(m)
sea inferior a 0.5 × 10−8 . Para calcular los valores de FSC , usa la
librería student de Maple.
3. Verifica el resultado calculando el valor exacto con Maple.