Matemática Intermedia 2 JORNADA

UNIVERSIDAD DESAN CARLOSDEGUATEMALA
FACULTAD DEINGENIERÍA
DEPARTAMENTO DEMATEMÁTICA
CURSO:
Matemática Intermedia 2
JORNADA:
Vespertina
SEMESTRE:
1er. Semestre
AÑO:
2013
TIPODEEXAMEN:
3er. Examen Parcial
NOMBREDE LAPERSONA QUE
RESOLVIÓEL EXAMEN:
Ana Gloria Montes
NOMBREDE LAPERSONA QUE
REVISÓEL EXAMEN:
Ing. Alejandro Estrada
TEMARIO
Universidad de San Carlos de Guatemala
Matemática Intermedia 2
Facultad de Ingeniería
Tercer Parcial
__________________________________________________________________
Tema No. 1
Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área
superficial total es de 80
.
Tema No. 2
Mediante multiplicadores de Lagrange, demuestre que el triángulo con área
máxima que tiene un perímetro “p” es un triángulo equilátero. Sugerencia: Aplique
)(
)(
) donde
la fórmula de Herón para el área:
√ (
y
son las longitudes de los lados.
Tema No. 3
Dibuje y calcule el volumen que está dado por la integral iterada.
∫ ∫
(
)
Tema No. 4
Dibuje la región de integración y cambie en orden de integración, luego compruebe
calculando ambas integrales.
a)
∫ ∫
b)
∫ ∫
Tema No. 5
Traslade a coordenadas cartesianas las siguientes integrales en coordenadas
polares, dibuje la región y calcule las integrales.
a)
∫
b)
∫ ∫
∫
SOLUCIÓNDELEXAMEN
TEMA 1
Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área
superficial total es de 80
.
Por multiplicadores de Lagrange:
Función principal:
Función ligadura:
⟨
;
⟩
⟨
⟩
(
)
(
Ecuación 1
)
(
Ecuación 2
Ecuación 3
Igualando Ecuación 1 y 2
(
)
(
)
(
)
(
)
Igualando Ecuación 1 y 3
Si
y
, entonces
)
Sustituyendo en ecuación ligadura
√
√
√
3.65
3.65
3.65
R// La caja con el mayor volumen tiene dimensiones de 3.65 pulgadas de ancho,
largo y profundidad.
TEMA 2
Mediante multiplicadores de Lagrange, demuestre que el triángulo con área
máxima que tiene un perímetro “p” es un triángulo equilátero. Sugerencia: Aplique
)(
)(
) donde
la fórmula de Herón para el área:
√ (
y
son las longitudes de los lados.
(
)
(
)
(
)
⟨
[ (
)(
(
(
)(
)( )
)]
)(
)(
(
⟨
)[(
)
(
(
)(
)]
√ (
[ (
)(
)(
( )(
(
)[ (
⁄
)]
)(
)
)(
(
[ (
(
)]
√ (
)(
)
(
)(
)(
(
)]
)
)
)(
)(
)(
)(
)]
)[
)(
(
)
)
)(
( )(
)( )(
)(
)(
)(
(
)(
)(
)(
)
)( )
)(
)
(
)
)(
)
)( )(
⟩
)(
[ (
√ (
(
⟩
)(
⁄
)(
⟩
⟨
⟩
√ (
⟨
)[
)
(
)(
)]
(
)]
)( )
)
[ (
)(
)(
( )(
(
(
)[(
[ (
)(
)[ (
)
⁄
)]
)
( )(
(
)]
√ (
)(
)
(
)]
)(
(
(
(
)[(
)
)[ (
(
)(
(
(
)[(
(
)
(
)[(
)[
y
(
(
(
)[ (
(
)] (
)[ (
)[(
)(
(
(
Si
(
)
)[ (
)]
)(
)
)
)]
(
)]
(
)
(
)]
(
)
(
(
(
(
)]
)]
)(
)[
)(
)[
)(
(
)]
)
(
)[
(
)]
(
)]
)[
(
)]
)]
)(
)[
)]
)[
)[
)
(
)
)]
(
(
)(
(
) (
)(
)(
)( )(
)
)(
)]
)
)(
)(
√ (
(
)(
)[
)(
) (
(
)
)(
)(
)(
√ (
(
)[ (
)(
(
)
(
)(
)]
)
)(
)]
(
)]
)]
)
, entonces:
R// El triángulo con área máxima es un triángulo equilátero en donde sus 3 lados
son iguales
TEMA 3
Dibuje y calcule el volumen que está dado por la integral iterada.
(
∫ ∫
)
1.0
0.8
x
0
1
0.6
1
0
0.4
0.2
0.2
Para
∫ ∫
,
(
)
∫ *
∫ *(
+
)
(
∫ (
*
)
+
)
(
)
+
0.4
0.6
0.8
1.0
TEMA 4
Dibuje la región de integración y cambie en orden de integración, luego compruebe
calculando ambas integrales.
0.8
a)
∫ ∫
0.6
∫ [ ]
0.4
∫ (
)
0.2
∫ (
∫
)
0.0
0.0
*
+
[
[
(
( )
)]
( )]
( )
Cambiando orden de integración:
( )
( )
( )
∫ ∫
( )
∫ [ ]
∫
[
|
( )
|
( )|
|]
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
b)
∫ ∫
∫ [ ]
∫
[
| |
]
(
| |
)
(
| |
)
| |
Cambiando orden de integración:
| |
∫
∫
| |
[ ]
∫
| |
(
∫
[
| |
| |
)
]
| |
| |
TEMA 5
Traslade a coordenadas cartesianas las siguientes integrales en coordenadas
polares, dibuje la región y calcule las integrales.
a)
∫
∫
∫
* +
∫
(
∫
(
[
)
)
]
Coordenadas cartesianas
√
√
∫ ∫
∫ ∫
√
√
b)
∫ ∫
∫ * +
∫
∫
∫
(
)
∫
[
∫
]
[
( )
]
*
( )
+
Coordenadas Cartesianas
( )
Ecuación de la circunferencia:
(
(
(
)
)
)
Centro: (2,0)
Radio: 2
√
∫ ∫
(
)