Calcula los extremos de la función f(x, y, z) = xy + yz en D = {(x, y, z

Calcula los extremos de la función f (x, y, z) = xy + yz en D = {(x, y, z) ∈ R3 :
x, y, z > 0, x2 + y 2 = 1, y + z = 2}
Solución: Construimos la función F (x, y, z, λ, µ) := xy + yz + λ(x2 + y 2 − 2) + µ(y + z − 2).
Calculamos las derivadas parciales y obtenemos el sistema:

∂F

(x, y, z, λ, µ) = y + 2λx = 0

∂x


∂F


 ∂y (x, y, z, λ, µ) = x + z + 2λy + µ = 0
∂F
(x, y, z, λ, µ) = y + µ = 0
∂z



x2 + y 2 = 2




y+z =2
De la ecuación número 3, obtenemos que µ = −y, sustituyendo en 2 obtenemos
x + z + 2λ − y = 0,
(1)
de la ecuación 1 despejamos λ y puesto que x 6= 0 obtenemos
λ=
−y
.
2x
Sustituyendo λ en (1) se sigue:
x−y+z−
y2
=0
x
√
√
Por otra parte y = 2 − x2 y z = 2 − y. Ası́ x − 2 2 − x2 + 2 −
√
2x2 + 2x − 2 = 2x 2 − x2 . Resolviendo obtenemos
2−x2
x
= 0, es decir,
(x2 + x − 1)2 = x2 (2 − x2 ) = 2x2 − x4
x4 + x2 + 1 + 2x3 − 2x2 − 2x = 2x2 − x4
2x4 + 2x3 − 3x2 − 2x + 1 = 0
Observamos que x = 1 y x = −1 son soluciones de la ecuación. Finalmente obtenemos
(x − 1)(x + 1)(2x2 + 2x − 1) = 0
√
√
Resolviendo 2x2 + 2x − 1 = 0 obtenemos las soluciones x = −1+2 3 y x = −1−2 3√. Recordamos que en D x > 0. Ası́, las únicas soluciones válidas son x = 1 y x = −1+2 3 . Para
q
q
√
√
√
−1+ 3
3
x = 1, y = 1 y z = 1 y f (x, y, z) = 2. Para x = 2 y = 1 − 2 y z = 2 − 1 − 23
q
√
√
√ q
−1+ 3
3
y f ( 2 , 1 − 2 , 2 − 1 − 23 ) ≈ 1.366.
Veamos qué tipo de extremos son:
∂2F
(x, y, z, λ, µ) = 2λ
∂x2
1
∂ 2F
(x, y, z, λ, µ) = 1
∂x∂y
∂ 2F
(x, y, z, λ, µ) = 0
∂x∂z
∂2F
(x, y, z, λ, µ) = 2λ
∂y 2
∂ 2F
(x, y, z, λ, µ) = 1
∂y∂z
∂ 2F
(x, y, z, λ, µ) = 0
∂z 2
x0 x + y0 y = 0
y+z =0
• Punto (1, 1, 1, −1/2, −1)
 
x
−1 1 0



y  = −(x2 + y 2 ) + 2xy + 2yz
1 −1 1
(x, y, z)
z
0
1 0

Pero ahora sustituyendo z = −y, x = −y tenemos:
−(x2 + y 2 ) + 2xy + 2yz = −(y 2 + y 2 ) − 2y 2 − 2y 2 = −6y 2 < 0
Ası́ en el punto (1, 1, 1) tenemos un máximo relativo.
√
q
q
√
√ q
√
1+ 23
−1+ 3
3
3
• Punto ( 2 , 1 − 2 , 2 − 1 − 2 , 1−√3 , − 1 −
√
3
).
2
Este punto no es realmente un punto crı́tico, sino que al elevar al cuadrado ambos
miembros de la igualdad hemos introducido un punto que no es solución del sistema
original. Podemos comprobar que no verifica la ecuación número 2 del sistema
formado por las derivadas parciales.
Ası́, propiamente sólo tenemos un extremo relativo, que es un máximo.
Veamos gráficamente el máximo y el otro punto que habı́amos introducido y observemos como efectivamente (1, 1, 1) es un máximo.
2
0
0.5
1
1.5
2
2
1.5
1
0.5
0
0.5
0
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
0
3
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
0
0.5
0
1
1.5
2
4
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
0
2
1.5
1
0.5
5
0