Dpto. Física y Mecánica Círculo de Mohr Elvira Martínez Ramírez OCW-UPM Justificación matemática OCW-UPM Dada una figura, de área A, se quiere conocer las rectas R1 y R2 que proporcionan el máximo y mínimo valor del momento de inercia, así como dichos valores de los momentos de inercia Y X α R1 Una recta R que proporcione un máximo (o mínimo) del momento de inercia forma con el eje OX un ángulo α OCW-UPM I R = I OX cos α + I OY s en α − 2 PXY senα cos α 2 2 sen 2α = 2 senα cos α 1 sen α = (1 − cos 2α ) 2 2 1 cos α = (1 + cos 2α ) 2 2 I OX + I OY I OX − I OY IR = + cos 2α − PXY sen 2α 2 2 OCW-UPM PR1R2 = PXY sen(α + β ) − I OX cos α cos β − I OY senα senβ Si R1 es perpendicular a R2 β =α +π / 2 senβ = cos α cos β = − senα sen(α + β ) = cos 2α PR1R2 I OX − I OY = PXY cos 2α + sen2α 2 OCW-UPM Si el producto de inercia respecto a dos rectas R1 y R2 es nulo, se verifica I OX − I OY PXY cos 2α + sen2α 2 =0 Una de las rectas formará con la horizontal un ángulo α de forma que se cumple 2 PXY tg 2α = I OY − I OX El momento de inercia respecto a dicha recta será máximo o mínimo OCW-UPM Reordenando las ecuaciones anteriores I OX + I OY I OX − I OY IR − = cos 2α − PXY sen 2α 2 2 I OX − I OY = 2 PR1R2 sen 2α + PXY cos 2α Elevando al cuadrado cada ecuación I OX + I OY I OX − I OY I OX − I OY 2 I − = − cos 2 α 2 R 2 2 2 2 2 I OX − I OY I OX − I OY 2 = sen 2α + 2 PXY 2 2 2 PR21R2 2 2 P sen + P sen 2 α cos 2 α 2α XY XY 2 2 sen 2 α cos 2 α + P cos 2α XY OCW-UPM Sumando las dos ecuaciones I OX + I OY I OX − I OY 2 2 − + = + I P P R R R XY 1 2 2 2 2 2 Ecuación análoga a la de una circunferencia de radio R y centro C(a,b) ( x − a ) + ( y − b) = R 2 Donde C ( I OX + I OY 2 ,0 ) 2 y R= ( I OX − I OY 2 ) 2 2 2 + PXY OCW-UPM R= ( ) +P I OX − I OY 2 2 2 XY R PXY 2α O C I OX + I OY 2 I OX − I OY 2 Calculamos el radio por aplicación del teorema de Pitágoras OCW-UPM tg 2α = PXY I OX − IOY 2 2 PXY = I OX − I OY R PXY 2α O C I OX − I OY 2 Calculamos la tangente del ángulo OCW-UPM Construcción geométrica OCW-UPM P Elegir unos ejes y una escala apropiada para dibujar los momentos y productos de inercia Nombrar los ejes I Los momentos de inercia son siempre positivos, los productos de inercia pueden ser positivos, negativos o nulos . OCW-UPM P P • A(IOX, PXY) • A(IOY, PXY) PXY>0 I I • B(IOX, - PXY) • B(IOY, - PXY) P P IOX>IOY • B(IOY, - PXY) PXY<0 IOY>IOX • B(IOX, - PXY) I • A(IOX, PXY) I • A(IOY, PXY) OCW-UPM P Suponiendo Pxy positivo e IOX>IOY • Y X A(IOX, PXY) I O • B(IOY, - PXY) Dibujar los puntos A(IOX, PXY) y B (IOy, PXY). OCW-UPM P • A(IOX, PXY) C O • B(IOY, - PXY) Conectar los puntos A y B, mediante una línea recta. I El punto de corte con el eje I es el centro de la circunferencia, C. OCW-UPM Y P • X A(IOX, PXY) PXY C O I I OX − I OY 2 • (I B(IOY, - PXY) OX − I OY ) OCW-UPM Dibujar la circunferencia con centro en C y radio R=CA=CB P • A(IOX, PXY) R= PXY E• •D C I OX − I OY 2 • (I B(IOY, - PXY) OX − I OY ) ( I OX − I OY 2 ) 2 + PXY 2 I Los puntos de corte de la circunferencia con el eje I, son los puntos D yE OCW-UPM Los puntos de corte de la circunferencia con el eje I, son los puntos D y E (D>E) P • A(IOX, PXY) O•E •D C I OX − I OY 2 I OY • B(IOY, - PXY) OD = I max = I OY + IOX − IOY 2 +R I R I max = IOX + IOY 2 +R OCW-UPM OE = I min = OC − CE = OC − R P • A(IOX, PXY) O•E •D C I OX − I OY 2 I OY • R I Imi x = I OX + IOY 2 −R B(IOY, - PXY) OCW-UPM La tangente del ángulo que forma CA con CD es P PXY • α O•E 2α C I OX − I OY 2 A(IOX, PXY) IOX − I OY 2 2 PXY = I OX − I OY PXY •D I Que coincide con 2α • B(IOY, - PXY) OCW-UPM Para que la recta CA (IOX) llegue a la recta CD (Imax) tiene que girar un ángulo 2α en sentido horario P • A(IOX, PXY) 2α E• C • B(IOY, - PXY) •D I Para que la recta CB (IOY) llegue a la recta CE (Imin) tiene que girar un ángulo 2α en sentido horario OCW-UPM Un ángulo 2α en el círculo de Mohr en sentido horario, se corresponde con un ángulo α en la figura real P • A(IOX, PXY) 2α E• C • •D I B(IOY, - PXY) OCW-UPM Y El eje OX tiene que girar un ángulo α en sentido antihorario para obtener la recta R1 que proporciona el máximo valor del momento de inercia. El eje OY tiene que girar un ángulo α en sentido antihorario para obtener la recta R2 que proporciona el mínimo valor del momento de inercia. R1 α X R2 OCW-UPM