Fuerzas axiales distribuidas y sección variable

Equilibrio y cinemática
de sólidos y barras (2)
resitencia
ingeniería
ma
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Ciencia de Materiales
U Politécnica de Madrid
© J. Planas 2007
Fuerzas axiales distribuidas y sección variable
Índice
resitencia
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Ciencia de Materiales
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• Ejercicios de recapitulación
• Fuerzas axiales distribuidas
• Equilibrio
• Deformación
• Ejemplos
• Barras de sección variable continuamente
• Equilibrio
• Deformación
• Ejemplos
Ejercicio
B
2.5
3.75
C
Determinar el desplazamiento
del punto C si la barra AB gira
4.0 mrad en sentido horario y
la barra BC gira 1.2 mrad en
sentido antihorario.
cotas en m
A
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2.5
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2.5
Ejercicio
B
2.5
3.75
C
Determinar el desplazamiento
del punto C si la barra AB se
alarga un 2.0‰ y gira 2.0 mrad
en sentido horario y la barra
BC se alarga un 1.0‰ y gira 1.5
mrad en sentido antihorario.
cotas en m
A
resitencia
ingeniería
ma
2.5
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2.5
Ejercicio
B
2.5
3.75
C
Determinar el desplazamiento
del punto B si la barra AB se
alarga un 2.0‰, la barra BC se
alarga un 1.0‰ y el punto C se
desplaza 2 mm hacia la derecha
y 3 mm hacia arriba.
cotas en m
A
resitencia
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2.5
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2.5
b
!a
A
B
a
5 La barra rı́gida AB está suspendida de tres tirantes elásticos AC, BD y AD de idéntico material y sección recta A. Está sometida
la fuerza vertical indicada, en la figura, de módulo P . Se pide: (a) determinar los esfuerzos axiles en los tirantes; (b) Determinar el
alargamiento de los tirantes, el desplazamiento horizontal y vertical de los puntos A y B y el giro de la barra dado el módulo de
elasticidad E del material. Aplicación numérica: a = 4 m; b = 3 m; α = 0,25 m; P = 10 kN; A = 380 mm2 ; E = 200 GPa.
D
C
b
!a
A
B
a
6 La barra rı́gida AB está suspendida de cuatro tirantes elásticos de idéntico material y sección recta A. Está sometida la fuerza
vertical indicada en la figura, de módulo P . Se pide: (a) determinar los esfuerzos axiles en los tirantes; (b) Determinar el alargamiento de los tirantes, el desplazamiento horizontal y vertical de los puntos A y B y el giro de la barra dado el módulo de elasticidad E
del material. Aplicación numérica: a = 4 m; b = 3 m; α = 0,1 m; P = 12 kN; A = 380 mm2 ; E = 200 GPa.
C
D
b
!a
A
a
B
b
!a
A
B
a
6 La barra rı́gida AB está suspendida de cuatro tirantes elásticos de idéntico material y sección recta A. Está sometida la fuerza
vertical indicada en la figura, de módulo P . Se pide: (a) determinar los esfuerzos axiles en los tirantes; (b) Determinar el alargamiento de los tirantes, el desplazamiento horizontal y vertical de los puntos A y B y el giro de la barra dado el módulo de elasticidad E
del material. Aplicación numérica: a = 4 m; b = 3 m; α = 0,1 m; P = 12 kN; A = 380 mm2 ; E = 200 GPa.
C
D
b
!a
A
a
B
Fuerzas axiales distribuidas
Equilibrio p
p(x)
x
x
dx
N (x)
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+
∂N
N (x + dx) −N (x) +p(x)dx = 0 ⇒
= −p(x)
∂x
∂N
dx
∂σ
∂x
= −p(x)
A
∂x
∑f→= 0
resitencia
N (x + dx)
Fuerzas axiales distribuidas
Equilibrio: forma integrada
p
p(x)
x
x
x1
x2
N1
∑f→= 0
N2 − N1 +
+
N2
!
x2
p(x) dx = 0
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x1
Fuerzas axiales distribuidas
p
Deformación
p(x)
x
x
∆L
u(x)
∂u(x)
!(x) =
∂x
⇒ u(x) = u(x1 ) +
!
x
!(x)dx
x1
Si u(0) = 0
∆L = u(L) − u(0) ⇒
∆L =
!
L
!(x)dx
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0
Ejemplo
F
“PUSH IN”
Una fibra embebida en una matriz que
puede considerarse rígida se somete a
una carga F en su cara superior.
Suponiendo que la tensión tangencial
máxima entre fibra y matriz es constante
y conocida, determinar la longitud de la
zona que desliza en función de F, y la
relación entre el desplazamiento y la
fuerza.
ACCESIT PREMIO DE FOTOGRAFIA GEF 2007
Carlos González, Javier Llorca y Pedro Poza
ETSI Caminos, universidad Politécnica de Madrid
Ejemplo
Una barra de sección constante, está unida perpendicularmente a un eje de radio r0 que gira a velocidad angular constante ω. Determinar la tensión
en la barra en función de la distancia r al eje de
giro, y el movimiento radial de su extremo libre.
Supóngase conocida la densidad del material de la
barra ρ, su módulo de elasticidad E y su longitud
inicial L
Recordatorio:
En un sólido rı́gido:
!
F = maG
Aceleración centrı́peta en mov. circular = ω 2 r
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• Ejercicios de recapitulación
• Fuerzas axiales distribuidas
• Equilibrio
• Deformación
• Ejemplos
• Barras de sección variable continuamente
• Equilibrio
• Deformación
• Ejemplo
Fuerzas axiales distribuidas
Equilibrio: forma
integrada
p
p(x)
x
x
x1
x2
N1
∑f→= 0
N2 − N1 +
+
N2
!
x2
p(x) dx = 0
¡Igual!
x1
resitencia
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A1 != A2
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¿Diferencia?
N 1 = σ 1 A1
N 2 = σ 2 A2
Ejemplo
Un alambre cónico de gran longitud L cuelga verticalmente de su base sometido a su peso propio.
Determinar la distribución de tensiones a lo largo
del alambre y su alargamiento. Supóngase conocida la densidad del material ρ y su módulo de
elasticidad E. El diámetro de la base D ! L.