Facultad de Ciencias. Centro de Matemática. Licenciatura en

Facultad de Ciencias.
Centro de Matemática.
Licenciatura en Matemática y Licenciatura en Fı́sica
Ecuaciones Diferenciales.
Curso 2012
Práctico 4 (Complemento)
1. El problema de Kepler consiste en describir el movimiento en el espacio de una masa puntual sometida
a una fuerza central atractiva, cuya norma es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
al origen. Más precisamente, si q(t) ∈ R3 designa la posición de la partı́cula en el instante t ∈ R, la
ecuación diferencial que gobierna el movimiento es
q̈ = −
q
kqk3
a) Probar que el vector ~c = q ∧ q̇ es constante a lo largo de una solución de la ecuación de Kepler.
Probar que toda trayectoria es plana.
b) Utilizaremos un sistema ortonormal de coordenadas (x, y) ∈ R2 en el plano de una trayectoria
dada. El correspondiente sistema de ecuaciones de segundo orden que satisfacen las coordenadas
x(t) e y(t) de la trayectoria es
ẍ = −xr−3
ÿ = −yr−3
donde r2 = x2 + y 2 . Probar que las siguientes cantidades son conservadas:
C = xẏ − y ẋ (momento angular)
α = xr−1 − C ẏ
β = yr−1 + C ẋ
c) Concluir que la trayectoria está contenida en una rama de una sección cónica de ecuación
αx + βy + C 2 = r.
Suponiendo que C 6= 0, probar que la curva hodográfica, es decir la curva descrita por el vector
velocidad q̇ = (ẋ, ẏ) está contenida en una circunferencia; hallar su centro y su radio.
d ) Demostrar que una solución definida para todo t ∈ R debe satisfacer C 6= 0.
2. Se considera el sistema
½
(S)
ẋ = y
2
ẏ = −xe−x
a) Hallar una función f tal que V (x, y) = y 2 + f (x) sea constante a lo largo de las soluciones del
sistema (S).
b) Determinar si el punto de equilibrio del sistema (S) es
i. estable en el futuro.
ii. asintóticamente estable en el futuro.
c) Probar que hay soluciones de (S) que no son acotadas. Determinar su intervalo maximal de
solución.
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3. Considere el sistema ẋ = x(a − (x + y)), ẏ = y(b − (x + y)) con 0 < a < b.
a) Determine los puntos crı́ticos y su estabilidad lineal.
b) Determine las direcciones estable e inestable de los puntos silla.
c) Demuestre que Ω = {(x, y) : x > 0, y > 0} es una región invariante.
d ) Demuestre que −a ln(y) + b ln(x) es una función de Lyapunov en Ω.
4. Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales (2 × 2):
½
ẋ = −y 3 − x5
ẏ = x3 − y 7
a) Probar que las soluciones del sistema están definidas para todo t > 0.
b) Probar que el sistema no admite ninguna forma cuadrática (de Lyapunov)
V (x, y) = ax2 +bxy +cy 2 tal que sea definida positiva y su derivada V̇ (x, y) sea definida negativa.
5. Modelo de Lotka-Volterra de depredación : Es un modelo para la evolución de dos poblaciones, una
de las cuales sufre una depredación por parte de la otra. Bajo ciertas suposiciones biológicas sobre
la homogeneidad del medio y de las poblaciones, el modelo está definido por un sistema autónomo
de ecuaciones diferenciales en dos variables, a saber, la cantidad de presas x(t) y la cantidad de
depredadores y(t) en cierto instante t ∈ R. Las ecuaciones que definen el modelo son
½
ẋ = f (x, y) = x(a − by)
ẏ = g(x, y) = y(cx − d)
donde a > 0 es la tasa de crecimiento de las presas en ausencia de depredadores, d > 0 es la tasa de
decrecimiento de depredadores en ausencia de presas, b > 0 es la tasa de depredación y c > 0 mide la
eficiencia de la depredación.
a) Estudiar el signo de las funciones f y g en el cuadrante definido por x ≥ 0 e y ≥ 0. Demostrar
que los puntos de equilibrio del sistema son (0, 0) y (xe , ye ) donde xe = d/c y ye = a/b.
b) Bosquejar las posibles trayectorias de las soluciones (x(t), y(t)) del sistema. Probar que todas
dan infinitas vueltas alrededor del punto (xe , ye ).
c) En un pueblo agricultor se declaró plaga a las liebres y se organizó una cacerı́a. La población
de liebres oscilaba en el entorno de cierto valor Le . Luego de la cacerı́a la población de liebres
quedó reducida al 1 por ciento, pero al cabo de un tiempo la población de liebres superó el
valor 100Le y arruinó por completo todos los cultivos. Interpretar este fenómeno, y buscar otros
fenómenos naturales que puedan ser modelados por estas ecuaciones.
d ) Sea S = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 y > 0} el interior del primer cuadrante, y F : R → R la función de
clase C ∞ definida por
F (x, y) = a log y + d log x − by − cx.
Demostrar que si φ(t) = (x(t), y(t)) es una solución del sistema con φ(0) ∈ R entonces φ(t) ∈ R
para todo t ∈ R. Demostrar, utilizando la regla de la cadena, que F ◦ φ es constante, y concluir
que todas las órbitas en R son periódicas.
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