Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica

TEMA 1: Teoremas fundamentales de la dinámica y ecuaciones de Lagrange
Mecánica 2
Resumen TEMA 1: Teoremas fundamentales de la
dinámica y ecuaciones de Lagrange
1. Principios de dinámica clásica
1.1. Leyes de Newton
a) Ley de inercia: ¡enúnciela!
b) 2ª ley de Newton: ¡enúnciela!
c) 3ª ley de Newton: Ley de acción y reacción (enúnciela también)
1.2. Comentarios a las leyes de Newton
a) Primera ley:
-
Crea el ámbito lógico del movimiento: espacio homogéneo e isótropo, tiempo
homogéneo
Excluye variaciones espontáneas de la velocidad
b) Segunda ley:
-
Concepto de masa inerte como magnitud constante, positiva y aditiva
c) Tercera ley:
-
Velocidad infinita del fenómeno de interacción gravitatoria
1.3. Ley de la gravitación universal
Fji
Fij
mi
-
mj
Fij = −G
mi m j
ri − rj
3
(ri − rj )
G: Constante de la gravitación universal
(¿cuál es el valor de G?)
Concepto de masa pesante
- Experimento de Galileo: identificación numérica de las masas inerte y pesante.
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Mecánica 2
2. Sistema cinético
a) Definición: sistema de vectores ligados obtenido al aplicar en cada punto de un
sistema material un vector equipolente a m i .v i ( mi es la masa de tal punto y vi , su
velocidad).
b) - Resultante general: es el momento lineal - ó cantidad de movimiento -:
N
p = ∑ mi vi y teniendo en cuenta las propiedades del centro de masas, G,
i=1
N
N
i=1
i=1
p = ∑ mi vi = vG ∑ mi = M vG
-
(1)
(M = masa total del sistema )
El momento resultante del sistema cinético respecto de un punto O, se llama
momento angular - ó momento cinético - en dicho punto:
N
HO = ∑ OAi ∧ mi vi ( A i punto ocupado por la masa mi )
i=1
N
-
- Energía cinética:
1
mi vi2
2
i=1
T=∑
3. Teoremas de König
Teniendo en cuenta las propiedades del centro de masas se puede establecer que:
vi = vG + vri
( v ri es la velocidad de la masa mi en su movimiento relativo respecto a unos ejes con
origen en G que se trasladan permanentemente).
1º Teorema:
T=
1 N
1 N
2
=
m
v
mi ( vG + vri )2
∑
∑
i i
2 i=1
2 i=1
Haciendo operaciones (hágalas):
T=
1 2 N
1 2
Mv G + ∑ mi v ri2 = Mv G
+ Tr
2
2
i=1
2º Teorema:
N
N
i=1
i=1
HG = ∑ GAi ∧ mi vi = ∑ GAi ∧ mi ( vG + vri )
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N
1
mi.v ri2 )
2
i=1
(siendo Tr = ∑
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Haciendo operaciones (hágalas):
N
HG = ∑ GAi ∧ mi vri , pues
i=1
N
∑ GAi ∧ mivG = 0
¿por qué?
i=1
4. Sistema dinámico
a) Definición: sistema de vectores ligados constituido por las fuerzas actuantes sobre
sus puntos materiales.
b)
- Resultante general:
N
N
N
N
i=1
i=1
i=1
i=1
F = ∑ Faci = ∑ Fexti + ∑ Finti = ∑ Fexti
N
(pues por la 3º Ley de Newton
∑ Fint
i=1
-
i
=0)
Momento resultante en un punto O:
N
N
N
N
i=1
i=1
i=1
i=1
NO = ∑ OAi ∧ Faci = ∑ OAi ∧ Fext i + ∑ OAi ∧ Fint i = ∑ OAi ∧ Fext i
N
pues por la 3º Ley de Newton
∑ OAi ∧ Finti = 0
( ∀O )
i=1
- Trabajo elemental: dW =
N
∑ Fac .dri
i=1
i
( dW no es una diferencial exacta)
5. Teoremas fundamentales de la dinámica
F
p
Teoremas fundamentales
Ho
T
Sistema
cinético
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Sistema
dinámico
No
dW
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a)
dp
=F
dt
(demuéstrelo) o bien, teniendo en cuenta (1)
MaG = F
b)
Teorema del momento lineal
dHO
+ vO ∧ p = NO
dt
dHG
= NG
dt
c) dT = dW
(demuéstrelo) y teniendo en cuenta (1):
Teorema del momento angular
(demuéstrelo)
Teorema de la energía
6. Principio de D’Alembert
a) Definición de fuerza de inercia φ i
φ i = −miai
b) Enunciado del principio: Faci + φ i = 0
∀ i = 1...N
Todo sistema material se encuentra en equilibrio cuando se añade a cada punto
material su correspondiente fuerza de inercia.
c) Comentarios a este principio:
- es una nueva perspectiva no causal; sucesión temporal de equilibrios.
- posibilidad de aplicar a ese equilibrio el teorema de los trabajos virtuales para
determinar las fuerzas de inercia equilibrantes y, por tanto, el movimiento del
sistema.
7. Ecuaciones de Lagrange
a) Requisitos que se han de imponer a los sistemas materiales:
- formados por sólidos indeformables
- con enlaces (¿qué es un enlace? ¿qué tipos existen?) holónomos (¿qué
son enlaces holónomos?) y perfectos (¿cuándo son perfectos los
enlaces?)
b) Concepto de desplazamiento virtual, elemental, δri :
Lleva al sistema desde la configuración que realmente ocupa a otra infinitamente
próxima que podía haber ocupado en el mismo instante:
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∂ri
δq j
j=1 ∂q j
n
δri = ∑
(el tiempo se “congela”)
c) Notas matemáticas previas:
∂vi ∂ri
=
∂q j ∂q j
(demuestre estas igualdades)
∂vi
d ∂ri
=
∂q j dt ∂q j
d) Faci + φ i = 0 ∀ i
luego: 0 =
N
*
∑
i=1
∑ (Fac
i=1
N
N
i=1
i=1
∑ Faci ⋅ δri + ∑ φ i ⋅ δri
Faci ⋅ δri =
N
∑ Fap ⋅ δri
+ φ i ) ⋅ δri = 0
(2)
i=1
i=1
(¿por qué?)
i
∑ Fap ⋅ δri = ∑ Fap
i
i
N
N
i=1
N
⇒
i
N n
∂ri
∂r
⋅ (∑
δq j ) = ∑∑ Fapi ⋅ i δq j
∂q j
j=1 ∂q j
i=1 j=1
n
y de ahí se concluye que:
N
N
n
∑ Fac ⋅ δri = ∑ Fap ⋅ δri = ∑ Q jδqj
i=1
i
i=1
i
(3)
j=1
(¿Qué es Qj y cómo se obtiene en la práctica?)
N n
∂ri
∂r
* ∑ φ i ⋅ δri = −∑ miai ⋅ δri = −∑ miai ⋅ ( ∑
δq j ) = −∑∑ miai ⋅ i δq j =
∂q j
i=1
i=1
i=1
j=1 ∂q j
i=1 j=1
N
N
n
N
= −∑∑ mi
j=1 i=1
N
n
dvi ∂ri
⋅
δq j
dt ∂q j
Haciendo las operaciones (hágalas) se llega a:
N
n
d
j=1 dt
∑ φ i ⋅ δri = −∑
i=1
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n
 ∂T 
∂T
δq j

 δq j + ∑
 ∂q j 
∂
q
=
j
1
j


(4)
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•
En definitiva, llevando (3) y (4) a (2):
n
d  ∂T 
∂T
δ
q
+
δq j


∑
j
 
j=1 dt  ∂q j 
j=1 ∂q j
n
n
0 ≡ ∑ Q jδq j − ∑
j=1
Qj =
d ∂T ∂T
−
dt ∂q j ∂q j
∀ j = 1, 2...n
y de aquí a que:
(¿por qué?)
que son las ecuaciones de Lagrange.
d) Si, además, las fuerzas aplicadas fueran conservativas:
se demuestra que Q j = −
∂V
∂q j
(demuéstrelo)
y entonces si L=T-V las ecuaciones de Lagrange toman la siguiente forma:
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂q j ∂q j
∀ j = 1, 2...n
e) En el caso general de que las fuerzas aplicadas fueran unas conservativas y otras
no conservativas, las ecuaciones de Lagrange serían:
d ∂L ∂L
−
= Qj
dt ∂q j ∂q j
L=T-V
∀ j = 1, 2...n ,
(V de las fuerzas conservativas)
Q j obtenido tan sólo a partir de las fuerzas aplicadas no conservativas.
8. Momentos canónicos. Teorema de conservación
a) Definición:
pj =
∂L
∂q j
es el momento canónico asociado a la coordenada q j
b) Teorema de conservación: en el caso de que se puedan establecer las ecuaciones
de Lagrange y todas las fuerzas aplicadas sean conservativas, si la L = T-V no
fuera función explícita de una coordenada (por ejemplo qk ), aunque si lo sea de
q k , al aplicar la ecuación de Lagrange correspondiente a ese coordenada:
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d ∂L
∂L
−
=0 ⇒
dt ∂q k ∂qk
d ∂L
= 0 ⇒ p k = 0 ⇒ pk = cte
dt ∂q k
* La coordenada qk se llama “coordenada cíclica” o “ignorable”, en consecuencia el
momento canónico asociado a una coordenada cíclica se conserva constante durante
el movimiento.
9. Teorema de conservación de la energía
a) Condiciones que hay que imponer al sistema material:
•
•
•
Formado por sólidos indeformables
Con enlaces esclerónomos y perfectos
Sometido a fuerzas aplicadas conservativas
En estas condiciones:
sólidos indeformables
dT = dW 
→ dT = dWext = dWenl + dWaplic
enlaces perfectos

→ dT = dWaplic
Pero si las fuerzas aplicadas son conservativas: Faplic = −grad Vi
N
N
, luego:
dWaplic = ∑ −grad Vi ⋅ dri → dWaplic = ∑ −dVi = −dV
enlaces esclerónomos
i=1
i=1
(V = ∑ Vi )
Finalmente:
dT = −dV ⇒ d(T + V) = 0 ⇒ T + V = E (constante)
b) A idéntico resultado se hubiera llegado mediante las ecuaciones de Lagrange. En
efecto, como:
d ∂T ∂T
∂V
−
=−
dt ∂q j ∂q j
∂q j
∀j = 1,2...n
Resultaría también que:
n
n
d ∂T n ∂T
∂V
q
−
q
=
−
∑ j dt ∂q ∑ j ∂q ∑ q j ∂q
j=1
j=1
j=1
j
j
j
O bien (¡obténgalo!):
n
d n ∂T n ∂T n ∂T
∂V
q
−
q
−
q
=
−
q j
∑
∑
∑
∑
j
j
j
dt j=1 ∂q j j=1 ∂q j j=1 ∂q j
∂q j
j=1
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N
i=1
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Ahora bien:
n
∂T
∑ q j ∂q
= 2T
j=1
j
n
∂T
∑ (q j ∂q
j=1
j
+ q j
(¿por qué?)
∂T
dT
)=
∂q j
dt
(¡demuéstrelo!)
n
∂V dV
qj =
dt
j=1
j
∑ ∂q
(¿por qué?)
Luego:
d(2T) dT
dV
−
=−
dt
dt
dt
10.
⇒
T + V = cte
Integrales primeras del movimiento
Las integrales primeras son aquellas ecuaciones que se obtienen al aplicar los
teoremas de conservación, tanto el de conservación de la energía como el asociado a
la existencia de coordenadas cíclicas (conservación del momento canónico).
Las ecuaciones asociadas a los teoremas de conservación son siempre ecuaciones de
primer orden, por lo que podrían considerarse como procedentes de una primera
integración de las ecuaciones universales de la dinámica – que son de segundo orden
-.
Si hubiera tantas integrales primeras como grados de libertad es posible llegar a
establecer unas ecuaciones diferenciales de primer orden de una sola variable, que se
conocen como “ecuaciones del movimiento unidimensional equivalente”, de las que
por simples consideraciones geométricas pueden deducirse propiedades importantes
del movimiento del sistema mecánico.
FIN DEL TEMA 1
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