5. Circulación, vorticidad y divergencia

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
1
5. Circulación, vorticidad y divergencia
Como hemos visto la atmosfera está caracterizada por la presencia de torbellinos de todas
las escalas espaciales y temporales. En latitudes medias el torbellino mas importante es el
ciclon de escalas sinópticas caracterizado por centros de presión con escalas horizontales de
500-1000 km y vientos que giran alrededor. En este capitulo estudiaremos dos cantidades
fisicas que ayudan a cuantificar la rotacion: circulacion y vorticidad. Derivaremos una
ecuacion para la vorticidad de un fluido y veremos que cambios en la vorticidad están
directamente asociados a cambios en la divergencia que, por continuidad, implican
movimientos verticales. Por último, dado que la atmósfera en latitude medias está en
balance de viento térmico aproximado, consideraremos aproximaciones de las ecuaciones
de vorticidad y termodinámica apropiadas para flujos con Ro<<1, lo cual dará lugar al
sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones que son fundamentales para la comprensión de la
dinámica del ciclón extratropical.
5.1 Circulación
Se define la circulación C en una region simplemente conexa como
donde dl representa el vector desplazamiento a lo largo del borde de un elemento de fluido
como se ilustra en la figura 5.1.
Figura 5.1 – Calculo de la circulación usando un circuito de fluido.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
2
Por convención la integral anterior se realiza en sentido antihorario, por lo que C>0 (C<0)
corresponde a una rotación ciclónica (anticiclónica) en el hemisferio norte. Reeescribiendo
la ecuación en coordenadas cartesianas en la dirección horizontal
donde U y V representan las velocidades tangenciales alrededor de un elemento de fluído
en las direcciones x e y, respectivamente.
La circulación es una medida de la rotacion. Para demostrarlo podemos considerar un anillo
de fluido de radio R con rotación solida a una velocidad angular Ω. En este caso U=ΩxR
donde R es la distancia del eje de rotacion al anillo. Entonces, la circulacion alrededor del
anillo esta dada por
2
C=∮ U.dl =∫0  R 2 d =2   R2
En este caso la circulacion es 2π veces el momento angular del anillo de fluido alrededor de
su eje de rotacion. A su vez, C/πR2=2Ω de tal forma que la circulacion dividida por el área
encerrada por el anillo es dos veces la velocidad angular de rotacion del anillo. A diferencia
del momento angular, la circulacion puede ser calculada sin referencia de un eje de
rotacion.
En general estamos interesados en estudiar cambios en la circulacion pues estos se
manifiestan como intensificaciones de las altas y bajas. Por lo tanto, estudiaremos la
derivada temporal de C a lo largo del movimiento del fluído. Considerando el caso
tridimensional dl=(dx,dy,dz)
Por la regla de la cadena
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
3
Sustituyendo
El segundo término de la derecha puede escribirse como
pues es la integral cerrada alrededor de un elemento de fluido.
Ahora, si usamos la aceleracion absoluta podemos escribir
y como solamente la fuerza gradiente de presión y la gravitacional (despreciando friccion)
influencian la aceleracion absoluta
donde
en una superficie de altura constante. Puesto que la componente vertical del vector
desplazamiento, dl, es simplemente dl.k=dz, entonces
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
4
y
pues dΦ es un diferencial perfecto y por lo tanto no se realiza trabajo contra la gravedad si
la parcela de fluido termina su recorrido en el mismo lugar que empezo,
independientemente de su recorrido. Por lo tanto
El término de la izquierda describe la razon de cambio lagrangiano de la rotación del fluido,
por lo que la ecuacion anterior representa el analogo de la aceleracion angular en cuerpos
solidos pero para un fluido. El término de la derecha es el equivalente del torque para un
fluido y se conoce como término solenoidal.
Para un fluido barotropico, la ley de gas ideal implica que
por lo que
el término solenoidal es nulo y la circulación absoluta se conserva siguiendo el movimiento
de las parcelas, lo cual se conoce como el teorema de circulacion de Kelvin.
La atmósfera real no es barotrópica, o sea que las superficies de presión y densidad
constante se intersectan. Consideremos el caso de la brisa marina, donde la columna de aire
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
5
es mas baja sobre el oceano por ser mas fria que sobre el continente. En este caso, aun si la
presion es muy parecida en superficie, las isobaras se inclinan hacia el mar mientras que las
isopicnals se inclinan hacia la tierra mas cálida. La interseccion entre isobaras e isopicnals
forma una serie de paralelogramos llamados solenoides, de donde proviene el nombre del
término (Figura 5.2)
Figura 5.2 – Cálculo de la circulación en la frontera mar-tierra.
Para el caso de la brisa marina mostrado es podible calcular el cambio lagrangiano de la
circulacion absoluta evaluando -dp/ρ alrededor del camino indicado. El movimiento en AB
es a lo largo de una isóbara y por lo tanto no contribuye a la integral. En BC, dp<0 por lo
que el término es positivo. En CD el movimiento es nuevamente isobárico y no hay
contribucion a la integral. E DA el término es negativo. Como la densidad promedio en BC
es menor que en DA la contribucion positiva de BC es mayor que la contribucion negativa
de DA resultando en un aumento de la circulacion absoluta alrededor del camino. Por lo
tanto en este ejemplo aparecera una circulacion en la cual el fluido menos denso sube y el
mas denso baja. El resultado del movimiento será inclinar las isopicnals de tal forma que se
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
6
vuelvan mas paralelas a las isobaras, o sea tiende a una situacion barotrópica en la cual el
cambio en la circulacion sería nula. Tal circulación tambien baja el centro de masa del
fluido y reduce la energia potencial del sistema. Esta reduccion de la energia potencial es en
realidad una conversion a energía cinética del movimiento, conservando la energia total.
Hasta ahora consideramos la circulación absoluta. Para calcular la circulación relativa, las
relevante para nuestro estudio debemos calcular la circulacion que resulta de la rotacion de
la Tierra y luego restarla. Para ello consideremos la velocidad alrededor de un circulo de
latitud
donde R=a cos  . Por lo tanto el movimiento zonal hacia el oeste resultante por el
movimiento de la tierra es U = a cos  . Ahora calculamos la circulacion alrededor del
circuito latitud-longitud mostrado en la figura 5.3. En coordenadas esféricas la longitud de
un elemento en la direccion zonal es dx=a cos   . Como la rotacion de la Tierra no
contribuye a movimientos en la direccion meridional la circulacion resultante Ce es
Usando las identidades trigonométricas
podemos escribir
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
7
El área de la caja es
y considerando los límites
podemos expresar el área como
Combinando las ecuaciones se ve que la circulacion que resulta de la rotacion terrestre es
o sea que
Combinando las ecuaciones llegamos a una expresion para la razón de cambio lagrangiana
de la circulacion relativa
la cual se conoce como el teorema de circulacion de Bjerkness.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
8
Figura 5.3 – Caja latitud-longitud para calcular la circulación asociada a la rotación
terrestre.
Para un fluido barotropico es posible integrar el teorema de Bjerkness siguiendo el
movimiento desde un estado inicial (señalado por 1) hasta un estado final (2)
lo cual indica que para un fluido barotropico la circulacion relativa para un circuito cerrado
cambiará si cambia el área horizontal encerrada o cambia la latitud. Además, se desarrollará
una circulacion absoluta negativa en el H.N sólo si se advecta desde el H.S. un circuito
cerrado de fluido. Las bajas y altas anómalas del viento gradiente son ejemplos de
circulacion absoluta negativa.
5.2 Vorticidad
En el primer capítulo consideramos la vorticidad como una propiedad cinemática del
fluído. Además, la vorticidad es una medida microscópica de la rotación de un fluído y es
más fácil de tratar que la circulación. La vorticidad es una cantidad vectorial que se define
como el rotor del campo de velocidades. Como para caracterizar la atmósfera trabajamos en
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
9
un sistema de coordenadas que gira es necesario definir la vorticidad relativa y la vorticidad
planetaria, cuya suma es la vorticidad absoluta.
La vorticidad relativa del fluido es w=∇ x u , mientras que la vorticidad planetaria se
define como 2Ω, y la vorticidad absoluta es w a =∇ x u2  .
En general para estudiar los movimientos atmosféricos consideraremos únicamente la
componente vertical (local) de la vorticidad, la cual se expresa como
 = ∂v − ∂ u
=k. w
 =k. ∇ ∧V
∂x ∂ y
Regiones con vorticidad relativa positiva en el H.N. están asociadas a ciclones; ciclones en
el H.S. están asociado a regiones con vorticidad relativa negativa. Por lo tanto la
distribución de vorticidad relativa es muy útil para el diagnóstico de sistemas de latitudes
medias.
Para determinar la relación física entre vorticidad y circulación consideremos el elemento
de fluído mostrado en la figura 5.4. La velocidad en el lado A está dada por u mientras que
en el lado D está dada por v. Expandiendo u y v segun Taylor es posible obtener
expresiones para las velocidades en los lados C y B. Entonces, la circulación es
Como el área del elemento de fluido es δxδy encontramos que en el limite del área
tendiendo a cero la vorticidad relativa es simplemente la circulación relativa dividida el
área del elemento.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
10
Figura 5.4 - Circuito para vincular circulacion con vorticidad
Recordando el cálculo de la circulación terrestre dCe/dt=fdA/dt y la figura 5.3, la
componente vertical de la vorticidad planetaria es el parametro de Coriolis f, y es igual a
dos veces la razon de rotacion local de la Tierra (ver figura 5.5)
f =2 sin  .
Figura 5.5 – Vorticidad planetaria (no absoluta!)
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
11
Por lo tanto la componente vertical de la vorticidad absoluta es
En forma mas general la relación entre la vorticidad y la circulación está dada por el
teorema de Stokes aplicado al vector velocidad
donde A es el área encerrada por el contorno y n es un versor normal al elemento de área
dA (positivo de acuerdo a la regla de la mano derecha). Por lo tanto, el teorema de Stokes
establece que la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado es igua a la integral de
la componente normal de la vorticidad sobre el área encerrado por el contorno. Así, para un
área finita la circulación dividida entre el área da el promedio de la componente normal de
la vorticidad en la región considerada.
5.3 Vorticidad en coordenadas naturales
La interpretación de la vorticidad es mas simple considerando coordenadas naturales.
Consideremos la componente vertical de la vorticidad. Si calculamos la circulación en el
contorno infinitesimal mostrado en la figura 5.6 obtenemos
Figura 5.6 – Calculo de la circulacion en un circuito infinitesimal en coordenadas
naturales.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
12
Como
donde   es el cambio angular en la dirección del viento en la distancia
Entonces
s .
y, como la vorticidad es circulación por unidad de área, cuando el área tiende a cero se
obtiene (notar que la figura 5.6 es una foto y por lo tanto muestra las líneas de corriente)
donde Rs es el radio de curvatura de las líneas de corriente. La expresión anterior sugiere
que la vorticidad vertical es la suma de dos componentes: (1) la variación de la velocidad
del flujo en la dirección normal, llamada vorticidad de corte, y (2) variación de la
dirección del flujo a lo largo de una línea de corriente, llamada vorticidad por curvatura.
Por lo tanto, aún movimientos rectilíneos pueden tener vorticidad si la velocidad cambia en
la dirección normal al eje del flujo. En el ejemplo mostrado en la figura 5.7 un elemento de
fluido situando al norte del maximo de velocidades tenderá a girar en sentido antihorario,
mientras que un elemento de fluído al sur del máximo tenderá a girar en sentido horario.
El caso de un flujo constante en una región con curvatura se muestra en la figura 5.8. A
medida que las parcelas se mueven a través de la vaguada la parte superior de una rueda
con paletas imaginaria debe recorrer una distancia mayor que la parte inferior, generando
un giro horario, consistente con una vorticidad por curvatura negativa.
Notar que el H.S. el máximo de vorticidad relativa tiende a ocurrir en una cuña al norte de
la región del máximo de vientos pues los dos términos V/Rs y (-dV/dn) son positivos,
mientras que el mínimo de vorticidad ocurre en una vaguada al sur del máximo de vientos
ya que los términos V/Rs y (-dV/dn) son negativos.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
13
Figura 5.7 – Ejemplo de vorticidad de corte.
Figura 5.8 – Ejemplo de vorticidad por curvatura.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
14
5.4 Vorticidad potencial
Tomando el diferencial logaritmo de la temperatura potencial y usando la 1a ley de la
termodinámica es posible mostrar que
cp
d ln Q̇
= = S
dt
T
donde S es la entropía. Esta ecuación establece que en movimientos adiabáticos se conserva
la temperatura potencial. Los flujos en latitudes medias lejos de áreas de precipitación
conservan θ y por lo tanto es útil usar superficies isentrópicas como coordenada vertical
para describir estos movimientos.
Considerando la ley de gases ideales, la definición de la temperatura potencial θ puede
expresarse como una relación entre la presión y la densidad para una superficie de θ
constante (o isentrópica)
o
Como cp=R-cv, vale
lo cual muestra que para un flujo en superficies isentrópicas la densidad es una función
solamente de la presión, o sea que el flujo se comporta como barotrópico. Por lo tanto el
término solenoidal es nulo y el teorema de Bjerkness puede escribirse como (Crel=C)
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
15
donde C es evaluado en una superficie isentrópica. Como ζ=C/A, para una parcela
infinitesimal de aire vale
o sea que el producto  f  A es constante en un flujo adiabático (y sin fricción) en
superficies isentrópicas. ζθ es la componente vertical de la vorticidad relativa evaluada en
una superficie isentrópica.
Asumamos ahora que la parcela se mueve entre dos superficies de temperatura potencial
constante θ0 y θ0+δθ que están separadas por un -δp como muestra la figura 5.9. La masa
de la parcela, δM=(-δp/g)δA se debe conservar siguiendo el movimiento (por continuidad).
Por lo tanto
ya que δM y δθ son constantes. Sustituyendo en la ecuacion
y tomando el límite δp->0 se obtiene
La cantidad P [K/kg m2/s] es la forma en coordenadas isentrópicas de la vorticidad
potencial de Ertel. Se define con el signo negativo para que sea (en general) positivo en el
H.N. Por lo tanto la vorticidad potencial se conserva siguiendo el movimiento en un flujo
adiabático y sin fricción. La vorticidad potencial se puede ver como el cociente entre la
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
16
vorticidad absoluta y la altura del vórtice. En la expresión de arriba la altura está dada por
la distancia entre dos superficies de temperatura potencial medidas en coordenadas de
−∂ 
presión (
) . La expresión de P indica que la vorticidad de una parcela de aire puede
∂p
cambiar solamente por variaciones en la latitud y en la estabilidad estática vertical.
Figura 5.9 – Columna cilíndrica de aire moviéndose adiabáticamente, conserva P.
En un fluído homogéneo incompresible la expresión de conservación de la vorticidad
potencial es mas simple. Como la densidad es constante el área horizontal debe ser
inversamente proporcional a la altura h de la parcela
Sustituyendo para eliminar δA obtenemos
 f
=constante
h
donde ζ se evalúa en superficies de altura constante.
5.4.1. Aplicación: restricción si h es constante.
Si la altura h de la columna es constante la ecuación anterior establece que la vorticidad
absoluta se conserva siguiendo el movimiento, lo cual impone una fuerte restricción al
flujo. Supongamos que en un cierto punto (x0,y0) del H.N. el flujo es en la dirección zonal
y la vorticidad relativa es nula, o sea que la vorticidad absoluta es f 0. Por lo tanto, el
movimiento a lo largo de cualquier trayectoria que pase por (x0,y0) debe satisfacer ζ+f=f0.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
17
Como f aumenta hacia el norte las trayectorias que se curvan hacia el norte deben cumplir
ζ=f0-f<0 y las que se curvan hacia el sur deben cumplir ζ=f0-f>0. No obstante, como
muestra la figura 5.10 si el flujo es del oeste una curvatura hacia el norte aguas abajo
implica ζ>0 y una curvatura hacia el sur aguas abajo implica ζ<0. Por lo tanto vientos del
oeste debe permanecer puramente zonal para conservar la vorticidad absoluta. El viento del
este, al contrario, puede curvarse hacia el norte o hacia el sur y conservará vorticidad
absoluta.
Figura 5.10 – Conservación de vorticidad absoluta para trayectorias curvilíneas.
5.4.2. Aplicación: Flujo sobre cadeñas montañosas
Cuando cambia la altura h de la columna se conserva la vorticidad potencial, no la
vorticidad absoluta. La conservación de vorticidad potencial explica por qué la interacción
del viento de los oestes con cadenas montañosas como los Andes puede inducir ondas
corriente abajo (figura 5.11). A medida que el aire fluye sobre la montaña la temperatura
potencial se conserva por lo que la superficie isentrópica de θ K se eleva sobre la montaña.
A mayor altura la superficie θ+Δθ K se eleva pero en menor medida pues la anomalia se
distribuye en una distancia mayor. Esto causa un aumento del espesor entre capas antes de
la montaña que es muy pequeño y despreciaremos, y principalmente que el espesor entre
las dos superficies isentrópicas sobre la montaña disminuya. Debido a esto último, para
mantener la vorticidad potencial constante la vorticidad absoluta también debe disminuir.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
18
Figura 5.11
Veámoslo con mas detalle. Si consideramos que el flujo al oeste de la montaña tiene
vorticidad relativa nula, como f<0 es aproximadamente constante, al subir la montaña el
flujo debe cumplir la siguiente relación
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
19
∂
∂
∣ =−∣ f ∣2  g∣ ∣
∂p1
∂p2
∂
∣ ∣
∂p1
=−∣ f ∣
−1
∂
∣ ∣
∂p2
−∣ f ∣ g∣
Como la estabilidad vertical arriba de la montaña es mayor, ζ2>0 y el flujo debe asumir
vorticidad positiva, o sea debe girar en sentido antihorario en el H.S. Cuando la columna de
aire pasó por encima de la montaña estará a latitudes menores por lo que f<0 tendrá menor
magnitud. No obstante, como la magnitud de f es siempre mucho mayor que ζ para escalas
sinopticas, se tiene que −∣ f ∣0 . Por lo tanto para mantener la vorticidad potencial
constante el flujo debe adquirir vorticidad negativa (giro horario).
Cuando la parcela vuelva a su latitud de origen todavía tendrá una componente meridional
de velocidad y continuará moviendose hacia el polo adquiriendo ahora una vorticidad
positiva (giro antihorario). Cuando vuelva nuevamente a su latitud original tendrá una
componente meridional que hará disminuir la magnitud de f por lo que la columna deberá
adquirir vorticidad negativa y así sucesivamente. La parcela seguirá entonces moviendose
aguas abajo describiendo un movimiento ondulatorio, necesario para mantener la vorticidad
potencial constante. En general se observa una cuña sobre la montaña y una vaguada aguas
abajo (figura 5.12).
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
20
Figura 5.12
5.5 Ecuación de vorticidad
La ecuacion para la vorticidad absoluta puede derivarse a partir de las ecuaciones de
momento. Aquí nos restringiremos a derivar la ecuacion para la componente vertical de la
vorticidad en un fluido sin fricción
Del capitulo anterior teniamos
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
21
du
−1 ∂ p
− fv=
 ∂x
dt
dv
−1 ∂ p
 fu=
 ∂y
dt
d
∂
= u ∂ v ∂ w ∂
dt ∂ t
∂x
∂y
∂z
∂
∂ y a la primer ecuacion,
los terminos de presion y se obtiene
Aplicando
Como
∂
∂ x a la segunda ecuacion y restando se eliminan
d f
df
=v
dt
dy
la cual es la ecuación de vorticidad en coordenadas de altura. La ecuación establece que la
razón de cambio de la vorticidad absoluta está dada por la suma de tres términos: (1) el
término de divergencia, (2) el término de inclinación, (3) el término solenoidal.
Analicemos cada término por separado. Si la ecuación de vorticidad está dominada por la
divergencia horizontal actuando en el fluído se tiene
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
22
Si se considera el caso de un fluido con vorticidad ciclónica inicial y la divergencia es
positiva, la ecuación anterior indica que la vorticidad absoluta tenderá a ser cada vez mas
anticiclónica (figura 5.13). Esto es pues la circulación debe conservarse: como la vorticidad
es circulación por unidad de área, si el área encerrada por una cadena de parcelas de fluído
aumenta debido a la divergencia, entonces la vorticidad debe decrecer. Vale lo opuesto para
el caso de convergencia.
Por lo tanto, el término de divergencia puede pensarse como el análogo para un fluído del
cambio en la velocidad angular que resulta de un cambio en el momento de inercia de un
rígido cuando se conserva el momento angular. Este resultado tiene una gran importancia
para los sistemas de latitudes medias: sistemas de baja presión en superficie están
caracterizados por convergencia y por lo tanto son lugares de producción de vorticidad
ciclónica en niveles bajos (y lo opuesto para los anticiclones).
Figura 5.13 – Efecto de la divergencia en la vorticidad.
Consideremos ahora el término de inclinación. En este caso se tiene
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
23
y para mayor simplificación consideremos una situación donde sólo uno de los términos de
la derecha es importante. Consideremos la situación en la cual se tiene un cortante vertical
de la velocidad zonal y un gradiente meridional en la velocidad vertical positivo (figura
5.14). La ecuación correspondiente es
d  f  ∂ w ∂ u
=
dt
∂y ∂z
Figura 5.14 – Efecto del cortante vertical en la vorticidad horizontal y generación de
vorticidad vertical.
Como ilustra la figura un cortante vertical en u induce a una paleta imaginaria en la
dirección meridional a girar en sentido antihorario, de tal forma que se puede pensar que un
tubo de aire alineado en la dirección y posee vorticidad positiva en esa dirección. Si además
∂w
0 entonces el extremo
existe un gradiente de movimiento vertical en la dirección y
∂y
norte del tubo ascenderá relativo al extremo sur. Por lo tanto aparecerá una componente de
rotación antihoraria (positiva) en la dirección z, que dará lugar a un incremento en la
vorticidad absoluta.
Por último consideremos el término solenoidal. Se puede mostrar que este término es el
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
24
equivalente microscópico del término solenoidal en el teorema de circulación. Para ello
aplicamos el teorema de Stokes al término solenoidal en la ecuación de la circulación
Como
cuya componente vertical es
lo cual demuestra que el término solenoidal en la ecuación de vorticidad es el término
solenoidal en la ecuación de circulación dividido entre el área del elemento de fluído.
Como vimos anteriormente el término solenoidal tiende a reordenar la masa del fluído de
tal forma de llegar al estado con menor energía potencial. En el proceso de reordenamiento
en general se produce vorticidad. Consideremos como ejemplo la configuración de p y ρ
que caracteriza advección de aire frío por el viento zonal geostrófico en el H.N. (figura
5.15). Si no existe divergencia ni inclinación, la ecuación es
Puesto que en este ejemplo
∂
0
∂x
∂p
0
∂y
el término solenoidal generará vorticidad ciclónica. La vorticidad generada tenderá a rotar
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
25
las líneas de igual densidad hasta que estén paralelas a las isóbaras en una configuración en
la cual alta presión corresponda a alta densidad, y vice versa (o sea el estado de menor
gradiente de temperatura y menor energía potencial).
Figura 5.15 – Configuración de isóbaras y líneas de igual densidad caracterizando
advección de aire frío por el viento geostrófico en el H.N. Las flechas indican el viento
geostrófico y el círculo la circulación solenoidal inducida.
5.5.1. Ecuación de vorticidad en coordenadas de presión
Para evitar la referencia a la densidad en las ecuaciones y hacer desaparecer al término
solenoidal (pues dp=0) derivaremos la ecuación de vorticidad en coordenadas de presión.
Las ecuaciones de momento en coordenadas isobáricas en ausencia de fricción son
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
26
De nuevo, tomando las derivadas cruzadas y haciendo cuantas se obtiene
la cual describe que cambios locales en la vorticidad absoluta se deben a (1) advección
horizontal, (2) advección vertical, (3) el término de divergencia, (4) el término de
inclinación.
5.5.2. Análisis de escala
A continuación realizamos un análisis de escala a la ecuación de vorticidad escala para
hallar los términos más importantes en la descripción de los movimientos sinópticos. Las
escalas típicas eran
donde de nuevo hemos elegido una escala de tiempo advectiva pues los patrones de
vorticidad, como aquellos de presión, se mueven a velocidades comparables a la velocidad
horizontal del viento.
Usando estas escalas obtenemos
por lo tanto
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
27
o sea que para sistemas sinópticos en latitudes medias la vorticidad relativa es menor que la
vorticidad planetaria y por lo tanto podemos escribir el término de divergencia de la forma
Entonces los términos de la ecuación de vorticidad escalan de la forma
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
28
En los últimos tres términos se usó una desigualdad para notar que en cada caso es posible
que los términos individuales tiendan a cancelarse de tal forma que la magnitud del término
total es menor a la indicada. De hecho, esto debe ser el caso para el término de divergencia.
Como se ve del análisis de escala los términos mayores son la advección de vorticidad
horizontal, la tendencia local de vorticidad y la divergencia. Para que la divergencia sea
balanceada por los demás términos debe valer que
Por lo tanto, para movimiento sinópticos en latitudes medias la ecuación de vorticidad
puede ser aproximada por
d h  f 
∂u ∂v
=− f 


dt
∂x ∂ y
dh ∂
∂
∂
= u
v
dt ∂ t
∂x
∂y
la cual establece que el cambio en la vorticidad absoluta siguiendo el movimiento
horizontal en escalas sinópticas está dado aproximadamente por la concentración o dilución
de vorticidad planetaria causada por la convergencia o divergencia del flujo horizontal,
respectivamente.
Esta aproximación no es válida en el centro de ciclones muy intensos y en esos casos se
debe retener la vorticidad relativa en el término de divergencia:
d h  f 
∂u ∂ v
=− f  

dt
∂x ∂y
y es la concentración o dilución de vorticidad absoluta la cual da lugar a cambios siguiendo
el movimiento.
La aproximación anterior no es válida cerca de los frentes pues la escala horizontal de las
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
29
zonas frontales es de 100 km y la velocidad vertical es del orden de 10 cm/s. En este caso
es necesario retener los términos de advección vertical, inclinación y solenoidal ya que son
comparables con el término de divergencia.
5.5.3. Ecuación de vorticidad para un fluído barotrópico
Consideremos que la atmósfera puede suponerse homogénea e incompresible de altura
variable h(x,y,t)=z2-z1, donde z2 y z1 son las alturas de las fronteras superior e inferior,
respectivamente.
En este caso la ecuación de continuidad es
y la ecuación de vorticidad queda
d h  f 
∂w
= f 
dt
∂z
Para un fluído barotrópico la velocidad geostrófica es independiente de la altura.
Asumiendo que podemos aproximar el viento y la vorticidad por sus aproximaciones
geostróficas podemos integrar entre z1 y z2 y obtenemos
h
d h  g  f 
= g  f [w z 2 −w  z 1 ]
dt
Pero como w=dz/dt, y h=h(x,y,t)
w  z 2 −w z 1=
dz 2 dz 1 d h h
−
=
dt
dt
dt
sustituyendo
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
30
d h  g  f  1 d h h
1
=
 g  f 
dt
h dt
d h ln g  f  d h ln h
=
dt
dt
lo cual implica que
d h  g f 
=0
dt
h
que es el teorema de conservación de la vorticidad potencial (geostrófica) para un
fluído barotrópico, obtenido por primera vez por C. G. Rossby.
Si el flujo es puramente horizontal (ω=0), como es el caso para un flujo barotrópico de
profundidad constante el término de divergencia desaparece y obtenemos la ecuación de
vorticidad barotrópica
dh
  f =0
dt g
la cual establece que la vorticidad absoluta se conserva siguiendo el movimiento horizontal.
En forma mas general, la vorticidad absoluta se conservará en cualquier capa del fluído en
la cual la divergencia horizontal sea nula. Para movimientos horizontales no divergentes el
flujo puede ser presentado por una función corriente ψ(x,y) tal que
V  =
−∂ ∂
,

∂y ∂x
y la vorticidad se escribe como
=∇ 2 
Por lo tanto la ecuación de conservación de la vorticidad barotrópica puede ser escrita como
una ecuación de pronóstico en la forma
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
31
Esta ecuación establece que la tendencia local de la vorticidad relativa está dada por la
advección de vorticidad absoluta. La resolución numérica de esta ecuación predice la
evolución de la función corriente y por lo tanto de la vorticidad y los vientos. La figura 5.16
muestra un perfil tipico de velocidad vertical y divergencia horizontal y muestra que el
flujo en la tropósfera media es cercano a no-divergente en escalas sinópticas. Por lo tanto la
ecuación anterior es un buen modelo para el pronóstico del flujo en 500 mb el cual
determina en buena medida el movimiento de los centros de baja presion en superficie.
Figura 5.16 – Perfiles tipicos de velocidad vertical y divergencia.
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
32
5.6 La aproximación cuasi-geostrófica
En esta sección realizaremos simplificaciones a las ecuaciones de momento, continuidad y
energía para desarrollar un sistema de ecuaciones mas simple que nos permitirá entender la
naturaleza de la circulación en los sistemas sinópticos de latitudes medias. Consideraremos
coordenadas isobáricas para que no entre la densidad en las ecuaciones.
Como vimos anteriormente los sistemas sinópticos de latitudes medias están en balance
geostrófico aproximado y en balance hidrostático. La combinación de estos balances da
lugar al viento térmico, que como vimos restringe los movimientos en latitudes medias.
Para dar un paso mas debemos considerar la evolución temporal del flujo. Si despreciamos
la fricción las ecuaciones de movimiento aproximadas son
dV
=− f k ∧V −∇ 
dt
la ecuación hidrostática
la ecuación de continuidad
y la ecuación de energía termodinámica
∂ ln 
. En lo que sigue condensaremos estas 5 ecuaciones en 2 que
∂p
satisfacerán el análisis de escala apropiado para escalas sinópticas.
donde
S p=−T
Comenzamos considerando la expansión de f en la dirección meridional alrededor de una
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
33
latitud 0 (y=0 en esta latitud)
f =2 sin 0 2

cos 0 y= f 0 y
a
Para escalas sinópticas
lo cual justifica asignar al parámetro de Coriolis un valor constante f0 excepto cuando es
diferenciado en el término advectivo. Esta aproximación se denomina plano-β pues
físicamente se considera que los movimientos ocurren en un plano hipotético tangente a la
Tierra en la latitud 0 y restringidos a movimientos meridionales con una extensión
L<<a.
Separamos la veolcidad horizontal en los componentes geostrófico y ageostrófico
donde
Para sistemas sinópticos
o sea que Vg >> Va.
Por lo anterior podemos aproximar la velocidad real por la velocidad geostrófica a O(Ro) y
la razón de cambio de momento o temperatura siguiendo el movimiento horizontal puede
ser aproximado al mismo orden para la razón de cambio siguiendo el viento geostrófico.
Por lo tanto V puede ser sustituído por Vg y la advección vertical que aparece solamente
debido a la existencia del viento ageostrófico puede despreciarse. Así
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
34
d V dgV g
=
dt
dt
dg ∂
≡ V g . ∇ = ∂ u g ∂ v g ∂
dt ∂ t
∂t
∂x
∂y
La aceleración es el resultado de la desviación del viento con respecto a su valor
geostrófico. Por lo tanto no es posible sustituir simplemente V por Vg en el término de
Coriolis. En su lugar, los términos de la derecha de la ecuación de momento quedan
Entonces la ecuación de momento aproximada queda
dgV g
=− f 0 k ∧V a − y k ∧V g (1)
dt
y todos los términos son de O(Ro) comparado con la fuerza gradiente de presión.
Así definido, el viento geostrófico es no divergente por lo que la ecuación de continuidad
queda
(2)
o sea que w está definida por la componente ageostrófica del viento horizontal.
En la ecuación termodinámica la advección horizontal puede ser aproximada por su valor
geostrófico. Por otro lado, la estabilidad vertical en escalas sinópticas es suficientemente
grande como para que el calentamiento y enfriamiento adiabático debido a movimientos
verticales sea del mismo orden que la advección horzontal de temperatura. El término de
calentamiento y enfriamiento adiabático puede simplificarse dividiendo el campo de
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
35
temperatura en un estado base T0(p) que sólo dependa de la presión mas una desviación
T(x,y,p,t)
Como
solo la porción debido al estado base se debe considerar al calcular el término de
estabilidad. Por lo tanto, usando la ecuación hidrostática, la forma cuasi-geostrófica de la
ecuación de energía termodinámica se puede expresar como
−∂
Q̇
 ∂ V g . ∇ 
− =
(3)
∂t
∂p
p
donde
y
(θ0 es la temperatura potencial correspondiente al estado base de temperatura T 0) y
≈2.5 10−6 m 2 / Pa2 / s 2 en la tropósfera media. Las ecuaciones (1), (2) y (3) junto con la
definición de viento geostrófico forman el sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones para
las variables geopotencial, viento geostrófico, viento ageostrófico y omega. No obstante
esta forma de las ecuaciones no es adecuada para el pronóstico y es mas conveniente usar la
ecuación de vorticidad en lugar de la ecuación de momento pues solamente aparecerá la
divergencia del viento ageostrófico.
El viento geostrófico lo escribimos como
por lo que la componente geostrófica de la vorticidad vertical es
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
36
Notar que la ecuación anterior permite calcular la vorticidad geostrófica partiendo del
geopotencial, o vice versa. Esta invertibilidad es una de las razones por las cuales
vorticidad es tan útil como diagnóstico de predicción. Como el laplaciano de una función es
máximo donde la función es un mínimo, vorticidad positiva implica valores bajos de
geopotencial. La ecuación cuasi-geostrófica para la vorticidad se puede calcular partiendo
de las ecuaciones
d g ug
− f 0 v a − y v g =0
dt
d g vg
 f 0 ua  y u g =0
dt
y tomando el rotor se obtiene
d g g
∂u ∂v
=− f 0  a  a − v g
dt
∂x ∂y
dg f
=v g y sustituyendo la divergencia del viento ageostrófico usando la
dt
ecuación de continuidad podemos reescribir la ecuación de la forma
Notando que
la cual establece que la razón local de cambio de la vorticidad geostrófica está dada por la
suma de la advección de la vorticidad absoluta por el viento geostrófico mas la
concentración o dilución de vorticidad por el estiramiento o achatamiento de las columnas
de fluído (el efecto divergencia).
Resumiendo, en esta sección derivamos 2 ecuaciones simplificadas de vorticidad y energía
que usaremos para el estudio de los sistemas sinópticos de latitudes medias. Si asumimos
que el calentamiento dQ/dt=0, podemos reescribir las ecuaciones como
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a la Dinámica de la Atmósfera
37
∂  −∂ =−V . ∇  −∂   
g
∂t ∂ p
∂p
∂ g
∂
=−V g . ∇ g  f  f 0
∂t
∂p
−∂
 en superficies
∂p
isobáricas, la primera ecuación establece que la razón de cambio de la temperatura es la
diferencia entre la tendencia advectiva y el calentamiento o enfriamiento adiabático debido
al movimiento vertical. (La aproximación de dQ/dt=0 es válida para los movimientos
sinópticos en latitudes medias, pero no para el estudio del desarrollo de ciclones donde el
calor latente juega un papel importante).
Notar que como la temperatura está directamente relacionada con

Como el viento geostrófico, la vorticidad geostrófica y σ pueden escribirse en función del
geopotencial las dos ecuaciones representan un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas
(  ,  ). En los capítulos que siguen usaremos estas ecuaciones para calcular la tendencia
∂
 y los movimientos verticales dados los campos instantáneos de
del geopotencial 
∂t
geopotencial en varios niveles de la atmósfera. Esto permite diagnosticar y predecir el
comportamiento de la atmósfera de latitudes medias sin medir directamente el campo de
velocidades. Estas ecuaciones son la base de la meteorología dinámica moderna.
Referencias principales
– Mid-latitude atmospheric dynamics, J. Martin
– An introduction to dynamic meteorology, J. Holton
Notas: Prof. Marcelo Barreiro