Continuamos con cosas de inducción debido a la exigencia de los

Continuamos con cosas de inducción debido a la exigencia de los profesores.
1. Demuestre que:
12 + 22 + 32 + . . . n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Demostración. Haremos la prueba por inducción.
(Base de inducción)Notemos que la fórmula se satisface para
1=
n=1
puesto que:
1(1 + 1)[2(1) + 1]
6
(Hipótesis de inducción)Luego, supongamos que se cumple para
n = k.
Esto es, que lo
siguiente es cierto:
12 + 22 + 32 + . . . k 2 =
k(k + 1)(2k + 1)
6
(Paso inductivo) Ahora, demostraremos que la fórmula se cumple para
(k +
n = k + 1. Sumando
1)2 de ambos lados de la igualdad (en la hip. de inducción) tenemos que:
k(k + 1)(2k + 1)
+ (k + 1)2
6
k(k + 1)(2k + 1) 6(k + 1)2
+
multiplicando por 1 para sumar
6
6
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2
6
(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]
factorizando k + 1
6
(k + 1)[2k 2 + k + 6k + 6]
6
(k + 1)[2k 2 + 7k + 6]
6
(k + 1)[(k + 2)(2k + 3)]
6
(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]
6
2
1 + 22 + 32 + . . . + k 2 + (k + 1)2 =
=
=
=
=
=
=
=
Lo cual nos dice que la fórmula se cumple para
n = k + 1.
Por lo tanto, por el PIM, la fórmula
2. Demuestre que la siguiente fórmula para sumar los primeros
n números pares es cierta para todos
es cierta para todos los números naturales.
los números naturales:
2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)
Demostración. Haremos la prueba por inducción
(BI) La fórmula se satisface para
n=1
ya que:
2(1) = 1(1 + 1)
(HI) Luego, supongamos que se cumple para
n = k.
Es decir:
2 + 4 + 6 + . . . + 2k = k(k + 1)
1
(PI) Ahora, a partir de lo anterior tenemos que demostrar que la fórmula se cumple para
n = k + 1.
Ahora bien, notemos que:
[2 + 4 + 6 + . . . + 2k] + 2(k + 1) = [k(k + 1)] + 2(k + 1), sumando 2k + 1 en la HI
= k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 1)(k + 2) factorizando k + 1
= (k + 1)[(k + 1) + 1]
lo cual nos dice que la fórmula se cumple para
n = k + 1.
Por lo tanto, por el PIM tenemos
que la fórmula se cumple para todos los números naturales.
3. Demuestre que la siguiente fórmula para sumar los primeros
n
números impares es válida para
todos los números naturales:
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
Demostración. Igual que en los ejercicios anteriores, haremos la demostración por inducción:
(BI) La fórmula se cumple para
n=1
puesto que:
[2(1) − 1] = 12
(HI)Supongamos que se cumple para
n = k.
Esto es, que la siguiente fórmula es cierta:
1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) = k 2
(PI) Ahora demostremos que se cumple para
n = k + 1:
[1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1)] + [2(k + 1) − 1] = [k 2 ] + [2(k + 1) − 1] sumando el siguiente impar.
= k 2 + (2k + 1)
= (k + 1)2 .
Lo cual nos dice que la fórmula se cumple para
fórmula se cumple para todos los números
Observación 1
n = k + 1.
naturales. También pueden intentar demostrar el ejercicio
Por lo tanto, por el PIM la
3 usando el argumento de las cua-
driculas, como se los dijo Paulina. Sólo recuerden que también tienen que ahcer los tres pasos de la
inducción. De igual manera, tienen que recordar que un ejemplo (ver que la fórmula se cumple para un
número en particular) no es una demostración. Cómo les hemos mencionado, al hacer demostraciones
no podemos añadir hipótesis que no vienen en el enunciado.
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