AUTOEVALUACIÓN

AUTOEVALUACIÓN
6.1.
Averigua en cada caso si se verifica la ecuación para el valor asignado a x.
x −5
a) 2x – (3 – x) = 6, x = 3
b) 5 − 2·
=
7 , x = 12
3
a) Sustituimos 2 · 3(3 – 3) = 6 – 0 = 6. Sí se verifica.
b)
6.2.
6.3.
Indica en cada caso si las ecuaciones son equivalentes.
a) 1 – x = x; x + 1 = 1; x = 1
x
10; x = 16
b)
−3 =
5; x − 6 =
2
a)
No son equivalentes. La primera tiene por solución x =
b)
Sí lo son, porque las tres tienen por solución x = 16.
b)
a)
b)
c)
d)
6 + 4x + 3 – 5x = 6x – 11 + 3x
c)
5x 9 x
− =
2
2 4
5 x − 1 −3 − 3 x
−
=
−1
6
2
6 + 4x + 3 – 5x = 6x – 11 + 3x → 9 – x = 9x – 11 → –x – 9x = –11 – 9 → –10x = –20 → x = 2
8(7 – x) + 23 = –3x + 34 → 56 – 8x + 23 = –3x + 34 → 79 –8x = –3x + 34 →
→ –8x + 3x = 34 – 79 → –5x = –45 → x = 9
8(7 – x) + 23 = –3x + 34
d)
2x −
5x 9 x
− = → 10x –18 = x → 10x – x = 18 → 9x = 18 → x = 2
2 2 4
5 x − 1 −3 − 3 x
−
=
−1 → 12x – (5x – 1) – 3 · (–3 – 3x) = –6 → 12x – 5x + 5 + 9 + 9x = –6
2x −
6
2
−20 −5
16x + 14 = –6 → 16x = –6 – 14 → 16x = –20 →
=
x =
16
4
Resuelve las siguientes ecuaciones.
2
2
c) 4x + x – 5 = 0
a) 2x = 6x
2
2
2
d) (x + 1) = x + 3
b) x = 75 – 2x
2
a) 2x – 6x = 0 → 2x(x – 3) = 0 → o bien 2x = 0 o bien x – 3 = 0 → Soluciones: x = 0 y x = 3
b)
x + 2x = 75 → 3x = 75 → x = 25 → x =
± 25 =
±5 → Soluciones: x = 5 y x = –5
c)
−1 ± 12 − 4·4( −5) −1 ± 81 −1 ± 9
=
= =
→ x
4x + x – 5 = 0=
2·4
8
8
d)
(x + 1) = x + 3 → x + 2x + 1 = x + 3 → x + x – 2 = 0
2
2
2
2
2
2
2
−1 ± 12 − 4·1( −2) −1 ± 9 −1 ± 3
=
x
=
= =
2·1
2
2
6.5.
1
; la segunda, x = 0, y la tercera, x = 1.
2
Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)
6.4.
12 − 5
7
14 15 14 1
Sustituimos 5 − 2·
=5 − 2· =5 −
= −
= ≠ 7 . No se verifica.
3
3
3
3
3
3
8

 x= 8= 1

10 −5
 x −=
=

8
4
2

 x=

x =

2
= 1
2
−4
= −2
2
Si a un número se le suma 1 y el resultado se multiplica por 3, da 57. ¿Cuál es dicho número?
Número buscado:
x
Ecuación:
(x + 1) · 3 = 57
Resolución:
3x + 3 = 57 → 3x = 54 → x = 18
Solución: El número buscado es el 18.
Unidad 6 | Ecuaciones
6.6.
Elena tiene 4 años más que su hermano Javier, y hace 6 años ella tenía el doble de edad que la
que entonces tenía su hermano.
Calcula cuántos años tiene actualmente cada uno.
Edad de Javier hoy: x
Edad de Javier hace 6 años: x – 6
Edad de Elena hoy: x + 4
Edad de Elena hace 6 años: x + 4 – 6 → x – 2
Ecuación:
x – 2 = 2(x – 6)
Resolución:
x – 2 = 2x – 12 → x – 2x = –12 + 2 → –x = –10 → x = 10
Solución: Javier tiene 10 años, y Elena, 14 (10 + 4).
6.7.
El perímetro de un triángulo isósceles mide 81 centímetros. Si cada uno de los lados iguales
mide el cuádruple que el lado desigual, ¿cuánto miden los lados del triangulo?
Medida del lado desigual:
x
Medida de cada uno de los lados iguales:
4x
Ecuación:
x + 4x + 4x = 81
Resolución:
9x = 81 → x = 9
Solución: el lado desigual mide 9 cm, y los lados iguales, 36 cm cada uno.
6.8.
En unas pruebas de atletismo juvenil participaron 15 atletas. A los 5 primeros en llegar a la
meta se les premió con 10 puntos más que a los demás.
Si en total se repartieron 200 puntos, ¿cuántos recibió cada atleta?
Puntos de cada uno de los 10 últimos:
x → Total de puntos: 10x
Puntos de cada uno de los 5 primeros:
x + 10 → Total de puntos: 5(x + 10)
Ecuación:
10x + 5(x + 10) = 200
Resolución:
10x + 5x + 50 = 200 → 15x = 150 → x = 10
Solución: los diez últimos recibieron 10 puntos, y los cinco primeros, 20 puntos cada uno.
6.9.
Dos números naturales se diferencian en 3 unidades. Si su producto es 238, ¿cuáles son esos
números?
Primer número:
Ecuación:
x
x · (x + 3) = 238
Segundo número:
x+3
−3 ± 32 − 4 ⋅ ( −238) −3 ± 31 x = 14
= = 
2
2
x = −17
Solución: cómo los números son naturales, serán 14 y 17.
Resolución:
0→ x
x + 3x – 238 = =
2
Ecuaciones | Unidad 6