INTERVALOS – DESIGUALDADES – INECUACIONES

INTERVALOS – DESIGUALDADES – INECUACIONES
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación.
INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades
desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados
valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como
desigualdades de condición.
La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y
sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se
convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo
contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que
satisfagan la inecuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las
desigualdades antes expuestas y en las consecuencias que de las mismas se
derivan.
Ejemplos :
Por ejemplo:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x<3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc.
Todos los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere
decir que el conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito
2) Resolver 2x - 3 > x + 5
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo tenemos:
2x - x > 5 + 3
Reduciendo: x > 8
La desigualdad sólo se verifica para los valores de x mayores que 8.
x
5x
3.) Hallar el límite de x en 7  2  3  6
Suprimiendo denominadores (ver propiedad 2) se tiene: 42 - 3x > 10x - 36
Trasponiendo términos:
- 3x - 10x > - 36 - 42
- 13x > - 78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la
desigualdad, origina: 13x < 78
Dividiendo por 13:
x<
78
o sea,
13
x < 6 . 6 es el límite superior de x, es decir que la
desigualdad sólo se verifica para los valores de x menores que 6.
4) Encontrar el límite de x en (x + 3)(x - 1) < (x - 1)2 + 3x
Efectuando las operaciones indicadas:
x 2 + 2x - 3 < x 2 - 2x + 1 + 3x
Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:
2x + 2x - 3x < 1 + 3
x<4
4 es el límite superior de x.
.
INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.
En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,
si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si
uno de extremos pertenece al conjunto y el otro no, se dice que
semiabierto o semicerrado.
INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define
intervalo de extremos a y b al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
-∞
a
+∞
b
CLASES DE INTERVALOS
COMO CONJUNTO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION
GEOMETRICA

Abierto en ambos extremos
En forma de conjunto: a, b  = x  IR / a  x  b
Representación Gráfica:
-∞

+∞
a
b
Cerrado en ambos extremos
En forma de conjunto: a, b = x  IR / a  x  b
Representación Gráfica:
-∞
+∞
a
b
Semiabierto por la derecha:
En forma de conjunto: a, b  = x  IR / a  x  b
Representación Gráfica:
-∞

+∞
a
b
Semiabierto por la izquierda:
En forma de conjunto: a, b = x  IR / a  x  b
Representación Gráfica:
-∞
a
+∞
b

Abierto por la derecha que se extiende hacia la izquierda:
En forma de conjunto:  , a  = x  IR / x  a
Representación Gráfica:
-∞

a
+∞
Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:
En forma de conjunto:  , a = x  IR / x  a
Representación Gráfica:
-∞

a
+∞
Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha:
En forma de conjunto: a, = x  IR / x  a
Representación Gráfica:
-∞

a
Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:
En forma de conjunto: a, = x  IR / x  a
+∞
Representación Gráfica:
-∞
+∞
a
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Resolver la desigualdad:
Debe notarse en primer lugar que la desigualdad
no es equivalente a x
>= 2, puesto que (x - 1) no siempre es positivo. Sin embargo,
.
Esta última desigualdad se satisface si y solo si x = 2 o las dos cantidades: (x – 2) y (x
– 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) ¿porqué?
Pero, (x – 2) y (x – 1) son positivas si y solo si x > 2. También, (x – 2) y (x – 1) son
negativas si y solo si x < 1.
En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos:
[2, +  ) y (- , 1).
Esto es, S = (- , 1] U [ 2, + )
2.
Resolver la desigualdad:
En primer lugar, la inexperiencia lo puede llevar a efectuar el producto de extremos y
medios, conservando el sentido de la desigualdad y escribir:
es la solución.
Sin embargo, existen valores de x, x > 0 que no son solución (por ejemplo
existen valores de x, x < 0 que si son solución (por ejemplo
consecuencia, x > 0 no corresponde al conjunto solución.
)y
). En
Para evitar situaciones como la anterior, procedemos de la siguiente forma:
La última desigualdad, puede resolverse analíticamente distinguiendo varios casos
según el signo del numerador y denominador de la fracción.
El método que se propone a continuación es mucho mas ágil y puede desarrollarse
siguiendo los siguientes pasos:
1. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el Numerador y
Denominador de la fracción, tomando como punto de referencia los valores que
anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores y posteriores al
referencial.
2. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados
por los puntos de referencia.
3.El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo
coincide con el signo del lado derecho de la desigualdad.
Asi, si el signo del lado derecho de la desigualdad es ">", se eligen los intervalos con
signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", se eligen los
intervalos con signo (-).
4.Verifique si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución,
sustituyéndolos en la desigualdad y poder determinar de esta forma la naturaleza de
ellos: abierto, cerrado, semiabierto, etc.
Apliquemos el método, al caso particular:
. El diagrama adjunto recoge
toda la información obtenida siguiendo el método descrito.
Signo
de (-2x)
Signo
de (x-1)
Signo
de (x+1)
Signo del
producto
+ + + + + + + + + +| -- - - - - - - - 0
PUNTO
DE
REFERENCIA
PUNTOS
DE
PRUEBA
-2x = 0
->x=0
x=1
x = -1
- - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - | +
x –1 = 0
++++++
-> x = +1
1
- - - - - - -|+ + + + + + + + ++ + + +
x –1 = 0
++++
-> x = -1
-1
+ + + + | - - - - - - - |+ + + + + + | - - - - --1 0 1
x=0
x=2
x=0
x =-2
Note que los puntos referenciales no satisfacen la desigualdad, por lo tanto no
pertenecen al conjunto solución.
Como el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", interesa para la solución los
intervalos del producto con signo (-). Esto es: S = (-1, 0) U (1, + ) es el conjunto
solución.