e - Cenidet

SEP SEIT DGIT CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO cenidet DISEÑO DE UN CONTROLADOR NO LINEAL BASADO EN PASIVIDAD DE UN MOTOR SÍNCRONO T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA P R E S E N T A : ING. MIGUEL ANGEL DURAN FONSECA DIRECTORES DE TESIS: DR. GERARDO VICENTE GUERRERO RAMÍREZ DRA. PATRICIA CARATOZZOLO MARTELLITI CUERNAVACA, MORELOS ENERO DE 2004 Dedicatoria A Dios, quien me permitió concluir esta etapa de mi vida A mi hijo Miguelito, mi mayor motivación A mi esposa Marbety, mi compañera en los momentos difíciles A Miguel y Amelia mis padres, amigos y consejeros A mis hermanos Toño, Lili, Pablo, Bere y Mariana Agradecimientos A mis asesores: Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez y Dra. Patricia Caratozzolo Martelliti, por su tiempo y apoyo durante la realización de este trabajo de tesis. A mis revisores: Dr. Alejandro Rodríguez Palacios, Dr. Enrique QuinteroMármol Márquez y Dr. Víctor Alvarado Martínez, por sus comentarios que ayudaron a enriquecer este trabajo. A mis profesores: Dr. Gerardo V. Guerrero Ramírez, M.I. Marino Sánchez Parra, M.C. Pedro Mendoza, M.C. Guadalupe Madrigal, Dr. Carlos Astorga Zaragoza, Dr. Marco Oliver Salazar, Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez y Dr. Luis Gerardo Vela Valdés, por sus conocimientos transmitidos. A mis compañeros de generación: Braulio, Mariano, Mauricio, Arturo, Carlos, Efraín, Efrén, Jacobo, Jaime, Janeth, José, Luis Jorge, Mario, Pablo y Tico, por los buenos momentos que vivimos durante mi estancia en el cenidet. Al COSNET y SEP por el apoyo económico brindado que me permitió desarrollar mis estudios de Maestría. A todo el personal del cenidet. ÍNDICE Página ÍNDICE….............................................................................................................................................. i SIMBOLOGÍA ......................................................................................................................................iii RESUMEN...........................................................................................................................................vi CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Estado del arte ........................................................................................................ 2 Planteamiento del problema ................................................................................... 3 Justificación............................................................................................................ 4 Alcance ................................................................................................................... 4 Aportación .............................................................................................................. 4 Organización del trabajo de tesis............................................................................ 6 CAPÍTULO 2 ANÁLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DEL MOTOR SÍNCRONO ............................................... 7 2.1 Construcción y operación del motor síncrono........................................................ 7 2.2 Determinación del circuito equivalente del motor síncrono................................. 10 2.3 Operación del motor síncrono en estado estacionario .......................................... 15 2.3.1 Análisis de potencia en el motor síncrono.................................................... 17 2.3.2 Modificación del factor de potencia en el MS con devanado de campo ...... 20 2.4 Simulaciones......................................................................................................... 22 CAPÍTULO 3 MODELADO DEL MOTOR SÍNCRONO........................................................................................... 27 3.1 Modelado tradicional del motor síncrono............................................................. 28 3.1.1 Modelo trifásico del motor síncrono de imanes permanentes ..................... 28 3.1.2 Modelo trifásico del motor síncrono con devanado de campo.................... 30 3.2 Modelado del motor síncrono basado en la formulación de Euler – Lagrange.... 33 3.2.1 Motor síncrono de imanes permanentes ...................................................... 35 3.2.2 Motor síncrono con devanado de campo..................................................... 38 i 3.3 Teoría del marco de referencia ............................................................................. 41 3.3.1 Modelo del MS de imanes permanentes en el MR fijo al rotor.................... 43 3.3.2 Modelo del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor .................. 46 3.4 Modelo de la carga mecánica ............................................................................... 49 3.5 Simulaciones......................................................................................................... 51 CAPÍTULO 4 CONTROL POR CAMPO ORIENTADO DEL MOTOR SÍNCRONO ................................................ 57 4.1 Producción del par electromagnético en el motor de CD..................................... 57 4.2 Control vectorial del MS de imanes permanentes ................................................ 59 4.2.1 Simulaciones................................................................................................. 63 4.3 Control vectorial del MS con devanado de campo............................................... 67 4.3.1 Simulaciones................................................................................................. 69 CAPÍTULO 5 CONTROL NO LINEAL BASADO EN PASIVIDAD DE UN MOTOR SÍNCRONO ........................... 73 5.1 Método de control de motores de corriente alterna basado en pasividad............. 73 5.2 Controlador del subsistema mecánico .................................................................. 75 Control basado en pasividad del subsistema eléctrico del MS de imanes permanentes .. 77 5.3 5.3.1 Simulación .................................................................................................... 83 Control basado en pasividad del subsistema eléctrico MS con devanado de campo ...... 85 5.4 5.4.1. Simulación .................................................................................................... 91 5.5 Análisis de estabilidad del sistema completo ....................................................... 93 CAPÍTULO 6 ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES.............................................. 97 6.1 6.2 6.3 6.4 Análisis del índice de desempeño......................................................................... 97 Análisis del error de seguimiento de velocidad.................................................... 99 Conclusiones....................................................................................................... 101 Trabajos futuros.................................................................................................. 104 Referencias ..................................................................................................................................... 105 Apéndice A ...................................................................................................................................... 107 Apéndice B ...................................................................................................................................... 115 ii SIMBOLOGÍA ϕ δ Γ µ θ ρ φ λa, λb, λc λdr y λqr θe ωe θe0 τem λf τl θm ωm Λm λm ηs B De eag f F h I ia, ib, ic idr y iqr if J JB Ks L∆m Lm L L l Ángulo cuyo coseno es el factor de potencia Ángulo de potencia Ganancia positiva del error combinado de seguimiento Vector de flujos magnéticos debidos a los imanes permanentes en la formulación E-L Posición angular del marco de referencia Densidad del brazo Flujo magnético Enlaces de flujo de las fases a, b y c del estator Enlaces de flujo de los devanados amortiguadores Desplazamiento angular eléctrico Velocidad angular eléctrica Desplazamiento angular eléctrico inicial Par electromagnético Enlaces de flujo del devanado de campo Par de carga Desplazamiento angular mecánico Velocidad angular mecánica Vector de enlaces de flujo debidos a los imanes permanentes Amplitud máxima del flujo de los imanes permanentes Velocidad de sincronismo Coeficiente de fricción viscosa del motor Matriz de inductancias en la formulación Euler – Lagrange (E-L) Voltaje generado por movimiento Frecuencia eléctrica Función de disipación de Rayleigh Momento angular Vector de corrientes Corrientes de los devanados de las fases a, b y c del estator Corrientes de los devanados amortiguadores Corriente del devanado de campo Inercia rotacional del rotor Inercia del brazo Matriz de transformación de las variables del estator Amplitud máxima de la variación de la inductancia del estator Valor promedio de la inductancia del estator Inductancia constante, independiente de la posición del rotor Lagrangiano Longitud del brazo rígido iii Ld lii Lii0 Liil lij Lq Lrr Ls Lsr Lss m np Ns P P Pd y Pq Pem PR Q q qe qm q qe qm qr Re rf rs rdr rqr S s T* u V va , vb , vc vf XC=-j/ωC XL=jωL Xs Inductancia del devanado a lo largo del eje d Inductancia propia del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} Inductancia de magnetización del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} Inductancia de dispersión del devanado i, i={a, b, c, f, dr, qr} Inductancia mutua entre los devanados i y j Inductancia del devanado a lo largo del eje q Matriz de inductancias del rotor Inductancia síncrona Matriz de inductancias mutuas estator – rotor Matriz de inductancias del estator Masa del brazo Número de pares de polos Número efectivo de vueltas por fase del devanado del estator Número de polos Potencia real Permeancias magnéticas a lo largo de los ejes d y q del rotor Potencia electromagnética Pérdidas en las resistencias Potencia reactiva Coordenadas generalizadas Coordenadas generalizadas del subsistema eléctrico, carga eléctrica Coordenada generalizada del subsistema mecánico, posición mecánica Velocidades generalizadas Velocidades generalizadas del subsistema eléctrico, corriente eléctrica Velocidad generalizada del subsistema mecánico, velocidad mecánica Velocidad de referencia Matriz de resistencias eléctricas Resistencia del devanado de campo Resistencia de los devanados del estator Resistencia del devanado de amortiguación a lo largo del eje d Resistencia del devanado de amortiguación a lo largo del eje q Potencia aparente Error combinado de seguimiento Coenergía cinética Vector de control Energía potencial Voltajes aplicados a los devanados de las fases a, b y c del estator Voltaje aplicado al devanado de campo Reactancia capacitiva Reactancia inductiva Reactancia síncrona iv a, b, c f dr y qr e m dq0 r Subíndice, indica variables trifásicas del estator Subíndice, indica variables de campo Subíndice, indica variables de los devanados amortiguadores Subíndice, indica subsistema eléctrico Subíndice, indica subsistema mecánico Subíndice, indica variables en el nuevo MR Superíndice, indica marco de referencia fijo al rotor Indica error de una variable, valor real – valor deseado CA CD E-L MR MS PI Corriente alterna Corriente directa Euler – Lagrange Marco de referencia Motor síncrono Proporcional – Integral v RESUMEN Este trabajo de tesis trata sobre el diseño de controladores no lineales basado en pasividad del motor síncrono de imanes permanentes y con devanado de campo. El objetivo del control es lograr el seguimiento de la trayectoria (posición y velocidad) de referencia de una carga mecánica dada (brazo rígido de un grado de libertad). Aunque en la literatura técnica existe información acerca del análisis del motor síncrono, no es fácil encontrar un tratamiento completo que incluya modelado, operación y diseño de controladores. Por otro lado, los trabajos que abordan el diseño de controladores usualmente tratan sólo el motor síncrono de imanes permanentes. En este trabajo se contemplan el análisis de la operación y el control del motor síncrono tanto de imanes permanentes como con devanado de campo. El modelado se obtiene usando la formulación basada en funciones de energía (metodología Euler – Lagrange) ya que es la más adecuada para el diseño de controladores basados en pasividad, el cual presenta ventajas respecto a otras técnicas de control (escalar y vectorial). Para facilitar el diseño se utilizan herramientas como la transformación de 3 a 2 fases (Teoría de Marco de Referencia), y propiedades estructurales del sistema como son la descomposición del sistema completo en dos subsistemas pasivos. El diseño del controlador se basa en el análisis de Lyapunov y se garantiza el seguimiento de trayectoria, la convergencia del estado a los valores deseados y el acotamiento de las señales del sistema. Finalmente se hace un análisis comparativo del desempeño de los controladores basados en pasividad con respecto de controladores basados en campo orientado (comúnmente usados en la industria) y se observa que es mejor el desempeño de los controladores basados en pasividad. vi Capítulo 1 INTRODUCCIÓN Los motores de corriente directa (CD) se han usado en aplicaciones de alto desempeño donde se requiere un seguimiento exacto de una trayectoria (posición y velocidad). Esto se debe que su control es relativamente simple. Sin embargo estos motores tienen varias desventajas, a saber: son caros, se tienen problemas con su conmutador mecánico, requieren un mantenimiento regular, entre otras. Los motores de corriente alterna (CA) no tienen las desventajas asociadas a los motores de CD. Sin embargo la dinámica de los motores de CA presenta no linealidades significativas, lo cual dificulta la tarea de control para aplicaciones de alto desempeño dinámico. En la actualidad los avances en la electrónica de potencia, los microprocesadores y la teoría de control no lineal, han permitido el desarrollo de sistemas de control de velocidad para motores de CA. Así, en la actualidad se utilizan motores de CA en un gran número de aplicaciones antes exclusivas de los motores de CD. Dentro de los motores de CA se encuentran el motor síncrono (MS), en el cual el devanado de estator es semejante al del motor de inducción. Sin embargo, el rotor del MS es diferente al del motor de inducción. Existen varios tipos de MS entre los cuales se encuentran: el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo. El MS de imanes permanentes tiene montados imanes en su rotor. El MS con devanado de campo cuenta con un devanado inductor en el rotor para generar el campo magnético principal del motor. El devanado de campo se alimenta con una fuente de CD por medio de un par de anillos deslizantes y un juego de escobillas. 1 Capítulo 1. Introducción 1.1 Estado del arte Dentro de la revisión del estado del arte se exploraron los siguientes temas: Funcionamiento del motor síncrono en estado estacionario. Existen varios libros donde se tratan las características del funcionamiento del MS entre los cuales se revisaron los siguientes: [Chapman, 1995], [Sen, 1989], [Fitzgerald, 1996] y [Kosow, 1991]. En estos textos se presenta el análisis en estado estacionario del MS, destacando aspectos constructivos y de operación. El análisis dinámico completo, incluyendo el transitorio, prácticamente no se trata en estos libros. Modelado del motor síncrono. El modelado del MS para el análisis dinámico completo y diseño de controladores, se trata en [Krause, 1995], [Lishevsky, 2000], [Kundur, 1994] y [Ong, 1998]. En estos se obtiene el modelo del motor empleando el método tradicional de modelado el cual utiliza el análisis de mallas para el subsistema eléctrico, y la segunda ley de Newton para el subsistema mecánico. En [Lishevsky, 2000] además se obtiene el modelo del MS de imanes permanentes mediante la ecuación de Euler – Lagrange (E-L). En [Ortega, 1998], [Nicklasson, 1994] y [Nicklasson, 1997] se presenta la metodología para la obtención del modelo matemático de la máquina eléctrica en general usando la ecuación de E-L. Esta metodología se puede aplicar para varias máquinas eléctricas de CA prácticas, entre las cuales se encuentra la máquina síncrona. Es más común encontrar en artículos el modelo del MS de imanes permanentes [Petrovic, 2001], [Shouse, 1998] que el del MS con devanado de campo. Esto se debe principalmente a la ventaja del MS de imanes permanentes de que su rotor no necesita conexión al exterior, sin embargo debido a que los flujos producidos por los imanes permanentes son débiles, este tipo de motores sólo se usa para aplicaciones de baja y media potencia. Teoría del marco de referencia (MR). La teoría del MR se utiliza ampliamente en el análisis de máquinas eléctricas de CA y diseño de sus controladores. Existen diferentes marcos de referencia que se emplean comúnmente, cada uno con sus características particulares, la elección del MR a usar dependerá de las necesidades de la aplicación. Sin embargo todas las transformaciones se pueden ver como una sola, como se describe en [Krause, 1995]. Controladores tradicionales de motores de CA. Entre los controladores que comúnmente se emplean para motores de CA se encuentran el control escalar y el control vectorial (también llamado control basado en campo orientado), estas técnicas de control se describen en [Bose, 1986]. 2 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El control escalar consiste en la linealización del modelo del motor en un punto de operación; este control tiene la ventaja de poder aplicar las técnicas de control lineal. Entre los métodos de control escalar se encuentran el control Voltaje/frecuencia constante. El control vectorial es una estrategia utilizada ampliamente en la actualidad, el cual tiene sus inicios en los 70’s en [Blachke, 1972]. Esta técnica de control se describe de manera clara en [Vas, 1990]. Esta técnica consiste en obtener, mediante una transformación adecuada, una expresión para el par similar a la del motor de CD de excitación separada, logrando con esto que se tenga un control desacoplado de las variables flujo y par. La transformación se puede hacer al MR orientado al flujo del estator, al flujo del rotor o al flujo de magnetización del motor (resultante de la suma de los flujos del estator y del rotor). Control basado en pasividad. En [Ortega, 1997] se presenta de una manera introductoria la técnica de control basado en pasividad para sistemas no lineales en general. Para el control basado en pasividad de máquinas eléctricas de CA existen varios artículos para el control de velocidad del motor de inducción [Seleme, 1999], [Bekkouche, 1998]. La metodología de diseño para el control basado en pasividad para máquinas de CA en general se presenta en [Ortega, 1998], [Nicklasson, 1994] y [Nicklasson, 1997]. 1.2 Planteamiento del problema En la bibliografía existe menos información sobre el modelado y diseño de controladores para el MS que para el motor de inducción. Es por esto que en este trabajo se plantea el modelado y el diseño de un par de controladores, control basado en campo orientado (control vectorial) y control basado en pasividad, para dos tipos de motores síncronos, el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo. El problema de control se describe en el siguiente párrafo. Se desea que el MS (de imanes permanentes y con devanado de campo) siga una trayectoria de referencia teniendo un brazo rígido de un grado de libertad acoplado a su eje. La trayectoria de referencia es una función suave y acotada con primera, segunda y tercera derivadas con respecto al tiempo conocidas y acotadas. Bajo estas condiciones se diseñará una ley de control que asegure el seguimiento de la velocidad de referencia. Se asume que las corrientes de los devanados, la posición, la velocidad y el par electromagnético están disponibles para medición. Además, se considera que todos los parámetros del motor se conocen y son constantes. 3 Capítulo 1. Introducción 1.3 Justificación Los avances en la teoría de control, la electrónica de potencia y la electrónica digital, aunados a las exigencias de las nuevas aplicaciones para los motores de CA, han motivado reexaminar los esquemas de control usados tradicionalmente para los motores de CA. Actualmente se están utilizando nuevas metodologías de control para cumplir con desempeños más exigentes del MS o con la finalidad de optimizar su funcionamiento, se han aplicado diversos tipos de control no lineal, control adaptable y control inteligente. El control basado en pasividad se ha empleado para controlar diversos tipos de sistemas físicos con muy buenos resultados, ahora se pretende emplear este tipo de control en un MS. En este sentido, es posible mejorar el desempeño del MS al utilizar técnicas de control no lineal. En el Cenidet existen trabajos previos sobre el control de motores de inducción [Méndez, 2001] y [Cortés, 2002]. Ahora se aborda el control del MS de imanes permanentes y el del MS con devanado de campo. 1.4 Alcance Los alcances de este trabajo de tesis son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1.5 Analizar el desempeño del MS en estado estacionario, Obtener los modelos de los MS de imanes permanentes y con devanado de campo, Diseñar un controlador vectorial del MS, Diseñar un controlador basado en pasividad del MS, Analizar el desempeño de los controladores mediante simulación, y Realizar un análisis comparativo de los desempeños de los controladores diseñados. Aportación Este primer trabajo en Cenidet sobre motores síncronos podrá servir de base para futuros trabajos sobre este motor. Como aportaciones de la tesis se destacan: • El análisis de funcionamiento del MS en estado estacionario, resaltando aspectos importantes del funcionamiento del motor. Para facilitar este análisis se realizaron programas amigables con el usuario. Estos programas cuentan con una interfaz 4 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono gráfica lo cual facilita la modificación de los datos introducidos por el usuario, y permite ejecutar el programa repetidamente con sólo hacer clic sobre un botón. En particular el programa desarrollado para el análisis en estado estacionario determina, empleando las ecuaciones que describen el comportamiento del motor en estado estacionario presentadas en el capítulo 2, la condición de operación del MS por medio de datos relevantes que solicita al usuario (voltaje aplicado, parámetros del motor, potencia demandada por la carga, etc.) y los resultados entregados son: la corriente en los devanados, el voltaje generado, ángulo de potencia, etc., y lo más importante informa si el motor está operando en la región estable o si se ha perdido el sincronismo, como se verá en el capítulo 2. • El desarrollo de un programa que facilita las transformaciones a distintos marcos de referencias (MR). Aunque la teoría del MR está bien desarrollada en [Krause, 1995] este programa desarrollado permite en forma amigable, usando una interfaz gráfica, transformar variables trifásicas y una carga RL a cualquier MR lo que lo hace muy versátil. • La obtención del modelo del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor, usando tanto el método tradicional como la formulación basada en la ecuación de E-L. Los modelos del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor no se encontraron en la bibliografía, por tanto son una contribución del trabajo de tesis. • El desarrollo de un controlador no lineal basado en pasividad del MS. Aunque esta técnica de control está bien estudiada, se ha aplicado principalmente al motor de inducción, aquí se aplica al MS. Por otro lado la metodología empleada asegura el seguimiento de velocidad y como resultados adicionales se tiene el seguimiento de posición y de par, como se verá en el capítulo 5. • Un análisis comparativo del desempeño de los controladores diseñados para el MS, es decir del controlador vectorial, que tradicionalmente se empela para motores de CA, y del control basado en pasividad. Con base en este análisis comparativo se concluye que el control basado en pasividad tiene un mejor desempeño que el control vectorial. 5 Capítulo 1. Introducción 1.6 Organización del trabajo de tesis El trabajo de tesis de ha estructurado de la siguiente manera: En el capítulo 2 se presenta una descripción teórica de los aspectos constructivos del MS, continuando con los aspectos más relevantes del funcionamiento del motor en estado estacionario. Se determina el circuito equivalente monofásico del motor el cual es de gran utilidad en el análisis del MS en estado estacionario. Además, se analiza la potencia en el MS, y finalmente se presenta la forma en como el MS cambia su factor de potencia. El capítulo 3 se dedica a la obtención del modelo trifásico del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo. Para esto se usa la técnica tradicional y también se describe brevemente el método de modelado basado en la ecuación de E-L para posteriormente obtener los modelos empleando este último método. A partir del modelo trifásico se obtiene, mediante una transformación, un modelo para cada motor en el MR fijo al rotor, y en este mismo capítulo se obtiene el modelo de la carga mecánica. También se simula la operación de cada motor en lazo abierto usando Matlab / simulink©. En el capítulo 4 se diseña un controlador de velocidad basado en campo orientado para cada motor, MS de imanes permanentes y MS con devanado de campo. Se da una descripción de la técnica de control a emplear, se diseña el controlador vectorial orientado al flujo del estator para cada motor. En este mismo capítulo se presenta la referencia a seguir para todos los controladores de este trabajo y al final se presentan las simulaciones del desempeño del controlador. En el capítulo 5 se presenta el diseño del controlador basado en pasividad para ambos motores, se muestran las simulaciones de la operación del controlador. Y al final del capítulo se presenta el análisis de estabilidad para demostrar la convergencia de los errores a cero. Para concluir con el trabajo de tesis en el capítulo 6 se hace un análisis comparativo del desempeño de los controladores diseñados y se dan las conclusiones del trabajo. Al final se presenta la bibliografía que sirvió de base para la realización del trabajo y los Apéndices que complementan el trabajo. En el Apéndice A se presenta la determinación de los elementos de la matriz de inductancias y en el Apéndice B se dan las instrucciones para el uso de los programas desarrollados a lo largo del trabajo. 6 Capítulo 2 ANÁLISIS EN ESTADO ESTACIONARIO DEL MOTOR SÍNCRONO Un motor síncrono (MS) es un motor de corriente alterna (CA) que tiene como característica principal que su velocidad es proporcional a la frecuencia del voltaje aplicado a su estator [Fitzgerald, 1996]. La velocidad a la cual gira el rotor del MS es igual a la del campo magnético giratorio generado por el estator la cual se llama de sincronismo, de aquí el nombre que se le da al motor. Existen varios tipos de motores síncronos entre los cuales se encuentran: el MS de imanes permanentes y el MS con devanado de campo [Lyshevski, 2000]. En este capítulo se analiza las principales características constructivas y de operación en estado estacionario del MS trifásico. 2.1 Construcción y operación del motor síncrono El MS está formado esencialmente por una parte fija llamada estator y una giratoria llamada rotor. Entre estas dos partes se encuentra un pequeño espacio de aire que se conoce como entrehierro. En las ranuras del estator se encuentra distribuido el devanado de armadura trifásico, y en el rotor, según el tipo de motor, se encuentra el devanado de campo o imanes permanentes. 7 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono En la figura 2.1 se muestra un diagrama de la distribución de los devanados del estator (a, b, c) y de campo (f ) del MS de rotor cilíndrico. En esta representación se considera que la máquina es de dos polos y que sus devanados están concentrados en una sola bobina cada uno, aunque en la práctica los devanados se encuentran distribuidos sinusoidalmente en la periferia del estator. En la figura también se indican las direcciones de los ejes magnéticos de las tres fases del estator y el eje magnético del rotor. Los devanados del estator están distribuidos de manera que sus ejes magnéticos estén desplazados entre si 2π/3 radianes eléctricos. Las cruces en el diagrama indican que las corrientes entran por esos extremos de las bobinas y salen por los extremos marcados con un punto. Eje de la fase b Eje del rotor a c' f θe ωe b' Eje de la fase a b f' c a' Eje de la fase c Figura 2.1 Sección transversal del MS con devanado de campo. El movimiento giratorio del rotor está caracterizado por el desplazamiento angular eléctrico θe y la velocidad angular eléctrica ωe del rotor. Los voltajes aplicados a los devanados de armadura son generalmente mucho mayores que los del devanado de campo, debido a esto es preferible tener el devanado de armadura fijo para facilitar las conexiones. El devanado de armadura se alimenta con CA trifásica, mientras que el devanado de campo se alimenta con corriente directa (CD). En el caso del MS con devanado de campo la alimentación del rotor se hace generalmente mediante un sistema de dos anillos deslizantes montados sobre el eje y aislados eléctricamente. La corriente de campo se lleva al rotor a través de un juego de escobillas que hacen contacto sobre los anillos deslizantes. El rotor del MS puede ser cilíndrico o de polos salientes. El devanado de armadura al ser alimentado con CA trifásica genera un campo magnético giratorio de magnitud constante [Kundur, 1994]. La velocidad de este campo magnético giratorio en revoluciones por minuto (rpm) está dada por: ηs = 120 f , P 8 (2.1) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono donde: f ηs P = = = Frecuencia eléctrica (Hz) velocidad del campo magnético (rpm) número de polos En estado estacionario el rotor del motor gira a esta misma velocidad. Como se observa en (2.1), la velocidad depende de la frecuencia del voltaje aplicado a los devanados del estator y del número de polos, y no del tipo de carga mecánica que mueve. Ya que el número de polos por construcción es fijo, si la frecuencia del voltaje de armadura se mantiene constante la velocidad del motor en estado estacionario será constante desde su operación en vacío hasta la potencia máxima. Si el motor se carga más allá de la potencia máxima admisible entra en la región de operación inestable y el motor pierde el sincronismo; esta situación es indeseable. Los motores síncronos pueden tener uno o varios pares de polos. Los motores síncronos con pocos pares de polos son de velocidades altas, mientras que los de un gran número de pares de polos son de baja velocidad. El devanado de campo se distribuye de tal manera que se alternen magnéticamente las polaridades norte y sur en el rotor. Algunos análisis en este trabajo de tesis se hacen para un motor con un único par de polos, sin embargo los resultados pueden extrapolarse a motores con más de un par de polos. Cuando el número de pares de polos np es diferente de uno, el desplazamiento angular eléctrico θe, no es igual al desplazamiento angular mecánico del motor θm, sin embargo estos están relacionados mediante θ e = n pθ m . Esta última expresión es muy importante ya que generalmente el valor que se puede medir es el desplazamiento mecánico θm y en el modelo del subsistema eléctrico el que interviene es el desplazamiento eléctrico θe. Una de las principales características del MS con devanado de campo es el poder operar con distintos factores de potencia, a diferencia del motor de inducción tipo jaula de ardilla que opera invariablemente en retraso. Así se puede tener un MS funcionando con factor de potencia en atraso, adelanto o unitario. El factor de potencia al cual opera el motor se puede modificar variando el voltaje de CD aplicado al devanado de campo. Por otro lado el par neto de arranque del MS es cero. Por lo tanto se necesita en el arranque de algún otro medio para acelerar al motor desde el reposo hasta una velocidad cercana a la de sincronismo. Una solución bastante empleada para resolver este problema, es agregar devanados de amortiguamiento en el rotor [Chapman, 1995]. 9 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono 2.2 Determinación del circuito equivalente del motor síncrono Para analizar el funcionamiento del MS en estado estacionario se emplea frecuentemente un circuito equivalente, esta sección está dedicada a la determinación de dicho circuito para un MS de rotor cilíndrico. El devanado trifásico de armadura puede conectarse en estrella o en delta. Independientemente de la conexión cada devanado se representa por una resistencia y una inductancia, como se muestra en la figura 2.2. Los devanados del estator por ser simétricos tienen igual resistencia, rs, y el devanado del rotor tiene una resistencia rf. ia, ib, ic e if son las corrientes en los devanados y va, vb, vc y vf son los voltajes aplicados a cada fase del estator. ωe rf vf vb ib rs l bb if l aa l ff rs ia va ic vc l cc rs Rotor Estator Figura 2.2 Devanados del estator y del rotor del MS. Los enlaces de flujo de los devanados de armadura y de campo están dados por las siguientes ecuaciones [Fitzgerald, 1996]: λa = laaia + labib + lacic + laf i f , λb = lbaia + lbbib + lbcic + lbf i f , λc = lcaia + lcbib + lccic + lcf i f , (2.2) λ f = l faia + l fbib + l fcic + l ff i f . Donde λa, λb, λc y λf son los enlaces de flujo correspondientes a cada uno de los devanados y l son inductancias que pueden ser dependientes del ángulo θe entre los ejes magnéticos de la fase a y del rotor. Si los subíndices de las inductancias son iguales indican que son inductancias propias y si son diferentes indican que es una inductancia mutua entre los dos devanados indicados por los subíndices. Así, la inductancia mutua lij es la inductancia del devanado de la fase i, debida a la corriente ij del devanado de la fase j. 10 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Las inductancias propias de los devanados de armadura y campo, constan de dos componentes, una llamada de dispersión, debida precisamente al flujo disperso en el propio devanado y la otra llamada de magnetización, debida a la componente del flujo de magnetización causada por ese devanado. Así para el devanado del rotor tenemos que su inductancia propia se descompone de la siguiente manera: l ff = L ff = L ffl + L ff 0 . (2.3) En (2.3) Lffl es la componente de dispersión y Lff0 es la componente de magnetización. Dichas componentes son independientes del tiempo. El empleo de la letra L indica que la inductancia es independiente de θe. En el estator debido a la construcción simétrica de sus devanados las inductancias propias son de igual valor y están dadas por: laa = lbb = lcc = Laa = Laal + Laa 0 . (2.4) En cuanto a las inductancias mutuas, estas se encuentran en función del coseno del ángulo entre los ejes magnéticos de los devanados involucrados. Por tanto las inductancias mutuas entre los devanados del estator son de valor constante, ya que el ángulo entre los ejes magnéticos de dos devanados cualesquiera del estator es fijo e igual a 2π/3 radianes eléctricos. Por la simetría de construcción del estator del MS, las inductancias mutuas entre los devanados del estator son iguales a: 1  2  lab = lbc = lac = lba = lcb = lca = Laa 0 cos  ± π  = − Laa 0 . 2  3  (2.5) Las inductancias mutuas entre un devanado del estator y el devanado del rotor son variantes. Estas dependen del coseno del ángulo entre los ejes magnéticos del rotor y del devanado correspondiente. Las ecuaciones de estas inductancias se expresan en función del ángulo θe. Para las fases b y c se resta 2π/3 y 4π/3 al ángulo θe respectivamente. laf = l fa = Laf cos θ e ,  2  lbf = l fb = Laf cos  θ e - π  ,  3   4  lcf = l fc = Laf cos  θ e - π  .  3  11 (2.6) Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono Ahora los enlaces de flujo para el devanado de la fase a del estator, sustituyendo en (2.2) las expresiones halladas para las distintas inductancias, se pueden expresar como:  1  λa = ( Laal + Laa 0 )ia +  − Laa 0  (ib + ic ) + Laf (cosθ e )i f .  2  (2.7) Si el devanado del estator se alimenta con un voltaje trifásico balanceado como el que se muestra en la figura 2.3, se cumple con va + vb + vc = 0, es decir, la suma de los voltajes en cualquier instante de tiempo será igual a cero. Vm va vb vc 0 -Vm Tiempo Figura 2.3 Sistema de voltajes trifásicos balanceados Este sistema de voltajes está dado por las siguientes ecuaciones: va = Vm cos(ωet ), 2   vb = Vm cos  ωet − π  , 3   4   vc = Vm cos  ωet − π  , 3   (2.8) donde Vm es la amplitud máxima de estos voltajes. Los devanados del estator del MS se pueden considerar una carga trifásica balanceada. Por tanto, si estos voltajes (2.8) se aplican a los devanados las corrientes que circulen por dichos devanados cumplirán con: ia + ib + ic = 0. 12 (2.9) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Estas corrientes en estado estacionario tendrán la forma siguiente: ia = I m cos(ωet − ϕ ), 2   ib = I m cos  ωet − ϕ − π  , 3   4   ic = I m cos  ωet − ϕ − π  , 3   (2.10) donde Im es la amplitud máxima de las corrientes y ϕ es el ángulo cuyo coseno es el factor de potencia al cual opera el motor. A partir de la ecuación (2.9), podemos decir que ia = −(ib + ic ). Sustituyendo esta última igualdad en la expresión dada para los enlaces de flujo de la fase a (2.7), 3  λa =  Laa 0 + Laal  ia + Laf (cosθ e )i f . 2  (2.11) De manera similar se pueden llegar a las siguientes expresiones para los enlaces de flujo de las fases b y c: 2  3   λb =  Laa 0 + Laal  ib + Laf cos  θ e − π  i f , 3  2   2  3   λc =  Laa 0 + Laal  ic + Laf cos  θ e − π  i f . 3  2   (2.12) El voltaje v aplicado a cualquier devanado, es igual a la caída en la resistencia más la variación en el tiempo de los enlaces de flujo, v = ri + dλ . dt (2.13) Por tanto el voltaje en la fase a es igual a: va = rsia + d λa d 3  di = rsia +  Laao + Laal  a + Laf i f cos (ωet + θ e 0 )  . dt dt 2  dt 13 (2.14) Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono En esta última ecuación se sustituyó θe por ωet+θe0, ya que la velocidad en estado estacionario es constante e igual a ωe, y θe0 es el desplazamiento inicial del rotor. Se considera que la corriente de campo if es constante. Evaluando la derivada de la derecha: va = rsia + d λa 3  di = rsia +  Laao + Laal  a − Laf i f ωe sin (ωet + θ e 0 ) . dt 2  dt (2.15) De aquí podemos ver que el voltaje en el devanado de la fase a se compone de tres partes: La primera es la caída de voltaje en la resistencia. La segunda es el voltaje en la inductancia efectiva de la fase a en condiciones trifásicas balanceadas, tal inductancia se define como inductancia síncrona [Sen, 1989], la cual está dada por: Ls = 3 Laa 0 + Laal . 2 (2.16) Y la última es un voltaje generado por el movimiento del rotor, y cuyo valor máximo está en función de la velocidad angular ωe del rotor y del valor de la corriente de campo if. A este voltaje lo podemos llamar eag, el cual es igual a: π  eag = − Laf i f ωe sin (ωet + θ e 0 ) = Laf i f ωe cos  ωet + θ e 0 +  . 2  (2.17) Así el circuito equivalente para la fase a se presenta en la figura 2.4. ia Ls Ra + + va _ eag _ Figura 2.4 Circuito equivalente de la fase a. Circuitos similares se obtienen para las fases b y c, considerando los defasamientos del voltaje aplicado, la corriente por el devanado y el voltaje generado de -2π/3 y 2π/3, respectivamente. Por lo que se acostumbra analizar una sola fase, ya que los resultados pueden ser fácilmente extrapolados a las otras dos fases. El circuito de la figura 2.4 comúnmente se le llama circuito equivalente monofásico del MS. 14 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono 2.3 Operación del motor síncrono en estado estacionario Cuando se tiene un circuito eléctrico lineal operando en estado permanente donde sus fuentes de voltaje o corriente son de una frecuencia única, toda corriente o voltaje en el circuito se puede determinar completamente por su amplitud máxima y su ángulo de fase [Fitzgerald, 1996]. El concepto de fasor nos ayuda a representar una función senoidal por medio de un número complejo en forma polar. Así por ejemplo los voltajes descritos por (2.8) podríamos describirlos por los siguientes números complejos: Vâ = Vm∠0, 2 Vˆb = Vm ∠ − π , 3 4 Vˆc = Vm ∠ − π . 3 (2.18) Las letras mayúsculas y el símbolo ^ indican que las variables son fasores. Sabiendo con anterioridad que la frecuencia de todos estos voltajes es ωe, (2.18) nos da la misma información acerca de los voltajes que su expresión en el tiempo (2.8). A la representación dada en (2.8) se le llama representación en el dominio del tiempo, y los llamados fasores (2.18) se les llama representación en el dominio de la frecuencia. Además de simplificar la representación de señales senoidales, esta representación fasorial simplifica en gran medida el análisis de estos circuitos. Para realizar la transformación a fasores de las corrientes y enlaces de flujo se sigue un procedimiento similar al de los voltajes. También existe una transformación para los elementos pasivos resistencia R, inductor L y capacitor C. Las resistencias pasan igual al hacer la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa. Un inductor L al pasar al dominio de la frecuencia como XL=ωL, lo que se conoce como reactancia inductiva. Un capacitor C al pasa al dominio de la frecuencia como XC=-1/ωC, que es la reactancia capacitiva. Ambas reactancias, inductiva y capacitiva, cumplen con Vˆ = XIˆ , donde Vˆ e Iˆ son el voltaje y la corriente en el elemento, ambos en el dominio de la frecuencia. Para obtener una representación gráfica de los voltajes y corrientes en un circuito se emplean los diagramas fasoriales. Un diagrama fasorial es una gráfica en el plano complejo de los voltajes y las corrientes. El diagrama fasorial de los voltajes (2.8) y corrientes (2.10) trifásicos balanceados del motor se muestra en la figura 2.5, se observa que el valor máximo de los 3 voltajes es igual y que el defasamiento entre uno de los voltajes con los otros dos es de 2π/3. Estas dos condiciones anteriores se cumplen también para las corrientes. 15 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono ^ Vc ^ Ib ^ Ic 2 π 3 ωe 2 π 3 2 π 3 ^ Va ϕ ^ Ia ^ Vb Figura 2.5. Diagrama fasorial de los voltajes y corrientes trifásicos balanceados. En la figura 2.6 se muestra el circuito equivalente monofásico del MS en el dominio de la frecuencia, este circuito se emplea para estudiar el comportamiento en estado estacionario del MS. ^ Ia Ra jXs + + ^ _ Eag ^ Va _ Figura 2.6 Circuito equivalente monofásico del MS en el dominio de la frecuencia Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff al circuito anterior obtenemos la siguiente ecuación: Vâ = Ra Iâ + jX s Iâ + Eˆ ag , (2.19) donde Xs es la reactancia síncrona, la cual es igual a ωeLs. El diagrama fasorial correspondiente a esta ecuación se presenta en la figura 2.7. ^ Ia ^ Va ϕ δ ^ jXsI a ^ ^ E ag Ra I a Figura 2.7 Diagrama fasorial del motor síncrono. 16 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El ángulo δ entre los fasores Vâ y Eˆ ag se llama ángulo de potencia debido a que está relacionado con la potencia (y el par) que desarrolla el MS. 2.3.1 Análisis de potencia en el motor síncrono La principal función del MS es la conversión de potencia eléctrica en potencia mecánica. En este proceso se presentan distintos fenómenos de pérdida de potencia. La potencia eléctrica de entrada es principalmente la potencia en el devanado trifásico de armadura, ya que la potencia del devanado de campo es prácticamente despreciable por ser muy pequeña comparada con la potencia en el devanado de armadura. En la figura 2.8 se muestra el diagrama de flujo de potencia del MS. Potencia electromagnética Potencia de entrada Pérdidas en la resistencia Potencia de salida Pérdidas Pérdidas en mecánicas el núcleo Figura 2.8. Diagrama de flujo de potencia. Las denominadas “Pérdidas en la resistencia” son las que se presentan en las resistencias de los devanados de armadura en forma de calor, y están dadas por: 2 PR = 3 I a Ra . (2.20) Las “Pérdidas en el núcleo” que son las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas que ocurren en el metal del motor. Al restar las pérdidas en la resistencia y las pérdidas en el núcleo a la potencia de entrada queda lo que se denomina “Potencia electromagnética” o también llamada potencia de conversión, y es precisamente la potencia que se transforma de eléctrica a mecánica. Finalmente las “Pérdidas mecánicas” están relacionadas con las fricciones entre las partes móviles del motor y las fricciones con el aire. La potencia de salida es el resultado de restar el conjunto de todas las pérdidas a la potencia de entrada. 17 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono Una vez definidas las distintas potencias en el motor, centremos nuestro interés en determinar la potencia electromagnética, ya que esta es la que se convierte de eléctrica a mecánica. Para esto nos auxiliaremos del circuito equivalente monofásico. La potencia electromagnética se presenta en la “fuente” de voltaje generado, ya que como se definió es la potencia de entrada menos las pérdidas en la resistencia y las pérdidas en el núcleo, estas últimas se consideran cero. Se agrega una representación de la parte mecánica al circuito equivalente, como se muestra en la figura 2.9, con el objeto de representar la transformación de potencia eléctrica a mecánica en este elemento. ^ Ia Ra jXs + + Pem Eag τ em _ ^ ^ Va _ Ca me r g a c án ica Figura 2.9 Representación de la parte eléctrica y mecánica del MS La potencia aparente en la fuente de voltaje generado es: Sêm = Eˆ ag Iâ*. (2.21) El * indica que es el conjugado de la corriente. La corriente que circula por este circuito se encuentra a partir de (2.19), Vˆ − Eˆ ag V ∠ − φz Eag ∠ − (δ + φz ) Iâ = a = a − , Ra + jX s Z Z (2.22) X  donde Z = Ra 2 + X s 2 y φz = arctan  s  son la magnitud y la fase de la impedancia del  Ra  MS, respectivamente. 18 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Sustituyendo la expresión encontrada para la corriente (2.22) en la ecuación de la potencia electromagnética aparente (2.21), Sêm = Eˆ Iˆ = * ag a 2 Eag Va ∠(φz − δ ) − Z Eag ∠φz Z . (2.23) Ya que Sem = Pem + jQem , de (2.23) podemos encontrar que la potencia electromagnética real y reactiva están dadas por: Pem = Qem = Eag Va Z Eag Va Z cos(φz − δ ) − sin(φz − δ ) − Eag 2 cos φz , Z Eag Z (2.24) 2 sin φz . Una simplificación que se hace comúnmente, ya que la resistencia de los devanados de armadura del MS es muy pequeña comparada con la reactancia síncrona, es considerar la resistencia Ra igual a cero [Sen, 1989]. Tomando en cuenta esto Z = X s y φZ = π / 2 . Así, una expresión aproximada para la potencia electromagnética real es: Pem = Eag Va Xs sin δ . (2.25) Es importante conocer el valor máximo de Pem que el MS puede desarrollar para determinar la región estable de operación. El valor máximo de esta potencia se alcanza cuando el ángulo δ es igual a π/2 para el caso particular de Ra = 0 . Para el caso donde se considera Ra ≠ 0 el valor del ángulo de potencia se encontró calculando el máximo de Pem (2.24) el cual resulto ser δ = φz , este valor no se encontró en las referencias consultadas y por tanto se considera una aportación de la tesis. Cabe señalar que esta potencia fue calculada en base a un circuito monofásico, para obtener la potencia total de un MS trifásico balanceado hay que multiplicar la potencia dada en (2.25) por 3, Pem,3φ = 3 Eag Va Xs 19 sin δ . (2.26) Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono El ángulo δ varía de acuerdo a la potencia demandada por la carga mecánica al motor. En la figura 2.10 se observa como varía la potencia de acuerdo al ángulo δ. A esta gráfica se le llama curva de potencia. En esta curva se tienen dos secciones claramente definidas. En el primer cuadrante tenemos la operación de la máquina síncrona como generador. En el tercer cuadrante tenemos la máquina síncrona operando como motor. Nuestro interés se centra en la operación como motor. En la operación como motor el ángulo de potencia siempre es negativo, es decir, el voltaje generado está retrasado respecto al voltaje en terminales. Pem Generador −π −π/2 π/2 π δ Motor Figura 2.10 Curva de potencia del MS. La potencia electromagnética por ser la potencia que se convierte de eléctrica a mecánica, es también igual a: Pem ,3φ = ωmτ em , (2.27) τem es el par producido por el motor. Este par se puede expresar en también como: τ em = 3 Eag Va ωm X s sin δ . (2.28) 2.3.2 Modificación del factor de potencia en el MS con devanado de campo El factor de potencia del MS con devanado de campo se puede variar fácilmente con tan sólo modificar la corriente del devanado del rotor [Chapman, 1995]. Esta es una característica importante, ya que se puede emplear el motor para corregir el factor de potencia. La magnitud del voltaje generado por el MS es proporcional a la corriente de campo (2.17). Por tanto al variar la corriente de campo, varía a su vez la magnitud del voltaje generado. 20 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para mostrar como la corriente de campo afecta al factor de potencia, se suponen las siguientes condiciones: • • • La carga acoplada al motor es constante, La velocidad del motor en estado estacionario es constante, Únicamente se varía la corriente del devanado de campo If. Si la resistencia de armadura es considerada igual a cero, la potencia electromagnética es igual a la potencia de entrada, la cual es igual a: Pin = 3 Va I a cos ϕ . (2.29) De aquí se puede ver que dado que la amplitud máxima del voltaje de alimentación es constante en estado estacionario, para que la potencia sea constante |Ia|cosϕ debe ser constante. A su vez de (2.26) vemos que si la potencia electromagnética es constante, como la amplitud máxima del voltaje de alimentación es constante y la reactancia síncrona es constante, el término |Eag|sinδ debe ser constante. Para ver como cambia el factor de potencia en el MS, observemos la figura 2.11. Se considera que en un inicio el motor está operando con factor de potencia en retraso, y la corriente del devanado del estator es Iâ1 . Si se incrementa la corriente en el devanado de campo se incrementará la magnitud del voltaje generado, pero sólo su componente horizontal, ya que su componente vertical es constante e igual a |Eag|sinδ. Conforme se incrementa el voltaje generado la corriente de armadura comienza a decrecer hasta alcanzar un valor mínimo Iâ 2 , y posteriormente empieza a aumentar. El factor de potencia que en un principio estaba en retraso (cos ϕ1) empieza a aumentar hasta llegar a la unidad (cos ϕ2 = cos 0 = 1) y posteriormente el factor de potencia es en adelanto (cos ϕ3). | I a |c o sϕ = c te . Iâ3 ϕ3 ϕ1 ^ ^ Va Ia2 | E a g | s in δ = c te . ^ Ia1 ^ ^ ^ E ag1 E ag2 E ag3 Figura 2.11 Efecto del incremento en la corriente de campo. 21 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono La gráfica del voltaje generado (o la corriente de campo) contra la corriente de armadura para 3 diferentes potencias, se presenta en la figura 2.12. A tal gráfica se le conoce como curvas V, debido a su forma. Ia F.P. en atraso F.P. en adelanto Eag Figura 2.12 Curvas V de un motor síncrono. La curva inferior corresponde a la menor potencia y la superior a la mayor. A la izquierda del valor mínimo de corriente para cada gráfica se encuentra la zona donde el MS está operando en atraso. Para el valor mínimo de corriente el motor está operando con factor de potencia unitario. Y a la derecha del valor mínimo de corriente el motor opera en adelanto. Cuando la corriente de campo es tal que el motor se encuentra operando en atraso se dice que está subexcitado y si el valor de corriente es tan grande que el factor de potencia es en adelanto, el motor se encuentra sobreexcitado. 2.4 Simulaciones Para ejemplificar el comportamiento del MS en estado estacionario se realizaron dos programas en Matlab®. Estos programas son amigables con el usuario ya que su interfaz gráfica permite cambiar en la pantalla los valores de los datos en forma sencilla por medio de un cuadro de texto y repetir la simulación con sólo hacer un click en un botón. Para estas simulaciones se consideró un MS trifásico con los siguientes valores nominales: Voltaje entre líneas aplicado al motor Frecuencia del voltaje aplicado Potencia Número de polos Reactancia síncrona Xs Resistencia de armadura Ra Factor de potencia Pérdidas mecánicas 2300 V 60 Hz 2000 h.p. 30 1.95 Ω 0Ω 1.0 0 h.p. 22 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El primer programa genera las curvas V de un MS. Los datos que se proporcionan al programa son el voltaje entre líneas que se aplica al MS y la potencia a la cual opera el motor, además de la reactancia síncrona y la resistencia del devanado de armadura del motor. El programa realiza una gráfica del voltaje generado vs. la corriente del estator. El programa despliega tres curvas correspondientes a tres diferentes potencias de salida 50% de la potencia nominal, la potencia nominal y 150% de la potencia nominal. En la figura 2.13 se muestran las gráficas obtenidas al realizar esta simulación. Figura 2.13 Interfaz gráfica del programa que genera curvas V de un MS. El segundo programa calcula datos de importancia en la operación en estado estacionario del MS como son [Fitzgerald, 1996]: • • • • • • la velocidad del motor, la corriente de armadura, voltaje generado, ángulo de potencia δ, potencia máxima de salida, y el máximo par que teóricamente puede proporcionar el motor. Para esto es necesario proporcionar al programa datos del motor como son: voltaje de alimentación, factor de potencia al cual opera, frecuencia de la alimentación, potencia demandada a la salida, resistencia del devanado del estator Ra, reactancia síncrona Xs, el número de polos y las pérdidas mecánicas del motor. El programa presenta dos gráficas, una de la curva V del motor a la potencia de operación y la curva de potencia. En ambas gráficas se señala, por medio de un asterisco (*), el punto de operación del MS. En la figura 2.14 se muestran los resultados que arroja este programa. 23 Capítulo 2. Análisis en estado estacionario del motor síncrono Figura 2.14 Interfaz del programa para la operación en edo. estacionario del MS. Un detalle que hay que observar es que para resistencias de armadura elevada, bajo factor de potencia, grandes pérdidas mecánicas, etc., o una combinación de factores pueden hacer que la potencia demandada a la salida sea mayor que la potencia máxima de salida. Para ejemplificar esto se modificaron los siguientes datos en el programa: la resistencia se elevó de 0 a 1 Ω, el factor de potencia se cambio a 0.8 en adelanto y las pérdidas mecánicas se fijaron a 50 h.p. El programa calcula la potencia máxima de salida y la compara con la potencia demandada, y manda un mensaje de advertencia en caso de que la primera sea menor que la segunda, como se muestra en la figura 2.15. Figura 2.15 Potencia máxima de salida del MS excedida. 24 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para ambos programas se considera una conexión en estrella de los devanados de armadura del MS. Esto no presenta muchas limitantes, ya que la mayoría de los motores cuentan con este tipo de conexión, la conexión en delta prácticamente no se utiliza en motores síncronos. Si la potencia demandada al motor por la carga mecánica es mayor que potencia máxima que puede desarrollar el motor, como se ejemplifica, el motor entra a la región inestable y se da la pérdida de sincronismo, esto ocasiona que las corrientes en los devanados del estator se eleven, provocando un sobrecalentamiento en los devanados pudiendo llegar a dañar al motor. 25 26 Capítulo 3 MODELADO DEL MOTOR SÍNCRONO Existen diferentes técnicas para la obtención de modelos matemáticos de sistemas físicos; una de ellas consiste en aplicar las leyes de fuerzas correspondientes a la naturaleza del sistema, es decir, la segunda ley de Newton para sistemas mecánicos, leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos, etc. Sin embargo este método tradicional no es tan sencillo de aplicar a sistemas que contienen dinámicas de naturaleza energética diferente, por ejemplo sistemas electromecánicos, ya que hay que determinar la interacción entre las distintas dinámicas. En estos casos se utiliza otra técnica de modelado que consiste en la aplicación de técnicas variacionales, entre las cuales se encuentra el modelado por medio de la ecuación de Euler–Lagrange (E-L). En este capítulo se presentan los modelos obtenidos para el motor síncrono (MS) con devanado de campo y el MS de imanes permanentes. Para ambos motores se obtuvo el modelo por medio del análisis tradicional de circuitos eléctricos y por medio de la ecuación E-L. Además se presentan las simulaciones de la operación de cada motor en lazo abierto. A los modelos trifásicos obtenidos se transforman al marco de referencia (MR) fijo al rotor. En este capítulo también se obtiene el modelo de la carga mecánica empleando la ecuación de E-L. 27 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono 3.1 Modelado tradicional del motor síncrono En las siguientes subsecciones se presentan los modelos matemáticos del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo utilizando el método tradicional de modelado. Para encontrar las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de los motores se usan la segunda ley de Kirchhoff para la parte eléctrica y la segunda ley de Newton para la parte mecánica. 3.1.1 Modelo trifásico del motor síncrono de imanes permanentes Para la obtención de este modelo se considera un MS trifásico de imanes permanentes, de dos polos, conectado en estrella [Lyshevski, 2000]. En la figura 3.1-b se muestran los circuitos involucrados en el análisis del motor. Los devanados del estator se consideran idénticos, distribuidos en forma sinusoidal y desplazados entre si 2π/3 radianes eléctricos. Cada devanado tiene una resistencia eléctrica rs y las inductancias propias de las fases a, b y c, son laa, lbb y lcc, respectivamente. El motor se alimenta por un sistema trifásico de voltajes balanceado, va, vb y vc, los cuales hacen circular por los devanados del estator un conjunto trifásico de corrientes, ia, ib e ic. τL Eje de la fase b ωe ,τem rs Bm a c' S l bb Eje q ωe b' θe=ωet+θe0 Eje de la fase a b N l aa rs ia va ic vc lcc c a' Eje de la fase c vb ib Carga rs Eje d a) b) Figura 3.1 MS de imanes permanentes: a) diagrama esquemático, y b) diagrama eléctrico de los circuitos del estator. Usando el método tradicional de análisis de circuitos eléctricos, las ecuaciones del subsistema eléctrico se pueden encontrar a partir de los circuitos magnéticamente acoplados que se muestran en la figura 3.1-b. 28 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Usando la segunda ley de Kirchhoff para los devanados del estator, resultan las siguientes ecuaciones diferenciales: d λa , dt dλ vb = rs ib + b , dt dλ vc = rs ic + c . dt va = rs ia + (3.1) Estas últimas ecuaciones se pueden expresar en forma matricial como: V = Re I + d Λ, dt (3.2) donde Re = diag [ rs , rs , rs ] , V = [ va I = [ia Λ = [ λa vb vc ] , T ic ] , (3.3) T ib λb λc ] . T Considerando circuitos magnéticos lineales los enlaces de flujo de los devanados del estator λa, λb y λc están dados por,  λa  ia   λ  = L ⋅ i  + Λ , ss  b  m  b  λc   ic  (3.4) donde Lss es la matriz de inductancias del estator, tiene dimensiones 3 x 3 (sus elementos se determinan en el Apéndice A), y Λm son los flujo debidos a los imanes permanentes, este es un vector columna de 3 elementos. Los enlaces de flujo del estator pueden ser arreglados en forma matricial. Λ = Lss I + Λ m , 29 (3.5) Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Para obtener el modelo del subsistema eléctrico del motor se sustituye (3.5) en (3.2), y se despeja el vector de derivadas de las corrientes con respecto al tiempo; acomodando términos se obtiene: dI dL d Λm = − Lss −1Re I − Lss −1 ss I − Lss −1 + Lss −1V . dt dt dt (3.6) El estado del subsistema eléctrico está formado por las corrientes de estator ia, ib e ic. En el subsistema mecánico el par electromagnético generado internamente por el motor equilibra los pares de oposición como son el par de fricción, el par inercial y el par de la carga. Usando la segunda ley de Newton obtenemos las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento mecánico del motor, τ em = Bωm + J d ωm +τ L, dt dθ m = ωm , dt (3.7) donde: • • • • τem es el par electromagnético generado por el motor, τL es el par de la carga, B es el coeficiente de fricción viscosa del motor, J es la inercia rotacional del rotor. En el subsistema mecánico el estado está formado por la velocidad ωm y la posición θm mecánica del motor. Las ecuaciones diferenciales (3.6) y (3.7) describen matemáticamente el comportamiento de las partes eléctrica y mecánica del MS de imanes permanentes. 3.1.2 Modelo trifásico del motor síncrono con devanado de campo Los devanados del estator del MS con devanado de campo están desplazados 2π/3 radianes eléctricos, son idénticos y están sinusoidalmente distribuidos. En la figura 3.2 se muestran los circuitos involucrados en el análisis del MS [Kundur, 1994]. Los circuitos del estator consisten de un devanado trifásico que se alimenta con corriente alterna (CA). El circuito del rotor consta de un devanado de campo y además se consideran los devanados de amortiguamiento cuyo propósito es permitir el arranque del motor. El devanado de campo 30 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono se conecta a una fuente de corriente directa (CD). Para propósitos de análisis se asume que las corrientes en los devanados de amortiguamiento fluyen en dos circuitos cerrados: uno cuyo flujo está en línea con el que produce el devanado de campo, a lo largo del eje d; y otro cuyo flujo está en ángulo recto con el producido por el devanado de campo, a lo largo del eje q. Los ejes d y q están fijos al rotor. ωe Eje q iqr l bb θe idr l aa Eje de la fase a vf vb ib rs rs ia va ic vc l cc Eje d rs Rotor Estator Figura 3.2 Circuitos del rotor y estator del MS con devanado de campo. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a los circuitos magnéticamente acoplados que se muestran en la figura 3.2 resultan las siguientes ecuaciones diferenciales que modelan la parte eléctrica del motor: Estator Rotor d λa dt dλ vb = rs ib + b dt dλ vc = rs ic + c dt va = rs ia + v f = rf i f + 0 = rdr idr + 0 = rqr iqr + dλf dt d λdr dt d λqr (3.8) dt los subíndices: • • • a, b y c denotan a las variables y parámetros de los devanados del estator a, b y c, respectivamente , f denota a las variables y parámetros del devanado de campo del rotor, y dr y qr denotan a las variables y parámetros de los devanados de amortiguamiento d y q, respectivamente. Los voltajes aplicados a los devanados de amortiguamientos son cero, ya que estos se encuentran cortocircuitados, como se muestra en la figura 3.2. 31 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono En forma matricial las ecuaciones (3.8) se expresan como: V = Re I + d Λ, dt (3.9) donde Re = diag  rs , rs , rs , rf , rdr , rqr  , I = va I = ia Λ = λa vb ib vc ic T 0 0  , vf if idr λb λc λ f (3.10) T iqr  , λdr T λqr  . Los enlaces de flujo de los devanados del estator λa, λb y λc, y los enlaces de flujo de los devanados del rotor λf, λdr y λqr, están dados por:  λa  λ   b  λc   Lss  = T  λ f   Lsr λdr    λqr   ia  i   b Lsr   ic   , Lrr   i f  idr    iqr  (3.11) donde adicionalmente a la matriz de inductancias del estator Lss se tiene la matriz de inductancias mutuas estator – rotor, Lsr y la matriz de inductancias del rotor, Lrr. Todas estas matrices tienen dimensión 3 x 3 (la determinación de los elementos de estas matrices se presenta en el Apéndice A). Arreglando los enlaces de flujo (3.11) en forma matricial: Λ = LI , L donde, L =  Tss  Lsr (3.12) Lsr  . Lrr  Sustituyendo (3.12) en (3.9) y despejando el vector de derivadas de las corrientes con respecto al tiempo, se obtiene la representación en espacio de estado del subsistema eléctrico: dI dL I + L−1V . = − L−1Re I − L−1 dt dt 32 (3.13) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El estado del subsistema eléctrico está formado por las corrientes de estator, la corriente de campo y las corrientes de los devanados de amortiguamiento. El subsistema mecánico de este motor está dado, al igual que en el MS de imanes permanentes, por la ecuación τ em = Bωm + J d ωm +τL, dt dθ m = ωm . dt (3.14) En esta sección 3.1 se han desarrollado los modelos del MS de imanes permanentes (sección 3.1.1) y del MS con devanado de campo (sección 3.1.2) empleando para esto la segunda ley de Kirchhoff para el subsistema eléctrico y la segunda ley de Newton para el subsistema mecánico. Otra forma de obtener estos modelos es mediante la ecuación de E-L, en las siguientes subsecciones se obtienen modelos similares de estos mismos motores empleando esta última técnica. 3.2 Modelado del motor síncrono basado en la formulación de Euler – Lagrange Para el modelado de sistemas electromecánicos, como alternativa al modelo tradicional que utiliza las leyes de fuerzas ya sea mecánicas, eléctricas, etc., se emplea la ecuación de E-L del movimiento. Esta técnica de modelado tiene sus raíces en la mecánica clásica [Goldstein, 1980]. La ecuación de E-L es: d  ∂L ( q, q )  ∂L ( q, q ) = Q,  − dt  ∂q  ∂q (3.15) donde L = T*−V es el Lagrangiano del sistema, T* es la coenergía cinética total del sistema, V es la energía potencial total del sistema, q ∈ Rn son las coordenadas generalizadas, q ∈ Rn son las velocidades generalizadas, y Q ∈ Rn son las fuerzas externas que pueden ser de tres tipos: las acciones de control, la disipación y las interacciones del sistema con el medio ambiente, y n es el número de coordenadas independientes del sistema. El primer término del lado izquierdo de la ecuación de E-L (3.15) son las fuerzas inerciales debidas a la energía cinética, el segundo son las fuerzas conservativas debidas a la energía potencial, y el término de la derecha son las fuerzas externas generalizadas. 33 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Se supone que las acciones de control entran linealmente al sistema en la forma Mu ∈ Rn, donde M ∈ Rnxm es una matriz constante y u ∈ Rm es el vector de control. Las fuerzas disipativas son de la forma ∂F ( q ) , donde F es la función de disipación de ∂q Rayleigh. En el caso del MS para el subsistema mecánico se elige el desplazamiento angular qm ∈ R como coordenada generalizada, y para el subsistema eléctrico en este trabajo se eligen como coordenadas generalizadas a las cargas eléctricas en los devanados qe ∈ Rne, donde ne es el número de coordenadas independientes del subsistema eléctrico, es decir, el número de devanados del motor. Las velocidades generalizadas del MS son la velocidad angular ωm ∈ R para el subsistema mecánico, y las corrientes en los devanados qe ∈ Rne para el subsistema eléctrico. Para los elementos pasivos de circuitos eléctricos inductor L, capacitor C y resistencia R, tenemos ( ' denota las variables auxiliares de integración) [Wellstead, 1978], qe qe 0 0 T * = ∫ λ dqe ' = ∫ Lqe ' dqe ' = 1 2 Lqe , 2 qe ' 1 2 dqe ' = qe , 0 0 C 2C qe qe 1 F = ∫ vdqe ' = ∫ Rqe ' dqe ' = Rqe2 , 0 0 2 qe V = ∫ vdqe ' = ∫ qe (3.16) donde qe es la corriente en el elemento, λ = Lqe son los enlaces de flujo en el inductor L, qe es la carga en el capacitor C, y v es el voltaje en el elemento; para el capacitor v = qe / C y para la resistencia v = Rqe . Análogamente para los elementos de sistemas mecánicos giratorios masa rotacional con inercia rotacional J, resorte rotacional con constante k y disipador rotacional con coeficiente de fricción B, tenemos, ωm ωm 0 0 T * = ∫ hd ωm ' = ∫ J ωm ' d ωm ' = 1 J ωm 2 , 2 1 2 kqm , 2 ωm ωm 1 F = ∫ τ d ωm ' = ∫ Bωm ' d ωm ' = Bωm2 , 0 0 2 qm qm 0 0 V = ∫ τ dqm ' = ∫ kqm ' dqm ' = (3.17) donde ωm es la velocidad angular, h = J ωm es el momento angular, qm es la posición angular, y τ es el par; para el resorte rotacional τ = kqm y para el disipador τ = Bωm . 34 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Tomando en cuenta que las fuerzas externas se forman sólo por las acciones de control y las fuerzas disipativas, la ecuación de E-L queda: d  ∂L ( q, q )  ∂L ( q, q ) ∂F ( q ) + = Mu.  − ∂q ∂q dt  ∂q  (3.18) 3.2.1 Motor síncrono de imanes permanentes En esta sección se obtiene el modelo del MS de imanes permanentes (figura 3.1) por medio de la ecuación de E-L. Las coordenadas generalizadas que se eligen son las cargas en los devanados del estator T qe = [ q1 q2 q3 ] y el desplazamiento angular qm = θ m . Las velocidades generalizadas son las corrientes del estator qe = [ q1 q 2 q3 ] = [ia T ib ic ] y la velocidad angular qm = ωm . T Los enlaces de flujo del MS de imanes permanentes Λ = [ λa λb λc ] se expresan como: T Λ = De (qm )qe + µ (qm ), (3.19) esta expresión es similar a (3.5), sin embargo en el modelado basado en la ecuación de E-L para máquinas eléctricas se emplea otra simbología; el vector de corrientes se representa por qe , la matriz de inductancias se representa por De(qm), y el vector de flujos magnéticos debidos a los imanes permanentes se representa por µ(qm). Tomando en cuenta que θ e = n pθ m = n p qm tenemos:  L L 1  1     − m − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2  n p qm + π    Lls + Lm − L∆m cos ( 2n p qm ) 2 3 2 3        L  L 1  2    De ( qm ) = Lss =  − m − L∆m cos 2  n p qm − π  Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2 ( n p qm + π )  , 2 3 3 2        Lm Lm 2  1    Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm + π   − L∆m cos 2  n p qm + π  − − L∆m cos 2 ( n p qm + π ) − 3   3  2    2 (3.20) En el Apéndice A se presenta el desarrollo para determinar los elementos de Lss. 35 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Por otro lado, los flujo µ(qm) se deben a los imanes permanentes, tienen una magnitud λm y se encuentran defasados 2π/3 radianes eléctricos, y están dados por: T  2  2    µ ( qm ) = λm sin ( n p qm ) sin  n p qm − π  sin  n p qm + π   . 3  3     (3.21) Una vez determinados los elementos de De(qm) y µ(qm) se determinan las funciones de energía del motor. La coenergía cinética de la parte eléctrica debida a los campos magnéticos (con ' denotando las variables auxiliares de integración) se calcula como: Te* = ne = 3 ∑∫ i =1 qi 0 1 λi (qi ')dqi ' = qeT De ( qm )qe + µ T (qm ) qe , 2 (3.22) donde ne es el número de coordenadas independientes del subsistema eléctrico. La coenergía cinética del subsistema mecánico es qm Tm* = ∫ Jqm ' dqm ' = 0 1 2 Jqm , 2 (3.23) donde J >0 es la inercia rotacional del rotor. La suma de las coenergías cinéticas de la parte eléctrica y mecánica nos da la coenergía cinética total del motor, T* = 1 T 1 qe De (qm )qe + µ T (qm )qe + Jqm2 . 2 2 (3.24) La coenergía de la parte mecánica generalmente no depende de las coordenadas eléctricas, pero la coenergía del subsistema eléctrico si depende de las coordenadas mecánicas. Considerando que no existen efectos capacitivos en los devanados del motor, que la flecha es rígida y ya que sólo se tienen imanes permanentes en el rotor, la energía potencial total del motor V es igual a cero. El Lagrangiano L del MS de imanes permanentes es: 1 1 L = T * − V = qeT De (qm )qe + µ T (qm )qe + Jqm2 2 2 36 (3.25) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Asumiendo que los efectos disipativos son lineales y que se deben a las resistencias de los devanados del estator y a la fricción mecánica, el coeficiente de fricción es B ≥ 0. La función total de disipación de Rayleigh del motor está dada por F= 1 T 1 qe Re qe + Bqm2 , 2 2 (3.26) donde la matriz de resistencias es Re = diag[rs , rs , rs ] . El primer término de la derecha de (3.26) se debe a la disipación en la parte eléctrica y el segundo a la disipación en la parte mecánica. Las fuerzas externas aplicadas al sistema son los voltajes aplicados a los devanados del estator y el par de la carga. Las ecuaciones de E-L para las partes eléctrica y mecánica del motor son: d  ∂L  ∂L ∂F + = M eu,  − dt  ∂qe  ∂qe ∂qe (3.27) d  ∂L  ∂L ∂F + = −τ L ,  − dt  ∂qm  ∂qm ∂qm (3.28) donde: u = [ va vb vc ] M e = I3 (3.29) Los términos de la ecuación E-L (3.27) de la parte eléctrica son: ∂L = De (qm )qe + µ (qm ) ∂qe ∂De (qm ) ∂µ (qm ) d  ∂L  qm qe + qm   = De (qm )qe + dt  ∂qe  ∂qm ∂qm ∂L =0 ∂qe ∂F = Re qe ∂qe 37 (3.30) Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Para la parte mecánica de la ecuación E-L (3.28) tenemos: ∂L = Jqm ∂qm d  ∂L    = Jqm dt  ∂qe  ∂L 1 T ∂De (qm ) ∂µ (qm ) qe + qeT = qe ∂qm 2 ∂qm ∂qm (3.31) ∂F = Bqm dqm Por tanto las ecuaciones que modelan al motor son, Σ e : De (qm )qe + W1 (qm )qm qe + W2 (qm )qm + Re qe = M eu 1 Jqm − qeT W1 (qm )qe − qeT W2 (qm ) + Bqm = −τ L Σm : 2 donde, por definición W1 (qm ) := ∂De ( qm ) , ∂qm y W2 (qm ) := El par electromagnético generado por el motor es τ em = (3.32) ∂µ ( qm ) . ∂qm 1 T qe W1 (qm )qe + qeT W2 (qm ) . 2 Este modelo trifásico del MS de imanes permanentes (3.32) consta de 4 ecuaciones diferenciales, 3 que modelan la parte eléctrica y 1 de la parte mecánica. Además de tener algunos coeficientes variantes con la posición del rotor. 3.2.2 Motor síncrono con devanado de campo El MS con devanado de campo está compuesto por tres devanados de estator fijos; uno de campo y dos de amortiguamiento montados en el rotor, girando a una velocidad angular ωe (Figura 3.2). La metodología de análisis para obtener el modelo de este motor es similar a la del MS de imanes permanentes de la sección anterior. Se eligen como coordenadas generalizadas las cargas en los devanados del estator y del rotor, qe = [ q1 q2 q3 q4 q5 q6 ] , y el desplazamiento angular qm = θ m . Siendo las velocidades generalizadas las corrientes del estator y del rotor, qe = [ q1 q2 q3 q4 q5 q6 ] = ia T ib ic qm = ωm . 38 if idr T iqr  , y la velocidad angular Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Los enlaces de flujo del motor Λ pueden expresarse como Λ = De ( qm )qe , (3.33) De(qm) es la matriz de inductancias, de dimensión 6 x 6, L De ( qm ) =  ssT  Lsr Lsr  , Lrr  (3.34) donde  1  1   L L   − m − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2  n p qm + π    Lls + Lm − L∆m cos ( 2n p qm ) 2 3  2 3       Lm  1  2  L   − L∆m cos 2  n p qm − π  Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2 ( n p qm + π )  , Lss =  − 3  3  2    2   L 1 2 L     − m − L∆m cos 2 ( n p qm + π ) Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm + π    − m − L∆m cos 2  n p qm + π  3  2 3    2      Laf sin ( n p qm ) Ladr sin ( n p qm ) Laqr cos ( n p qm )     2  2  2     Lsr =  Laf sin  n p qm − π  Ladr sin  n p qm − π  Laqr cos  n p qm − π   , 3  3  3       2  2  2      Laf sin  n p qm + π  Ladr sin  n p qm + π  Laqr sin  n p qm + π   3  3  3        Llf + Lmf  Lrr =  L fdr  0  L fdr Lldr + Lmdr 0  0  0 . Llqr + Lmqr  (3.35) La determinación de los elementos de estas matrices se presenta en el Apéndice A. El siguiente paso es la determinación de las funciones de energía del motor. La coenergía cinética total, eléctrica y mecánica, del motor es T * = 1 T 1 qe De (qm )qe + Jqm2 . 2 2 Al igual que en el MS de imanes permanentes la energía potencial del motor es igual a cero. De aquí que el Lagrangiano L sea igual a: L = T * −V = 1 T 1 qe De (qm )qe + Jqm2 . 2 2 39 (3.36) Capítulo 3. Modelado del motor síncrono La función de Rayleigh del motor es F = es Re = diag[rs , rs , rs , rf , rdr , rqr ]. 1 T 1 qe Re qe + Bqm2 , donde la matriz de resistencias 2 2 Las fuerzas externas aplicadas al sistema son los voltajes aplicados al devanado del estator, el voltaje aplicado al devanado de campo y el par de la carga. Las ecuaciones de E-L para la parte eléctrica y mecánica del motor son: d  ∂L  dt  ∂qe  ∂L ∂F + = M eu , −  ∂qe ∂qe d  ∂L  ∂L ∂F + = −τ L ,  − dt  ∂qm  ∂qm ∂qm (3.37) donde: u = va vb vc v f  , (3.38)  I  Me =  4 . 02 x 4  donde Ij es una matriz identidad j x j, y 0ixj es una matriz nula de i renglones y j columnas. Aplicando las ecuaciones de E-L (3.37) al Lagrangiano (3.36), obtenemos las ecuaciones que modelan al MS con devanado de campo, Σ e : De (qm )qe + W1 (qm )qm qe + Re qe = M eu 1 Jqm − qeT W1 (qm )qe + Bm qm = −τ L Σm : 2 se define W1 (qm ) := (3.39) ∂De ( qm ) . ∂qm El par electromagnético generado por el motor es τ em = 1 T qe W1 (qm )qe . 2 En este modelo trifásico del MS con devanado de campo tenemos 7 ecuaciones diferenciales, 6 para la parte eléctrica y 1 para la parte mecánica, con algunos de sus coeficientes variantes con la posición del rotor. Los modelos obtenidos en estas las subsecciones 3.2.1 y 3.2.2 por medio de la ecuación de E-L (similares a los obtenidos en las subsecciones 3.1.1 y 3.1.2 utilizando en método tradicional de modelado, con la diferencia de la nomenclatura empleada en el modelado EL) son modelos trifásicos, los cuales tienen matrices de inductancias con elementos dependientes de la posición del rotor θe. 40 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono 3.3 Teoría del marco de referencia Los modelos matemáticos obtenidos en las secciones anteriores para el MS de imanes permanentes (3.32) y para el MS con devanado de campo (3.39) tienen la desventaja de tener coeficientes variantes con la posición del rotor. Con objeto de eliminar la dependencia que tienen las inductancias con la posición del rotor y reducir el número de ecuaciones diferenciales que modelan al MS se emplean una serie de transformaciones que reducen la complejidad del modelo del motor. Existen distintos tipos de transformaciones, cada una de ellas refiere las variables originales del motor a variables fijas a un MR que gira a una velocidad determinada [Krause, 1995]. La transformación de las variables trifásicas del estator se realiza por medio de una matriz de transformación no singular Ks, tal como se expresa en la siguiente ecuación: f qd 0 = K s f abc (3.40) donde: f qd 0 = [ f q fd f 0 ]T f abc = [ f a fb f c ]T  cos θ  2 K s =  sin θ 3  1   2 2  2    cos  θ − π  cos  θ + π   3  3    2  2    sin  θ − π  sin  θ + π   3  3     1 1  2 2  (3.41) t θ = ∫ ω (ξ ) d ξ + θ 0 0 f puede representar un voltaje, corriente o enlaces de flujo. El subíndice s expresa que se trata de variables del estator. Las variables originales se representan por los subíndices abc y las variables transformadas por los subíndices qd0. ω y θ son la velocidad y la posición angular del MR al cual se quieren transformar las variables, respectivamente, ξ es una variable auxiliar de integración y θ0 es la posición inicial del MR. Para realizar la transformación inversa se emplea la inversa de la matriz Ks. El MR puede girar a cualquier velocidad angular, ya sea constante o variable, o puede permanecer estacionario. Es conveniente visualizar las ecuaciones de transformación como una relación trigonométrica entre las variables como se muestra en la figura 3.3. Las variables fd y fq, llamadas directa y en cuadratura respectivamente, son ortogonales y giran a la velocidad angular del MR. Mientras que fa, fb y fc se consideran variables estacionarias desplazadas cada una respecto a las otras dos por 2π/3 grados. 41 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono fb ω fq θ fa fc fd Figura 3.3. Relación trigonométrica de la transformación Considerando las variables trifásicas del estator balanceadas, al realizar la transformación la componente f0 es igual a cero. Por tanto es común eliminar el último renglón de la matriz de transformación (3.41), reduciendo así el número de ecuaciones diferenciales que modelan la parte eléctrica del motor. Para realizar la transformación de un conjunto trifásico de variables eléctricas (voltajes, corrientes o enlaces de flujo) y de un circuito RL trifásico a cualquier MR, se realizó un programa en Matlab® el cual cuenta con interfaz gráfica. Para ejemplificar su uso se realiza la transformación al MR fijo al rotor (θ = n p qm ) de un conjunto de voltajes trifásicos simétricos y balanceados, de amplitud máxima Vm y frecuencia angular w, y del circuito RL trifásico del estator del MS de imanes permanentes, la resistencia de cada devanado es rs y la matriz de inductancias está dada en (3.20). En la figura 3.4 se muestra la interfaz gráfica del programa una vez realizada la transformación. En la interfaz gráfica (figura 3.4) se tiene varias secciones: • • • • • En el recuadro etiquetado como “Variables abc” se introducen las variables eléctricas originales, En el recuadro “Marco de referencia” se introduce la expresión de la posición θ del MR, la cual se sustituye en la matriz Ks (3.41), En el recuadro “Circuito RL (abc)” se introduce los parámetros del circuito RL original, Una vez introducidos los datos descritos anteriormente y presionado el botón “Realizar transformación” en “Variables qd0” se despliega la expresión de las variables en el nuevo MR, En “Circuito RL (qd0)” se despliegan los parámetros del circuito en el nuevo MR. Los datos introducidos al programa pueden ser numéricos o simbólicos, por tanto es necesario contar con el Toolbox de Álgebra Simbólica de Matlab®. Si se desea información sobre la forma como Matlab® reconoce los datos simbólicos refiérase a la ayuda de dicho paquete. 42 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura 3.4. Interfaz gráfica del programa de transformaciones. Como en algunos casos el espacio designado a los resultados de la transformación no es suficiente, en la ventana de comandos (Command Window) de Matlab® también se despliegan los resultados. Este programa es útil ya que puede transformar cualquier conjunto trifásico de variables eléctricas y cualquier circuito RL, sean balanceados o no, a cualquier MR conociendo la expresión de la posición de este. 3.3.1 Modelo del MS de imanes permanentes en el MR fijo al rotor Una transformación que se emplea con frecuencia es la de referir todas las variables eléctricas del motor al MR fijo en el rotor. Con esta transformación se logra eliminar la dependencia de la matriz de inductancias De y el vector de flujos magnéticos µ con respecto a la posición del rotor qm. Sin embargo, la matriz de transformación no es constante, y es necesario conocer la posición del rotor. El modelo de este motor en este MR no es común encontrarlo en publicaciones por lo que se considera una contribución de este trabajo. 43 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono La posición angular de este MR es la posición angular del rotor, es decir, npqm, tomando en cuenta esto e intercambiando el primero y el segundo renglón de la matriz de transformación con objeto de tener como primer elemento la componente directa fd, la matriz de transformación de las variables del estator al MR fijo al rotor se reduce a:  2  2     sin ( n p qm ) sin  n p qm − 3 π  sin  n p qm + 3 π   2     K sr =  , 3 2  2    cos ( n p qm ) cos  n p qm − π  cos  n p qm + π   3  3     (3.42) El superíndice r expresa que transforma al MR fijo al rotor. Con esta transformación el modelo trifásico del subsistema eléctrico del MS de imanes permanentes basado en la formulación E-L (3.32) queda: Der qer + W1r qm qer + W2r qm + Rer qer = u r (3.43) Este modelo tiene la misma forma que el modelo trifásico, sin embargo, ahora el vector de velocidades generalizadas para la parte eléctrica es qer =  q1r T q2r  = [id iq ]T * y el vector T de entradas es u r = u1r u2r  donde u1r y u2r son las componentes del voltaje del estator a lo largo de los ejes d y q, respectivamente. Como se observa se redujo el número de ecuaciones que modelan la parte eléctrica del motor de 3 a 2. Además las matrices De, W1, W2 y Re también cambian; el orden se reduce y se elimina la dependencia de los elementos con respecto a la posición del rotor como se muestra a continuación.  Ld 0  Der =  , L 0 q    0 − Lq  W1r = n p  , 0   Ld 0 W2r = n p   , λm  Rer = diag[rs , rs ]. * id e iq son las componentes de la corriente del estator a lo largo de los ejes d y q, respectivamente. 44 (3.44) (3.45) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono donde: 3 3 Ld := Lls + Lm + L∆m , 2 2 3 3 Lq := Lls + Lm − L∆m . 2 2 (3.46) Es importante resaltar que la matriz Der es simétrica y positiva definida, es decir, Der = ( Der ) > 0 . Esta propiedad se empleará en el capítulo 5 en el diseño del controlador T basado en pasividad para este motor. Esta transformación se puede ver como si ahora en lugar de los devanados de estator trifásicos (a, b y c) originales se tienen dos devanados perpendiculares (d y q) con resistencias iguales rs e inductancias Ld y Lq respectivamente. Estos últimos devanados producen el mismo efecto que los devanados trifásicos. Reacomodando (3.43) en forma de espacio de estado se obtiene, dq1r 1  − rs q1r + Lq n pωm q2r + u1r  , = dt Ld dq2r 1 =  − rs q2r − Ld n pωm q1r + n pωm λm + u2r  . dt Lq (3.47) El modelo de la parte mecánica se mantiene sin cambio, ya que la transformación sólo se hace sobre la parte eléctrica. Lo que si cambia es la expresión para el par electromagnético generado por el motor, y después de la transformación es: 3 τ em = n p q2r (3L∆m q1r + λm ). 2 donde L∆m = Ld − Lq 3 (3.48) . Este modelo en MR fijo al rotor, ya sea en la forma de la ec. de E-L (3.43) o en forma de espacio de estado (3.47), se utilizará como modelo para el MS de imanes permanentes en el diseño de los controladores. 45 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono 3.3.2 Modelo del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor En el caso del MS con devanado de campo además de la transformación al MR fijo al rotor en esta sección se hace una simplificación al no tomar en cuenta la dinámica de los devanados amortiguadores, ya que las corrientes en estos son la mayor parte del tiempo prácticamente iguales a cero por lo que no tienen demasiado impacto sobre el par producido por el motor. Al igual que para el MS de imanes permanentes el modelo de este motor en este MR no se encontró reportado en la bibliografía consultada. Cabe señalar que el modelo obtenido en esta sección sólo se emplea en el diseño de los controladores, el modelo que sirve como planta para las simulaciones es el modelo trifásico el cual si incluye la dinámica de los devanados de amortiguación. El modelo del MS con devanado de campo, sin considerar los devanados amortiguadores, en el MR fijo en el rotor se obtiene en esta sección. Con esta transformación además de la reducción del número de ecuaciones diferenciales se logra que los parámetros del motor no varíen con el tiempo. La matriz de transformación para las variables trifásicas del estator K sr es la misma que para el MS de imanes permanentes (3.42). Las variables del rotor ya se encuentran en el MR fijo al rotor, por tanto no necesitan ninguna transformación. La matriz de transformación de las variables tanto del estator como del rotor es:  K sr  C= 01x 3 02 x1   2 . 3  (3.49) El valor de 2 / 3 se eligió con objeto de que la matriz De conserve la propiedad de simetría después de la transformación. Aplicando esta transformación al modelo obtenido, mediante la formulación E-L, del subsistema eléctrico del MS con devanado de campo (3.39) y despreciando las dinámicas de los devanados amortiguadores obtenemos, Der qer + W1r qm qer + Rer qer = u r , (3.50) donde ahora el vector de velocidades generalizadas para la parte eléctrica es T T qer =  q1r q2r q3r  = [id iq i f ]T y el vector de entradas es u r = u1r u2r u3r  . u1r y u2r son los voltajes aplicados a los devanados del estator a lo largo de los ejes d y q, respectivamente, y u3r es el voltaje aplicado al devanado de campo. En este caso el número de ecuaciones que modelan la parte eléctrica del motor se redujo de 4 a 3. 46 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El orden de las matrices De, W1 y Re se redujo a 3 x 3 y sus elementos después de la transformación son constantes como se muestra a continuación.  Ld  D = 0  Ldf  r e 0 Lq 0 Ldf   0 , L ff  − Lq 0  0 Ldf  , 0 0  0 W = n p  Ld  0 Rer = diag[rs , rs , rf ]. r 1 (3.51) (3.52) donde: Ldf := 3 / 2 Laf . (3.53) Podemos ver esta transformación como si ahora en lugar de los devanados de estator trifásicos (a, b y c) se tienen dos devanados perpendiculares (d y q), que producen el mismo efecto que los devanados trifásicos, con resistencias iguales rs, inductancias Ld y Lq respectivamente y Ldf es la inductancia mutua entre el devanado d del estator y el devanado de campo. Las condiciones para que una matriz simétrica sea positiva definida se establecen en el Teorema 10.19 de [Noble,1989]: “Suponga que A (p x p) es simétrica, entonces: A es positiva definida si y sólo si cada una de sus submatrices principales Ak para 1≤k≤p, tiene determinante estrictamente positivo, en donde Ak es la matriz (k x k) formada de los elementos de la esquina superior izquierda de A: <Ak>ij=<A>ij para 1≤i≤k y 1≤j≤k” De aquí, para que Der (3.51) sea positiva definida se deben de cumplir las siguientes condiciones: 1. Ld > 0, 2. Lq > 0, y 3. LdLff > Ldf2 Las dos primeras condiciones se cumplen para cualquier MS con devanado de campo. La tercer condición también se cumple por ser una propiedad de las inductancia mutuas, que el producto de dos inductancias es mayor o igual que su inductancia mutua al cuadrado [Johnson, 1991]; y la igualdad sólo se da cuando todo el flujo de cada inductor enlaza todas las vueltas del otro inductor, esto no se da en la práctica entre los devanados del motor ya 47 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono que existe un flujo disperso que únicamente enlaza al propio inductor. Por tanto se cumple que el producto de las inductancias Ld y Lff es mayor que el cuadrado de su inductancia mutua Ldf. Con esto se concluye que Der es simétrica y positiva definida, es decir, Der = ( Der ) > 0 . T Esta propiedad que es útil en el diseño del controlador basado en pasividad para este motor. Con esta transformación se ha eliminado la dependencia del tiempo de los coeficientes del modelo del MS con devanado de campo. Expresando (3.50) en forma de espacio de estado tenemos, dq1r = dt 1 Ldf 2 Ld − L ff  Ldf Ldf r  r r rf q3r + u1r − u3  ,  − rs q1 + Lq n pωm q2 + L ff L ff   dq2r 1 =  − rs q2r − Ld n pωm q1r − Ldf n pωm q3r + u2r  , dt Lq dq3r = dt 1 L ff − Ldf 2 (3.54) Ldf Lq Ldf r   r rs q1r − Ldf n pωm q2r + u3r − u1  .  − rf q3 + Ld Ld Ld   Ld El par electromagnético después de la transformación es: 3 τ em = n p q2r (3L∆m q1r + Ldf q3r ). 2 (3.55) Este modelo es el que se utilizará para el subsistema eléctrico del MS con devanado de campo en el diseño de los controladores. En esta sección se obtuvieron, empleando la teoría del MR, los modelos en el MR fijo al rotor. Estos modelos se emplean en el diseño de los controladores por ser más sencillo su análisis matemático que los modelos trifásicos. Sin embargo como planta en las simulaciones realizadas se emplean los modelos trifásicos obtenidos mediante la formulación E-L. 48 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono 3.4 Modelo de la carga mecánica La carga mecánica acoplada al eje del motor que se emplea para todos los controladores diseñados en este trabajo es un brazo rígido de un grado de libertad [Dawson, 1998], como el que se muestra en la figura 3.5. En la figura se muestran tanto la parte mecánica del motor como el brazo rígido acoplado a su flecha. El brazo tiene los siguientes parámetros: • • una longitud l = 0.305 m, y una masa m = 0.401 Kg. J l B τem q. qm m Figura 3.5. Representación gráfica del subsistema mecánico completo. Para obtener el modelo de la parte mecánica primero hay que determinar sus funciones de energía. El momento de inercia del brazo rígido de densidad uniforme ρ, que se acopla al motor, es: l J B = ∫ r 2 dm, (3.56) dm = ρ Adr , (3.57) 0 donde siendo: • • • A el área de la sección transversal de la barra, dm diferencial de masa, y r la distancia del dm al eje de rotación. 49 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Por lo que el momento de inercia del brazo es: l 1 J B = ρ A∫ r 2 dr = ρ Al 3 0 3 (3.58) 1 J B = ml 2 3 (3.59) ya que m = ρ Al , La coenergía cinética del subsistema mecánico completo es: Tl * = 1 1 1 ( J B + J ) qm2 =  ml 2 + J  qm2 2 23  (3.60) El subíndice l indica que se refiere a la carga, J es la inercia del rotor. Por ser de densidad uniforme el brazo tiene su centro de gravedad en: l / 2 ; y las coordenadas del centro de gravedad son: 1 x = l cos qm , 2 1 y = l sin qm . 2 (3.61) 1 mGl (1 − cos qm ), 2 (3.62) La energía potencial está dada por: Vl = donde G† es la aceleración debida a la gravedad. La función de disipación de Rayleigh del subsistema mecánico completo es: Fl = 1 2 Bqm , 2 (3.63) donde B es el coeficiente de fricción del rotor y se desprecia la fricción del brazo con el aire. † El valor usado para la aceleración debida a la gravedad en este trabajo es de 9.80 m/seg2. 50 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El Lagrangiano por definición se obtiene restando las energías cinética y potencial respectivamente. 11 1  L = Tl * − Vl =  ml 2 + J  qm2 − mGl (1 − cos qm ) 23 2  (3.64) La ecuación de E-L para el subsistema mecánico completo es: d  ∂L  ∂L ∂Fl + = τ em  − dt  ∂qm  ∂qm ∂qm (3.65) Aplicando esta última ecuación de E-L (3.65) al Lagrangiano del sistema mecánico completo (3.64), obtenemos el modelo de la parte mecánica, Dm qm + Cm qm + g (qm ) = τ em (3.66) donde: 1 Dm = l 2 m + J , 3 Cm = B , g ( qm ) = 3.5 ( 3 .6 7 ) 1 mGl sin qm . 2 Simulaciones Con el objetivo de observar el desempeño dinámico de los motores en lazo abierto, las ecuaciones que los modelan fueron programadas en la computadora. Las simulaciones se hicieron utilizando la función S, que es una herramienta de Simulink®. La versión empleada de Simulink® fue la 5.0. Para todas las simulaciones de este trabajo realizadas en Simulink® se empleo el método de integración “Ode 45” con paso variable. Motor síncrono de imanes permanentes. Para la simulación de la operación del MS de imanes permanentes trifásico, de dos polos, conectado en estrella, se emplearon los parámetros que se muestran en la Tabla 3.1 [Lyshevski, 2000]. El procedimiento de simulación se muestra en la figura 3.6. Las entradas al sistema son: voltajes de estator y el par de la carga; las salidas son: corrientes de estato, par electromagnético, posición del rotor y velocidad del rotor. 51 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono El sistema de alimentación es trifásico, simétrico y balanceado, de magnitud de fase 40 Vrms y frecuencia 60 Hz. El par de la carga es cero para t<0.2seg. y 1 N-m para t ≥ 0.2 seg. Tabla 3.1. Parámetros del motor síncrono de imanes permanentes. Parámetro Resistencia de estator, rs Inductancia de dispersión del estator, Lls Valor promedio de la inductancia de estator, Lm Valor 0.5Ω 0.1 mH 0.6333 mH Variación pico de la inductancia de estator, L∆m Magnitud del flujo de imanes permanentes, λm Inercia del rotor, J Coeficiente de fricción viscosa, B 0 0.069 N-m/A 0.000017 kg-m2 0.000015 N-m-s/rad Motor síncrono de imanes permanentes Voltaje trifásico del estator Subsistema eléctrico (Σ e ec. 3.32) Acoplamiento de subsistemas (Ec. de par τem) Subsistema mecánico (Σm ec. 3.32) Corrientes del estator Par electromagnético Posición y Velocidad mecánica Par de carga Figura 3.6. Diagrama de la simulación para el MS de imanes permanentes. Los resultados de la simulación se presentan en las figuras 3.7 y 3.8. a) b) Figura 3.7. a) Voltajes del estator, b) Corrientes del estator. 52 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono a) b) Figura 3.8. a) Par electromagnético generado por el motor, y b)Velocidad mecánica del rotor. Los resultados de simulación muestran que tal como se esperaba: • • • • • Las corrientes del estator en estado estacionario, son simétricas y balanceadas. Las oscilaciones que presenta la velocidad en el arranque (figura 3.8-b) son debidas a las dificultades que presentan los motores síncronos en el arranque, cuando no cuentan con devanados auxiliares de amortiguamiento. Después de pasado el transitorio el motor alcanza la velocidad de sincronismo (2π*60 ≈ 377 rad/seg.). Las oscilaciones que se presentan en la velocidad y el par a los 0.2 seg. se deben al cambio de carga. En estado estacionario el par electromagnético es casi igual al par de la carga, y su diferencia se debe al par por fricción. Motor síncrono con devanado de campo. En la figura 3.9 se muestra se muestra un diagrama de la forma en que se realizó la simulación. Las entradas al sistema son: voltajes de estator, voltaje de campo y par de la carga; las salidas son: corrientes de estator, corrientes de rotor, par electromagnético, posición del rotor y velocidad del rotor. Para la simulación se considera un MS de dos polos, conectado en estrella y cuyos parámetros se encuentran en la tabla 3.2 [Lyshevski, 2000]. 53 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono Para esta simulación se considera que el motor se alimenta con un voltaje trifásico, simétrico y balanceado, de magnitud de fase 150 Vrms y frecuencia 60 Hz (ver figura 3.10a). El voltaje de campo es igual a 5 V. El par de la carga al igual que para el MS de imanes permanentes es cero para t<0.2seg. y 1 N-m para t ≥ 0.2 seg. Motor síncrono con devanado de campo Voltaje trifásico del estator y voltaje de campo Subsistema eléctrico (Σe ec. 3.39) Acoplamiento de subsistemas (Ec. de par τem) Subsistema mecánico (Σm ec. 3.39) Corrientes del estator y del rotor Par electromagnético Posición y Velocidad mecánica Par de carga Figura 3.9 Diagrama de la simulación para el MS con devanado de campo. Tabla 3.2. Parámetros del motor síncrono. Parámetro Valor Resistencia de estator, rs 0.25Ω Resistencia del devanado campo, rf 0.47Ω Resistencia de amortiguación, eje d, rdr 0.5Ω Resistencia de amortiguación, eje q, rqr 0.5Ω Inductancia de dispersión del estator, Lls 0.1 mH Valor promedio de la inductancia de estator, Lm 0.633 mH Variación pico de la inductancia de estator, L∆m 0 Inductancia mutua campo–estator, Laf 0.35 mH Inductancia mutua eje d –estator, Ladr 0.08 mH Inductancia mutua eje q –estator, Laqr 0.08 mH Inductancia del devanado de campo, Lff 0.32 mH Inductancia de amortiguación, eje d, Ldrdr 0.07 mH Inductancia de amortiguación, eje q, Lqrqr 0.07 mH Inductancia mutua eje d –campo, Lfdr 0.06 mH Inercia del rotor, J 0.003 kg-m2 Coeficiente de fricción viscosa, B 0.00072 N-m-s/rad Los resultados de la simulación se muestran en las figuras 3.10, 3.11 y 3.12. 54 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono a) b) Figura 3.10 a) Voltajes del estator, y b) Corrientes del estator. a) b) Figura 3.11. a) Corrientes de los devanados de amortiguamiento, y b) Corriente del devanado de campo. 55 Capítulo 3. Modelado del motor síncrono a) b) Figura 3.12. a) Par electromagnético generado por el motor, y b) Velocidad mecánica del rotor. A continuación se dan algunas observaciones de los resultados obtenidos: • • • • Las corrientes del estator en estado estacionario, son simétricas y balanceadas tal y como se esperaba. La corriente de campo una vez pasado el transitorio es igual al voltaje de campo entre la resistencia del devanado de campo (10.6383 A). Las corrientes de los devanados de amortiguamiento son cero en estado estacionario, ya que el voltaje generado en estos devanados es función de la diferencia de velocidades entre la velocidad de sincronismo y la velocidad del rotor, dicha diferencia es cero en estado estacionario, y La velocidad alcanza la velocidad de sincronismo (377 rad/seg.). 56 Capítulo 4 CONTROL POR CAMPO ORIENTADO DEL MOTOR SÍNCRONO El control por campo orientado, también llamado control vectorial, de máquinas de corriente alterna (CA) se basa en encontrar una expresión para el par electromagnético producido por el motor similar a la del motor de corriente directa (CD) de excitación separada, de forma que se tenga un control desacoplado del flujo y del par. Esto se logra mediante una transformación del modelo del motor a un marco de referencia (MR) adecuado. Existen diversas referencias sobre el control por campo orientado entre las cuales se pueden mencionar [Blaschke, 1972], [Bose, 1986] y [Vas, 1990]. En este capítulo se presenta el diseño de los controladores por campo orientado para el motor síncrono (MS) de imanes permanentes y el MS con devanado de campo. Para el diseño del controlador de cada motor se emplea el modelo en el MR fijo al rotor en forma de espacio de estado que se obtuvo en el capítulo anterior. También se presentan las simulaciones de la operación de cada de cada motor con su controlador. 4.1 Producción del par electromagnético en el motor de CD Con objeto de explicar el principio del control vectorial en esta sección se presenta el mecanismo de producción de par en el motor de CD. 57 Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono En la figura 4.1 se muestra el diagrama esquemático de un motor de CD compensado. En el estator se tiene el devanado de campo (f) y el devanado de compensación (c) y en el rotor se encuentra el devanado de armadura (a). La corriente en el devanado de campo if produce el flujo magnético φf. La interacción de la corriente de armadura ia y el flujo φf producen una fuerza F que actúa sobre los conductores. Como el flujo φf está en cuadratura con la corriente de armadura ia, la fuerza aplicada al eje del motor es máxima, ya que esta es proporcional al producto vectorial de φf e ia. f' F c' a φ f a' c F f Figura 4.1. Diagrama esquemático de un motor de c.d. Sin embargo, la corriente de armadura también produce un campo, el cual se adiciona al campo producido por el devanado de campo. El campo producido por ia se encuentra en cuadratura con el campo producido por if. Entonces el campo resultante se encontrará desplazado de su posición óptima (perpendicular a ia). Pero este efecto puede ser cancelado por el devanado de compensación, por el cual circula una corriente ic la cual es igual a – ia, así el campo producido por el devanado de armadura será contrarrestado con el producido por el devanado de compensación. Considerando circuitos magnéticos lineales la expresión para el par electromagnético del motor de CD de excitación separada es [Vas, 1990]: τ em = cφ f xia , (4.1) donde c es una constante y x denota el producto vectorial. Ya que los vectores φf e ia son perpendiculares (4.1) puede ponerse en forma escalar, τ em = c φ f ia . (4.2) Si el flujo se mantiene constante, el par electromagnético se puede controlar fácilmente variando la corriente de armadura. 58 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Un motor de CA trifásico es mucho más difícil de controlar que el motor de CD de excitación separada, ya que en el motor de CA se tienen un acoplamiento entre las variables flujo y par, no así en el motor de CD donde se tiene una corriente if para controlar el flujo y una corriente ia para controlar el par. El propósito del control vectorial es obtener, mediante una transformación a un MR adecuado, una expresión para el par del motor de CA similar a (4.2), donde el flujo y la corriente que produce el par sean perpendiculares. Una vez que se ha realizado la transformación se tiene que la corriente de estator consta de dos componentes, una directa que produce el flujo, la cual se fija a un valor constante, y otra en cuadratura cuya interacción con el flujo origina el par. 4.2 Control vectorial del MS de imanes permanentes En esta sección se presenta el diseño de un controlador vectorial del MS de imanes permanentes. Para este diseño se emplea el modelo del MS de imanes permanente en el MR fijo al rotor en su representación en espacio de estado, el cual se obtuvo en el capítulo anterior (ec. 3.47) y se repite aquí: dq1r 1  − rs q1r + Lq n pωm q2r + u1r  , = dt Ld dq2r 1 =  − rs q2r − Ld n pωm q1r + n pωm λm + u2r  , dt Lq (4.3) y la expresión del par electromagnético para este motor es (3.48): 3 τ em = n p q2r (3L∆m q1r + λm ). 2 (4.4) Como primer paso se realiza un cambio de variables para desacoplar las dinámicas de las corrientes del estator introduciendo las siguientes variables auxiliares [Vas, 1990]. v1 = Lq n pωm q2r + u1r , v2 = − Ld n pωm q1r + n pωm λm + u2r . 59 (4.5) Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono Al introducir estas variables en el modelo del motor en el MR fijo al rotor (4.3), las ecuaciones que modelan la parte eléctrica, quedan: dq1r 1  − rs q1r + v1  , = dt Ld (4.6) dq2r 1  − rs q2r + v2  , = dt Lq Con v1 y v2 como nuevas entradas al sistema; de esta manera se logra desacoplar las r corrientes. En (4.6) se tiene un par de ecuaciones diferenciales de primer orden una para q1 r y otra para q2 . Siendo las componentes directa λdsr y en cuadratura λqsr de los enlaces de flujo del estator en el MR fijo al rotor, las cuales están dadas por [Vas, 1990]: λdsr = Ld q1r + λm , (4.7) λqsr = Lq q2r , es posible escribir la expresión para el par electromagnético (4.4) del MS de imanes permanentes de la siguiente forma: 3 τ em = n p ( λdsr q2r − λqsr q1r ) , 2 (4.8) Con objeto de lograr una expresión para el par similar a la del motor de CD (4.2), se realiza una transformación al MR fijo a los enlaces de flujo del estator. Por tanto, el diseño del controlador se hace en el MR fijo a los enlaces de flujo del estator, y una vez obtenidas las señales de control en este MR se realiza la transformación al MR fijo al rotor y posteriormente a 3 fases con lo que se obtienen los voltajes trifásicos que se deben aplicar a los devanados del estator. En la figura 4.2 se muestran los marcos de referencia fijos al rotor, ejes d y q, y a los enlaces de flujo del estator λs, eje x y eje y. y q x λs r λ qs δ δ λ d r ds Figura 4.2. Representación gráfica de la transformación de variables. 60 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono A partir de la figura anterior se puede determinar la matriz de transformación:  cos (δ ) sin (δ )  T = , − δ δ sin cos ( ) ( )   (4.9) Aplicando esta transformación tenemos que: q1r = ix cos (δ ) − i y sin(δ ), q2r = ix sin (δ ) + i y cos(δ ); λdsr = λxs cos (δ ) − λ ys sin(δ ), λqsr = λxs sin (δ ) − λ ys cos(δ ). (4.10) Sustituyendo estas igualdades en la expresión del par (4.8), y tomando en cuenta que en este MR los enlaces de flujo del estator sólo tienen componente sobre el eje x, es decir, λys = 0 (Ver figura 4.2), se obtiene: 3 τ em = n p λxs iy , 2 (4.11) donde λxs es la componente de los enlaces de flujo del estator a lo largo del eje x, e iy es la componente de la corriente del estator a lo largo del eje y. La magnitud del flujo del estator se define como: λs = λxs 2 + λ ys 2 = λdsr 2 + λqrs 2 . (4.12) De aquí que λs = λxs , por lo tanto (4.11) queda como sigue: 3 τ em = n p λs i y . 2 (4.13) Esta última ecuación tiene la forma deseada. Así, haciendo el flujo del estator |λs| constante, podemos controlar el par por medio de la componente iy de la corriente del estator que es perpendicular al flujo. El ángulo de rotación δ que aparece en la matriz de transformación (4.9) se puede calcular a partir de las componentes directa y en cuadratura de los enlaces de flujo del estator en el MR fijo al rotor, esto es:  λr  δ = arctan  qsr  .  λds  61 (4.14) Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono En la figura 4.3 se presenta el diagrama a bloques del controlador vectorial para un MS de imanes permanentes con L∆m ≠ 0. En este diagrama hay tres controladores: velocidad, par y flujo; todos ellos del tipo proporcional e integral (PI). λm . . q1r q2r Calculo del flujo |λ s |ref |λ s | _ PI + Controlador de flujo PI +_ Controlador de velocidad ωm τemref MR flujo r v1 u ys MR rotor v2 PI +_ τem u1 Cambio de variables Æ ωmref MR rotor ia ib ic θm δ u xs Transformación al Transformación a 3 fases ur2 va vb vc MS de imanes permanentes Controlador de par Figura 4.3. Diagrama a bloques del controlador vectorial. La salida del controlador de velocidad es el par de referencia τemref; y la expresión para este controlador es: ( ) ( ) τ em = kP1 ωm − ωm + kI 1 ∫ ωm − ωm dt. ref ref ref (4.15) La diferencia entre el par de referencia τemref y el par real τem (el cual se considera que se puede medir) sirve como entrada al controlador de par, su salida es la señal uys. El controlador de par está dado por: ( ) ( ) u ys = k P 2 τ emref − τ em + k I 2 ∫ τ emref − τ em dt. (4.16) La magnitud del flujo y el ángulo δ se obtienen por medio de las ecuaciones (4.12) y (4.14) respectivamente. La salida del controlador de flujo es uxs, como se indica en la siguiente ecuación, ( ) ( ) uxs = k P 3 | λs | ref − | λs | + k I 3 ∫ | λs | ref − | λs | dt (4.17) A uxs y uys se les aplica la transformación del MR fijo a los enlaces de flujo del estator al MR fijo al rotor, mediante la matriz de transformación inversa a (4.9),  cos (δ ) − sin (δ )  T −1 =  , δ δ sin cos ( ) ( )   [v1 v2 ] = T −1 u xs T 62 T u ys  , (4.18) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono con lo que se obtiene v1 = u xs cos (δ ) − u ys sin (δ ) , (4.19) v2 = u xs sin (δ ) + u ys cos (δ ) . A partir de estas últimas señales se realiza el cambio de variables inverso a (4.5), es decir, u1r = − Lq n pωm q2r + v1 , (4.20) u2r = Ld n pωm q1r − n pωm λm + v2 , y posteriormente a estas últimas se le aplica la transformación del MR fijo al rotor a 3 fases para obtener los voltajes va, vb y vc a aplicarse al motor. 4.2.1 Simulaciones Posición, velocidad y aceleración deseadas Antes de presentar las simulaciones del desempeño del controlador descrito en la sección anterior se presenta la posición de referencia qmd que se desea que siga el MS y a partir de esta se obtienen la velocidad y la aceleración deseadas. La posición de referencia está dada por la siguiente ecuación qmd = ( π sin ( 5t ) 1 − e −0.1t 2 3 ) rad, esta cumple con ser una función continua y acotada con primera, segunda y tercer derivada con respecto al tiempo conocidas. Encontrando la primera y segunda derivada con respecto al tiempo de la posición de referencia se obtiene la velocidad y aceleración de referencia, respectivamente, 3 3 5π π cos ( 5t ) 1 − e −0.1t + sin ( 5t ) 0.3t 2 e −0.1t rad/seg., 2 2 3 3 25π qmd = − sin ( 5t ) 1 − e −0.1t + 5π cos ( 5t ) 0.3t 2 e−0.1t + ... 2 qmd = ( ) ( ) ( ) ( ) π − 0.09t e ... + sin ( 5t ) ( 0.6te ) rad/seg. 2 −0.1t 3 4 −0.1t 3 63 2 Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono En la figura 4.4 se muestran la posición (izquierda) y velocidad (derecha) de referencia. Estas señales de referencia se usan a lo largo de todo el trabajo de tesis. Figura 4.4. Posición (izquierda) y velocidad de referencia (derecha) Para la simulación del controlador se sintonizaron, empleando el método de prueba y error descrito en [Luyben, 1997], las ganancias de los controladores a los siguientes valores: Controlador de velocidad: Controlador de par: Controlador de flujo: k P1 = 0.5; k P 2 = 85; k P 3 = 850; k I 1 = 20; k I 2 = 3250; k I 3 = 140000; Los valores de los parámetros del motor se presentan en la tabla 3.1 del capítulo anterior. El valor de referencia para el flujo se eligió igual al del flujo proporcionado por los imanes permanentes (0.069 N-m/A). Para estas simulaciones se incluye la dinámica de la carga mecánica acoplada al motor descrita en la sección 3.4 del capítulo anterior. Dicha carga es un brazo rígido de un grado de libertad. Las variables de interés además de la variable final a controlar, la velocidad, son el flujo y el par. Ya que en el control vectorial es importante primero establecer el flujo a un valor constante y posteriormente se controla el par (ec. 4.13). El control de la variable final de salida, la velocidad se hace mediante un controlador PI, que tiene como salida el par de referencia. También es importante observar las señales de voltajes y corrientes en el motor. En la figura 4.5 se muestran las formas de onda para el voltaje trifásico aplicado al estator (izquierda) y las corrientes resultantes (derecha) en el MR fijo a los enlaces de flujo del estator. 64 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Las señales uys y uxs son las salidas de los controladores de par y flujo respectivamente como lo indican las ecuaciones (4.16) y (4.17). La corriente iy es la corriente que en interacción con el flujo produce el par electromagnético (ec. 4.13) por tanto esta corriente tiene la misma forma que el par desarrollado por el motor (Figura 4.6) iy u ys u xs ix Figura 4.5. Voltajes y corrientes del estator en el MR fijo a los enlaces de flujo del estator. En la siguiente figura 4.6 el flujo (izquierda) y el par electromagnético (derecha). El flujo se mantiene constante en el valor de referencia (0.069 N-m/A). En la parte izquierda de la figura se observa que el par desarrollado por el motor (línea continua) sigue al par de referencia (línea punteada). El par de referencia es la salida del controlador de velocidad (ec. 4.15). Figura 4.6. Flujo (izquierda) y par electromagnético (derecha) del MS. 65 Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono La velocidad angular (izquierda) y el error de velocidad (derecha), se presentan en la figura 4.7. El error de velocidad está definido como la velocidad de referencia menos la velocidad real. El valor absoluto del máximo error es de 0.1153 rad/seg., esto es, aproximadamente el 1.47 % del valor absoluto de la velocidad máxima (7.8540 rad/seg.) Figura 4.7. Velocidad (izquierda) y error de velocidad (derecha) Con objeto de comparar el desempeño de los controladores se emplea el índice de desempeño de la integral del producto del valor absoluto del error por el tiempo ITAE (por sus siglas en inglés), del error de velocidad; este se calcula de la siguiente manera [Ogata, 1993]: ∞ ITAE = ∫ t e ( t ) dt (4.21) 0 Donde e(t) es el error, es decir la diferencia entre el valor deseado y el valor real de la variable de interés, en este caso la velocidad del motor. Este índice de desempeño da mayor peso a los errores en estado estacionario ya que el valor absoluto del error es ponderado por el tiempo en el cual ocurre cada error. Entre menor sea el valor del ITAE para un controlador determinado mejor será su desempeño. En la figura 4.8 se muestra el ITAE para el error de velocidad de este controlador para un tiempo de simulación de 100 seg. El valor que alcanza el ITAE en este tiempo de simulación es 228.08, este valor nos sirve como una medida del desempeño del controlador el cual se comparará más adelante (Capítulo 6) con el ITAE del controlador basado en pasividad. 66 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura 4.8. ITAE del error de velocidad 4.3 Control vectorial del MS con devanado de campo Para el diseño del controlador vectorial del MS con devanado de campo se emplea su modelo en el MR fijo al rotor en su representación en espacio de estado, el cual se obtuvo en el capítulo anterior (ec. 3.54) y se repite aquí: dq1r = dt  Ldf Ldf r  1 r r r r r q L n q r q u u3  , − + ω + + −  s 1 q p m 2 f 3 1 Ldf 2  L ff L ff  Ld − L ff dq2r 1 =  − rs q2r − Ld n pωm q1r − Ldf n pωm q3r + u2r  , dt Lq dq3r = dt 1 L ff − Ldf 2 (4.22) Ldf Lq Ldf r   r rs q1r − Ldf n pωm q2r + u3r − u1  .  − rf q3 + Ld Ld Ld   Ld y la expresión del par electromagnético en este MR para el motor es (3.55): 3 τ em = n p q2r (3L∆m q1r + Ldf q3r ). 2 67 (4.23) Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono Para poder variar q1r , q2r y q3r independientemente, se introducen las siguientes variables auxiliares [Vas, 1990]. v1 = Lq n pωm q2r + Ldf L ff rf q3r + u1r − Ldf L ff u3r , v2 = − Ld n pωm q1r − Ldf n pωm q3r + u2r , v3 = Ldf Ld rs q1r − Ldf Lq Ld n pωm q2r + u3r − (4.24) Ldf Ld u1r . Al introducir estas variables en el modelo del motor en el MR fijo al rotor (4.22), las ecuaciones que modelan la parte eléctrica, quedan: dq1r = dt 1  − rs q1r + v1  , Ldf 2  Ld − L ff dq2r 1  − rs q2r + v2  , = dt Lq dq3r = dt 1 L ff − Ldf 2 (4.25)  − rf q3r + v3  . Ld Para lograr el objetivo del control vectorial se encontrará una expresión del par electromagnético similar a la del motor de CD, mediante una transformación al MR orientado al flujo del estator. Siendo λdsr y λqsr las componentes directa y en cuadratura, respectivamente, de los enlaces de flujo del estator en el MR fijo al rotor, las cuales están dadas por [Vas, 1990]: λdsr = Ld q1r + Ldf q3r , λqsr = Lq q2r , (4.26) es posible escribir la expresión para el par electromagnético (4.23) del MS con devanado de campo como: 3 τ em = n p ( λdsr q2r − λqsr q1r ) , 2 68 (4.27) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Al realizar la transformación al MR fijo a los enlaces de flujo del estator por medio de la matriz de transformación definida en (4.9). Ya que en este MR los enlaces de flujo de magnetización sólo tienen una componente a lo largo del eje x, el par electromagnético en este MR es: 3 (4.28) τ em = n p λxs iy , 2 Como λs = λxs la ecuación anterior se puede escribir como sigue: 3 τ em = n p λs i y . 2 (4.29) Esta última ecuación tiene la misma forma que la expresión del par para el motor de CD (4.2). Así, manteniendo la magnitud del flujo del estator |λs| constante, se controla el par por medio de la corriente iy que es perpendicular al flujo. En la figura 4.9 se presenta el diagrama a bloques del controlador vectorial para un MS con devanado de campo. En este diagrama hay tres controladores: velocidad, par y flujo; todos ellos del tipo PI. Estos controladores son similares a los descritos en (4.15), (4.16) y (4.17). La señal de control u xs se elige generalmente igual a cero, ya que esta contribuye a la producción del flujo; pero en este motor es preferible que todo el flujo lo genere el devanado de campo. . q3r |λ ms |ref |λ ms | _ δ PI + u xs Controlador de flujo +_ ωm PI τemref Controlador de velocidad MR flujo Æ ωmref .r . q1 r q2 Calculo del flujo +_ τem PI u ys MR rotor v3 v1 v2 Cambio de variables Transformación al MR rotor θm r u1 r u2 r u3 Controlador de par ia ib ic Transformación a 3 fases va vb vc vf MS con devanado de campo Figura 4.9. Diagrama a bloques del controlador vectorial del MS. 4.3.1 Simulaciones Para la simulación del desempeño de este controlador se emplearon los parámetros presentados en la tabla 3.2 del capítulo anterior. 69 Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono Las ganancias de los controladores se sintonizaron, empleando el método de prueba y error descrito en [Luyben, 1997], a los siguientes valores: Controlador de velocidad: Controlador de par: Controlador de flujo: k P1 = 1.5; k P 2 = 50; k P 3 = 7500; k I 1 = 30; k I 2 = 1850; k I 3 = 10000; En la figura 4.10 se muestran los voltajes (izquierda) y corrientes (derecha) del estator del motor en el MR fijo al flujo del estator. uys es la salida del controlador de par (ver figura 4.9). Al igual que en el MS de imanes permanentes la corriente iy es proporcional al par desarrollado por el motor (Figura 4.12). u ys iy u xs ix Figura 4.10. Voltajes y corrientes del estator en el MR fijo a los enlaces de flujo del estator. En la siguiente figura se muestra la corriente del devanado de campo if (izquierda) y el flujo (derecha) del motor. El valor de referencia para el flujo se eligió igual a 0.069 N-m/A. La corriente de campo y el flujo tienen la misma forma ya que en este motor todo el flujo lo genera el devanado de campo. Una vez pasado el transitorio el flujo se establece en el valor de referencia (0.069 N-m/A). Figura 4.11. Corriente de campo (izquierda) y flujo (derecha) del motor. 70 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El par desarrollado por el motor (izquierda) y el par de referencia (derecha), el cual es salida del controlador de velocidad se muestran en la figura 4.12. El par desarrollado por el motor es la entrada al subsistema mecánico. Figura 4.12. Par electromagnético (izquierda) y el par de referencia (derecha) La velocidad angular (izquierda) y el error de velocidad (derecha), se presentan en la figura 4.13. El valor absoluto del máximo error es de 0.0489 rad/seg., esto es, aproximadamente el 0.6228 % del valor absoluto de la velocidad máxima (7.8540 rad/seg.) Figura 4.13. Velocidad (izquierda) y error de velocidad (derecha) En la figura 4.14 se muestra el ITAE para el error de velocidad de este controlador para un tiempo de simulación de 100 seg. El valor que alcanza el ITAE en este tiempo de simulación es 115.61. 71 Capítulo 4. Control por campo orientado del Motor Síncrono Figura 4.14. ITAE del error de velocidad En este capítulo se presentó el diseño de un controlador de velocidad basado en campo orientado para el MS de imanes permanentes y para el MS con devanado de campo. El máximo error de seguimiento de velocidad para estos controladores fue menor al 2%, para el MS de imanes permanentes fue del 1.47 % y para el MS con devanado de campo fue de 0.6228 %. 72 Capítulo 5 CONTROL NO LINEAL BASADO EN PASIVIDAD DE UN MOTOR SÍNCRONO La idea del control basado en pasividad es el moldear la energía del sistema e inyectar el amortiguamiento requerido para lograr el objetivo de control. En el control basado en pasividad se modifica la energía del sistema de manera que se tenga un punto de equilibrio en un punto deseado, generalmente este punto de equilibrio se encuentra cuando el error es igual a cero. Además, se inyecta amortiguamiento al sistema para lograr que el punto de equilibrio deseado sea estable y/o para aumentar la velocidad de convergencia al punto de equilibrio. En este capítulo se presenta el diseño de un controlador basado en pasividad de un motor síncrono (MS) de imanes permanentes y de un MS con devanado de campo empleando los modelos de los motores obtenidos en el capítulo 3, por medio de la ecuación de Euler – Lagrange (E-L), en el marco de referencia (MR) fijo al rotor. 5.1 Método de control de motores de corriente alterna basado en pasividad En esta sección se describe de manera general la metodología de diseño del control basado en pasividad que se emplea en este trabajo para el MS de imanes permanentes y para el MS con devanado de campo. 73 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para el control basado en pasividad el modelo del motor se descompone en dos subsistemas pasivos (mecánico y eléctrico) interconectados mediante una retroalimentación negativa como se muestra en la figura 5.1. Entonces se diseña un controlador de par para el subsistema eléctrico y se toma la parte mecánica como una perturbación. El control de la posición y la velocidad se diseña mediante Lyapunov, como se ve más adelante en la sección 5.2. . qe u Σe − . qm τem Σm Figura 5.1. Descomposición en subsistemas. El objetivo de control es seguir una trayectoria de velocidad, para lograr esto es necesario que el motor desarrolle un par electromagnético de manera que se logre este seguimiento, a este se le llama par electromagnético deseado τ emd . Para producir este par es necesario que por los devanados del motor circulen las corrientes deseadas. Para el control del subsistema eléctrico se escogen las corrientes deseadas de manera que estas produzcan el par deseado, esto es, lim t →∞ qe = qed implica lim t →∞ τ em = τ emd . Una vez llevada a cabo la descomposición se tienen dos subsistemas: el subsistema eléctrico Σe y el subsistema mecánico Σm;  u  Σe :    −qm  Σ m : τ em  q   →  e τ em   → qm Así, para el subsistema eléctrico se diseña un controlador que asegure el seguimiento de corrientes, lo que implica un seguimiento de par, teniendo como entrada los voltajes aplicados a los devanados del motor. Para el subsistema mecánico se controla la velocidad y/o la posición, y la entrada es el par generado por el motor. Cabe señalar que para este trabajo en el subsistema mecánico Σm se incluye el brazo rígido de un grado de libertad acoplado el eje del motor, el cual se describe en la sección 3.4 del capítulo 3. 74 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono 5.2 Controlador del subsistema mecánico Ya que el subsistema mecánico es el mismo para ambos motores (de imanes permanentes y con devanado de campo), primero se encuentra la expresión para el par electromagnético necesario para garantizar un seguimiento de velocidad y/o posición, es decir, se diseña el controlador para el subsistema mecánico. Se considera como entrada al par electromagnético generado por el motor y como salida la velocidad, que es la variable a regular en este trabajo. Para encontrar la expresión matemática del par electromagnético deseado τemd que garantice el seguimiento de la trayectoria deseada, se realiza el análisis de estabilidad del subsistema mecánico utilizando la técnica de Lyapunov. La trayectoria deseada está dada por una posición, velocidad y aceleración deseadas, siendo la velocidad la primera derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. Para obtener la ecuación dinámica del error de seguimiento se define lo siguiente [SlotineLi, 1991]: Error de seguimiento de posición: Error de seguimiento de velocidad: Velocidad de referencia: Error combinado de seguimiento: qm = qm − qmd . qm = qm − qmd . qr = qmd − Γqm . s = qm + Γqm = qm − qr . (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) El subíndice d indica los valores deseados de dichas variables, Γ es una ganancia positiva, s proporciona información acerca de la convergencia de qm y qm , ya que (5.4) se puede interpretar como una ecuación diferencial de primer orden en qm , con entrada s. Si se garantiza que s tienda exponencialmente a cero, entonces q y q también tienden a cero m m exponencialmente. La ecuación del subsistema mecánico completo se obtuvo en la sección 3.4 del capítulo 3, esta es: Dm qm + Cm qm + g (qm ) = τ em , (5.5) donde Dm > 0 es la inercia total del subsistema mecánico (suma de la inercia del rotor y la 1 inercia del brazo), Cm ≥ 0 es el coeficiente de fricción del motor y g ( qm ) = mGl sin qm es 2 una función no lineal de la posición del rotor qm. 75 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para considerar la dinámica deseada en la carga mecánica y diseñar el controlador del subsistema mecánico, se encuentra la ecuación dinámica del error combinado de seguimiento s, restando ( Dm qr + Cm qr ) a ambos lados de (5.5), Dm (qm − qr ) + Cm (qm − qr ) = τ emd − [ Dm qr + Cm qr + g (qm )], (5.6) que expresada en términos de s y qr está dada por: Dm s + Cm s = τ emd − [ Dm qr + Cm qr + g (qm )]. (5.7) Para el análisis de estabilidad del subsistema mecánico se propone la siguiente función candidata de Lyapunov: Vm = 1 Dm s 2 , 2 (5.8) donde el subíndice m indica que se refiere a la parte mecánica. Ya que Dm es positiva, la función candidata cumple con la primera condición del análisis de estabilidad de Lyapunov, que es ser positiva definida, esto es, Vm > 0, para toda s ≠ 0 y es cero cuando s es igual a cero. Obteniendo la derivada con respecto al tiempo de la función candidata, a lo largo de la trayectoria de (5.7), se obtiene: Vm = Dm ss. (5.9) Despejando Dm s de (5.7) y sustituyendo en (5.9), Vm = τ emd − Dm qr − Cm ( qr + s ) − g (qm )  s, (5.10) Para cumplir con la segunda condición del análisis de Lyapunov, la cual establece que la derivada con respecto al tiempo de la función candidata debe ser por lo menos negativa semidefinida, se hace la siguiente igualdad. τ em − Dm qr − Cm qm − g (qm ) = −Γ s s, (5.11) Vm = − sT Γ s s, (5.12) d donde Γs es positiva. con lo que se cumple que la derivada con respecto al tiempo de la función candidata sea negativa definida, es decir, −Vm es positiva definida. 76 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono De la ecuación (5.11) se obtiene el par deseado para garantizar el seguimiento de la trayectoria deseada, además de asegurar la estabilidad del sistema, τ em = −Γ s s + Dm qr + Cm qm + g (qm ). d (5.13) La derivada con respecto al tiempo del par electromagnético deseado también será necesaria para el diseño del controlador del subsistema eléctrico, como se vera más adelante; τem = −Γ s s + Dm qr + Cm qm + d dg (qm ) . dt (5.14) Una vez que se tiene la expresión para el par electromagnético deseado y su derivada con respecto al tiempo, se procederá al diseño del controlador del subsistema eléctrico el cual debe garantizar que el par generado seguirá al par deseado. Este procedimiento se sigue tanto para el MS de imanes permanente como para el MS con devanado de campo. 5.3 Control basado en pasividad del subsistema eléctrico del MS de imanes permanentes La variable a regular en el subsistema eléctrico es el par electromagnético generado por el motor. Note que la posición y la velocidad del motor están relacionadas con el par electromagnético por medio de una simple ecuación diferencial (5.5). El subsistema eléctrico en lazo cerrado debe cumplir con: limt →∞ (τ em − τ emd ) = 0 El par electromagnético se intenta regular imponiendo un valor deseado a las corrientes en los devanados. Corrientes deseadas El primer paso en el diseño del controlador del subsistema eléctrico es la elección de las corrientes deseadas. Las corrientes deseadas se eligen de manera que estas produzcan el par deseado, esto es, lim t →∞ qer = qerd implica lim t →∞ τ em = τ emd 77 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Las corrientes deseadas se obtienen a partir de la expresión del par electromagnético deseado. La expresión del par en el MR fijo al rotor (3.48) con los valores deseados del par y las corrientes es, 3 τ em = n p q2r ( 3q1r L∆m + λm ) , 2 d d d (5.15) donde q1rd y q2rd son las corrientes deseadas del estator a lo largo de los ejes d y q del rotor, T respectivamente, es decir, qer =  q1rd q2rd  . Se elige el valor deseado de la corriente q1rd igual a cero, con objeto de obtener una expresión para el par similar a la del motor de corriente directa (CD) (4.2), de manera similar al control vectorial. Además en (5.15) q1rd está multiplicando a L∆m , el cual es cero para un motor de rotor cilíndrico donde la inductancia a lo largo de los ejes d y q del rotor son iguales. τ em d q 1r d =0 = 3 n p λm q2rd . 2 (5.16) De aquí se obtiene que: q2rd = 2τ emd 3n p λm , (5.17) El vector de corrientes deseadas y su derivada con respecto al tiempo son:  0   0   2τ    r q =  emd  ; qed =  2τemd  .  3n p λm   3n p λm  r ed (5.18) Este vector de corrientes deseadas y su derivada con respecto al tiempo están en función de parámetros conocidos, el número de pares de polos del motor np y la amplitud máxima del flujo de los imanes permanentes, y del par deseado (5.13) y su derivada con respecto al tiempo (5.14), los cuales se obtuvieron en la sección anterior. Así el problema de control de la parte eléctrica se reduce a garantizar que las corrientes en los devanados del motor sigan a las corrientes deseadas garantizando la estabilidad del sistema. En lazo cerrado se debe satisfacer: limt →∞ (qer − qerd ) = 0 78 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Ecuación del error del subsistema eléctrico Una vez elegidas las corrientes deseadas de manera que produzcan el par electromagnético deseado, el siguiente paso es la obtención de la ecuación del error del subsistema eléctrico. El comportamiento dinámico del subsistema eléctrico del MS de imanes permanentes en el MR fijo al rotor (3.43) se describe mediante la siguiente ecuación: Σ e : Der qer + W1r qm qer + W2r qm + Rer qer = u r (5.19) donde:  Ld 0  Der =  ,  0 Lq   0 − Lq  , W1r = n p  0   Ld (5.20) 0 W2r = n p   , λm  Rer = diag[rs , rs ]. (5.21) La dinámica deseada de este subsistema, es decir, la dinámica donde todas las variables eléctricas alcanzan sus valores deseados es la siguiente: Der qerd + W1r qm qerd + W2r qm + Rer qerd = udr (5.22) Restando la dinámica deseada (5.22) al modelo del subsistema eléctrico (5.19), obtenemos la ecuación del subsistema eléctrico en términos del error de corrientes, ( ) Der e + W1r qm e + Rer e = u r − Der qerd + W1r qm qerd + W2r qm + Rer qerd , (5.23) donde el error e y su derivada con respecto al tiempo e están dados por: e = qer − qerd , e = qer − qerd . (5.24) La ecuación (5.23) se puede rescribir de la siguiente manera: Der e + Cer e + Rer e = ψ 79 (5.25) Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono donde: ψ = u r − ( Der qer + Cer qer + Rer qer + W2r qm ) , d d d  0 − Lq  Cer = W1r qm + Z1 = n p qm  , 0   Lq rs 0  Rer = Rer − Z1 =  , 3L∆m n p qm rs  0 0  Z1 =  .  −3L∆m n p qm 0  (5.26) (5.27) (5.28) (5.29) Donde la matriz Z1 se ha seleccionado con la finalidad de que se cumpla que Cer sea antisimétrica (es decir Cer = − ( Cer ) ), lo cual es útil en el análisis de estabilidad del T sistema, como se vera más adelante. Para el motor de rotor cilíndrico Ld = Lq y L∆m = 0 , por tanto la matriz W1r qm es antisimétrica, y la matriz Z1 es igual a cero. Señal de control Si u r ≡ udr se cumple que ψ ≡ 0, lo cual garantiza que el punto de equilibrio de (5.25) sea e = 0 . Tomando en cuenta esto, de (5.26) se obtiene la ley de control, u r = Der qerd + Cer qerd + Rer qerd + W2r qm (5.30) Para garantizar la estabilidad del sistema se inyecta amortiguamiento al sistema agregando el término –K1e a la señal de control dada en (5.30), u r = Der qerd + Cer qerd + Rer qerd + W2r qm − K1e (5.31) Ya que no se tiene control sobre el campo magnético producido por los imanes permanentes, es razonable que el término debido a estos, W2r qm , sea cancelado por la señal de control. Esta ley de control (5.31) produce que la ecuación del error (5.25) sea ahora, Der e + Cer e + ( Rer + K1 ) e = 0 (5.32) Haciendo e = 0 se encuentra que el punto de equilibrio de (5.32) es e = 0 como se desea. 80 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para determinar el valor de K1 se emplea el análisis de estabilidad de Lyapunov, como se muestra a continuación. Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico. La función candidata de Lyapunov para el análisis de estabilidad del subsistema eléctrico se elige igual a: 1 Ve = eT Der e, 2 (5.33) Esta se puede ver como la función de energía deseada para el subsistema eléctrico en lazo cerrado. Ve tiene un mínimo cuando el error de corriente e vale cero. La primer condición que establece el análisis de estabilidad de Lyapunov es que la función candidata de Lyapunov (5.33) sea positiva definida, esta condición se cumple ya que (como se menciono en la sección 3.2.2 del capítulo 3) la matriz de inductancias Der es simétrica y positiva definida, es decir, Der = ( Der ) > 0 . T La segunda condición señala que la derivada con respecto al tiempo de la función candidata de Lyapunov debe ser por lo menos negativa semidefinida. Para la segunda condición se obtiene la derivada con respecto al tiempo de Ve, a lo largo de trayectoria de (5.32), Ve = eT Der e, (5.34) Despejando Der e de (5.32) y sustituyendo en (5.34), Ve = eT  −Cer − ( Rer + K1 )  e, (5.35) Ya que Cer es antisimétrica (5.27), y por tanto eT ( Cer ) e = 0 . Por lo que la ecuación (5.35) se reduce a, Ve = −eT ( Rer + K1 ) e 81 (5.36) Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Para que (5.36) sea negativa definida, y por tanto se cumpla la segunda condición del análisis de estabilidad de Lyapunov, es necesario que ( Rer + K1 ) sea positiva definida, lo cual se logra escogiendo, k  K1 =   −3L∆m n p qm 0 , k  (5.37) siendo k > 0; con lo cual, r + k Rer + K1 =  s  0 0  . rs + k  (5.38) Así la matriz ( Rer + K1 ) es positiva definida y por tanto (5.36) es negativa definida, es decir, −V es positiva definida. Con esto y a partir del Teorema de Lyapunov [Sastry, 1999] se e concluye que el sistema (5.32) es asintóticamente estable. Componentes de la señal de control ur Ya que se conocen Der , Cer , Rer , W2r y K1 de la ley de control (5.31) se descompone en sus componentes u1r y u2r a lo largo de los ejes d y q del rotor, respectivamente; u1r = Ld q1rd − Lq n p qm q2rd + rs q1rd − ke1 , u2r = Lq q2rd + Lq n p qm q1rd + 3L∆m n p qm q1rd + rs q2rd + n p λm qm + 3L∆m n p qm e1 − ke2 . (5.39) Finalmente sustituyendo las expresiones para las corrientes deseadas y su derivada con respecto al tiempo (5.18), en función del par electromagnético deseado y su derivada con respecto al tiempo, tenemos, u1r = − u = r 2 2qm Lqτ emd − ke1 , 3λm 2 3n p λm Lqτemd 2rs + τ em + n p λm qm + 3L∆m n p qm e1 − ke2 . 3n p λm d (5.40) e1 = q1r − q1rd y e2 = q2r − q2rd son las componentes del error de seguimiento de corrientes definido en (5.24). 82 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El estado del motor está formado por las corrientes en los devanados del estator, la velocidad y la posición. El cuarto término de la componente de la señal de control u2r se multiplica la velocidad qm por e1 = q1r − q1rd , y al multiplicar dos estados es un término no lineal, lo que hace a su vez que el controlador sea no lineal. Con estás señales de control se da por terminado el diseño del controlador basado en pasividad del MS de imanes permanentes. 5.3.1. Simulación El orden en que se lleva al cabo los cálculos durante cada paso en la simulación para el controlador basado en pasividad para ambos motores, MS de imanes permanentes y MS con devanado de campo, se da en la siguiente tabla: Orden 1 2 3 Tabla 5.1. Orden de los cálculos para la simulación. Nombre Variables que se calculan Variables de necesarias para el calculo r Motor - Corrientes qe - Voltajes (señal de control) u r - Posición qm - Velocidad qm - Par τ em - Par deseado y su derivada - Posición deseada y sus Controlador τ emd , τemd derivadas qmd , qmd , qmd , qmd subsistema mecánico - Posición qm - Velocidad qm - Par τ em Controlador subsistema eléctrico - Voltajes (señal de control) u r - Par deseado y su derivada τ emd , τemd - Corrientes qer - Velocidad qm Los parámetros del MS de imanes permanentes son los mismos que para el control vectorial. Los cuales están dados en la tabla 3.1 del capítulo 3. En la figura 5.2 se muestran las señales de control (izquierda) u1r y u2r en el MR fijo al rotor, y las corrientes en estator (derecha). Se puede ver como las corrientes siguen a sus valores deseados, q1r es prácticamente cero y q2r es proporcional al par desarrollado por el motor (Figura 5.3). 83 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono q2r u2r u1r q1r Figura 5.2. Voltajes aplicados al estator (izquierda), y corrientes del estator (derecha). El par electromagnético τ em (izquierda) y el error de seguimiento del par (derecha) se presentan en la figura 5.3. El error de par se define como el par electromagnético desarrollado por el motor τ em menos par deseado τ em d , el cual está en función de la trayectoria deseada, y la velocidad y posición deseada (ec. 5.13). Figura 5.3. Par electromagnético (izquierda), y error de par (derecha). La variable a regular del motor es la velocidad (izquierda), la cual se muestra en la figura 5.4, además del error de velocidad (derecha). El valor absoluto del máximo error de velocidad, en un tiempo de simulación de 6 seg., es de 1.2890x10–4 rad/seg., esto es, aproximadamente el 0.0016 % del valor absoluto de la velocidad máxima (7.8540 rad/seg.) 84 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura 5.4. Velocidad (izquierda), y error de velocidad (derecha) En la figura 5.5 se muestra el ITAE para el error de velocidad de este controlador para un tiempo de simulación de 100 seg. El valor que alcanza el ITAE en este tiempo de simulación es 0.0215. Figura 5.5. ITAE del error de velocidad 5.4 Control basado en pasividad del subsistema eléctrico MS con devanado de campo A continuación se repetirá el procedimiento de diseño del controlador basado en pasividad del subsistema eléctrico para el MS con devanado de campo. Al igual que en MS de imanes permanentes la variable a regular en subsistema eléctrico es el par generado por el motor. Esto se logra imponiendo un valor deseado a las corrientes en los devanados. 85 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El modelo del MS con devanado de campo a utilizar para este diseño es el del MR fijo al rotor sin considerar los devanados amortiguadores. El subsistema eléctrico en lazo cerrado debe de cumplir con: limt →∞ (τ em − τ emd ) = 0 Corrientes deseadas Las corrientes deseadas se eligen de manera que estas produzcan el par deseado, esto es, implica limt →∞ τ em = τ emd limt →∞ qer = qerd Para obtener la expresión para las corrientes deseadas se parte de la ecuación del par electromagnético en el MR fijo al rotor (3. 55) con todos los valores deseados, esto es, 3 τ em = n p q2r ( 3L∆m q1r + Ldf q3r ) , (5.41) 2 donde q1r y q2r son las corrientes deseadas del estator a lo largo de los ejes d y q del rotor d d d d d d respectivamente, y q3rd es la corriente deseada del devanado de campo, la cual esta a lo largo del eje d. Esta expresión para el par deseado (5.41), es muy similar a la del MS de imanes permanentes (5.15), con diferencia del último término, el cual está relacionado con el flujo de campo, que en este caso es producido por el devanado inductor, Ldf q3rd . Por razones similares a las del MS de imanes permanentes se elige la corriente q1rd igual a cero y la expresión del par deseado (5.41) se reduce a: τ em d q 1r d =0 = 3 n p Ldf q3rd q2rd . 2 (5.42) La corriente en el devanado de campo se elige constante, de forma que produzca un flujo Ldf q3rd constante. De esta forma se obtiene que: q2rd = 2τ emd 3n p Ldf q3rd 86 , (5.43) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El vector de corrientes deseadas y su derivada con respecto al tiempo son:  0   2τ emd qerd =  3n L q r  p df 3d  q3r d    0    r  2τemd = ; q ed   3n L q r   p df 3d   0    .    (5.44) El problema de control de la parte eléctrica se reduce a garantizar que las corrientes en los devanados del motor sigan a las corrientes deseadas garantizando la estabilidad del sistema. En lazo cerrado se debe satisfacer: limt →∞ (qer − qerd ) = 0 Ecuación del error del subsistema eléctrico La ecuación que describe el comportamiento dinámico del subsistema eléctrico del MS con devanado de campo en el MR fijo al rotor se obtuvo en la sección 3.22 del capítulo 3 y es: Σ e : Der qer + W1r qm qer + Rer qer = u r (5.45) donde:  Ld  D = 0  Ldf  r e 0 Lq 0 Ldf   0 , L ff   0 − Lq 0  W = n p  Ld 0 Ldf  ,  0 0 0  Rer = diag[rs , rs , rf ]. r 1 (5.46) (5.47) La dinámica deseada de este subsistema, es decir, la dinámica donde todas las variables eléctricas alcanzan sus valores deseados es la siguiente: Der qerd + W1r qm qerd + Rer qerd = udr 87 (5.48) Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Restando la dinámica deseada (5.48) al modelo del subsistema eléctrico (5.45), obtenemos la ecuación del subsistema eléctrico en términos del error de corrientes, ( ) Der e + W1r qm e + Rer e = u r − Der qerd + W1r qm qerd + Rer qere , (5.49) donde el error e y su derivada con respecto al tiempo e están dados por: e = qer − qerd , e = qer − qerd . (5.50) Se elige una matriz Z1 con la finalidad de que se cumpla que Cer sea antisimétrica, lo cual es útil en el análisis de estabilidad del sistema. Tomando en cuenta esto la ecuación (5.49) se rescribe de la siguiente manera: Der e + Cer e + Rer e = ψ (5.51) donde: ψ = u r − ( Der qer + Cer qer + Rer qer ) , (5.52) 0  C = W qm + Z1 = n p qm  Lq 0  (5.53) d r e d r 1  rs  R = R − Z1 = 3L∆m n p qm  0  r e r e  0  Z1 =  −3L∆m n p qm  0  d 0   Ldf  , 0 − Ldf 0  0 0  rs 0 , Ldf n p qm rf  0 0 − Ldf n p qm − Lq 0  0 . 0  (5.54) Para el motor de rotor cilíndrico Ld = Lq y L∆m = 0 , por tanto la matriz W1r qm es antisimétrica, y la matriz Z1 es igual a cero. Señal de control Para garantizar que (5.51) tenga su punto de equilibrio en e = 0 , se hace u r ≡ udr de modo que cumpla con ψ ≡ 0. Con esto de (5.52) se obtiene la ley de control, u r = Der qerd + Cer qerd + Rer qerd 88 (5.55) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Se inyecta amortiguamiento al sistema agregando el término –K1e a la señal de control dada en (5.55), para garantizar la estabilidad del sistema, como se verá en el análisis de estabilidad del subsistema eléctrico; u r = Der qerd + Cer qerd + Rer qerd − K1e (5.56) Aplicando esta ley de control (5.56) la ecuación del error (5.51) es ahora, Der e + Cer e + ( Rer + K1 ) e = 0 (5.57) El valor de K1 se determinará mediante el análisis de estabilidad de Lyapunov. Análisis de estabilidad del subsistema eléctrico. Para el subsistema eléctrico se elige la siguiente función de energía deseada 1 Ve = eT Der e, 2 (5.58) La primera condición que establece el análisis de estabilidad de Lyapunov se cumple ya que la matriz de inductancias Der es simétrica y positiva definida, como se mencionó en la sección 3.2.2 del capítulo 3. Evaluando la derivada con respecto al tiempo de Ve, a lo largo de trayectoria de (5.57), Ve = eT Der e, (5.59) Despejando Der e de (5.57) y sustituyendo en (5.59), Ve = eT  −Cer − ( Rer + K1 )  e. (5.60) Z1 se eligió de manera que Cer sea antisimétrica, y por tanto eT Cer e = 0 . Por lo que la ecuación (5.60) se reduce a, Ve = −eT ( Rer + K1 ) e (5.61) Es necesario que ( Rer + K1 ) sea positiva definida para que (5.61) sea negativa definida, y por tanto se cumpla la segunda condición del análisis de estabilidad de Lyapunov, para lo cual se elige, 89 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono  k  K1 =  −3L∆m n p qm  0  0  0 , k  (5.62) 0   0 . rf + k  (5.63) 0 k − Ldf n p qm siendo k > 0; así,  rs + k  Rer + K1 =  0  0  0 rs + k 0 Como la matriz ( Rer + K1 ) es positiva definida se logra que (5.61) sea negativa definida, con lo que se concluye que el sistema es asintóticamente estable. Componentes de la señal de control ur Se conocen Der , Cer , Rer y K1 por tanto la ley de control (5.56) se puede descomponer en sus componentes u1r y u2r del estator a lo largo de los ejes d y q del rotor, respectivamente; y u3r del rotor. u1r = Ld q1rd + Ldf q3rd − Lq n p qm q2rd + rs q1rd − ke1 , u2r = Lq q2rd + Ld n p qm q1rd + Ldf n p qm q3rd + 3L∆m n p qm q1rd + rs q2rd + 3L∆m n p qm e1 − ke2 , (5.64) u3r = Ldf q1rd + L ff q3rd + rf q3rd + Ldf n p qm e2 − ke3 , Al sustituir las expresiones para las corrientes deseadas y su derivada con respecto al tiempo (5.44), en función del par electromagnético deseado y su derivada con respecto al tiempo, tenemos, u1r = − u2r = 2 Lq qm τ emd − ke1 , 3Ldf q3rd 2 Lq r 3d 3n p Ldf q τem + Ldf n p qm q3r + d d 2rs τ em + 3L∆m n p qm e1 − ke2 , 3n p Ldf q3rd d u3r = rf q3rd + Ldf n p qm e2 − ke3 . 90 (5.65) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono El estado del motor está formado por las corrientes en los devanados del estator, la velocidad y la posición. Este control (5.65) es no lineal ya que las componentes u2r y u3r contienen un término que multiplica la velocidad qm por e1 = q1r − q1rd y e2 = q2r − q2rd , respectivamente. 5.4.1. Simulación El orden en que se lleva al cabo los cálculos durante cada paso en la simulación es el que se da en la tabla 5.1 (Pág. 83). Los parámetros del MS con devanado de campo para esta simulación están dados en la tabla 3.2 del capítulo 3. Los voltajes aplicados a los devanados del estator en el MR fijo al rotor son las señales de control u1r y u2r las cuales se muestran en la figura 5.6, en esta misma se muestran las corrientes en estator (derecha). Las corrientes en los devanados del estator siguen a sus valores deseados, q1r es prácticamente cero y q2r es proporcional al par desarrollado por el motor (Figura 5.8). u q2r r 2 u1r q1r Figura 5.6. Voltajes aplicados al estator (izquierda), y corrientes del estator (derecha). En la figura 5.7 se muestran la corriente del devanado de campo (izquierda) y el flujo del motor (derecha). El valor deseado del flujo es de 0.069 N-m/A, al igual que para el controlador vectorial. La corriente de campo deseada se obtiene al dividir el flujo deseado entre la inductancia Ldf, ya que como se mencionó el flujo es producido por el devanado inductor y es igual a Ldf q3rd . El flujo se establece rápidamente en el valor deseado. 91 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura 5.7. Corriente del devanado de campo (izquierda), y flujo del motor (derecha). En la figura 5.8 se presentan el par electromagnético τ em (izquierda) y el error de seguimiento del par (derecha). Figura 5.8. Par electromagnético (izquierda), y error de par (derecha). La velocidad (izquierda) y el error de velocidad (derecha) se muestran en la figura 5.9. El valor absoluto del máximo error de velocidad, en un tiempo de simulación de 6 seg., es de 1.1361x10–4 rad/seg., esto es, aproximadamente el 0.0014 % del valor absoluto de la velocidad máxima (7.8540 rad/seg.) 92 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura 5.9. Velocidad (izquierda), y error de velocidad (derecha) En la figura 5.10 se muestra el ITAE para el error de velocidad de este controlador para un tiempo de simulación de 100 seg. El valor que alcanza el ITAE en este tiempo de simulación es 0.0134. Figura 5.10. ITAE del error de velocidad 5.5 Análisis de estabilidad del sistema completo Para probar que el estado tiende al valor deseado se analiza en esta sección la estabilidad del sistema completo (subsistema eléctrico y subsistema mecánico). El estado del motor está compuesto por las corrientes de los devanados, la velocidad y la posición mecánica. La ecuación del error del subsistema mecánico es (5.7): Dm s + Cm s = τ em − [ Dm qr + Cm qr + g (qm )]. 93 (5.66) Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono donde s = qm + Γqm es el error combinado de seguimiento que es una combinación lineal del error de velocidad y el error de posición (5.4). La ecuación del error del subsistema eléctrico está dada en (5.32) para el MS de imanes permanentes y en (5.57) para el MS con devanado de campo. Esta tiene la mima forma para ambos motores, Der e + Cer e + ( Rer + K1 ) e = 0, (5.67) con las siguientes características: • La matriz de inductancia es simétrica y positiva definida, Der = ( Der ) > 0 , • La matriz Cer antisimétrica, y • T La matriz ( Rer + K1 ) es simétrica y positiva definida. Las dimensiones de todas estas matrices es ne x ne, donde ne es el número de devanados del motor. La función candidata de Lyapunov para el sistema completo se elige igual a la suma de las funciones candidatas para los subsistemas eléctrico y mecánico, 1 1 1 V = Ve + Vm = eT Der e + Dm s 2 = ecT Dec , 2 2 2 (5.68) donde ec = [eT s ]T , D = diag[ Der , Dm ]. (5.69) La función candidata de Lyapunov (5.68) cumple con ser positiva definida. ec es el vector formado por todos los errores del sistema, y la matriz D es simétrica y positiva definida. La derivada con respecto al tiempo de la función candidata a lo largo de las trayectorias del error (ecs. 5.66 y 5.67) es: , V = eT Der e + Dm ss (5.70) despejando Der e de (5.67) y Dm s de (5.66), y substituyendo ambos en (5.70) se obtiene V = eT  −Cer − ( Rer + K1 )  e + τ em − Dm qr − Cm ( qr + s ) − g (qm )  s, 94 (5.71) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono ya que Cer es antisimétrica, se cumple que eT Cer e = 0 , usando esto y la igualdad (5.11) la cual establece que τ em − Dm qr − Cm qm − g (qm ) = −Γ s s, tenemos, V = −eT ( Rer + K1 ) e − Γ s s 2 = −ecT Rec , (5.72) R = diag ( Rer + K1 ), Γ s  , (5.73) donde R es simétrica y positiva definida. Por tanto V cumple con ser negativa definida y se concluye que el sistema completo es asintóticamente estable. Una propiedad de las matrices simétricas y positivas definidas es la siguiente [Sastry, 1989]: Sea A una matriz simétrica y positiva definida p x p y x un vector columna de n elementos, entonces se cumple que: 2 2 λmin ( A) x ≤ xT Ax ≤ λmax ( A) x , (5.74) donde λmin(A) y λmax(A) representan a los valores propios mínimo y máximo de A, respectivamente, y x representa la norma 2 de x. Entonces se cumple que: 2 ecT Rec ≥ λmin ( R) ec , 2 λmax ( D) ec ≥ ecT Dec , (5.75) (5.76) ya que todos los valores propios de una matriz positiva definida son positivos, de (5.76) se tiene que, ec 2 ecT Dec ≥ , λmax ( D) (5.77) λmin ( R) T e Dec , λmax ( D) c (5.78) de (5.75) y (5.77) se obtiene ecT Rec ≥ 95 Capítulo 5. Control no lineal basado en pasividad de un motor síncrono 1 La función candidata de Lyapunov es V = ecT Dec , y su derivada con respecto al tiempo 2 T es V = −ec Rec , sustituyendo estas expresiones en (5.78) V ≥ −γ V , (5.79) donde γ =2 λmin ( R) > 0. λmax ( D) (5.80) Resolviendo (5.79) para V se obtiene V ≤ V ( 0 ) e −γ t (5.81) V(0) es el valor inicial de la función candidata y e es la función exponencial. Ya que 1 T V ( 0 ) = ec ( 0 ) Dec ( 0 ) , de (5.80) 2 ecT Dec ≤ ec ( 0 ) Dec ( 0 ) e −γ t , T (5.82) usando (5.74) se deduce que 2 ec ≤ 2 λmax ( D) ec ( 0 ) e −γ t , λmin ( D) (5.83) lo que implica que los errores, del subsistema eléctrico e y del subsistema mecánico s, tienden a cero exponencialmente, es decir, el estado tiende al valor deseado. 96 Capítulo 6 ANÁLISIS COMPARATIVO RESULTADOS Y CONCLUSIONES DE En este capítulo se hace un análisis comparativo de los resultados obtenidos en las simulaciones de los controladores por campo orientado y basado en pasividad para cada uno de los motores síncronos analizados en este trabajo de tesis, motor síncrono (MS) de imanes permanente y MS con devanado de campo. Además se presentan las conclusiones del trabajo. 6.1 Análisis del índice de desempeño El índice de desempeño se obtiene a partir del error de velocidad, entre menor es el valor del índice de desempeño para un controlador mejor es el seguimiento a la referencia. El índice de desempeño empleado en este trabajo es el de la integral del producto del valor absoluto del error por el tiempo ITAE (por sus siglas en inglés), del error de velocidad; este se calcula de la siguiente manera [Ogata, 1993]: ∞ ITAE = ∫ t e ( t ) dt 0 97 (6.1) Capítulo 6. Análisis comparativo de resultados y conclusiones Donde e(t) es el error, es decir la diferencia entre el valor deseado y el valor real de la variable de interés, en este caso la velocidad del motor. El ITAE se utiliza en este trabajo para evaluar el desempeño de los controladores diseñados, a saber, control por campo orientado (capítulo 4) y control basado en pasividad (capítulo 5). Se realiza una comparación del desempeño de estos controladores del MS de imanes permanentes, así como del MS con devanado de campo. Este índice de desempeño da mayor peso a los errores en estado estacionario ya que el valor absoluto del error es ponderado por el tiempo en el cual ocurre cada error. Para el MS de imanes permanentes los índices de desempeño para el controlador vectorial (CV) y para el controlador basado en pasividad (CBP) se muestran juntos en la figura 6.1 para un tiempo de simulación de 100 seg. Cabe señalar que las simulaciones se realizaron bajo las mismas condiciones, es decir, misma carga mecánica, mismos parámetros del motor y de la carga, y misma referencia. La línea continua (–––––––) representa el ITAE del control vectorial y la línea discontinua (-----------) al ITAE del controlador basado en pasividad. CV CBP Figura 6.1. Índices de desempeño para los controladores del MS de imanes permanentes En la figura 6.2 se muestran juntos los índices de desempeño para los controladores vectorial y basado en pasividad del MS con devanado de campo en un tiempo de simulación de 100 seg. para condiciones iguales. 98 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono CV CBP Figura 6.2. Índices de desempeño para los controladores del MS con devanado de campo En ambas figuras, 6.1 y 6.2, es imposible visualizar la gráfica del índice de desempeño para el controlador basado en pasividad, ya que el valor de este es mucho menor que el correspondiente al control vectorial. Para apreciar mejor la diferencia entre los desempeños de ambos controladores para cada motor en la tabla 6.1 se presentan los valores alcanzados por el ITAE en este tiempo de simulación (100 seg.). Tabla 6.1. ITAE de los controladores vectorial y basado en pasividad para ambos motores Motor Controlador ITAE MS de imanes permanentes Vectorial 228.08 Basado en Pasividad 0.0215 MS con devanado de campo Vectorial 115.61 Basado en Pasividad 0.0134 De las figuras 6.1 y 6.2, y de la tabla 6.1 se ve que el índice de desempeño es menor para el controlador basado en pasividad que para el control vectorial bajo las mismas condiciones. Por tanto se concluye que el controlador basado en pasividad tiene un mejor seguimiento de velocidad que el controlador vectorial. 6.2 Análisis del error de seguimiento de velocidad Otra forma de confrontar el desempeño de los controladores es comparar directamente el error de seguimiento de velocidad para cada controlador. En esta sección se examinan los errores de velocidad obtenidos en las simulaciones realizadas a lo largo de este trabajo de tesis. 99 Capítulo 6. Análisis comparativo de resultados y conclusiones En la figura 6.3 se presentan juntos los errores de velocidad para el controlador vectorial y el controlador basado en pasividad del MS de imanes permanentes, el tiempo de simulación fue de 6 seg. y dichas simulaciones se realizaron bajo las mismas condiciones, es decir, misma carga mecánica, mismos parámetros del motor y de la carga, y misma referencia. La línea continua (–––––––) representa el error de velocidad del control vectorial y la línea discontinua (-----------) al error de velocidad del controlador basado en pasividad. CV CBP Figura 6.3. Errores de velocidad de los controladores del MS de imanes permanentes Para el MS con devanado de campo los errores de velocidad del controlador vectorial y del controlador basado en pasividad se muestran juntos en la figura 6.4 para un tiempo de simulación de 6 seg. CV CBP Figura 6.4. Errores de velocidad de los controladores del MS con devanado de campo 100 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono En las figuras 6.3 y 6.4, es difícil visualizar el error de seguimiento de velocidad del controlador basado en pasividad, ya que este es mucho menor que el correspondiente al control vectorial. Para apreciar mejor la diferencia entre las magnitudes de los errores de velocidad en la tabla 6.2 se presentan el valor absoluto del máximo error para cada controlador en un tiempo de simulación de 6 seg. En esta tabla también se presenta el porcentaje de la velocidad máxima (7.8540 rad/seg.) de referencia que este error representa. Tabla 6.2. Error de seguimiento de velocidad de los controladores vectorial y basado en pasividad para ambos motores Valor absoluto del máximo Porcentaje de la Motor Controlador error (rad/seg.) velocidad máxima MS de imanes permanentes MS con devanado de campo Vectorial Basado en Pasividad Vectorial Basado en Pasividad 0.1153 1.2890x10–4 0.0489 1.1361x10–4 1.47 % 0.0016 % 0.6228 % 0.0014 % Al igual que para el ITAE, el error de seguimiento es menor para el controlador basado en pasividad que para el control vectorial bajo las mismas condiciones. Por tanto se reafirma que el controlador basado en pasividad tiene un mejor seguimiento de velocidad que el controlador vectorial tanto para el MS de imanes permanentes como para el MS con devanado de campo. 6.3 Conclusiones Como aspectos importantes a destacar en este trabajo de tesis se tienen los siguientes: • El circuito equivalente monofásico fue bastante útil para analizar la operación del motor en estado estacionario. Así, con el circuito equivalente se determinó la ecuación de la potencia electromagnética real Pem por fase (2.24) y a partir de esta es bastante sencillo calcular la potencia electromagnética total desarrollada por el motor la cual está dada por 3 ⋅ Pem . Un aspecto a destacar en el análisis del motor fue que el valor máximo de la potencia desarrollada se alcanza cuando el ángulo δ es igual a π/2 para el caso particular donde Ra = 0 , y para el caso donde se considera Ra ≠ 0 el valor del ángulo de potencia se encontró calculando el máximo de Pem (2.24) el cual resulto ser δ = φz . 101 Capítulo 6. Análisis comparativo de resultados y conclusiones • El modelado del MS de imanes permanentes y del MS con devanado de campo se realizó por medio del análisis tradicional de circuitos eléctricos y por medio de la ecuación Euler – Lagrange (E-L). El modelo obtenido usando el método tradicional de modelado, el cual utiliza las leyes de Kirchhoff para la parte eléctrica y la segunda ley de Newton para la parte mecánica, es similar al modelo obtenido mediante la formulación E-L lo único que cambio fue la diferente nomenclatura empleada, por ejemplo, para la matriz de inductancia se empleó L para el análisis tradicional mientras que en el modelado E-L se empleó De. Así, se tienen dos modelos trifásicos similares para el MS de imanes permanentes el modelo obtenido mediante el análisis tradicional (3.6) y (3.7), y el modelo obtenido empleando la ecuación de E-L (3.32). Al igual para el MS con devanado de campo se tiene que los modelos tradicional (3.13) y (3.14), y el modelo E-L (3.39) son similares. Con el empleo de las ecuaciones de E-L para modelar un sistema electromecánico no es necesario hacer separaciones en los diferentes subsistemas, y por tanto no hay que determinar la interacción entre las distintas dinámicas. Además esta técnica variacional nos proporciona un método sencillo y sistemático para modelado de sistemas físicos. Los modelos trifásicos obtenidos por medio de las ecuaciones de E-L tienen la desventaja de ser modelos complejos, los cuales tienen acoplamiento entre las dinámicas del motor y la matriz de inductancias es dependiente de la posición del rotor por lo que los coeficientes de las ecuaciones diferenciales son variantes en el tiempo. • La teoría del marco de referencia (MR) para realizar transformaciones fue bastante útil. Con estas transformaciones se logró una reducción del orden de los modelos y se eliminó la variación de la matriz de inductancias con la posición del rotor. El empleo de modelos transformados simplifica el trabajo de diseño y sólo se necesitan evaluar dos señales de control para el estator en lugar de tres. Además la teoría del MR en el control vectorial se empleó para obtener una ecuación del par para el motor en cuestión similar a la del motor de corriente directa (CD) de excitación separada. Con una transformación adecuada, en este caso al MR fijo a los enlaces de flujo del estator, se logra un desacoplo de las variables flujo y par del motor. Por tanto al hacer esta transformación se puede controlar independientemente estas dos variables. Así el control vectorial consiste en realizar esta transformación, y posteriormente fijar el flujo a un valor constante y variar, por medio de una corriente, al par al valor deseado. 102 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono En el control basado en pasividad por medio de la transformación se obtuvo una expresión para el par más simple, de manera que fuera sencilla la elección de las corrientes deseadas para desarrollar el par deseado. Y el empleo de matrices transformadas al MR fijo al rotor simplificó el diseño del controlador, por ejemplo, fue más fácil determinar que la matriz Der es simétrica y positiva definida, y fue más sencillo buscar una matriz Z1 para buscar que Cer fuese antisimétrica. • Para el control basado en pasividad, la descomposición en subsistemas, eléctrico y mecánico, redujo el problema de seguimiento de velocidad a un problema de seguimiento de par; y posteriormente, mediante la elección adecuada de las corrientes deseadas, a un problema de seguimiento de corrientes. Se eligió la ley de control de manera que el sistema tenga un mínimo (punto de equilibrio) en el punto deseado, el cual es cuando el error vale cero, este proceso se conoce como moldeo de energía. Además se inyectó amortiguamiento para aumentar la velocidad de convergencia a este punto deseado. Por medio del análisis de estabilidad se demostró que para el controlador basado en pasividad diseñado se tiene una convergencia exponencial del estado, tanto mecánico como eléctrico, al valor deseado. Por lo tanto se concluye que el estado es acotado. Así se logró el objetivo de control de que el punto de equilibrio fuese cuando el error es igual a cero y además de asegurar que este punto de equilibrio es estable. • El seguimiento de velocidad para todos los controladores fue bueno, ya que el máximo error de velocidad fue menor del 2% (tabla 6.2). Sin embargo los desempeños de los controladores basados en pasividad son mejores que los controladores vectoriales para el mismo motor, y con las mismas condiciones, es decir, misma carga mecánica, mismos parámetros del motor y de la carga, y misma referencia. 103 Capítulo 6. Análisis comparativo de resultados y conclusiones 6.4 Trabajos futuros Algunos de los trabajos futuros que se podrían hacer como continuación de este trabajo de tesis son: • • • • • Emplear alguna otra técnica de control no lineal o inteligente para controlar la velocidad y posición del motor. En este trabajo se consideró que los parámetros del motor son conocidos y constantes, sin embargo en la práctica se presentan variaciones en los parámetros del motor como son las resistencias de los devanados. Como trabajo futuro se propone diseñar un controlador para hacer frente a las variaciones de los parámetros. Considerar el convertidor electrónico de potencia para el análisis, modelado, diseño del controlador y simulaciones. La construcción de un prototipo del controlador. La máquina síncrona es ampliamente utilizada para la generación de energía eléctrica, por tanto es interesante abordar la operación de esta máquina como generador. 104 Referencias [Bekkouche, 1998] [Blachke, 1972] [Bose, 1986] [Chapman, 1995] [Cortés, 2002] [Dawson, 1998] [Fitzgerald, 1996] [Goldstein, 1980] [Johnson, 1991] [Kosow, 1991] [Krause, 1995] [Kundur, 1994] [Lishevsky, 2000] [Luyben, 1997] Bekkouche D., Chenafa M., Mansouri A., Belaidi A., A Non-Linear Control of Robot Manipulators Driven by Induction Motors, AMC’ 98 Coimbra, pp 393-398 Blaschke F., The Principle of Field Orientation as Applied to the New Transvektor Close-Loop Control System for Rotating-Field Machines, Siemens Review, Vol 34, May 1972, pp. 217-220. Bose B. K., Power Electronics and AC Drives, Ed. Prentice-Hall, NJ 1986 Chapman S. J., Máquinas eléctricas, Ed. McGraw-Hill, México 1995 Cortés G., Control de Motores de Inducción Utilizando la Técnica de Rediseño de Lyapunov, Tesis Maestría, Cenidet, Cuernavaca, Mor., Diciembre 2002. Dawson D., Hu Jun, Burg T., Nonlinear Control of Electric Machinery, Inc., NY 1998. Fitzgerald A. E., Máquinas eléctricas, Ed. McGrawn-Hill, México 1996 Goldstein H., Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2nd. Ed. 1980. Johnson David E., Hilburn John L., Johnson Johnny R., Análisis básico de circuitos eléctricos, Prentice-Hall, México 1991 Kosow I. L., Máquinas eléctricas, Editorial Reverté, México 1991 Krause P. C., Analysis of electric machinery, IEEE Press, NY 1995 Kundur P., Power Systems Stability and Control, McGraw-Hill, Inc., USA 1994. Lyshevski S., Electromechanical Systems, Electric Machines and Applied Mechatronics, CRC Press, USA 2000 Luyben M., Essential of Proccess Control, McGraw-Hill, USA 1997 105 Referencias [Méndez, 2001] [Nicklasson, 1994] [Nicklasson, 1997] [Noble,1989] [Ogata, 1993] [Ong, 1998] [Ortega, 1997] [Ortega, 1998] [Petrovic, 2001] [Sastry, 1989] [Sastry, 1999] [Seleme, 1999] [Sen, 1989] [Shouse, 1998] [Slotine-Li, 1991] [Vas, 1990] [Wellstead, 1978] Méndez M., Controladores de Motores de Inducción: Un Análisis comparativo, Tesis Maestría, Cenidet, Cuernavaca, Mor., Marzo 2001. Nicklasson P.J., Ortega R., Espinoza-Pérez G., Passivity-based Control of the General Rotating Electrical Machine, CDC, Lake Buena Vista, Fl. Dec. 1994, pp 4018-4023 Nicklasson, P. J., Ortega R., Espinoza-Pérez G., Passivity Based Control of a Class of Blondel Park Transformable Electric Machines, IEEE Trans. on Automatic Control, Vol. 42 No.5 May, 1997, pp 629-647 Noble Ben, Daniel James W., Algebra Lineal Aplicada, 3era. Ed. Prentice-Hall, México 1989 Ogata K., Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall, México 1993 Ong C., Dynamic Simulation of Electric Machines, Prentice Hall, NJ 1998 Ortega R., Jiang Z. P., Passivity-Based Control of Nonlinear Systems: A Tutorial, Proc. of the American Control Conference, Albuquerque, NM, June 1997 Ortega R, Nicklasson P. J., Sira-Ramírez H., Passivity-Based Control of Euler-Lagrange Systems, Ed. Springer-Verlag, London 1998 Petrovic V. and Stankovic A. M., Modeling of PM Synchronous Motors for Control and Estimation Task, Proc. of IEEE CDC, Orlando, Fl, Dec. 2001. pp. 2229-2234. Sastry Shankar, Bodson Marc, Adaptive Control, Prentice Hall, NJ 1989 Sastry Shankar, Nonlinear Systems, Springer-Verlag, NY 1999 Seleme Isacc, Robot Motion Control with Induction Motors, Proc. Of Conference on Decision and Control, Phoenix, Arizona Dec. 1999, pp 347-352 Sen P.C., Principles of electric machines and power electronics, John Wiley & Sons, Inc. USA 1989 Shouse K. R., Taylor D. G., Sensorless Velocity Control of Permanent-Magnet Synchronous Motors, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 6, No. 3, May. 1998, pp 313-324 Slotine J., Li W., Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, E. U. 1991. Vas Peter., Vector Control of AC Machines, Oxford University Press, NY 1990 Wellstead P. E., Introduction to Physical Systems Modelling, Academic Press, 1978 106 Apéndice A MATRICES DE INDUCTANCIAS En este apéndice se presenta la forma en como se determinan los elementos de las matrices de inductancias del motor síncrono (MS) de imanes permanentes y del MS con devanado de campo. Estás inductancias se utilizaron por primera vez en el trabajo en el capítulo 3, donde se modelan los motores. A.1 Inductancias del MS de imanes permanentes La matriz de inductancias Lss para el MS de imanes permanentes tiene la siguiente forma [Lyshevski, 2000]: laa Lss = lba  lca lab lbb lcb lac  lbc  . lcc  (A.1) Si los subíndices de las inductancias son iguales indican que son inductancias propias y si son diferentes indican que es una inductancia mutua entre los dos devanados indicados por los subíndices. 107 Apéndice A. Matrices de inductancias Si el rotor es de polos salientes tendrá distintas permeancias magnéticas P d y P q a lo largo de los ejes directo y en cuadratura. Por lo tanto, las inductancias del estator son función del desplazamiento angular eléctrico del rotor θe. Inductancias propias del estator A continuación se determinan las inductancias propias del estator, un desarrollo más detallado se puede encontrar en [Kundur, 1994]. La inductancia propia del devanado de la fase a es igual a la razón de los enlaces de flujo y la corriente de dicha fase, con todas las demás corrientes iguales a cero. A continuación se determinan los enlaces de flujo de la fase a, con todas las corriente iguales a cero, excepto ia. La fuerza magnetomotriz de la fase a, Fa, tiene una distribución sinusoidal con valor máximo Nsia a lo largo del eje magnético de la fase a; si Fa se descompone a lo largo de los ejes d y q, produce las componentes de flujo en el entrehierro φd = PdFasinθe y φq = PqFacosθe, como se muestra en la figura A.1. Siendo Ns el número de vueltas efectivo por fase. Eje b Eje q Faq Φq θe Fa Eje a Φd Fad Eje d Eje c Figura A.1 Componentes de Fa a lo largo de los ejes d y q. Los enlaces de flujo del devanado de la fase a, que sólo se deben al flujo producido en el entrehierro por la propia fase, son: λaa 0 = N s (φd sin θ e + φq cos θ e ) , (A.2) sustituyendo los valores de φd y φq en la expresión anterior, se obtiene: λaa 0 = N sFa (Pd sin 2 θ e + Pq cos 2 θ e ) , 108 (A.3) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Aplicando cos 2 θ e = las siguientes identidades trigonométricas: sin 2 θ e = 1 1 − cos ( 2θ e ) 2 2 y 1 1 + cos ( 2θ e ) ; y agrupando términos, 2 2 P +P P -P  λaa 0 = N sFa  d q − d q cos 2θ e  . 2  2  (A.4) Usando laa 0 = λaa 0 λ Nλ = aa 0 = s aa 0 , ia Fa / N s Fa (A.5) entonces la componente de magnetización de la inductancia propia de la fase a está dada por:  Pd + Pq Pd - Pq  − laa 0 = N s2  cos 2θ e  , 2  2  laa 0 = Lm − L∆m cos 2θ e , (A.6)  Pd + P q  donde Lm = N s2   es el valor promedio de la inductancia de magnetización y  2   Pd - Pq  L∆m = N s2   es la amplitud pico de la variación sinusoidal de la inductancia de  2  magnetización. A esta inductancia de magnetización hay que agregarle la componente de dispersión Lls, debida al flujo producido por ia que no cruza el entrehierro sólo afecta al devanado de la fase a, laa = laal + laa 0 , laa = Lls + Lm − L∆m cos 2θ e . 109 (A.7) Apéndice A. Matrices de inductancias En la figura A.2 se muestra la variación de la inductancia laa con la posición eléctrica del rotor θe. laa L∆m _ Lm+Lls 0 π/2 π θe 3π/2 2π Figura A.2 Variación de la inductancia propia del devanado de la fase a. Dado que los devanados de las fases b y c son idénticos al devanado de la fase a y están desplazados de él por -2π/3 y 2π/3 radianes eléctricos respectivamente, siguiendo un procedimiento similar al de la fase a tenemos: 2   lbb = Lls + Lm − L∆m cos 2  θ e − π  , 3   2   lcc = Lls + Lm − L∆m cos 2  θ e + π  . 3   (A.8) Inductancias mutuas del estator Si el rotor es de polos salientes la inductancia mutua entre dos devanados cualesquiera del estator también exhibe una variación dependiente de θe. La inductancia mutua del devanado de la fase b debida a la corriente de la fase a es igual a la razón de los enlaces de flujo de la fase b y la corriente ia, con todas las demás corrientes iguales a cero. Los enlaces de flujo del devanado de la fase b, que sólo se deben al flujo magnético producido por la corriente ia, son:  2  2    λba = N s φd sin  θ e − π  + φq cos  θ e − π   , 3  3     (A.9) sustituyendo los valores de φd y φq en la expresión anterior, se obtiene:  2  2    λba = N sFa Pd sin θ e sin  θ e − π  + Pq cos θ e cos  θ e − π   , 3  3     110 (A.10) Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Usando las siguientes identidades trigonométricas: 2  2 2  sin  θ e − π  = sin θ e cos π − cos θ e sin π , 3  3 3  2  2 2  cos  θ e − π  = cos θ e cos π + sin θ e sin π ; 3  3 3  (A.11) y simplificando,   1   1  3 3 λba = N sFa Pd  − sin 2 θ e − sin θ e cos θ e  + Pq  − cos 2 θ e + sin θ e cos θ e   . ( A . 1 2 ) 2 2   2     2 Aplicando sin 2 θ e = 1 1 1 1 1 − cos ( 2θ e ) , cos 2 θ e = + cos ( 2θ e ) y sin θ e cos θ e = sin ( 2θ e ) ; y 2 2 2 2 2 agrupando términos,  P +P P - P  1  3 λba = N sFa - d q − d q  − cos ( 2θ e ) + sin ( 2θ e )   , 4 2  2 2    (A.13) 1 3 1   finalmente, ya que − cos ( 2θ e ) + sin ( 2θ e ) = cos 2  θ e − π  , tenemos: 2 2 3    P +P P - P 1   λba = N sFa - d q − d q cos 2  θ e − π  . 4 2 3    (A.14) La inductancia mutua entre las fases a y b es igual a: lab = lba = − Lm 1   − L∆m cos 2  θ e − π  . 2 3   (A.15) De manera similar se encuentran las demás inductancias mutuas entre los devanados del estator. lac = lca = − Lm 1   − L∆m cos 2  θ e + π  , 2 3   L lbc = lcb = − m − L∆m cos 2 (θ e + π ) ; 2 111 (A.16) Apéndice A. Matrices de inductancias nótese que ahora el valor promedio de la inductancia es multiplicado por -1/2, esto se debe al defasamiento entre los devanados del estator es 2π/3; y el coseno de este defasamiento es igual a -1/2. Una vez determinados los elementos de Lss y tomando en cuenta que el desplazamiento angular eléctrico θe, y el desplazamiento angular mecánico del motor θm, estos están relacionados mediante el número de pares de polos np, por medio de θ e = n pθ m , tenemos:  L L 1  1     − m − L∆m cos 2  n pθ m − π  − m − L∆m cos 2  n pθ m + π    Lls + Lm − L∆m cos ( 2n pθ m ) 2 3 2 3        L  L 1  2    Lss =  − m − L∆m cos 2  n pθ m − π  Lls + Lm − L∆m cos 2  n pθ m − π  − m − L∆m cos 2 ( n pθ m + π )  , 3  3  2    2   Lm Lm 2  1    Lls + Lm − L∆m cos 2  n pθ m + π   − L∆m cos 2  n pθ m + π  − − L∆m cos 2 ( n pθ m + π ) − 3   3  2    2 (A.17) A.2 Inductancias del MS con devanado de campo Para el MS con devanado de campo la matriz de inductancias L, de dimensión 6 x 6, tiene la siguiente forma L L =  ssT  Lsr Lsr  , Lrr  (A.18) donde laa Lss = lba  lca lab lbb lcb lac  lbc  , lcc  laf  Lsr = lbf  lcf  ladr lbdr lcdr laqr   lbqr  , lcqr   l ff  Lrr = ldrf lqrf  l fdr ldrdr lqrdr l fqr   ldrqr  . ( A . 1 9 ) lqrqr  Los elementos de la matriz de inductancias del estator Lss se determinaron en la sección anterior (A.17), por tanto sólo faltan por determinar los elementos de la matriz de inductancias mutuas estator – rotor, Lsr, y de la matriz de inductancias del rotor, Lrr. 112 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Inductancias mutuas estator – rotor Despreciando las variaciones en el entrehierro debidas a las ranuras del estator, los circuitos del rotor ven una permeancia constante. Por lo que la variación en las inductancias de Lsr no se debe a una variación en la permeancia, sino al movimiento relativo entre los devanados del rotor y del estator. Cuando un devanado del estator se encuentra alineado con un devanado del rotor, la inductancia mutua entre ambos devanados es máxima y cuando los dos devanados se encuentran desplazados π/2 radianes eléctricos su inductancia mutua es cero. Si consideramos una distribución sinusoidal de los flujos magnéticos, tenemos que las inductancias mutuas de los devanados del rotor con el devanado de la fase a son: laf = Laf sin θ e , ladr = Ladr sin θ e , (A.20) laqr = Laqr cos θ e , similarmente las inductancia mutuas del rotor con los devanados b y c, se encuentran sustituyendo θe por θe-2π/3 y θe+2π/3 en las expresiones anteriores. Inductancias propias del rotor Los circuitos del rotor ven una permeancia constante ya que la estructura del estator se considera cilíndrica y uniforme. Las inductancias propias del rotor y mutuas entre los devanados del rotor no varían con la posición del rotor. Las inductancias propias de los circuitos del rotor son constantes y tienen una componente de magnetización y una de dispersión, l ff = Llf + Lmf , ldrdr = Lldr + Lmdr , lqrqr = Llqr + Lmqr . 113 (A.21) Apéndice A. Matrices de inductancias Inductancias mutuas del rotor Las inductancias mutuas entre los circuitos del rotor también son constantes y algunas de ellas son cero, debido a que los circuitos en cuestión están desplazados π/2 radianes eléctricos, l fdr = ldrf = L fdr , l fqr = lqrf = 0, (A.22) ldrqr = lqrdr = 0, Una vez determinados los elementos de las matrices Lsr y Lrr, y tomando en cuenta que θ e = n pθ m obtenemos las submatrices de la matriz de inductancias del MS con devanado de campo,  L 1  L 1     − m − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2  n p qm + π    Lls + Lm − L∆m cos ( 2n p qm ) 2 3  2 3       Lm  1  2  L   Lss =  − − L∆m cos 2  n p qm − π  Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm − π  − m − L∆m cos 2 ( n p qm + π )  , 3  3  2    2   L 1 L 2     Lls + Lm − L∆m cos 2  n p qm + π   − m − L∆m cos 2 ( n p qm + π )  − m − L∆m cos 2  n p qm + π  3  2 3    2      Laf sin ( n p qm ) Ladr sin ( n p qm ) Laqr cos ( n p qm )     2  2  2     Lsr =  Laf sin  n p qm − π  Ladr sin  n p qm − π  Laqr cos  n p qm − π   , 3  3  3       2  2  2      Laf sin  n p qm + π  Ladr sin  n p qm + π  Laqr sin  n p qm + π   3  3  3        Llf + Lmf  Lrr =  L fdr  0  L fdr Lldr + Lmdr 0   . Llqr + Lmqr  0 0 ( A.2 3 ) 114 Apéndice B MANUAL PARA EL USO DE PROGRAMAS DE SIMULACIÓN LOS Este manual explica cómo emplear los programas desarrollados a lo largo del trabajo de tesis para las simulaciones. Se supone que el usuario está familiarizado con el uso de Matlab® versión 6.0, y Matlab/Simulink®. Si requiere mayor información acerca del uso de Matlab® refiérase a la ayuda de dicho paquete. Antes de ejecutar cualquiera de los programas realizados a lo largo del trabajo de tesis siga los siguientes pasos: • Inicie Matlab® versión 6.0 o posterior haciendo doble clic sobre el icono de acceso directo del escritorio MATLAB 6 . Nota: Los programas se realizaron empleando la versión 6.0, por lo que no está garantizado su correcto funcionamiento en versiones anteriores a esta. Después de iniciar Matlab® se despliega la ventana principal de Matlab®, como se muestra en la siguiente figura 115 Apéndice B. Manual para el uso de los programas de simulación Figura B.1. Ventana principal de Matlab® • Matlab® únicamente ejecuta los archivos que se encuentran dentro del directorio actual (Current Directory) o en algún directorio dentro de la ruta de directorios (Search Path) de Matlab®, por tanto es necesario que el programa que se desee ejecutar se encuentre en alguno de estos directorios. Si no es así, establezca como directorio actual aquel en el que se encuentra el programa a ejecutar o agregue el directorio en el cual se encuentra el programa a la ruta de directorios. Para establecer como directorio actual, por ejemplo, D:\PROGRAMAS teclee “D:\PROGRAMAS” en el cuadro de texto etiquetado como “Current Directory”, como se muestra en la figura B.2, y posteriormente presione la tecla entrar (Enter); o bien, pulse el botón explorar que se encuentra del lado derecho del cuadro de texto “Current Directory”, en el cuadro de dialogo que se abre seleccione la unidad “D:” y a continuación el directorio “PROGRAMAS”, como se muestra en la figura B.3, y dé clic en “Aceptar” Figura B.2. Establecer “D:\PROGRAMAS” como directorio actual 116 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura B.3. Otra forma de establecer “D:\PROGRAMAS” como directorio actual O bien, para agregar un directorio, por ejemplo D:\PROGRAMAS, a la ruta de directorios de Matlab® seleccione la opción “Set Path…” del menú “File” en la ventana principal de Matlab®, como se muestra Figura B.4. Agregar un directorio a la ruta de directorios de Matlab® (PASO 1). con esto aparecerá la ventana “Set Path” (Figura B.5), en esta ventana se elige “Add Folder…” para agregar únicamente el directorio deseado (sin sus subdirectorios) o se elige “Add with Subfolders…” para agregar un directorio y sus subdirectorios, 117 Apéndice B. Manual para el uso de los programas de simulación Figura B.5. Agregar un directorio a la ruta de directorios de Matlab® (PASO 2). eligiendo “Add with subfolders…” se despliega un cuadro de dialogo en el cual se selecciona la unidad (D:) y a continuación el directorio que se desea agregar a la ruta de directorios, en este caso “PROGRAMAS”, se da clic en “Aceptar” Figura B.6. Agregar un directorio a la ruta de directorios de Matlab® (PASO 3). Finalmente se da clic en los botones “Save” y a continuación “Close” de la ventana “Set Parh” (Figura B.5). Con esto se ha agregado el directorio deseado (D:\PROGRAMAS en este caso) y sus subdirectorios a la ruta de directorios de Matlab®. Los programas desarrollados en este trabajo se dividen en: • • Programas con interfaz gráfica de usuario, y Programas de Simulink®. 118 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono B.1 Programas con interfaz gráfica de usuario. Los programas realizados con interfaz gráfica de usuario son los que sirven para el análisis en estado estacionario del motor síncrono (MS) y el de las transformaciones. En la tabla B.1 se enlistan estos programas junto con una breve descripción de su funcionamiento. Tabla B.1. Programas con interfaz gráfica. Archivo .m Archivo .fig Descripción curvas_v.m curvas_v.fig Genera las curvas “V” de un MS edo_estacionario.m edo_estacionario.fig Calcula valores de las variables de interés de la operación en estado estacionario, muestra mediante un par de gráficas el punto de operación del MS, e informa al usuario si el MS está en la región estable o si se ha perdido el sincronismo transformacion.m transformacion.fig Transforma un conjunto trifásico de voltajes, corriente o enlaces de flujo, y una matriz de resistencias o inductancias al marco de referencia (MR) especificado. Los programas con interfaz gráfica además del archivo .m tienen asociado un archivo .fig, en el archivo .fig se encuentra la figura de la interfaz gráfica, y en archivo .m se encuentra la programación asociada a los objetos de la figura. No todos los objetos tienen asociado una acción, por ejemplo, existen en la interfaz gráfica algunas etiquetas que no tiene ninguna programación asociada a ellas. El nombre del archivo .m y el archivo .fig para este tipo de programas generalmente es el mismo, sólo cambia la extensión. Ejecutar cualquiera de los programas enlistados en la tabla B.1 es bastante simple, para esto siga los siguientes pasos: 1. Escriba el nombre del programa sin extensión en la ventana de comandos (Command window) de Matlab® y presione entrar. Por ejemplo si desea ejecutar el programa que genera las curvas “V” del motor sólo escriba “curvas_v” y presione entrar. 119 Apéndice B. Manual para el uso de los programas de simulación Figura B.7. Ejecución de un programa con interfaz gráfica (PASO 1). 2. Una vez realizado el paso anterior se despliega la interfaz gráfica del programa, si así lo desea modifique los parámetros en los cuadros de dialogo, y presione el botón de la interfaz gráfica para ver los resultados (La interfaz gráfica de cada uno de los programas tiene un sólo botón, la leyenda de este cambia según el programa). Siguiendo con el ejemplo, la interfaz que se despliega al teclear “curvas_v”, presionar la tecla entrar, como se describió en el paso anterior, y posteriormente haciendo clic en el botón “Graficar” de la interfaz se muestra en la figura B.8. Figura B.8. Ejecución de un programa con interfaz gráfica (PASO 2). 3. Si lo desea puede volver a cambiar los parámetros las veces que quiera, y presionar el botón para ver los resultados. En la figura B.9 se muestran los resultados que arroja el programa de las curvas “V”, los valores de los cuadros se han cambiado y se ha presionado el botón graficar. 120 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Figura B.9. Ejecución de un programa con interfaz gráfica (PASO 3). 4. Una vez que se desee salir del programa presiones “x” ubicado en la esquina superior derecha de la interfaz gráfica, esta “x” se encuentra en la mayoría de las ventanas de Windows®. B.2 Programas de Matlab/Simulink® El resto de los programas se elaboraron en Simulink® empleando algunos de los bloques estándar y bloques programados por el usuario mediante la “función S”.   Lazo abierto    MS de imanes permanetes Lazo cerrado  Controlador vectorial    Controlador basado en pasividad   Programas:   Lazo abierto  MS con devanado de campo   Controlador vectorial  Lazo cerrado    Controlador basado en pasividad  En la tabla B.2 se presenta un listado de los programas realizados en Simulink®. 121 Apéndice B. Manual para el uso de los programas de simulación Modelo de Simulink® .mdl msipla.mdl msdcla.mdl cv_msip.mdl cv_msdc.mdl cbp_msip.mdl cbp_msdc.mdl Tabla B.2. Programas realizados en Simulink®. Funciones S Descripción asociadas .m sfunmsimla.m Simula la operación en lazo abierto del MS de imanes permanentes, sin brazo rígido agregado al eje del motor. sfunmsdcla.m Simula la operación en lazo abierto del MS con devanado de campo, sin brazo rígido agregado al eje del motor. sfunmsip.m Operación del MS de imanes permanentes con un cambiov_msip.m controlador vectorial, se considera la carga mecánica acoplada al motor (brazo rígido de un grado de libertad). Además de la función S del modelo del motor “sfunmsip.m” se tiene la función S del cambio de variables “cambio_v.m” sfunmsdc.m Operación del MS con devanado de campo con un cambiov_msdc.m controlador vectorial, se considera la carga mecánica acoplada al motor. sfunmsip.m Operación del MS de imanes permanentes con un cbp_msip_sm.m controlador basado en pasividad, se considera la cbp_msip_se.m carga mecánica acoplada al motor. Además de la función S del modelo del motor “sfunmsip.m” se tienen las funciones S del controlador basado en pasividad del subsistema mecánico “cbp_msip_sm” y del subsistema eléctrico “cbp_msip_se” sfunmsdc.m Operación del MS con devanado de campo con un cbp_msdc_sm.m controlador basado en pasividad, se considera la cbp_msdc_se.m carga mecánica acoplada al motor. Los programas realizados en Simulink® constan de un archivo .mdl que contiene el modelo de bloques, y de uno o varios archivos .m cada uno de ellos contiene una función S de un bloque programado por el usuario. El nombre de cada uno de los archivos .m que contienen las funciones S debe ser diferente del nombre del archivo .mdl, que contiene el modelo. 122 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Una vez abierto Matlab® y encontrándose el programa (archivo .mdl) y sus funciones S asociadas (archivos .m) en el directorio actual (Current Directory) de Matlab® o en algún directorio dentro de la ruta de directorios (Search Path) de Matlab®, para ejecutar cada uno de los programas enlistados en la tabla B.2, siga los siguientes pasos: 1. Existen varias formas de abrir un programa realizado en Simulink®, una forma sencilla consiste en escribir el nombre del programa (archivo .mdl) sin extensión en la ventana de comandos (Command window) de Matlab® y presione entrar. Por ejemplo si desea ejecutar el programa que simula la operación del MS de imanes permanentes con el controlador basado en pasividad diseñado en el trabajo sólo escriba “cbp_msip” en la ventana de comandos y presione entrar Figura B.10. Ejecución de un programa de Simulink® (PASO 1). 2. Una vez realizado el paso anterior se despliega el modelo a bloques realizado en Simulink® para dicho programa. Para correr la simulación seleccione el menú “Simulation” y haga clic en “Start”, como se muestra en la figura B.11. Figura B.11. Ejecución de un programa de Simulink® (PASO 2). 123 Apéndice B. Manual para el uso de los programas de simulación 3. Una vez que termine la simulación abra la ventana del osciloscopio, haciendo doble clic sobre este, de la variable que se desee ver, repita este paso para cada variable que se desee observar. Si se desea ver la velocidad real y la deseada del MS de imanes permanentes con el controlador basado en pasividad, haga doble clic sobre el osciloscopio etiquetado como “velocidad real y deseada”, Figura B.12. Ejecución de un programa de Simulink® (PASO 3). 4. Si se desean cambiar los parámetros de la simulación como son el tiempo de simulación, el método de integración, el tamaño inicial del paso, etc., seleccione el menú “Simulation” y haga clic en “Simulation parameters…”. Figura B.13. Cambiar los parámetros de simulación. Con esto se despliega la ventana “Simulation Parameters”, en la pestaña “Solver” de esta ventana se pueden modificar el tiempo de simulación, tamaño inicial del paso, método de integración, etc. Figura B.14. Ventana “Simulation Parameters”. 124 Diseño de un controlador no lineal basado en pasividad de un motor síncrono Una vez cambiados estos parámetros haga clic en “OK” para cerrar la ventana “Simulation Parameters” (Figura B.14) y aceptar los cambios, y vuelva a correr la simulación. 5. Una vez que se desee salir del programa presiones “x” ubicado en la esquina superior derecha, o bien, seleccione el menú “file” y haga clic en “close”. Figura B.15. Salir de Simulink®. 125

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