VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

1
UNIDAD EDUCATIVA
INSTITUTO “CECILIO ACOSTA”
MATEMÁTICA
APELLIDOS: ___________________
NOMBRES: ___________________
CURSO: _____ SECC: _____ Nº ____
RELACIONES DE ORDEN
Las relaciones de Orden matemáticamente hablando, tienen como principio fundamental la
comparación de dos cantidades numéricas.
Si tenemos dos números cualesquiera “a y “b”, sólo es posible establecer entre ellos al siguiente
comparación:
1.- Si poseen el mismo número de unidades, son iguales, y se escribe: a = b. También podemos
decir que dos números son iguales, si su diferencia es igual cero: a - b = 0.
2.- Si uno de ellos posee más unidades que el otro, decimos que son desiguales o diferentes y se
escribe: a  b.
a) Si uno de ellos, por ejemplo “a” posee más unidades que otro número “b”, se dice que
es mayor, y lo escribimos: a > b. También, cuando su diferencia es un número real
positivo: a - b > 0.
b) Si por el contrario “a” posee menos unidades que otro número “b”, decimos que: a es
menor que b y lo escribimos: a < b. De igual, si su diferencia es igual a un número real
negativo: a - b < 0.
" MAYOR QUE"   

En conclusión, Para ello, se utilizan las siguientes expresiones: " IGUAL QUE"  
" MENOR QUE"   

Un número real es mayor que otro, si en la Recta Real (Recta numérica) está ubicado a la derecha
c
0
b
a

En general:
Sean “a” y “b” dos números reales dados  a y b    , decimos que “a” es mayor que “b”,
si “a” está situado a la derecha de “b” sobre la Recta Numérica.
Se denota así: a > b y se lee: “a es mayor que b”.
Análogamente podemos establecer:
Dados dos números reales “a” y “b”  a y b    , decimos que: “a” es menor que “b”, si
está ubicado a la izquierda de “b”.
2
Se denota así: a < b y se lee: a es menor que b.
CONCLUSIONES:
En una Recta Numérica podemos concluir:
1.- Si un punto (número real) está a la derecha de otro (punto numérico), su coordenada es
mayor.
2.- Si un punto (número real) está a la izquierda de otro ( punto numérico), su coordenada es
menor.
EJEMPLOS:
RELACIÓN ES: “MAYOR O IGUAL QUE”
Dados dos números reales “a” y “b”, decimos que el número real a es mayor o igual que b, si se
cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
 P rimera: " a es mayorque b"

Sí a  b se cumple que: 
 Segunda : " a es igual a b "

Estas dos condiciones se denotan así: a  b
RELACIÓN: “ES MENOR O IGUAL QUE”
Cuando una de las tres posibilidades no se cumple, necesariamente tiene que verificarse una de las
otras dos. Así:
Si a no es igual a b, necesariamente: a > b ó a < b
(1)
Si a no es mayor que b, necesariamente: a = b ó a < b, lo cual se escribe: a  b ( 2 )
Si a no es menor que b, necesariamente: a = b ó a > b, lo cual reescribe: a  b ( 3 )
Para expresar que un número no es igual a otro se usa el signo  , que es el signo = cruzado por
una raya inclinada de derecha a izquierda; para indicar que no es mayor que otro, se emplea el signo />, y
para señalar que no es menor que otro se utiliza el signo /<.
Utilizando los signos:  , > y <, las relaciones ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) pueden escribirse:
Sí a  b, necesariamente: a > b ó a < b
Sí a > b, necesariamente: a = b ó a < b ( a  b )
3
Sí a < b, necesariamente: a = b ó a > b ( a  b )
Vemos que el signo  ( no es igual ) equivale al doble sigo > ó < ( mayor o menor que ); el signo
/> (no mayor) equivale al doble sino  (menor o igual que ) y el signo /< ( no menor ) equivale al doble
signo  (mayor o igual que)
LEYES DE LA IGUALDAD
Las Leyes o caracteres de la Igualdad, son tres:
1) Ley Reflexiva ó Identidad: Todo número Real es igual a si mismo.
a  a a  a R a
2) Ley Simétrica: Si un número Real “a” es igual a otro número Real “b”, este es igual al
primero.
a  b  b  a  a  b    Sí a R b  b R a
3) Ley Transitiva: Si un número Real “a” es igual a otro número Real “b” y este igual a un
tercer número Real “c”, entonces el primero y el tercero son iguales.
a  b  b  c  a  c  a , b  c  a R b  b R ca R c
LEYES DE LA DESIGUALDAD
En las desigualdades no existe la Ley Reflexiva ó de Identidad; ya que es imposible que un
número Real “a” sea mayor o menor que él mismo. Así, que es imposible que:
a > a ó que a < a.
Tampoco existe la Ley Simétrica el carácter reciproco. Si un número Real “a” es mayor que otro
número Real “b”, este último no puede ser mayor que el primero, sino menor. Así, siendo que:
a > b no se verifica que b < a, sino que b < a.
Lo anterior nos dice que: si se invierten los miembros de una desigualdad, cambia el sentido de
la desigualdad. Así:
Para invertir la desigualdad: 5 < 7 hay que escribir: 7 > 5
LEYES DE LAS DESIGUALDADES MAYOR Y MENOR QUE
Ley Transitiva de las desigualdades
1) Sí un número Real “a” es mayor que otro número Real “b” y este es mayor que un tercero
“c”, entonces el primero ( a ) es mayor que el tercero ( c ).
a  b  b  c  a  c  a,b y c  
4
a R b  b R c  a R c
2) Sí un número Real “a” es menor que otro número Real “b” y este menor que un tercero “c”,
entonces se cumple que: El primero ( a ) es menor que el tercero ( c ).
a  b  b  c  a  c  a , b y c 
a R b  b R c  a R c
RELACIONES DE ORDEN TOTAL
Las Relaciones: menor o igual que (  ) , mayor que (  ) son llamadas relaciones de orden total,
puesto que ordenan totalmente a todos los Conjuntos numéricos; ya que cumple con las leyes ó
propiedades:
1) Reflexiva:
2 
2 (Todonúmeroes igual i sí mismo)
 Sí

2) Simétrica: 

 Sí
49
 7  7 
49 (
49 no es mayorque 7; perosi iguales ).
81

81 (
81 no es mayorque 9; peroiguales si ).
3) Antisimétrica:
3 
9 9 
5 (
3 no es igual a
5 ; perosí menor).
PROPIEDADES DE LA RELACIÓNES DE ORDEN TOTAL "  " y "  "
1) Sí a una desigualdad del mismo sentido se le suma a ambos miembros un mismo número
Real, el sentido de la desigualdad no se altera.
a) Dada la desigualdad 5 
3 . Sumar 3 a ambosmiembros
5  3 
3  3
5  3  1,73  3
8  4,73
b) Sea la desigualdad 9

6
9  -6  
6   -6 
9 - 6  2, 44 - 6
3  - 3, 56
2) Sí se multiplica ambos miembros de una desigualdad por un mismo número Real
positivo, la desigualdad no se altera.
a) Sea la desigualdad:
7 
7
3


21 
2
2 
6
3
5
b) Dada la desigualdad:
5 
8
5 
3 
8 
15 
3
24
INTERVALOS DE LA RECTA REAL:
Es una forma abreviada de escribir un conjunto de números en la recta Real  .

 Intervalocerrado


 Intervalosacotadosó finitos:  intervaloabierto
 Intervalosemi - abiertoó semi - cerrado



INTERVALOS: 
 Intervalosno acotadosó al infinito




Los intervalos acotados ó finitos son aquéllos que como su nombre lo indica son finitos, es decir, se
sabe donde comienzan y donde terminan.
INTERVALO CERRADO:
Es aquél en que los extremos están incluidos y se expresa de la forma siguiente:
[a , b].Intervalo cerrado de extremos “a” y “b”.
INTERVALO ABIERTO:
Es aquél en que los extremos no están incluidos y se expresa de la forma:
( a , b ). Intervalo abierto de extremos “a” y “b”. El intervalo abierto, también suele
representarse por dos corchetes al revés     ; lo cual es muy recomendable en la
resolución de ejercicios.
La diferencia existente entre los intervalos cerrados y abiertos, radica que en los
cerrados los extremos forman parte del intervalo y en los abiertos no son parte del intervalo.
6
INTERVALO SEMICERRADO O SEMIABIERTO:
Es aquél en que uno de los extremos está incluido y el otro de los extremos no está
incluido y se expresa ( a , b] ( semi-abierto por la izquierda ó semi-cerrado por la derecha) ó
[ a , b ) (semi-abierto por la derecha ó semi-cerrado por la izquierda).
INTERVALOS NO ACOTADOS Ó AL INFINITO
Es aquél en el cual uno de sus extremos (por el izquierdo ó por la derecha) no tiene
fin, en otras palabras: uno de los extremos: (en donde es cerrado pertenece al intervalo).
Para definir a los intervalos no acotados ó al infinito, se introducen los símbolos: + ∞
ó simplemente: ∞ para indicar que lo es por la derecha y - ∞ para señalar que lo es por la
izquierda o solamente ó también:   infinitopor la derecha ;   infinitopor la derecha .
Los intervalos al infinito son de la forma:  , a ;  , a  ;  a ,   ;  a ,  ;
( + ∞ , - ∞ ) ó también ( ∞ , - ∞ ). Este último intervalo es el conjunto de los números Reales.
Los intervalos se representan en forma gráfica utilizar la recta Real. ÉSTO SERÁ
EXPLICADO POR EL PROFESOR.
 , a 
 , a 
a
, 
a
, 
(∞ , -∞)
EJERCICIO 1:
7
Representa gráficamente los siguientes intervalos y clasifícalos:
1) [ 5 , 10 ]
2) ( - 5 , 3 ]
4) [  6 ,  )
9) ( - 2 , 0 )
5) ( 5 , 7 )
10) (  , 3 ]
3) ( - 2 , 1 )
6) ( - 3 ,  )
11) ( - 9 , 2 )
7) ( - 4 , 1 )

12) 

1
2
8) [ - 7 , 9 )

, 


13) 

1
4

, 4

DESIGUALDADES
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra. Las
desigualdades se representan mediante los símbolos:
> “Mayor que”
< “Menor que”
 “Menor o igual que”
 “mayor o igual que”
INECUACIONES
Son desigualdades en donde existe o existen una o más cantidades desconocidas
llamadas INCÓGNITAS y que sólo se verifica para determinados valores de ella ( s )
(INCÓGNITA( S ))
Resolver una inecuación, es calcular los valores de la INCÓGNITA que al sustituirla
en la inecuación dada, la transforma en una desigualdad del mismo sentido que de la
inecuación dada.
Para resolver las inecuaciones, se utilizan los mismos artificios de cálculo matemático
usados en la resolución de las ecuaciones. Sólo existe una diferencia y es cuando la
incógnita está multplicada por un número Real negativo, que al pasar dividiendo, la
desigualdad cambia de sentido.
PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES:
1.- Si un número está sumando en un miembro, pasa para el otro miembro restando.
x + 3 > 6  x > 6 - 3  x > 3  x  (3,).
2.- Si un número está restando en un miembro, pasa para el otro miembro sumando.
8
x  5  8  x  8  5  x  3  x  [3,)
3.- Si un número positivo está multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembro
dividiendo.

 x ,

3
4
4x  3  x 
3
4


4.- Si un número negativo está multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembro
dividiendo, y cambia el sentido de la desigualdad.
4x  5  x 

 x   , 
5
4
5 
4 
Los resultados de las inecuaciones se expresan en forma de intervalo, conjunto y
gráficamente.
EJERCICIOS:
Determina la solución de las siguientes inecuaciones:
1) 3 x  2  20
5)
3x  1
2
2) 4 x - 5 > 8 x - 4
 5
9)
x- 7
2
11)
3x - 7
3
6)
-
4x
3
3x - 9
2
 8 

3)
3x
2
5x  1
3
5x - 8
4
1
3
 1 
7)
3x - 1
2
10)
x  5

4)
6 ( x  1)
3
7x - 5
2
-
x+ 7
2
 0
6x - 5
2

x 3
3
4x - 1
3
8)


2x  5
2
5x - 4
3
- 4x
2x - 6
4
 5x  8x -
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
El Valor Absoluto de un número Real es siempre positivo, y es igual a la figura del número.
x
 1
 0 sí " x" es igual a cero ( x  0 )

  x sí " x" es positivo( x  0 )
 - x sí " x" es negativo"( x  0 )

El valor absoluto de un número Real, se representa ubicando el número Real entre dos barras
verticales, la cual se lee: “Valor absoluto de”
9
El valor absoluto, también se considera como la distancia que existe desde el origen (punto cero de
la Recta Real) tanto a un número Real positivo como negativo.
Observa la Recta numérica representada en la figura dada a continuación. Si medimos la distancia
que existe entre: 0 y 3, encontramos que es igual a la distancia que existe entre: 0 y - 3
.
.
.
-3
0
3

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1) El valor absoluto de cero, es cero
x  0 sí y sólo sí x  0
0
 0
2) El valor absoluto de “x” es igual al valor absoluto de “- x”  x  
x  -x
10
 x x
 - 10
 10
3) El valor absoluto cuando a  0 y
x a
x  3  x  3 ó x  -3
x 
4) El valor absoluto para todo “x” , “y”   se cumple que:
 9  -7 

Sí x = 9; y = - 7   9  7  2

16  2

5) El valor absoluto para todo “x”,“y”   se cumple que:

y
x y
9   -7 
x 
 -3  5  -3  5

Sí x = - 3; y = 5  
3  5  - 15

15  15

y

x y
10
6) El valor absoluto para todo “x”, “y”   se cumpleque :




Sí x = 18; y = - 9  




18
-9

x
y

18
-9
18
 - 2
9
2  2
OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTO
EJERCIOS:
Resuelve las siguientes operaciones con valor absoluto:
2
3
a)
b)

8 - 15  4

4 5 24
c)
5
3
1
2
g)
2.
1
2

28
f)

42
1
4
d)
e)
 4
5
1
3
1
6

63


3
5
50
. 3
20
-
8




x
y
11
h)
3
4
5
i) 3
5
j)
1
5
2


5


45
4
20
125 
3
4

45 -
3
7

245
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función Valor Absoluto es una relación o aplicación que va de  en   , tal que a cada número
Real le corresponde su valor absoluto.
f :    / f x  
 x sí x  0
 
 x sí x  0
x
EJERCICIOS:
Dadas las funciones, hallar las imágenes que se indican en cada caso
1) f  x  
2 x  4 . Determinar: f  2  y f  - 2 
2) f  x  
3) f  x  
3 . x - 3.
5
4
4) f  x   5

x
2
. Calcular : f

6

4 x  2 .Hallar : f  3 
2
3
. Determonar: f  4  y f  16 
5) f  x   - 8 x - 2  x - 2 .Calcular: f  - 2

y f - 3 
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para Resolver ecuaciones con valor absoluto, se elimina las barras del valor absoluto igualando por
la derecha e izquierda el valor positivo y negativo del segundo miembro de la ecuación dada.
12
ECUACIONES DE LA FORMA:
La solución de las ecuaciones de la forma: a x  b
ax  b
c
 c, se basa en la tercera propiedad, es
ax  b  c

ó
decir, para que se cumpla, es necesario que: 
 a x  b  -c

EJERCICIOS:
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1)
2x - 1  5
2
3
2)
x - 6
 4 6
 28
3) 12 x - 3 x - 8
4)
x
9

x
4
5)
x - 3
4

x - 1
3
6)
4x
3
5x
7
- x
-

5x
12
 - 2
- x
 - 2
 -8
7)
2  9 x - 49  - 15 x
8)
5  5 - 2 x  - 7  2 x - 5   12
 46
9) 17 x - 114  198 - 7 x
10)

3 
5
x
5

3
ECUACIONES DE LA FORMA:
a

b
Cuando se resuelva una ecuación con valor absoluto con una expresión con valor absoluto en ambos
lados del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones
deben ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.
13
Sí

x
y
x  y

 se cumpleque :  ó
 x -y

EJERCICIOS:
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1)
x - 1
2)
4x - 2

2x - 4
3)
3x - 5

3x  5
4)
2x  1

4x - 9
5)
2x - 8
2x - 4
1
2

 3
8)
3
x  2
2

1
x - 3
2
9)
3
4

1
2
10)
15 x - 6
2
11)
5x  9
12)
x - 2
5 x  9


 5
4 - x
7x - 5

6 x - 5
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:
a

b
 Sí a  
- b


 b  ó

b
 Sí a  

- b
Las inecuaciones con valor absoluto, se resuelven mediante las siguientes dos premisas:
14
1) Sí el valor absoluto de un número “x” es menor que un número real “a”, la solución total  S T 
analítica se determina por la intersección    de las soluciones parciales S1 y S2 la cual es una
operación entre conjuntos numéricos y la solución gráfica estará enmarcada en la recta Real
entre los puntos: “- a” y “a”  - a  x  a  ; la cual se determina gráficamente en la recta Real
mediante la intersección (  ) de las soluciones parciales S1 y S2 , que se representa en la recta
Real por la zona doblemente rayada ó sub-rayada.
2) Sí el valor absoluto de un número “x” es mayor que un número real “a”, la solución total  S T 
analítica se determina mediante la unión    de las soluciones parciales S1 y S2 localizada
bien a la derecha de “a” o a la izquierda de “- a”, es decir: x > a ó x < - a; la cual se
determina gráficamente mediante la operación de conjuntos numéricos llamada unión, que se
denota simbólicamente por el símbolo , y se representa en la recta Real mediante las zonas
rayadas o sub-rayadas tanto a la izquierda del número “- a” como por la zona reyada a la derecha
de “a”
3) Si el valor absoluto de un número “x” es menor o igual ó también mayor o igual, las soluciones
tanto analítica como gráfica debe ser representada mediante intervalos cerrados; por el contrario
si es simplemente menor ó mayor, la solución se representa mediante intervalos abiertos
EJERCICIOS:
Efectúa cada uno de las siguientes expresiones:
 3
1)
x - 5
2)
2x  3
 1
3)
3x - 7
 7
4)
3x - 2 -
5)
4x
5
6)
3x 
7)
2x -
1 - x
3
- 2
15
2
3x - 5
4
 1
 7
 3
 1
15
8)
3x 
3
4
x -
9)
5x
3

x
2
10)
4
3
x  3
5x
2
 6
 13
 -
5
6
SISTEMA DE INECUACIONES
Un Sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones que poseen una solución
común.
Para resolver un Sistema de inecuaciones, se procede de la siguiente manera:
1) Se resuelve cada una de las inecuaciones del Sistema por separado, de esta manera se obtienen
los intervalos parciales de cada inecuación.
2) Se haya la intersección de los intervalos correspondientes a las soluciones parciales de cada
inecuación del Sistema dado.
EJERCICIOS:
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones:
 x  5  11

1) 
 2x - 1  7


x  4

2) 
 2 x - 5 -3

x - 2  4

3) 
 2 x  13  1

 2 - x  -1

4) 
 -2 x  6  -3 x - 3

16
 x  1  -1

5) 
5x - 4  6


x  2

6) 
 5x - 1  8




7) 



3x - 2
2
 1 -x
x - 6  2
 x  1  3

8) 
2x  5  4

x
 x
- 3 
 2
 2
4

9) 

3
2
 2x 
 6 x - 23
5
5

 x
- 1 
 4

10) 

3
 2x - 3
5

x
3
- 1
 x 
1
2
2
5
COORDENADAS DE UN PUNTO DADO DE LA RECTA REAL
Toda Recta es un conjunto infinitos de puntos sucesivos, es decir, uno inmediatamente después
del otro.
Existe un punto y sólo uno en la recta numérica que corresponde a un número real.
Existe exactamente un número real correspondiente a un punto dado en la recta numérica.
Estas dos proposiciones o premisas concluyen que la relación que hace corresponder a un número
real un punto sobre la recta es una función biyectiva.
17
Como se puede observar en la figura
a) La coordenada del punto A es 2 y se escribe así: A(2).
b) La coordenada del punto P es 3 y lo escritos como: P(3).
c) La coordenada del punto C es – 3 y se escribe como: C(-3 ).
 2 es la abscisa de A

En donde se puede concluir que:  3 es la abscisa de P
- 3 es la abscisa de C

CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA REAL
a) Es densa: Entre dos números Reales dados existe otro número Real, es decir, en la recta Real no
existen espacios vacíos. Ejemplo: Dados los números: 2, 134 y 2, 135 se puede calcular otro
número entre ellos y uno de ellos es:
2, 134  2, 135
2

4, 269
2
 2, 1345
b) Es ordenada: La recta real es ordenada puesto que todo número situado a la derecha de otro es
mayor y si está a la izquierda, es menor.
c) Es abierta: La recta real no tiene límites ni hacia la derecha ni hacia la izquierda del cero, ellos
se extienden desde + ∞ (se lee infinito por la derecha) hasta - ∞ (infinito por la izquierda).
Es de hacer notar que: + ∞ y - ∞ no son números. Son solamente unos símbolos que indican que la
recta Real es infinita tanto por la derecha como por la izquierda, cosa que también lo indican las
flechas ubicadas en sus extremos (de la Recta Real).
La distancia entre dos puntos consecutivos de la Recta numérica siempre es la misma para todos los
otros puntos de ella, y recibe el nombre de segmento unidad.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES IRRACIONALES
Las inecuaciones irracionales son aquéllas que tienen la incógnita dentro del símbolo radical.
18
Para resolver a las inecuaciones irracionales, se debe eliminar el símbolo del radical elevando a una
potencia igual al índice del radica a ambos miembros de la inecuación dada.
EJERCICIOS:
3 x - 11  2
1)
2)
3
2x  5
3)
5
5x  7
4)
4
6 x - 17
5)
7
7x  8
6)
6
8 x  16
7)
7x  3
 1
 2
3
 -1
 -2
 5
“LO PRIMERO QUE DEBEMOS APRENDER EN LA VIDA ES A VIVIR”
Guía elaborada por
19
Prof. Eulogio E, Sojo R.