MATEMATICAS I (Plantel 17).

Guía de estudio para presentar
exámenes de Recuperación y
Acreditación Especial
(Versión preliminar)
Septiembre de 2004
Matemáticas I
ii
Matemáticas I
ÍNDICE
PRESENTACIÓN..........................................................................................................
v
PRÓLOGO.....................................................................................................................
vii
UNIDAD 1. Introducción al álgebra............................................................................
1
1.1 problemas aritméticos...........................................................................................
Ejercicios. …………………………………………………………………….................
Tabla de Comprobación ................................….....................................................
3
13
15
1.2 Lenguaje algebraico................................................................................................
Ejercicios. ...………..……………………………………............................................
Tabla de Comprobación ...........................….........................................................
Ejercicios de autoevaluación…..………….……………………………………...............
Clave de respuesta……..…………………..……………………………………….............
16
21
24
25
31
UNIDAD 2. Polinomios de una variable......................................................................
33
2.1 Problemas iconográficos y pictóricos..................................................................
Ejercicios. ………………………………………………………………….....................
Tabla de Comprobación ...............................…......................................................
35
38
41
2.2 Problemas geométricos y algebraicos..................................................................
Ejercicios. ………….………..……………………………………………....................
Tabla de Comprobación …...........................…......................................................
Ejercicios de autoevaluación..…………….……………………………………................
Clave de respuesta………………………..…………………..…………………….............
42
53
57
58
62
UNIDAD 3. Ecuaciones de primer grado…………………………………………………
63
3.1 Ecuaciones lineales………………………………………………………………..........
Ejercicios. …………………………………………………………................................
Tabla de Comprobación ...............................…......................................................
65
72
74
3.2 Sistemas de ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas...................
Ejercicios. …………………………………………………………................................
Tabla de Comprobación ...............................…......................................................
Ejercicios de autoevaluación..…………….……………………………………................
Clave de respuesta………………………..…………………..…………………….............
75
87
89
90
94
iii
Matemáticas I
iv
UNIDAD 4. Ecuaciones de segundo grado……………………………………………..
95
4.1 Ecuaciones de segundo grado………………………………………………………...
Ejercicios. …………………………………………………………................................
Tabla de Comprobación ...............................…......................................................
Ejercicios de autoevaluación..…………….……………………………………................
Clave de respuesta………………………..…………………..…………………….............
97
106
110
111
113
BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................
115
SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE
RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL………………………………………..
116
Matemáticas I
PRESENTACIÓN
Permítenos felicitarte cordialmente por estar leyendo esta guía, ya que es una muestra de tu interés y
decisión de explorar y utilizar los materiales que te ofrece el Colegio de Bachilleres para prepararte
adecuadamente antes de presentar un examen de Recuperación o Acreditación Especial.
La guía que estás leyendo constituye un trabajo realizado por profesores del Colegio de Bachilleres, del
plantel 17 “Huayamilpas-Pedregal”, que con base en su experiencia docente y en el conocimiento del
programa de estudios de la Reforma Curricular 2003, se fijaron el propósito de colaborar contigo en varias
formas:
•
•
•
•
Especificando los temas y aprendizajes sobre los que serás evaluado en un examen
extraordinario.
Elaborando síntesis de cada tema para apoyarte en tu estudio.
Elaborando preguntas, similares a las que encontrarás en los exámenes extraordinarios, para
que también te ejercites en la solución de estos tipos de reactivos y te autoevalúes.
Planteando sugerencias y recomendaciones para apoyar tu preparación adecuada para el
examen.
¿Qué ventajas obtendrás al resolver la Guía?
1. Tendrás un material de estudio sencillo y concreto que te permitirá prepararte adecuadamente en
un lapso corto de tiempo.
2. Estudiarás todos los temas del programa de asignatura, en los que serás evaluado.
3. Podrás autoevaluarte para saber si estas preparado para presentar con éxito tu examen de
Recuperación o Acreditación Especial, o saber que temas deberás estudiar con mayor ahínco.
¿Cómo estudiar para tener éxito?
Recuerda que una buena preparación es fundamental para lograr aprobar tus materias, por lo cual te
recomendamos:
•
•
•
•
•
Leer con cuidado cada uno de los resúmenes de tema y contestes las preguntas que vienen a
continuación.
Revisar tus respuestas y si te equivocaste realizar las actividades que se sugieren en las tablas
de comprobación.
Al término de cada unidad, contestar las preguntas de autoevaluación en el tiempo que se indica
en cada bloque. Ten en cuenta que para contestar el examen de Recuperación o Acreditación
Especial tendrás dos horas y por ello también debes ejercitarte en resolver los ejercicios bien y
rápido.
Si al concluir la autoevaluación te equivocaste, vuelve a repasar la guía o pregúntale a tus
profesores o al jefe de materia de tu plantel.
Para contestar toda la guía dedícate a estudiar al menos dos horas diarias durante 15 días, así
estarás bien preparado para presentar con éxito tu examen.
v
Matemáticas I
vi
Matemáticas I
PRÓLOGO
En el Programa Nacional de Educación 2001-2003, elevar la calidad de la educación que se ofrece, así
como incorporar conocimientos básicos para la sociedad del conocimiento, se han destacado como
objetivos que orientan a la educación del siglo XXI. Es por ello que el Colegio de Bachilleres, junto con
otras instituciones de educación media superior inició la operación, en un plantel guía, de nuevos
programas de estudio.
En el semestre 03-A se operaron por primera vez, en el plantel 17 “Huayamilpas Pedregal”, los programas
de primer semestre de la Reforma Curricular y sus profesores elaboraron materiales didácticos para
apoyar los diferentes momentos del proceso de enseñanza–aprendizaje.
Entre los materiales elaborados se encuentran las guías de estudio, las cuales tienen el propósito de
apoyar a los estudiantes que presentarán exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de las
asignaturas de la Reforma Curricular 2003, con objeto de favorecer el éxito en los mismos.
En este contexto, la Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial
de Matemáticas I se ha elaborado pensando en los estudiantes que por diversas causas reprobaron la
asignatura en el curso normal y pueden acreditarla a través de exámenes en periodos extraordinarios.
Esta guía se caracteriza por abordar, de manera sintética, los principales temas señalados en el programa
de estudios. Las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante aplique y
relacione sus conocimientos previos con otros más complejos, de modo que esté en condiciones de
desarrollar procedimientos y modelos matemáticos aritméticos y algebraicos. Esto permitirá que, con el
estudio de la guía, continúe mejorando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento
matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los
elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio.
Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del
tema.
La guía se organiza por unidad, igual que el programa de estudios; en cada una de ellas encontrarás un
resumen de los temas y aprendizajes que se te van a evaluar, una serie de preguntas y ejercicios por
tema, la tabla de respuestas a estos ejercicios, así como, al término de cada unidad, nuevos ejercicios
para que te autoevalúes.
Así, en la primera unidad, denominada INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA, realizarás actividades y ejercicios
sencillos de aritmética en los cuales se aplica la lógica, el lenguaje simbólico y cuando sea necesario las
representaciones geométricas de los problemas y procedimientos para facilitarte su aplicación. En seguida,
se abordan los aspectos más importantes de las series y sucesiones para pasar del lenguaje aritmético al
algebraico, analizando sus patrones numéricos y geométricos, a partir de los cuales se pueden generalizar
los cálculos y las operaciones matemáticas.
En la segunda unidad de la guía, POLINOMIOS DE UNA VARIABLE, se presentan actividades en las que
revisarás y aplicarás las propiedades de la igualdad , realizarás operaciones con polinomios, productos
notables, simplificación de fracciones algebraicas, con el fin de calcular ganancias, velocidades, áreas,
perímetros, radios, etc., de figuras planas y cuerpos geométricos, entre otras posibilidades.
vii
Matemáticas I
En la tercera unidad, ECUACIONES DE PRIMER GRADO, revisarás las principales aplicaciones de
diferentes tipos de procedimientos y ecuaciones algebraicas con una incógnita en el análisis y solución de
problemas sobre situaciones financieras, trabajos por tiempo determinado, cálculo de tiempos de
transporte, etc.; se analizan las soluciones paso por paso, apoyándose en la elaboración de las gráficas
correspondientes para facilitar la comprensión del procedimiento utilizado.
La cuarta unidad aborda LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO, son ecuaciones algebraicas
llamadas cuadráticas que se aplican en otro tipo de problemas, por ejemplo: diseño de parabólicas, cálculo
de terrenos, cálculo de áreas o volúmenes en prismas y paralelepípedos, compraventa de bienes y
servicios, etc., al igual que en la tercera unidad, las soluciones son examinadas apoyándose en la
representación geométrica de los objetos para facilitar el análisis de la solución.
Por último, se proporciona una bibliografía básica para consultar en fuentes originales los temas
desarrollados en la guía.
viii
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Matemáticas I
2
Matemáticas I
UNIDAD 1
1.1 PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
APRENDIZAJES
• Resolver problemas o situaciones en los que aplique métodos aritméticos,
geométricos o iconográficos.
• Aplicar el concepto de razón (con base en la comparación de dos cantidades).
• Obtener las proporciones a partir de dos razones.
• Aplicar las propiedades de las proporciones.
• Resolver problemas empleando proporciones directas e inversas.
Uno de los comentarios que frecuentemente hacen los estudiantes es ¿Y para qué me enseñan números
racionales (comúnmente conocidos como quebrados o fracciones), si no voy a ser matemático? A través
de un ejemplo veremos su utilidad en campos diferentes a las matemáticas, por ejemplo en la música,
ilustrando que la suma de las notas en un pentagrama, cuando una melodía tiene el mismo compás, es
igual a 1. En la ilustración de abajo podrás observar que dicho pentagrama se encuentra dividido en
partes por medio de líneas o barras verticales:
Para tener todos los elementos necesarios citaremos algunos antecedentes de los números reales antes
de iniciar nuestro ejemplo musical.
3
Matemáticas I
CUADROS MÁGICOS.
Un cuadro mágico es un arreglo que satisface las propiedades de los números que aparecen en cada
configuración. Fueron descubiertos por los chinos y se les confieren algunas propiedades matemáticas,
tales como las que a continuación se enuncian:
Si formamos un cuadro mágico de nueve casillas, o de orden tres, con los números reales x1, x2, x3, x4,
x5, x6, x7, x8, x9, tendrá la propiedad siguiente: al sumar los números de cada fila, columna y diagonal
resulta un mismo número real.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
En el Renacimiento, el matemático Cornelio Agrippa se dedicó a la elaboración de cuadros mágicos de
diferente orden hasta llegar a la construcción de los de n x n = n2 casillas, donde n es un número natural
mayor o igual a tres. En esa época, los cuadros de 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 representaron simbólicamente a
Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio, así como al Sol y a la Luna.
Intentaremos reproducir la construcción de un cuadro mágico de 3 X 3. Seguramente recordarás que
alguna vez viste o jugaste con un cuadrado dividido en 9 cuadritos iguales, en el cual se colocaban los
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 donde, sin repetir alguno, se buscaba que cada fila, cada columna y cada
diagonal sumaran 15. Este juego recibe el nombre de cuadro mágico.
1° Ordenando los números que van a intervenir tenemos:
10
1
2
3
4
5
10
6
7
8
9
10
10
Nota que todas las parejas suman 10 y combinadas con 5, suman 15.
2° Al analizar los casos se observa que cada uno de ellos suman 15, además obtenemos otras tercias que
también suman 15.
4
Matemáticas I
UNIDAD 1
1+9+5=15
1 +8 + 6 = 15
2+8+5=15
2 + 9 + 4 = 15
3+7+5=15
2 + 7 + 6 = 15
4+6+5=15
3 + 8 + 4 = 15
3° Ahora los colocaremos dándoles un orden
1+9+5=15
1+8+6=15
2+9+4=15
2+8+5=15
2+7+6=15
3+8+4=15
3+7+5=15
4+6+5=15
Observa que el número cinco aparece en cuatro combinaciones para obtener 15, por lo tanto debe estar
en el centro; los números 2, 4, 6 y 8 aparecen tres veces, entonces deben estar en los extremos y los
demás los colocarás después de sumar y calcular mentalmente el número 15, tal y como se muestra en el
cuarto paso.
4º Ahora, escribe en los espacios en blanco del cuadro mágico los valores que permitan que la suma de
los elementos de las columnas, renglones y diagonales sea igual a 15.
2
9
4
7
5
3
1
8
6
Los cuadros mágicos han tenido gran importancia en algunas obras de arte, por ejemplo en el grabado que
Alberto Durero realizó en 1514 titulado Melancolía; en él podemos observar que en la esquina derecha se
localiza un cuadrado mágico de orden cuatro, como el de la figura de abajo, el cual en las casillas centrales
de la última línea reproduce el año de creación del grabado.
5
Matemáticas I
16
3
2
13
5
10
11
8
9
4
6
7 12
15 14
1
¿Se cumple la propiedad de que la suma de las diagonales, columnas y renglones es igual a un mismo
número? ¿Cuál es ese número? Utiliza los espacios señalados en la figura de arriba para verificarlo.
¿Podemos afirmar que la figura de arriba corresponde a un cuadro mágico de 4 X 4?
En los siglos XVI y XVII los cuadros mágicos se empleaban como amuletos, hoy lo hacemos para
ejemplificar el uso de los números reales, mediante la representación de un arreglo de 7 X 7 casillas con la
propiedad de que al sumar los números de cada: fila, columna y de ambas diagonales siempre será igual a
uno. Tal hecho, nos ayudará a ilustrar lo que ocurre en la interpretación de una melodía con base en su
partitura, donde podremos distinguir que se tiene el mismo compás cuando el pentagrama se divide en
trozos por medio de líneas o barras verticales que representan un esquema de igual duración. Los
1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , que sumados nos dan como resultado 1,
64 64 32 16 8 4 2
elementos que intervendrán serán:
como lo podemos observar a continuación:
1)
1
1
2
1
+
=
=
64 64 64 32
2)
1
1
2
1
+
=
=
32 32 32 16
3)
4)
1 1 2 1
+ = =
8 8 8 4
5)
1 1 2 1
+ = =
4 4 4 2
6)
6
1
1
2 1
+
=
=
16 16 16 8
1 1 2
+ = =1
2 2 2
Matemáticas I
UNIDAD 1
Ahora vamos a retomar nuestro ejemplo musical. En la siguiente tabla tenemos los nombres, forma, valor y
equivalencia de las notas musicales.
Figura
Nombre
Redonda
Blanca
Negra
Corchea
semicorchea
fusa
semifusa
Valor
Valor numérico
El doble de una blanca.
El doble de una negra
Equivalencias
= 1
=
1
2
=
1
4
+
=
1
8
+
=
=
1
16
+
=
Mitad de una semicorchea
=
1
32
+
=
Mitad de una fusa
=
1
64
+
=
Mitad de una redonda
El doble de una corchea
Mitad de una blanca
El doble de una semicorchea
Mitad de una negra
=
El doble de una fusa
Mitad de una corchea
El doble de una semifusa
+
=
A continuación construiremos en lenguaje matemático y musical un arreglo de 7 X 7 que tenga la
particularidad de que la suma de sus columnas, renglones y dos diagonales sumen 1, es decir, en lenguaje
musical una redonda.
•
Analiza el cuadro 1 y trata de encontrar la forma cómo están organizadas las fracciones, después
escribe en los espacios en blanco el resultado de la suma de los elementos que conforman el
arreglo de 7 X 7.
•
Ahora en el segundo y tercer cuadros observa lo que ocurre al cambiar los valores numéricos por
la figura correspondiente.
7
Matemáticas I
1
2
S
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
64
1
8
1
16
1
32
1
64
1
64
1
2
1
4
1
32
1
64
1
64
1
2
1
4
1
8
1
16
R
1
64
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
N
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
64
1
2
1
16
1
32
1
64
1
64
1
2
1
4
1
8
N
1
64
1
64
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
S
U
M
A
1
2
1
8
E
1
16
1
32
1
16
1
16
1
16
1
32
1
8
1
4
1
8
1
16
1
32
1
16
1
32
1
4
Suma
8
1
4
1
8
diagonal
SUMA COLUMNAS
Cuadro 1
1
2
1
4
1
4
1
2
1
32
1
2
1
2
G
O
1
8
1
32
E
L
1
4
Cuadro 2
1
2
1
2
1
4
1
8
1
8
1
16
1
32
Matemáticas I
UNIDAD 1
1
2
1
8
1
4
1
4
1
8
1
16
1
2
1
16
1
2
1
4
1
8
1
16
1
2
1
4
1
8
1
16
1
4
1
8
1
16
1
4
1
2
1
4
1
8
1
16
1
8
1
8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
1
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
8
1
2
1
8
1
2
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
Cuadro 4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
8
1
8
Cuadro 3
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
2
1
4
Cuadro 5
1
2
1
4
1
2
1
2
Cuadro 6
9
Matemáticas I
Ahora, en los espacios vacíos dibuja los símbolos musicales que completan el cuadro mágico de 7 X 7.
Como podrás observar hemos logrado construir dos arreglos de 7 X 7, el primero con los seis números
racionales y el otro con sus equivalentes en notas musicales, lo cual te puede ilustrar la utilidad que tiene la
matemática en la música.
Ahora trabajaremos con los conceptos de RAZÓN y PROPORCIÓN ¿Para qué sirven? Bueno, cuando
observas un partido de Béisbol haces uso de una razón para determinar el promedio de bateo, el cual se
obtiene de dividir el número de hits entre el número de oportunidades de bateo. Una proporción la utilizas
cuando haces un cambio de horas a minutos, calculas el precio de un artículo después de aplicarle un 30%
de descuento, para determinar la cantidad de medicamento que debe administrarse a un niño, cuando se
hace una conversión de metros a kilómetros, de litros a mililitros, entre otras.
Una RAZÓN es una comparación por cociente entre dos o más cantidades semejantes o diferentes.
Por ejemplo:
1.- Determina la razón que existe entre los perímetros de los hexágonos en las figuras 1 y 2.
10
Matemáticas I
UNIDAD 1
Recuerda que el perímetro de un hexágono es
P = 6ℓ, por lo tanto:
P1 = 6(6) = 36
Cuándo multiplicas
Por lo tanto
( 4)(3)
=
6
4 3
=
6
2 3
P1
3
=
, para ello tendrás que contestar las siguientes preguntas:
P2
3
1
por uno, ¿qué pasa? ____________________
3
Ahora, estás de acuerdo que: 1 =
Por lo anterior,
6
P1 6 1
1
3
= •
= 3•
=
P2 2
3
3
3
Figura 2
Ahora racionalizaremos la expresión
P2 = 6( 12 )
P1
36
6(6)
6
=
=
=
=
P2 6 12 6 12
12
12
6
Figura 1
y
2 3
3
= =
2 3
3
Si (
) No (
) ¿por qué? __________________
P1
3
3
3
3 3
3 3 3 3
=
=
•
=
=
=
= 3
P2
3
3
3
3
(3)(3)
9
P1
= 3
P2
⇒
P1 = 3P2
Al igualar dos razones se forma una PROPORCIÓN es decir
analizamos
el
ejercicio
proporción.
P1
= 3
P2
⇒
anterior
veremos
que
a c
= donde b ≠ 0 y d ≠ 0 . Entonces si
b d
también
P1
3
=
, donde a = P1 , b = P2 , c = 3
P2
1
Una proporción cumple con la siguiente propiedad:
a c
=
b d
y
podemos
establecer
una
d= 1
sí y sólo sí ad = bc, esta propiedad se
utiliza comúnmente para resolver problemas donde se desconoce alguna variable.
Existen dos tipos de proporciones: la directa y la inversa.
Cuando se tienen dos cantidades, si una de ellas aumenta y provoca un aumento en la otra, ó en su
defecto, la disminución de la primera propicia una disminución en la segunda, entonces se trata de una
proporción directa. Observa los siguientes ejemplos:
1.- Si el corazón de un hombre adulto, en condiciones normales, bombea 5 litros de sangre por minuto
¿cuántos litros de sangre bombea en una hora?
11
Matemáticas I
Para resolver este problema, puedes organizar la información de la siguiente manera:
litros
5
minutos
1
x
60
∴
x=
(5)(60)
= 300 ; bombea 300 litros de sangre por hora.
1
2.- Si los riñones filtran 180 litros de sangre en un día ¿cuántos litros de sangre filtrarán en 36 horas?
litros
180
horas
24
x
∴
(180)(36) 180 36
=
•
24
6
4 ; filtran 270 litros de sangre.
= (30)(9) = 270
x=
36
Si se tienen dos cantidades, donde al aumentar la primera propicia que la segunda disminuya o bien la
disminución de la primera genera como consecuencia el aumento de la segunda, entonces se trata de una
variación inversamente proporcional o proporción inversa. Fíjate en los siguientes ejemplos.
1.- Un granjero gasta un bulto de alimento cada 15 días para alimentar 30 gallinas, si tiene 50 gallinas
¿cuántos días le durará el bulto?
días
15
x
gallinas x = (15)(30) = 450
50
50
30
; el bulto durará 9 días.
45
=
=9
50
5
2.- Un depósito de agua tarda en llenarse 3 horas con dos llaves. Si se desea llenar el depósito en 1.5
horas ¿cuántas llaves deben emplearse?
horas
3
1.5
12
surtidores
(3)(2)
6
2
x=
=
= 4; se deben emplear 4 llaves.
1.5
1.5
x
Matemáticas I
UNIDAD 1
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en la línea la respuesta correcta.
1.-Un trabajador gana $800.00 por semana. ¿Cuánto ganará en un mes? ______________________
2.-¿Cuál es el costo de 32 piezas de metal que miden en total 48 m, si cada metro cuesta $72.00 pesos?
__________________________________________
3.- El papá de Jazmín tiene una bodega donde surte material de construcción. Actualmente cuenta con
9
3
1
1
toneladas de varilla, 5 toneladas de cemento y 1 toneladas de yeso.
7
2
2
toneladas de varilla y el miércoles 2
Si el lunes vende 1
3
5
1
3
toneladas de varilla y 2 toneladas de cemento. ¿Con cuánto
2
4
material se cuenta en la bodega? _______________________________________
4.- Los abuelos de José le solicitan que calcule el área de los dos lotes que pueden obtenerse al dividir un
terreno de 84 m2 de superficie, si el menor debe ser
3
del mayor, ¿cuánto mide el área del lote mayor?
4
__________________
5.- Un terreno de 84 m2 de superficie va a dividirse en dos lotes de manera que el menor sea
3
del mayor,
4
¿Cuánto mide el área del lote menor?___________________________________
6.- Una vigueta de 10 m de longitud se va a dividir en dos partes de manera que la parte menor sea
2
de
3
la mayor. ¿Cuánto mide cada parte?___________________________________
7.- En una escuela hay ocho enfermos del riñón entre un total de 450 alumnos. ¿Cuál es la morbilidad?
(razón del número de enfermos del riñón entre el número total de alumnos) ________________________
8.- Un médico examina a un enfermo y encuentra que su corazón late uniformemente 20 veces en 12
segundos, ¿Cuántos latidos detectará el médico en un minuto?_____________________________
9.- Un avión en condiciones normales de vuelo consume 10 toneladas de combustible en un recorrido de
2500 km. ¿Cuántas toneladas consumirá en un viaje de 3200 km en las mismas condiciones de vuelo?
_____________________________________
13
Matemáticas I
10.-Fernando Valenzuela fue al bat 135 veces y bateó 50 hits. ¿Cuál es su porcentaje de bateo?
_________________________________________
11.- Si tienes una barra de 4.5 metros ¿cuántos tornillos puedes cortar de 2 centímetros?_____________
12.- Si el peso neto de los pernos de un recipiente es de 12 400 kilogramos, donde el peso de cada perno
es de 31 kilogramos ¿cuántos pernos hay en el recipiente?_____________________________________
13.- Si el precio en la etiqueta de un pantalón de mezclilla es de $200.00 y tiene el 15% de descuento al
hacer el pago en caja ¿cuál es el costo con el descuento?______________________________________
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta.
14.- Analiza las siguientes figuras.
Figura 1
Figura 2
La medida de cada lado es 3 cm
(
La medida de cada lado es
) ¿Qué opción NO expresa la razón entre el perímetro de la figura 1 con respecto al perímetro de la 2?
a)
P1
= 24 3
P2
b) P2 = 3P1
c)
P1
1
=
P2
3
d) P1 =
15.- (
3P2
3
) Si un profesor gana $50.00 la hora ¿cuánto gana si trabaja 40 horas a la semana?
a) $2000.00
b) $4000.00
c) $8000.00
d) $20 000.00
14
27
Matemáticas I
UNIDAD 1
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
$3200.00.
2
$3456.00.
5
3
23
toneladas de varilla
70
1
1 toneladas de yeso
2
2
3
toneladas de cemento.
4
4
El área del lote mayor es de 48 m2
5
El área del lote menor 36 m2
6
7
La longitud de la vigueta menor será de 4 m
y la mayor de 6 metros.
La razón del número de enfermos del riñón entre el
8
número de alumnos es:
450
8
Los latidos que detectará el médico por minuto son 100.
9
El avión consumirá 12.8 toneladas de combustible.
10
El porcentaje de bateo es de
50
135
11
225 tornillos
12
400 pernos
13
$ 170.00
14
a
15
a
15
Matemáticas I
1.2 LENGUAJE ALGEBRAICO.
APRENDIZAJES
•
Resolver problemas algorítmicos de sucesiones aritméticas
•
Resolver problemas algorítmicos de sucesiones
geométricas.
•
Resolver problemas algorítmicos de series aritméticas y/o
geométricas
Una SUCESIÓN ARITMÉTICA
es aquélla en la que cualquier elemento, excepto el primero, puede
obtenerse al sumar o restar una constante al elemento anterior.
Una SUCESIÓN GEOMÉTRICA es un conjunto tal que cualquier elemento después del primero, puede
obtenerse al multiplicar o dividir el elemento anterior por una constante. También se le conoce con el
nombre de PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
Una SERIE resulta de sumar los términos de una sucesión.
Ejemplos:
1.-Verifica si 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 conforman una sucesión aritmética.
Veamos si satisface la definición. Identifiquemos el primer término: 1, observemos que
3
3
más
1
3
más
4
más
7
3
3
más
más
10
13
7
16
Por lo tanto, cumple con la definición ya que cualquier elemento después del primero se obtiene de
sumarle la constante 3 al término anterior.
16
Matemáticas I
UNIDAD 1
2.-Determina el siguiente término de la sucesión 62, 47, 34, 23, ___
Para determinar el siguiente término de la sucesión, es necesario analizar la relación entre los elementos,
a continuación se muestra una forma de hacerlo:
15
13
menos
11
62
9
menos
menos
menos
47
34
14
23
La relación que tienen los términos de la segunda sucesión se define a partir de calcular la diferencia entre
15 y 13 que son dos unidades; la que existe entre 13 y 11 es dos unidades; por lo tanto el siguiente
término es 9, ya que la diferencia entre 11 y 9 son dos unidades, entonces:
2
2
menos
13
15
11
menos
menos
62
2
47
7
9
menos
menos
34
constante
2
menos
menos
menos
menos
14
23
7
El siguiente término es 7, por lo tanto en la sucesión 62, 47, 34, 23, el término siguiente es 14.
3.- Determina el siguiente elemento de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31,...
Para analizar el comportamiento de la sucesión, primero calculamos la diferencia entre el primer número y
el segundo, después la diferencia entre cada uno de los demás miembros. Observa que: entre uno y tres
hay dos unidades; entre tres y siete hay cuatro unidades; entre siete y quince hay ocho unidades, entre
quince y treinta y uno hay dieciséis unidades; por lo que es difícil identificar el patrón numérico que
relaciona a un término con otro en forma inmediata.
4
2
1
3
8
7
15
16
31
Ahora, si defines la relación que existe entre cada uno de los términos de la nueva sucesión tenemos que
dos es igual a dos a la uno, que cuatro es igual a dos al cuadrado, que 8 es el cubo de dos; dieciséis es el
resultado de elevar dos a la cuarta potencia, por lo tanto el siguiente número será 32 que es el resultado
17
Matemáticas I
de elevar dos a la quinta potencia. Por lo tanto, el término solicitado lo obtendremos de sumar 32 de la
segunda sucesión y 31 de la primera sucesión y obtenemos como resultado 63.
2=2 1
2
1
4=2 2
4
3
1+2=3
16=2 4
16
15
31
8
7
3+4=7
8=2 3
7+8=15 15+16=31
31+32=63
Hay otro tipo de sucesiones llamadas geométricas. La diferencia con las anteriores es que se obtienen
multiplicando a cada término, después del primero, por un valor constante.
Recuerda que una sucesión geométrica es aquélla en la que cualquiera de sus elementos, después del
primero, puede obtenerse al multiplicar el elemento anterior por una constante. Una sucesión geométrica
también se denomina progresión geométrica. Para verificar la comprensión de este concepto analicemos el
siguiente ejemplo.
Seguramente en algún momento de tu vida académica habrás escuchado acerca del triángulo de Pascal,
que tiene como finalidad determinar los valores de los coeficientes de los elementos que forman un
Polinomio. Observa la siguiente figura con detenimiento:
En el primer renglón tenemos un solo valor 1.
1
1
1
6
4
1
3
3
4
tiene como resultado dos.
2
1
2
1
Si sumamos los elementos del segundo renglón se
1
1
8
1
4
1
Si realizamos la misma operación en el tercero
16
obtenemos 4.
Realizando el mismo proceso, tenemos como
resultado en el cuarto renglón 8 y en el quinto 16.
O sea, vamos formando la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16,...
18
Matemáticas I
UNIDAD 1
1.- ¿A qué tipo de sucesión se hace referencia en el triángulo: aritmética o geométrica?
Para ello veamos la relación entre sus elementos:
El segundo término entre el primero nos da como resultado el segundo, es decir,
el segundo nos da como resultado el segundo
2
= 2,
1
4
=2
2
8
=2
4
16
=2
8
2
= 2 ; el tercero entre
1
4
= 2 , al seguir este proceso obtenemos:
2
de donde podemos señalar que su razón es dos y que cumple con la
definición de sucesión geométrica.
2.- La sucesión 4,16, 64, 256,…es una progresión geométrica con razón común 4.
El cociente de 16 y 4 es cuatro; el resultado de dividir 64 entre 16 es cuatro; por último el cociente de 256
y 64 es cuatro por lo tanto
41
42
43
44
4
16
64
256
Si observamos el comportamiento de la progresión podemos afirmar que el siguiente término será 45, el
siguiente lo determinarás sumándole uno al exponente es decir 46 y así sucesivamente, por lo tanto, en
general su último término será 4n.
Como cada término después del primero (a1) lo podemos obtener multiplicando el precedente por la razón
común 4, que denotaremos por r, nuestra progresión geométrica la podemos representar como.
a1, a1 r, a1 r2, a1 r3 , a1 r4 , …, a1 rn-1
La forma de obtener la suma de todos los términos lo podrás hacer de la siguiente manera:
Sn = a1+ a1 r+ a1 r2+ a1 r3 + a1 r4 + …,+a1 rn-1
………1
Multiplica ambos miembros por r
rSn = a1r+ a1 r⋅r+ a1 r2⋅r+ a1 r3⋅r + a1 r4⋅r + …,+a1 rn-1⋅r
rSn = a1r+ a1 r2+ a1 r3+ a1 r4 + a1 r5+ …,+a1 rn ………2
Si a la ecuación 1 le restamos la ecuación 2 obtenemos:
Sn - rSn = a1 – a1rn ⇒
1⋅ Sn - r⋅Sn = a1 – a1rn
19
Matemáticas I
Podemos observar que en el lado izquierdo de la igualdad tenemos como factor común Sn
Factorizando tenemos que:
Sn( 1 - r⋅) = a1 – a1rn al despejar Sn tenemos que:
Sn =
a − an r
a1 − a1r n
⇒ Sn = 1
donde
1− r
1− r
r ≠1
3.- Calcula el último término de la progresión geométrica cuyo primer elemento es a1=-2, r = 2 y n = 7.
Primero determinaremos el valor del último término
an = a1 rn-1 = (-2)(2)7-1 = (-2)(2)6= (-2)(64) = -128
Sn =
20
a1 − ra n ( −2) − ( 2)( −128) ( −2) + 256 254
=
=
=
= −254
−1
−1
1− r
1− 2
Matemáticas I
UNIDAD 1
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención las siguientes definiciones y anota en la línea el término que las
complete correctamente.
1.
A la comparación por cociente entre dos o más cantidades semejantes o diferentes se le denomina
________________________.
2.
Al igualar dos razones se forma una ___________________.
3.
A la sucesión en la que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una
constante al elemento anterior, se le conoce como sucesión ___________________.
4.
A la sucesión tal que cualquier elemento después del primero, puede obtenerse al multiplicar el
elemento anterior por una constante, se le conoce como sucesión ____________________.
5.
Una sucesión geométrica también se denomina __________________ geométrica.
6.
Al sumar los términos de una sucesión se obtiene una _____________________.
7.
Localiza en la siguiente sopa de letras las palabras con las que completaste las definiciones
anteriores y enciérralas en un semicírculo.
R
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
S
T
U
O
U
R
T
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
E
A
D
T
T
V
A
C
I
R
T
E
M
O
E
G
D
R
L
W
V
B
W
G
R
A
S
V
X
C
Z
W
S
A
I
Q
B
M
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
S
U
D
I
E
M
O
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
C
R
A
E
O
P
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
R
E
A
P
D
P
Q
P
E
W
Q
D
C
R
S
T
U
S
W
R
R
Q
W
A
R
I
T
M
E
T
I
C
A
I
D
O
A
W
E
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
I
O
R
G
W
E
R
A
C
I
R
T
E
M
O
E
G
N
D
R
D
R
S
D
B
P
E
W
Q
D
C
V
O
R
R
E
R
S
D
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
Z
K
D
A
S
D
D
F
R
M
T
E
R
M
G
A
R
M
R
W
I
R
F
G
T
N
E
R
T
N
R
R
T
N
A
D
O
A
G
F
W
O
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
R
N
W
F
H
Q
R
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
R
D
H
I
C
P
E
W
Q
D
C
R
S
T
U
O
U
R
I
21
Matemáticas I
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en el paréntesis de la izquierda la
letra correcta.
8. (
)
Si los primeros tres elementos de una progresión geométrica son 6, -12 y 24, ¿cuál es el noveno
elemento?
a) –1536
b)
1536
c)
536
d) –536
9. (
) La suma de los primeros 8 términos de la progresión 1, 3, 9, 27, 81, ... es:
a) 3280
b) 2875
c) 8125
d) 9215
10. (
) Si 4, −
8 16
32
,
,−
,... es una progresión geométrica ¿cuáles son, respectivamente, la suma y la
27
3 9
razón?
22
a)
Sn =
b)
Sn = −
c)
Sn =
d)
Sn = −
12
5
r=
2
3
12
2
r=
5
3
12
2
r=−
5
3
12
5
r=−
2
3
Matemáticas I
UNIDAD 1
11. (
) ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una sucesión geométrica con razón r = -3 ?
a) 2, 6, 18, 54, 162
b) 2, -6, 18, -54, 162
c) –2, 6, -18, 54, -162
d) –2, 6, -18, -54, 162
12. (
) El siguiente término de la sucesión 2, 5, 10, 17, 26 es:
a) 33
b) 32
c) 37
d) 40
13. (
) El siguiente término de la sucesión 0, 12, 10, 0, -12 es:
a) -20
b) -10
c) 20
d) -8
14. (
) La expresión algebraica que permite determinar los términos de la sucesión 5, 7, 9, 11, 13 es:
a) y = 2a + 1
b) y = 2n + 3
c) y = 3n + 2
d) y = a + 4
23
Matemáticas I
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
1
razón
2
proporción
3
aritmética
4
geométrica
5
progresión
6
serie
7
24
Respuesta correcta
R
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
S
T
U
O
U
R
T
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
E
A
D
T
T
V
A
C
I
R
T
É
M
O
E
G
D
R
L
W
V
B
W
G
R
A
S
V
X
C
Z
W
S
A
I
Q
B
M
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
S
U
D
I
E
M
O
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
C
R
A
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O
P
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
R
E
A
P
D
P
Q
P
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W
Q
D
C
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S
T
U
S
W
R
R
Q
W
A
R
I
T
M
É
T
I
C
A
I
D
O
A
W
8
b
9
a
10
d
11
a
12
c
13
b
14
b
E
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
I
Ó
R
G
W
E
R
A
C
I
R
T
É
M
O
E
G
N
D
R
D
R
S
D
B
P
E
W
Q
D
C
V
Ó
R
R
E
R
S
D
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
Z
K
D
A
S
D
D
F
R
M
T
E
R
M
G
A
R
M
R
W
I
R
F
G
T
N
E
R
T
N
R
R
T
N
A
D
Ó
A
G
F
W
O
D
B
P
E
W
Q
D
C
R
R
N
W
F
H
Q
R
R
E
G
D
U
K
L
Ñ
M
N
R
D
H
I
C
P
E
W
Q
D
C
R
S
T
U
O
U
R
I
Matemáticas I
UNIDAD 1
AUTOEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y anota en la línea la(s)
palabra(s) que respondan o complementen de manera correcta.
Para resolver los siguientes ejercicios cuentas con 60 minutos.
1.
Juan Manuel, alumno del Colegio de Bachilleres, corre el lunes
5
7
7
km, el martes
km y el jueves
4
3
2
km. ¿Cuántos kilómetros corrió esa semana? _________________________.
2.
Yesenia cuenta con 12 metros de tela para tapizar algunos muebles de su casa, utiliza
sillón y
3.
7
m para un
3
9
m para unas sillas. ¿Cuánta tela le sobra? ________________.
2
Si tienes una barra de 7 metros, entonces el número de tornillos de 3.5 centímetros que puedes cortar
es de: _______________________.
4.
Si el peso neto de los pernos de un recipiente es de 15 500 kilogramos, donde el peso de cada perno
es de 25 kilogramos entonces el número de pernos que hay en el recipiente es de:
________________________.
5.
Si el precio en la etiqueta de un traje es de $1 800.00, con el 15% de descuento al hacer el pago en
caja, el costo con el descuento será de: ____________________________.
6.
Si un taladro perfora una placa de 6 cm en 2 minutos entonces la profundidad que perfora en un
minuto es de: __________________________.
25
Matemáticas I
INSTRUCCIONES: Lee con atención los reactivos 7 y 8 y realiza lo que se solicita en cada caso.
7.
Resuelve el siguiente crucigrama.
HORIZONTALES
3.- Sucesión donde cualquier elemento, excepto
el primero, puede obtenerse al multiplicar el
elemento anterior por una constante.
1
2
3
5.- Es una serie numérica que se obtiene al
operar sus términos, excepto el primero, por
medio de una constante con su antecesor.
4
6.-Es un conjunto de elementos relacionados a
5
través de una operación.
VERTICALES
6.-
1.- Sucesión en la que cualquier término,
excepto el primero, puede obtenerse al
sumar una constante al elemento anterior.
2.- Se obtiene de la comparación de dos o más
cantidades diferentes o semejantes mediante
un cociente.
4.- La obtienes a partir de igualar dos razones.
26
Matemáticas I
UNIDAD 1
8.
La siguiente tabla contiene 4 sucesiones, señala si son aritméticas o geométricas, e indica su serie
asociada. Escribe tus respuestas en la tabla que se proporciona.
1
2
1
486
3
6
162
4
9
54
5
12
18
6
15
7
18
8
9
100
90
80
70
SUCESIÓN
60
50
TIPO
40
30
20
10
SERIE ASOCIADA
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en el paréntesis de la izquierda la
letra de la opción correcta.
9. (
)
Una sucesión aritmética es:
a) un conjunto en el que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una
constante al término anterior.
b) un conjunto en el que todos los elementos pueden obtenerse al sumarles el primer término.
c) un conjunto en el que cualquier elemento excepto el primero, puede obtenerse al multiplicar
una constante al término anterior.
d) un conjunto en el que todos los elementos puede obtenerse al multiplicarlos por el primer
término.
27
Matemáticas I
10. (
) Una progresión geométrica es:
a) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumando al término
precedente un mismo número, llamado razón común.
b) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el
término precedente por sí mismo, llamándose razón común.
c) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumando el término
precedente al anterior, llamado razón común.
d) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el
término precedente por un número fijo, llamado razón común.
11. (
) El siguiente término de la sucesión 2,4, 8, 16, …, es:
a) -24
b)
32
c) -64
d)
12. (
18
) El siguiente término de la sucesión 1, -3, 9, -27, 81, …, es:
a)
240
b)
192
c) -192
d) -243
13. (
) ¿Con cuál de las siguientes expresiones algebraicas podemos encontrar los términos de la
siguiente sucesión 1, 4, 8, 13, 19, 26?
28
a)
y=
1 2  3
n +  n − 1
2
2
b)
y=
1 2  3
n +  n + 1
2
2
c)
y=
3 2 1
n +  n − 1
2
2
d)
y=
3 2 1
n +  n + 1
2
2
Matemáticas I
UNIDAD 1
14. (
) El quinto término de la siguiente sucesión 3, 4, 6, 9, ___, 18, …, es:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 15
15. (
) El cuarto término de la sucesión 4, 12, 20, __ , 36, 44, …, es:
a) 28
b) 26
c) 24
d) 30
16. (
) En un campamento ubicado en el Desierto de Mexicali se encuentran 540 personas con víveres
para 10 días, sin embargo en el momento en que acampan llegan 60 personas más. ¿Cuántos
días les durarán las provisiones?
a) 12 días.
b) 9 días.
c) 7 días.
d) 15 días.
17. (
) Un grupo de 20 excursionistas irán a ver a las mariposas monarca y quedarse 10 días, por lo que
preparan sus provisiones, sin embargo el día anterior se les notifica que el número de
participantes se incrementará en 5 ¿para cuántos días le serán suficientes los alimentos
previstos?
a) 8 días.
b) 12.5 días.
c) 13 días.
d) 15 días.
29
Matemáticas I
CLAVE DE RESPUESTA
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
7 Km
2
1
5 m
6
1
2
3
200 tornillos
4
620 pernos
5
$1 530.00
6
3 cm
1
E
O
M
É
T
R
P
R
O
5
P R
O
G
R
E
S
3
G
4
7
6.S
U
O
R
C
I
E
S
I
Ó
N
A
R
I C
T
M
É
T
Ó
I
2
R
A
Z
Ó
N
N
C
A
Ó
N
SUCESIÓN
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
8
SERIE ASOCIADA
Aritmética
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
1,3,6,9,12,15,18
Geométrica
1+3+6+9+12+15+18
6, 18, 54, 162,486
Geométrica
6+18+54+162+486
10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
30
TIPO
Aritmética
9
a
10
d
10+20+30+40+٠٠٠+100
Matemáticas I
UNIDAD 1
CLAVE DE RESPUESTA
Número de pregunta
Respuesta correcta
11
b
12
d
13
a
14
c
15
a
16
b
17
a
31
Matemáticas I
32
UNIDAD II
POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
Matemáticas I
34
Matemáticas I
UNIDAD 2
2.1 PROBLEMAS ICONOGRÁFICOS Y PICTÓRICOS.
APRENDIZAJES
• Construir el concepto de polinomio.
• Reducir términos semejantes.
• Obtener polinomios mediante la suma, resta y multiplicación,
calculando perímetros y áreas de cuadros Dines.
En aritmética empleamos números reales para realizar todo tipo de operaciones, sin embargo, cuando te
piden que des un número puedes indicar cualquiera, por ejemplo: 5, 78, etc.; ahora bien este número
puede ser representado mediante otros símbolos, por ejemplo las letras minúsculas del alfabeto ó bien
usando un código por medio de figuras (cuadros Dines) como se muestra a continuación.
LENGUAJE VERBAL
LENGUAJE ALGEBRAICO
Un número cualquiera:
x
Un número elevado al cuadrado:
x2
Dos unidades:
2
CUADROS DINES
Observa que utilizando este código puedes realizar otras representaciones, tales como:
El doble de un número más una unidad:
2x + 1
El cuadrado de un número más el mismo número: x2 + x
Un número cualquiera aumentado en 5 unidades: x + 5
35
Matemáticas I
Si queremos representar valores negativos, se deben considerar las misma figuras pero los cuadros serán
oscuros.
Observemos la representación algebraica equivalente de las siguientes figuras.
=
2x2 + 2x − 1
=
− 2x2 + 5
=
4
Con estos ejemplos se observa que al realizar la agrupación de figuras se efectúa una suma (o resta)
obteniendo una nueva expresión algebraica en la que se pueden efectuar simplificaciones entre figuras
iguales, esto es, que se reducen. Cuando se tiene una figura clara y una figura oscura (una positiva y otra
negativa) surge una zona de equilibrio lo que hace que se eliminen; entonces una expresión algebraica
es la representación de uno, dos o más símbolos en los que aparecen signos de operación formando
términos; esta formación de términos es una expresión conocida como polinomio.
Si el polinomio tiene 2 términos su nombre específico es binomio, por ejemplo: x2 + x, 2x + 3, x2 – 5
Cuando tiene tres términos se forma un trinomio, por ejemplo: x2 + x –3, x + 5 + x2, 2x2 – x + 8
Si sólo tienen un término se denominan monomios, por ejemplo 3x, 5b2, 6m3
Cuando las figuras son iguales, como dos cuadrados y cinco cuadrados, se pueden agrupar dando un total
de siete cuadrados, esto es 2x2 + 5 x2 = 7x2, es decir, se agrupan en términos semejantes.
Los términos semejantes son expresiones que tienen la misma literal (o incógnita) y ésta se encuentra
elevada a la misma potencia. Por ejemplo, al reducir el polinomio 3x2 + 6x + 8 y el polinomio 2x + 10x2, se
agrupan los términos semejantes y se obtiene: 3x2 + 10x2 + 6x + 2x + 8 =
36
Matemáticas I
UNIDAD 2
Al aplicar la propiedad distributiva1 se obtiene
x2(3 + 10) + x(6 + 2) + 8 =
13x2 + 8x + 8
En este otro ejemplo, para reducir el polinomio 3x2 + 6x + y con el polinomio 2x + 10x2 se agrupan los
términos semejantes y se tiene
3x2 + 10x2 + 6x + 2x + y =
Al aplicar la propiedad distributiva se obtiene
x2(3 + 10) + x(6 + 2) + y =
13x2 + 8x + y
Si analizamos los resultados, en el primer caso se tiene un trinomio con una sola incógnita o variable,
mientras que en el segundo caso, aún cuando es un trinomio, se tienen dos incógnitas y el término 8x + y
no se puede reducir por tener diferente variable.
1
Recuerda que la propiedad distributiva indica que a(b + c) = ab + ac
37
Matemáticas I
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y realiza lo que se solicita.
1.− Analiza los siguientes cuadros Dines.
¿Cuál es la expresión, en el lenguaje algebraico, que le corresponde a la representación anterior?
_____________________________________
2.− ¿Cuál es la representación en cuadros dines de 2x –3?
3.− ¿Qué es un termino semejante?________________________________________________________
4.− La expresión 4x6, tiene un sólo término, por lo que se le conoce con el nombre de _________________
__________________________________________________________________________________
5.− Cuando reducimos términos semejantes, sólo afectamos ____________________________________
38
Matemáticas I
UNIDAD 2
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza tus operaciones en hojas aparte.
6.− (
) Analiza las siguientes figuras.
Figura 1
Figura 2
El polinomio que se obtiene al sumar el área de cada una de las figuras es:
a) x4 + 6x + 5
b) 2x2 + 6x + 5
c) 2x2 + 6x + 4
d) x2 + 6x + 5
7.− (
) Analiza las siguientes figuras
Figura 1
Figura 2
Al restar el área de la Figura 2 a la Figura 1, el polinomio que se obtiene es:
a) 2x + 4
b) 2x – 4
c) 2x2 + 2x + 4
d) 2x2 – 2x + 4
39
Matemáticas I
8.− (
) Observa la figura.
x+ 8
2x+ 5
2x+ 5
Si su perímetro es 8x + 25 ¿cuánto vale el lado desconocido?
a) 13x + 43
b) –5x –18
c) 3x + 7
d) 13x + 7
9.− (
) Observa la figura.
2x+ 3
4x+ 8
El valor del área es:
a) 12x – 22
b) 8x2 + 28x + 24
c) 8x2 + 28x – 24
d) 6x2 + 11
10.− ( ) Al simplificar la expresión x – (x − 2) – 3(2x + 6) el resultado es:
a) –6x – 16
b)
6x –16
c)
8x –18
d) –8x –20
40
Matemáticas I
UNIDAD 2
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de Pregunta
Respuesta Correcta
1
−x2 + 3x + 2
2
3
Aquel que con respecto a otro tiene la
misma base y el mismo exponente.
4
Monomio
5
los coeficientes
6
b
7
a
8
c
9
b
10
a
41
Matemáticas I
2.2 PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRAICOS.
APRENDIZAJES
• Aplicar las reglas de los exponentes al operar expresiones algebraicas y
aritméticas.
• Efectuar la suma, diferencia, el producto y el cociente de polinomios.
• Desarrollar productos notables de la forma (x + a)2, (x +a )(x + b), (x +a)(x – a);
(x + a)3.
• Desarrollar los diferentes casos de factorización: trinomios de la forma
x2 + bx + c, ax2 + bx +c, con un término común y diferencia de cuadrados.
• Simplificar expresiones algebraicas racionales.
Con los polinomios puedes sumar, restar, multiplicar y dividir.
Para la suma de polinomios lo primero que puedes hacer es eliminar los paréntesis para después
agrupar los términos semejantes, por ejemplo:
(2x2 + 8x + 6) + (4x2 + 3x + 4) =
elimina paréntesis
2x2 + 8x + 6 + 4x2 + 3x + 4 =
agrupa términos semejantes
2x2 + 4x2 + 8x + 3x + 6 + 4 =
aplica la propiedad distributiva
x2(2 + 4) + x(8 +3) + 10 =
6x2 + 11 x + 10
Cuando se trata de una resta (o diferencia) de polinomios, el primer polinomio es el minuendo y el
segundo es el sustraendo por lo que: MINUENDO – SUSTRAENDO = DIFERENCIA.
42
Matemáticas I
UNIDAD 2
Por ejemplo:
(4y2 + 3y +4) – (2y2 + 8y + 6) =
elimina paréntesis
4y2 + 3y +4 – 2y2 − 8y − 6 =
agrupa términos semejantes
4y2 –2y2 + 3y – 8y +4 –6 =
aplica la propiedad distributiva
y2(4 –2) + y(3 – 8) + 4 – 6 =
2y2 – 5y – 2
Observa que al eliminar los paréntesis también se realizó la conversión de signos de operación, aplicando
la ley de signos..
Para la multiplicación de polinomios, por ejemplo: (x + 2) (x2 – 2x + 4), debes aplicar las siguientes
reglas:
REGLAS DE LOS
EXPONENTES
1) El producto de dos bases
iguales elevadas a diferente
potencia es igual a la base
elevada a la suma de las
potencias.
2) Cuando se tienen dos bases
distintas elevadas a una misma
potencia, cada base es afectada
por dicha potencia.
3) Cuando una base es elevada a
un exponente y éste a una
potencia, los exponentes se
multiplican.
4) Cualquier base elevada a la
potencia cero equivale a la
unidad.
Expresión Algebraica
Ejemplo.
bmbn =bm+n
x3x2 = x5
(ab)m = ambm
(xy)3 = x3y3
(bm)n = bmn
(x2)3 = x6
b0 = 1
x0 = 1
Ahora observa como se aplican las reglas de los exponentes en el siguiente ejemplo.
(x +2)(x2 – 2x + 4) =
Multiplica el primer término del primer factor por todos y cada uno de los términos del segundo factor:
x(x2 – 2x + 4) +2(x2 – 2x + 4) =
aplica la propiedad distributiva:
x3 – 2x2 + 4x + 2x2 – 4x + 8 =
agrupa y simplifica términos semejantes:
x3 – 2x2 + 2x2 + 4x – 4x + 8 =
x3 + 8
43
Matemáticas I
Para la división de polinomios, el algoritmo que debes utilizar es:
a) Ordenar tanto el dividendo como el divisor en forma decreciente respecto de la variable.
b) Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
c) Multiplicar el cociente obtenido por todos y cada uno de los términos del divisor y restar este producto
del polinomio que está en el dividendo, agrupando y simplificando términos semejantes.
d) Repetir el procedimiento hasta llegar a un residuo de cero (división exacta) o bien a un exponente
menor en el dividendo que el del divisor (división inexacta).
Observa los siguientes ejemplos.
x2
=x
x
x2 + 11x + 30 entre x + 6
x+5
x+6
2
x(x + 6) = x + 6x
2
x + 11x + 30
5x
=5
x
− x2 − 6x
5x + 30
5 ( x + 6 ) = 5x + 30
− 5x − 30
0
Para realizar la comprobación multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe ser el dividendo.
(x + 5)(x + 6) =
x(x + 6) + 5(x + 6) =
x2 + 6x + 5x + 30=
x2 + 11x + 30
Por lo tanto la división es correcta; recuerda que si no es exacta debes sumar el residuo al producto.
Ahora divide 6y + 4y3 – 6y2 entre 2y2 – 2y y completa donde sea necesario.
44
Matemáticas I
UNIDAD 2
En este caso debes ordenar el dividendo del exponente mayor al exponente menor.
4y3
= 2y
2y2
2y –1
2y2–2y 4y
3
– 6y2 + 6y
–4y3 + 4y2
2y(2y2 – 2y) =
2
– 2y + 6y
− 2y2
=
2y2
+ 2y2 – 2y
4y
–1 (2y2 + 6y ) =
Para realizar la comprobación multiplica el resultado (2y – 1) por el divisor (2y2 – 2y) y al resultado
súmale el residuo (4y), esto es:
(2y – 1) (2y2 – 2y) = 2y(2y2 – 2y) – 1(2y2 – 2y)
= 4y3 – 4y2 – 2y2 + 2y
= 4y3 – 6y2 + 2y
4y3 – 6y2 + 2y + 4y = 4y3 – 6y2 + 6y
Como este resultado es igual al dividendo (4y3 – 6y2 + 6y), entonces, el resultado de la división es:
(2y – 1) con residuo 4y.
En los casos en los que tienes (x + 2)2 debes buscar formas ó reglas más sencillas para resolverlos, a las
que se conocen como productos notables.
Recuerda que el exponente indica el número de veces que la base se está multiplicando, así por
ejemplo si tenemos (x + 2 )2 equivale a (x + 2)(x + 2).
Observa la figura de abajo, de acuerdo con sus medidas se forman cuatro áreas: un cuadrado cuya área
es x2, dos rectángulos con un área de 2x cada uno y un cuadro pequeño cuya área es 4.
45
Matemáticas I
Si efectuamos el producto notable se tiene:
x
2
(x + 2)(x + 2) = x(x + 2) + 2(x + 2)
= x2 + 2x + 2x + 4
x
x2
2x
= x2 + 2(x)(2) + 4
= x2 + 4x +4
2
2x
4
La expresión que se obtiene está formada por tres términos que resultan de las siguientes operaciones: “El
cuadrado del primer término del binomio más el doble producto del primer término por el segundo más el
cuadrado del segundo término” y se conoce como TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Cuando se aplica esta regla de forma inmediata se trabaja con un PRODUCTO NOTABLE; cuyo nombre
es la SUMA DE UN BINOMIO ELEVADO AL CUADRADO, es decir:
(x + 2 )2 = x2 + 4x +4
Ahora analiza los siguientes ejemplos:
(x + 3)2 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2
= x2 + 6x + 9
(x2 + 4)2 = (x2)2 + 2(x2)(4) + (4)2
= x4 + 8x2 + 16
(x2 – 4x)2 = (x2)2 + 2(x2)(− 4x) + (− 4x)2
= x4 − 8x3 + 16x2
De forma similar puedes realizar el producto de (x + 3)(x + 2). Observa la figura:
x
2
(x +2)(x +3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x2 + 3x + 2x + 6
x
x2
2x
= x2 + x(3 + 2) + 6
= x2 + 5x + 6
3
3x
6
En este caso los binomios tienen un término en común “x” y dos términos distintos “2 y 3” por lo que
el resultado también corresponde a un trinomio que está formado por: “El cuadrado del término común más
el producto del término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos
no comunes”.
46
Matemáticas I
UNIDAD 2
Analiza la aplicación de esta regla en los siguientes ejemplos de BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.
(y + 5)(y + 4) = (y)2 + y(5 + 4) + (5)(4)
= y2 + 9y + 20
(y2 + 5)(y2 + 8) = (y2)2 + y2(5 + 8) + (5)(8)
= y4 + 13y2 + 40
(3y2 + 8)(3y2 − 5) = (3y2)2 + 3y2( 8 − 5) + (8)(− 5)
= 9y4 + 9y2 – 40
Cuando el producto que tienes es la suma por la diferencia de dos binomios como (x + 3)(x – 3) se trabaja
con un BINOMIO CONJUGADO y la regla indica que: “El producto de dos binomios conjugados equivale
al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”, cuyo nombre es DIFERENCIA
DE CUADRADOS, es decir:
(x +3) (x – 3) = x2 –9
Ahora analiza los siguientes ejemplos:
(y2 + 5) (y2 – 5) = (y2)2 – (5)2
= y4 – 25
(2m2 + m)(2m2 – m) = (2m (2)2 – (m)2
= 4m4 – m2
Para el CUBO DE LA SUMA (o RESTA) DE DOS BINOMIOS tienes la siguiente regla: “El cubo del primer
término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del
primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.
Observa la aplicación de la regla anterior en los siguientes ejemplos:
(x + 3)3 = (x)3 + 3(x)2(3) + 3(x)(3)2 + (3)3
= x3 + 9x2 + 27x + 27
(2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + (3)3
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27
(2x4 − 3x)3 = (2x4)3 + 3(2x4)2(− 3x) + 3(2x4)(− 3x)2 + (− 3x)3
= 8x12 − 36x9 + 54x6 – 27x3
47
Matemáticas I
Otra de las operaciones que puedes realizar con las expresiones algebraicas es la factorización.
Factorizar una expresión es obtener los productos que, al multiplicarlos, den como resultado la
expresión original. Por ejemplo, los factores de cada una de las siguientes expresiones:
8 = 1(8)
36 = 1(36)
a4 = 1(a4)
12a3 = 1(12a3)
= 2(4)
= 2(18)
= a(a3)
= 2a(6a2)
= 4(2)
= 3(12)
= a2(a2)
= 3a2(4a)
Aunque debes tomar en cuenta que los factores también pueden ser negativos, aplicando únicamente la
ley de signos, de acuerdo con el tipo de expresión que tengas existen diferentes métodos para realizar la
factorización, entre los que se destacan los siguientes.
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN. Este método lo puedes aplicar cuando en la expresión todos
los términos tienen base igual aunque estén con diferente exponente, por ejemplo:
2x + 3x = x(2+ 3)
x3 + x2 – x8 = x2(x + 1 – x6)
12m6 – 6m7 + 18m4 = 6m4(2m2 – m3 +3)
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. En este caso debes notar que en todos los
términos no siempre se repite la base, por lo que debes agrupar aquéllos en los que encuentres ya sea
una base en común ó bien que los coeficientes sean múltiplos entre sí. Observa estos ejemplos:
x3 + 4x2 + 3x + 12 =
Agrupando términos
(x3 + 4x2) + (3x + 12) =
Sacando el factor común
x2(x + 4) + 3(x + 4) =
(x + 4) (x2 + 3)
y5 + 5y3 – 4y2 – 20 =
Agrupando términos
(y5 – 4y2) + (5y3 – 20) =
Sacando el factor común
y2(y3 – 4) + 5(y3 – 4) =
(y3 – 4)(y2 +5)
48
Matemáticas I
UNIDAD 2
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Al efectuar el desarrollo de la suma de
un binomio elevado al cuadrado, el resultado que obtienes es un trinomio cuadrado perfecto; para
factorizarlo deberás obtener el binomio. Para ello se puede utilizar el siguiente procedimiento:
x2 +16x + 64 =
Ordena el trinomio en forma decreciente respecto a una literal
x2 = x
Obtén la raíz cuadrada del primer y tercer término
Comprueba que el segundo término sea el doble producto de las raíces
64 = 8
16 x = 2(x)(8)
x2 +16x + 64 = (x + 8)2
Por lo que:
Analiza este otro ejemplo:
y4+ 10y2 + 25 =
y 4 = y2
25 = 5
2
2
10y = 2(y )(5)
y4+ 10y2 + 25 = (y2 + 5)2
Por lo que:
En caso de que el segundo término del trinomio sea negativo, debes considerar la raíz negativa del
segundo término:
m6 –12m3 + 36 =
m6 = m3
3
36 = ±6
3
Entonces para el término
–12 m = 2(m )(−6)
Por lo que:
m6 –12m3 + 36 = (m3 –6)2
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA
x2 + bx + c. Este trinomio es el resultado del
producto de dos binomios con término común, por lo cual para factorizarlo deberás realizar el siguiente
procedimiento:
Ordenar el trinomio en forma decreciente
Obtener la raíz cuadrada del primer término
x2 + 7x + 12 =
x2 = x
Buscar dos números que multiplicados te den el valor del último término (12) y que sumados sean el
coeficiente del segundo término (7).
49
Matemáticas I
1(12) = 12
1 +12 = 13
2(6) = 12
2+6=8
3(4) = 12
3+4=7
Por lo que:
x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Analiza este otro ejemplo:
y2 + 5y − 24 =
y2 = y
Dos números que multiplicados den −24 y sumados 5
−1(24) = − 24
− 1 + 24 = 23
− 2(12) = − 24
− 2 + 12 = 10
− 3(8) = − 24
−3+8=5
−4(6) = − 24
−4+6=2
Por lo que
2
y + 5y − 24 = (y – 3 )(y + 8)
En el caso de que el trinomio sea de la forma ax2 + bx + c deberás multiplicar el valor de los coeficientes a
y c, así como buscar los números múltiplos de este valor y que sumados sean el coeficiente del segundo
término para que te queden cuatro términos que factorizarás por agrupación de términos.
Observa y analiza los siguientes ejemplos:
2m2 + 5m + 3 =
Al multiplicar 2(3) = 6 por lo que debes encontrar dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5,
dichos números son 2 y 3; entonces:
2m2 + 5m + 3 =
2m2 + 2m + 3m + 3 =
Agrupa términos
(2m2 + 2m) + (3m + 3) =
Obtén el factor común
2m(m + 1) + 3(m +1) =
(m +1)(2m + 3)
Sea ahora
5x2 – 14x – 3 =
Al multiplicar 5(–3) = –15, entonces busca dos números que multiplicados den –15 y sumados –14, éstos
son –15(1) = –15;
–15 + 1 = –14; entonces:
5x2 – 14x – 3 =
5x2 –15x + x –3 =
50
Matemáticas I
UNIDAD 2
Agrupa términos
(5x2 – 15x) + (x – 3) =
Obtén el factor común
5x(x –3) + 1(x –3) =
(x –3)(5x + 1)
También en los productos notables para binomios conjugados, el resultado que obtuviste fue una
diferencia de cuadrados, entonces, para encontrar estos factores debes calcular la raíz de cada uno de los
términos. Analiza los siguientes ejemplos:
x2 – 25 =
x2 = x
25 = 5
2
Por lo que:
x – 25 = (x + 5)(x – 5)
Sea ahora.
4m6 – 81 =
4m 6 = 2m 3
Por lo que:
81 = 9
4m6 – 81 = (2m3 –9)(2m3 + 9)
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL es aquélla en la cual tanto en el numerador como en el
denominador se presentan expresiones formadas por diferentes polinomios.
Para reducir expresiones algebraicas racionales, por ejemplo
x2 + x
, deberás tomar en consideración lo
x2 −1
siguiente:
a) Factoriza tanto el numerador como el denominador, aplicando uno de los métodos antes explicados.
x( x + 1)
=
( x + 1)( x − 1)
b) Obtén un factor igual en el numerador como en el denominador, recuerda que éste se reduce a la
unidad.
x( x + 1)
=
( x + 1)( x − 1)
51
Matemáticas I
c) Escribe la mínima expresión.
x
x −1
Otro ejemplo. Cuando las expresiones son trinomios y binomios; la reducción de expresiones es la
siguiente:
x 2 + 3x + 2
=
2x + 4
Al factorizar el numerador y el denominador:
( x + 1)( x + 2)
=
2( x + 2)
Simplificando obtienes:
52
x +1
2
Matemáticas I
UNIDAD 2
EJERCICIOS:
INSTRUCCIONES. Lee con atención los siguientes ejercicios y escribe en la línea lo que se solicita en
cada caso. Si es necesario realiza el procedimiento en hojas aparte.
1. Al efectuar la simplificación de 3x4 (2x5) el resultado es:______________________________
2. El trinomio obtenido del producto de la suma de un binomio elevado al cuadrado se
denomina:_________________________________________.
3. Al procedimiento para obtener los productos de una expresión algebraica se le llama:
________________________________
INSTRUCCIONES. Lee con atención los ejercicios y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que
corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza el procedimiento en hojas aparte.
4. (
 4x2
 3
) Al simplificar la expresión 
 x 7  9 x 4 
 
 , el resultado es:
 2  2 
a) 3x11
b) x3
c) 3x13
d) 36x11
5. (
) El resultado de
( 40a ) 0
es:
2
a) 2
b) 1
c)
1
2
d) 0
53
Matemáticas I
6.(
) Al restar los polinomios (3m3 + m –10) – (m3 – 2m +11) el resultado que se tiene es:
a) 2m3 + 3m – 21
b) 2m3 + 3m + 21
c) 3m3 + 3m + 21
d) 3m3 + 3m − 21
7. (
) Al efectuar la multiplicación de (c2 – 4c)(c2 + 4c), el resultado es:
a) c4 + 16c2
b) c4 − 16c2
c) c4 + 8c3 + 16c2
d) c4 + 8c3 − 16c2
8. (
) Al efectuar la división de 2x2 +x3 – 16x –32 entre x + 2, el resultado que obtienes es:
a) x2 – 16
b) x2 + 16
c) x2 + 4x + 16
d) x2 + 4x – 16
9. (
) Si divides 2y3 + 3y – 6y2 –9 entre y –3 el resultado es:
a) 2y2 – 3y
b) 2y2 +3y
c) 2y2 + 3
d) 2y2 – 3
10. (
) Al desarrollar la expresión (3m + 2)2, el resultado es:
a) m2 + 12m + 4
b) 9m2 + 12m + 4
c) 9m2 + 6m + 4
d) m2 + 6m + 4
11. (
) El resultado del producto notable (6x3 – 8x) (6x3 + 8x) es:
a) 36x6 − 64x2
b) 36x6 + 64x2
c) 36x6 + 96x4 + 64x2
d) 36x6 + 96x4 − 64x2
54
Matemáticas I
UNIDAD 2
12. (
) Al desarrollar la expresión (3y9 – 8) (3y9 + 18), el resultado es:
a) 9y18 – 64
b) 9y18 + 64
c) 9y18 – 30y9 – 144
d) 9y18 + 30y9 – 144
13. (
) El desarrollo del binomio ( y – 1)3 es:
a) y3 + 2y2 + 3y –1
b) y3 + 2y2 + 3y + 1
c) y3 − 3y2 − 3y + 1
d) y3 − 3y2 + 3y – 1
14. (
) Al factorizar la expresión n2 –144 –24n, el resultado es:
a) (n –12)2
b) (n + 12)2
c) (n – 12)(n+12)
d) (n + 12)(n− 11)
15. (
) Al factorizar la expresión 3y2 –32 –4y, el resultado es:
a) (3y – 8) (y – 4)
b) (3y + 8) (y + 4 )
c) (3y + 8) (y – 4)
d) (3y – 8) (y + 4)
16. (
) Al factorizar la expresión 4c2 – 19c + 12, el resultado es:
a) (4c – 3)(c – 4)
b) (4c – 3)(c + 4)
c) (c – 3)(c + 4)
d) (c +4)( 3c – 4)
55
Matemáticas I
17. (
) Al simplificar la expresión
a)
1
2x −1
b)
2
2x −1
c)
2 x + 12 , el resultado es:
2 x 2 + 11x − 6
2x –1
d) 2x + 1
18. (
19.(
) La simplificación de
a)
x − 11
x + 11
b)
x
x + 11
c)
x + 11
x
d)
x + 11
x + 10
x 2 − 25
, el resultado es:
) Al efectuar la simplificación de 2
x − 5x
a) x + 5
b) x – 5
56
x 2 − 121
es:
x 2 − x − 110
c) 1 +
5
x
d) 1 −
5
x
Matemáticas I
UNIDAD 2
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
6x9
2
Trinomio Cuadrado Perfecto
3
Factorización
4
c
5
c
6
a
7
b
8
a
9
c
10
b
11
a
12
d
13
d
14
a
15
c
16
a
17
b
18
d
19
c
57
Matemáticas I
AUTOEVALUACIÓN
Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos
INSTRUCCIONES: A continuación se presenta una serie de ejercicios con la finalidad de que reafirmes tus
conocimientos y habilidades para la solución de problemas. Lee con atención cada ejercicio y anota en el
paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. Realiza los cálculos necesarios en hojas
aparte.
1. (
) Al eliminar los signos de agrupación y simplificar la expresión el resultado es:
{20x – [2x – (x + 2) – (6 – x2) – (28 + x + x2)]} =
a) 2x2 + 18x + 32
b) 2x2 + 20x + 36
c) 20x + 36
d) 20x + 34
) Al restar los polinomios (4y2 + y – 8) – (3y2 + 2y + 10) el resultado que se obtiene es:
2. (
a) y2 + 3y + 2
b) y2 – y – 18
c) 7y2 – y – 18
d) 7y2 + y + 2
 4x 2 
) Al simplificar 
 9 


3. (
a) 9x5
b) 2x7
c)
x7
4
d) 7x5
58
0
 3x 2

 2
 3
 6 x el resultado es:

( )
Matemáticas I
UNIDAD 2
) El producto de (a3 – 2)(a3 – 5) es:
4. (
a) a6 + 7a3 + 10
b) a6 – 7a3 + 10
c) a3 – 7a – 10
d) a3 – 7a + 10
(
)
 2 3  10 x 4 − 5 x 2 + 10 el resultado es:
x 
 5 
) Al multiplicar  −
5. (
a) – 4x7 + 2x5 – 4x3
b)
4x7 – 2x5 – 4x3
c)
4x12 + 2x6 – 4x3
d) – 4x12 + 2x6 + 4x3
6. (
) Al efectuar la división de x4 + 9x2 + 20 entre x2 + 4 el resultado es:
a) x2 – 5x – 5
b) x2 – 5x + 5
c) x2 – 5
d) x2 + 5
7. (
) Al dividir m3 + 1 entre m + 1 se obtiene:
a) m2 – m + 1
b) m2 – m – 1
c) m2 + m + 1
d) m2 + m – 1
8. (
) Al dividir – y3 – 8y + 51 entre 3 – y, el resultado es:
a) y2 – 3y – 17
b) y2 + 3y – 17
c) y2 – 3y + 17
d) y2 + 3y + 17
59
Matemáticas I
) Aplica la regla y obtén el desarrollo del producto notable (8x3 – 1)3.
9. (
a) 512x9 – 192x6 + 24x3 –1
b) 512x9 + 192x6 + 24x3 + 1
c) 24x6 – 48x5 + 24x3 + 1
d) 24x6 + 48x5 + 24x3 – 1
10. (
) Al desarrollar el binomio (3y4 – 8y)(3y4 – 2y) el resultado es:
a) 6y8 + 30y5 – 16y2
b) 6y8 – 30y5 + 16y2
c) 9y8 – 30y5 + 16y2
d) 6y6 – 30y4 + 16y2
11. (
) Los factores de y8 – 27 – 6y4 son:
a) (y4 –3)(y4 + 9)
b) (y4 + 3)(y4 – 9)
c) (y4 + 3)(y4 + 9)
d) (y4 – 3)(y4 – 9)
12. (
) Al factorizar 4m10 – 121 se obtiene:
a) (2m5 – 11)(11 + 2m5)
b) (2m5 – 11)(2m5 – 11)
c) (2m –11)2
d) (2m 5+ 11)2
13. (
) Los factores de x3 –2x2 –x5 son:
a) x(x2 + 2 –x4)
b) x2(x – 2 –x3)
c) – x2(–x + 2 –x3)
d)
60
x(x3 –2x2 –x5)
Matemáticas I
UNIDAD 2
14. (
) La simplificación de la expresión
a)
a2 +1
a
b)
a2 −1
a
c)
a
a −1
d)
15. (
a3 − a
es:
a4 −1
2
a
2
a +1
) Al simplificar
4− x
se tiene:
x − 6x + 8
2
a) x – 2
b)
1
x−2
c) x + 2
d)
−1
x−2
61
Matemáticas I
CLAVE DE RESPUESTAS
62
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
c
2
b
3
a
4
b
5
a
6
d
7
a
8
d
9
a
10
c
11
b
12
a
13
b
14
d
15
d
UNIDAD III
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Matemáticas I
64
Matemáticas I
UNIDAD 3
3.1 ECUACIONES LINEALES.
APRENDIZAJES
• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
• Con coeficientes fraccionarios.
• Ecuaciones cuya resolución impliquen el desarrollo
de operaciones.
Para iniciar con este tema analiza lo siguiente. Imagina que de un rectángulo conoces el perímetro, pero
que del ancho y del largo sólo conoces la relación que guardan entre sí. Por ejemplo, piensa en un
rectángulo de perímetro 36 cms., cuya longitud del ancho es de una cantidad x y la longitud de lo largo es
de cuatro unidades más que la longitud de lo ancho. Lo que queremos es conocer las dimensiones del
rectángulo. Esta situación se muestra mediante el siguiente dibujo.
x+4
x
x
x+4
Antes de continuar es conveniente recordar que para calcular el perímetro de cualquier polígono, lo que
hacemos es sumar la longitud de cada uno de sus lados. Cuando se trata de un cuadrilátero lo que
debemos hacer es sumar las longitudes de los cuatro lados; pero, como el cuadrilátero es un rectángulo,
entonces podemos decir que dos veces el ancho sumado con dos veces el largo es igual al perímetro, esto
es, para el ejemplo: dos veces el ancho más dos veces el largo es igual a treinta y seis.
Utilizando lenguaje algebraico, queda como:
2( x ) + 2( x + 4) = 36
Es importante no perder de vista cuál es el problema, en este caso es conocer la longitud del ancho y
del largo del rectángulo, de tal manera que el perímetro sea de 36 cms.
65
Matemáticas I
Regularmente, para resolver el problema utilizamos el método por tanteo, esto es, dando valores a la
incógnita x y calculando el perímetro hasta encontrar aquél valor que lo satisfaga o resuelva. Hagámoslo,
pero usemos una tabla para organizar nuestros cálculos.
ancho
largo
perímetro
¿Es la solución?
x+4
2( x ) + 2( x + 4) = 36
Si, x = 1
1+ 4
2(1) + 2(1 + 4) = 2 + 2(5) = 12
No
Si, x = 2
2+4=6
2(2) + 2(6) = 4 + 12 = 16
No
Si, x = 3
3+4=7
2(3) + 2(7) = 6 + 14 = 20
No
Si, x = 4
4+4 =8
2( 4) + 2(8) = 8 + 16 = 24
No
Si, x = 5
5+4 =9
2(5) + 2(9) = 10 + 18 = 28
No
Si, x = 6
6 + 4 = 10
2(6) + 2(10) = 12 + 20 = 32
No
Si, x = 7
7 + 4 = 11
2(7) + 2(11) = 14 + 22 = 36
Sí
x
Es la fórmula
Como te puedes dar cuenta el procedimiento es sencillo, pero tiene al menos dos defectos: es
relativamente largo (y tedioso) y cuando la situación sea un poco más compleja, éste puede ser
complicado. Pensemos en una forma más eficaz. Por ejemplo, utilizar la fórmula que obtuvimos:
2( x ) + 2( x + 4) = 36 como una ecuación en la que el número x sea la incógnita.
Ahora lo que tenemos que hacer es desarrollar un procedimiento para resolver la ecuación. Lo primero es
tener claro lo que entenderemos por resolver la ecuación: podemos decir que consiste en el proceso
mediante el cual conseguimos conocer el valor de la incógnita o incógnitas.
Este proceso deberá llevarnos a escribir la incógnita igualada con un número al que llamaremos valor de la
incógnita o solución de la ecuación. En el caso del ejemplo podemos decir que la solución de la ecuación
2( x ) + 2( x + 4) = 36 , es: x = 7
Un primer paso del proceso de resolución debe ser desarrollar las operaciones que están señaladas en la
ecuación. De esta manera tenemos:
2x + 2x + 8 = 36
Observa que utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación para efectuarla.
66
Matemáticas I
UNIDAD 3
Si hacemos una asociación conveniente entre los términos que contienen a la incógnita, los podemos
agrupar en uno solo, como en seguida se muestra.
(2x + 2x ) + 8 = 36
Ahora, utilicemos la propiedad distributiva de la multiplicación para escribir la expresión anterior como:
(2 + 2)x + 8 = 36
hagamos la suma para obtener
( 4)x + 8 = 36
que también podemos escribir como
4 x + 8 = 36
Para poder conocer el valor de la incógnita el número 8 debe cambiar de lugar, para lo cual sumaremos el
número –8 tanto en el primer miembro de la ecuación como en el segundo, para obtener:
4 x + 8 + ( −8) = 36 + ( −8)
que agrupados convenientemente para reducir los términos que son semejantes, se obtendrá lo siguiente:
4 x + (8 − 8) = (36 − 8)
4 x + 0 = 28
4 x = 28
Ahora sabemos que cuatro veces el número desconocido es igual a veintiocho. Pero no queremos saber el
valor de cuatro veces la incógnita, esto es, el valor de 4x, sino el de una x. Para esto dividamos los dos
números por cuatro, para obtener la solución
4 x 28
=
4
4
x=7
Así x = 7, que es la solución de la ecuación pero no del problema. La solución del problema es: la longitud
del ancho del rectángulo es de siete centímetros y la longitud de lo largo es de 7 + 4 = 11 centímetros.
Hagamos un resumen de los pasos que seguimos:
1. Efectuamos las operaciones algebraicas señaladas en la ecuación y se reducen
los términos semejantes.
67
Matemáticas I
2. Eliminamos los términos no deseados, esto es, a la izquierda del signo igual sólo
dejamos aquéllos que contengan a la incógnita y a la derecha aquéllos que no la
contengan. Después hacemos la reducción de los términos que son semejantes.
3. Por último, dividimos cada término de la ecuación por el coeficiente del término
que contiene a la incógnita incluyendo a su signo.
4. Comprobamos los resultados.
Resolvamos una ecuación en la que se muestre el procedimiento anterior. Por ejemplo:
2( x − 3) − 3( x + 5) = 7
Efectuemos las operaciones algebraicas señaladas en la ecuación y reduzcamos los términos semejantes.
2x − 6 − 3 x − 15 = 7
(2x − 3 x ) + ( −6 − 15) = 7
(2 − 3)x + ( −21) = 7
( −1)x + ( −21) = 7
−1x − 21 = 7
Eliminemos los términos no deseados, esto es, a la izquierda del signo de igual eliminemos al término
–21. Para ello, sumemos a ambos miembros de la ecuación el término +21 y reduzcamos los términos
semejantes.
−1x − 21 + ( +21) = 7 + ( +21)
−1x = 28
Dividamos ahora cada término de la ecuación por –1:
−1x 28
=
−1 −1
La solución de la ecuación es: x = − 28
Para comprobar los resultados: sustituimos en la ecuación el valor de x, esto es, x = -28
68
Matemáticas I
UNIDAD 3
2( x − 3) − 3( x + 5) = 7
2( − 28 − 3) − 3( − 28 + 5) = 7
2( − 31) − 3( − 23) = 7
− 62 + 69 = 7
7=7
Como la igualdad resulta cierta o verdadera, concluimos que la respuesta es correcta.
Se dijo anteriormente, cuando resolvemos una ecuación por tanteos podría ser un método tedioso y poco
útil para resolver ecuaciones un poco más complejas. Ahora estudiemos una situación en la que los
coeficientes sean fraccionarios y que nos permita reconocer la ventaja de usar a las ecuaciones como un
modelo de solución.
Un padre, al morir, deja a sus tres hijos una cantidad de dinero que ahorró durante su vida. Georgina
recibió 325 000 pesos, Aixa un tercio de la herencia y Emmanuel un sexto. ¿Cuánto dinero ahorró esta
persona?
Resolvamos el problema considerando que lo que no conocemos es la cantidad que dejó dicha persona
como herencia. Asignémosle a dicha cantidad la letra h (herencia). Como la herencia se dividió en tres
partes, entonces la suma de las tres es igual a ella, por lo que podemos escribir como:
Lo heredado es igual a lo que recibió Georgina, más lo que recibió Aixa, más lo que recibió Emmanuel.
Escribamos la ecuación utilizando el lenguaje algebraico.
h = 325 000 + 31 h + 61 h
Para saber de cuánto es la herencia, resolvamos la ecuación. De acuerdo con lo dicho anteriormente,
hacemos las operaciones que estén indicadas en cada uno de los miembros de la ecuación. Esto es,
eliminemos los denominadores multiplicando cada término por el denominador común de tres y seis.
El denominador común de 3 y 6 es: dc(3, 6) = 6
Multipliquemos cada término de la ecuación por seis que es el denominador común:
69
Matemáticas I
dc[h] = dc[325 000] + dc[ 31 h] + dc[ 61 h]
6(h) = 6(325 000) + 6( 31 h) + 6( 61 h)
6h = 1 950 000 + (6 × 31 )h + (6 × 61 )h
6h = 1 950 000 + ( 63 )h + ( 66 )h
6h = 1 950 000 + (2)h + (1)h
6h = 1 950 000 + 2h + 1h
6h = 1 950 000 + 3h
6h + ( −3h) = 1 950 000 + 3h + ( −3h)
3h = 1 950 000
3h 1 950 000
=
3
3
h = 650 000
Comprobemos el resultado de la ecuación:
1
1
h = 325 000 + h + h
3
6
1
1
650 000 = 325 000 + (650 000) + (650 000)
3
6
650 000 = 325 000 + 216 666.67 + 108 333.33
650 000 = 650 000
Como la igualdad es cierta, concluimos que la solución de la ecuación es correcta.
Este valor de h es la solución de la ecuación. La solución del problema es que el padre dejó a sus hijos
650,000 pesos de herencia.
Comprobemos la respuesta:
Georgina 325 000 + Aixa
1
1
de 650 000 + Emmanuel de 650 000
3
6
Haciendo las operaciones:
325 000 +
70
650 000 650 000
+
= 325 000 + 216 666.67 + 108 333.33 = $ 650 000
3
6
Matemáticas I
UNIDAD 3
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita realizamos el siguiente
procedimiento:
ƒ
Efectuamos las operaciones que estén indicadas en cada miembro de la ecuación y
reducimos los términos semejantes.
ƒ
Sumamos a cada miembro de la ecuación una cantidad de tal manera que, en el primer
miembro sólo haya términos que contengan a la incógnita y en el segundo sólo términos
que no contengan a la incógnita.
ƒ
Dividimos ambos miembros de la ecuación por el coeficiente del término que contiene a la
incógnita con todo y su signo.
ƒ
Comprobamos los resultados.
71
Matemáticas I
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza tus operaciones en hojas aparte.
1. (
) El perímetro de un rectángulo es de 30 mts. El largo de él es 5 unidades más que el ancho. ¿Cuál
es la longitud de lo ancho y de lo largo del rectángulo?
a)
b)
c)
d)
2. (
Lo ancho 6.25 metros y lo largo 11.25 metros
Lo ancho 5 metros y lo largo 10 metros
Lo ancho 10 metros y lo largo 15 metros
Lo ancho 8.75 metros y lo largo 13.75 metros
) En la figura se muestra el perímetro y la relación entre los lados de un polígono.
5x - 2
2( x - 1)
Perímetro=128
3x - 1
2x
2x + 4
3( x + 9)
¿El valor de x es?
a)
b)
c)
d)
3. (
x=7
x = 9.9
x = 5.4
x=6
) En la figura se muestra el perímetro y la relación entre los lados de un pentágono no regular.
x
3x - 2
x+ 2
2x - 1
Perímetro=35
5x - 2
¿El valor de x es?
a)
b)
c)
d)
72
x = 3.16
x = 3.5
x = 3.66
x = 3.45
Matemáticas I
UNIDAD 3
4. (
5. (
6. (
) Al resolver la ecuación
a)
x=6
b)
x=1
c)
x=-6
d)
x = 30
1
3
x + 21 x − 5 = 0 , el valor de la incógnita es:
) Al resolver la ecuación x −
a)
x=
b)
x=−
c)
x=
d)
x=−
x
x
+ 2 = − 1 , el valor de la incógnita es:
4
5
60
11
60
11
50
11
50
11
) Al resolver la ecuación 2 −
a)
x=−
28
3
b)
x=−
2
3
c)
x=
d)
x=−
3x
= 9 , el valor de la incógnita es:
4
2
5
3
4
73
Matemáticas I
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
b
2
d
3
a
4
a
5
b
6
a
Sugerencias
Si necesitas una mayor ayuda lee nuevamente en la guía, aquello que
aun no logras comprender o consulta los siguientes textos:
LARSON, Ronald E. Álgebra.
Publicaciones Cultural. 1996, México.
Páginas 67 a la 75.
SWOKOWSKI, Earl W. y Jeffery A. Cole. Álgebra y trigonometría con
geometría analítica. Thomson Editores, México. Página 49 a la 70.
74
Matemáticas I
UNIDAD 3
3.2 SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
APRENDIZAJES
ƒ Resolver problemas que involucren ecuaciones simultáneas
con dos incógnitas.
ƒ Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas empleando
dos métodos diferentes.
Como te habrás dado cuenta, al estudiar el tema anterior utilizamos las ecuaciones de primer grado con
una incógnita como un modelo para resolver cierto tipo de problemas, sin embargo existen otros tipos de
problemas que no pueden ser resueltos utilizando este modelo para su resolución. En el siguiente
problema utilizaremos los sistemas de dos ecuaciones como modelo de resolución.
Como parte de sus políticas, una empresa de seguros de vida contempla proporcionar automóvil a sus
ejecutivos. Debido a la necesidad de disminuir sus costos ha decidido cambiar esta política y en lugar de
comprar los automóviles pretende rentarlos. Para ello tiene dos opciones: la primera consiste en el pago
de seiscientos pesos semanales más dos pesos por kilómetro recorrido; la otra consiste en cuatrocientos
pesos semanales más cuatro pesos por kilómetro. ¿Cuál opción le conviene a la compañía?
Para poder dar respuesta al problema anterior es necesario hacer un análisis de la situación, para obtener
información útil para la toma de decisiones.
Hagamos este análisis. Para ello, elaboremos una tabla que muestre los costos de cada una de las
opciones para cada veinte kilómetros recorridos:
75
Matemáticas I
PRIMERA OPCIÓN
SEGUNDA OPCIÓN
Distancia recorrida
(kilómetros)
Costo (pesos)
Distancia recorrida
(kilómetros)
Costo (pesos)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
600
640
680
720
760
800
840
880
920
960
1 000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
400
480
560
640
720
800
880
960
1 040
1 120
1 200
Con los datos organizados en la tabla podemos construir su gráfica, anotando en el eje de las abscisas (x)
la distancia recorrida y el costo en el de las ordenadas (y).
Costo (pesos)
1 200
Segunda opción
1 000
Primera opción
800
Punto de intersección( 100 , 800 )
600
400
Distancia recorrida (kilómetros)
20
76
100
200
Matemáticas I
UNIDAD 3
Realizando el análisis de la tabla y la gráfica podemos observar que al inicio la primera opción es
doscientos pesos más cara que la segunda, posteriormente la diferencia entre las dos opciones disminuye
y a los cien kilómetros son iguales. Posteriormente la segunda opción comienza a ser la más costosa
hasta que al final se convierte en doscientos pesos más cara. Esto último se puede evidenciar con mayor
facilidad en la gráfica que en la tabla. La tabla permite organizar la información y la gráfica permite obtener
algunos elementos de análisis que en la tabla no se aprecian tan fácilmente.
Con esta información la compañía puede tomar decisiones que podrían ser las siguientes: para los
ejecutivos que tengan un promedio semanal de recorrido menor a los cien kilómetros conviene rentar un
automóvil con la compañía de la segunda opción. Para quienes tengan un promedio semanal superior a
los cien kilómetros la primera opción sería la apropiada. Si el promedio de recorrido es de cien kilómetros
semanales, cualquiera de las opciones es la misma.
Como te podrás dar cuenta en el problema anterior, lo importante es encontrar los valores para los
cuales las dos opciones son iguales, porque de ahí podemos hacer el análisis de la situación que nos
interese. Además, elaborar la gráfica completa el análisis de la información y ofrece más elementos para la
toma de decisiones.
Para encontrar de manera sencilla los valores para los que ambas opciones son iguales, esto es, donde
las rectas de la gráfica se interceptan, podemos recurrir al álgebra. Para ello propongamos una ecuación
para cada una de las dos opciones.
Primera opción
Segunda opción
Costo = dos pesos × dis tan cia recorrida + seiscientos pesos
Costo = cuatro pesos × dis tan cia recorrida + cuatrocientos pesos
C = 2d + 600
C = 4d + 400
En donde C es el costo y d la distancia recorrida, en ambas opciones. Observa que podemos conformar
un sistema con ambas ecuaciones para cuando el costo y el número de kilómetros recorridos en
ambas opciones tengan el mismo valor.
C = 2d + 600
C = 4d + 400
Lo que se trata entonces es de saber ¿a qué distancia recorrida el costo es el mismo en ambas
ecuaciones?
Como C es igual en ambos casos, entonces podemos establecer la siguiente igualdad:
2d + 600 = 4d + 400
77
Matemáticas I
Observa que hemos reducido el número de ecuaciones y, también, el número de incógnitas. Esta
última igualdad es una ecuación de primer grado que podemos resolver siguiendo el procedimiento
estudiado en el tema anterior. Así tenemos que:
2d − 4d = 400 − 600
(2 − 4)d = −200
( −2)d = −200
−2d = −200
d=
−200
= 100
−2
Conociendo el valor de d, lo sustituimos en cualquiera de las dos primeras ecuaciones para obtener el
valor de C. Hagámoslo:
C = 2d + 600 = 2(100 ) + 600 = 200 + 600 = 800
Así, obtenemos que C = $ 800 sólo cuando d = 100 kilómetros. Dicho de otra forma: para cuando se
recorren 100 kilómetros el costo es de 800 pesos en ambas opciones (ecuaciones), de hecho nos
interesa saber el valor de C y de d, sólo para cuando ambos valores son los mismos en ambas
ecuaciones, no en todos los demás valores de la tabla, sino únicamente en estos valores.
De acuerdo con todo lo anterior podemos establecer el siguiente enunciado:
Un sistema de ecuaciones está formado por un número de ecuaciones con un número igual de
incógnitas y en el que las incógnitas correspondientes tienen el mismo valor.
En este tema estudiaremos la resolución de los sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas, mediante un método algebraico al que llamaremos método de reducción, porque se reducen
las ecuaciones junto con las incógnitas.
Este método por reducción tiene, a su vez, tres procedimientos: uno, llamado de igualación, porque
ambas ecuaciones se igualan; el segundo se conoce como suma o resta, porque las ecuaciones se
suman o se restan y, el tercero llamado de sustitución porque una ecuación se sustituye en la otra.
Método de reducción por igualación
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones siguiendo este método.
5x + 3y =
7
3 x − 5 y = −23
78
Matemáticas I
UNIDAD 3
Primero despejamos alguna de las incógnitas en la primera ecuación. Por ejemplo, x:
5x + 3y = 7
5 x + 3 y + ( −3 y ) = ( −3 y ) + 7
5 x = −3 y + 7
5x
3y 7
=−
+
5
5 5
x=
−3 y 7
+
5
5
En la segunda ecuación despejamos a la misma incógnita, para obtener:
x=
5 y 23
−
3
3
Dado que el valor de x en ambas ecuaciones es el mismo, igualamos el valor de ésta en la primera
ecuación, con su valor en la segunda, como en seguida se muestra:
−3 y 7 5 y 23
+ =
−
5
5
3
3
Como te podrás dar cuenta, la ecuación resultante es de primer grado con una incógnita. La resolvemos
como hemos aprendido hasta aquí.
−3 y 7 5 y 23
+ =
−
5
5
3
3
 3y 
7
 5y 
 23 
− 15  + 15  = 15  − 15

5
5
3
 
 
 
 3 
−3(3 y ) + 3(7) = 5(5 y ) − 5(23)
−9 y + 21 = 25 y − 115
−9 y − 25 y = −21 − 115
−34 y = −136
−34 y −136
=
− 34
− 34
y=4
79
Matemáticas I
Sustituyamos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores para obtener el valor de la otra
incógnita. Por ejemplo en:
x=
5 y 23
−
3
3
5( 4) 23
−
3
3
x=
x=
20 23
−
3
3
x=−
3
3
x = −1
Comprobemos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las dos ecuaciones dadas inicialmente:
5x + 3y = 7
5( −1) + 3( 4) = 7
−5 + 12 = 7
7=7
Se verifica el resultado en la primera ecuación. Comprobemos ahora en la segunda ecuación:
3 x − 5 y = −23
3( −1) − 5( 4) = −23
−3 − 20 = −23
−23 = −23
De esta manera podemos concluir que la solución del sistema es x = −1 , y = 4
Para resolver un sistema formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
mediante el método de reducción por igualación, realizamos el siguiente procedimiento:
1. Seleccionamos una de las dos incógnitas y la despejamos en la primera ecuación.
2. En la segunda ecuación despejamos la misma incógnita.
80
Matemáticas I
UNIDAD 3
3. Igualamos los valores obtenidos en los dos pasos anteriores para obtener una ecuación con una
incógnita.
4. Resolvemos la ecuación del paso anterior para obtener el valor de una de las dos incógnitas del
sistema.
5. Este valor lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones iniciales para obtener de nuevo una
ecuación con una incógnita cuya solución es su valor y con esto la solución del sistema.
Método de reducción por suma o resta.
Como ya se dijo, en este método se suman o restan las ecuaciones con la finalidad de reducir el
sistema de dos ecuaciones a una sola ecuación con una incógnita.
Veamos un ejercicio para mostrar lo dicho anteriormente. Supongamos que tenemos el siguiente sistema:
3x − 2y = −17
2x + 5 y = 14
Decidamos cuál es la incógnita que queremos reducir. Podemos elegir cualquiera, pero nos conviene
aquélla que tenga los signos distintos en cada una de las ecuaciones. Entonces, nos conviene reducir la
incógnita y.
Si sumamos las dos ecuaciones obtenemos sólo una, pero las incógnitas no se reducen:
3 x − 2y = −17
2x + 5 y = 14
5x + 3y = − 3
Para que se reduzcan necesitamos que la incógnita elegida tenga los coeficientes iguales y los signos
distintos. Para esto multiplicamos la primera ecuación por cinco y la segunda por dos.
3x − 2y = −17
2x + 5 y = 14
Cada término lo multiplicamos por cinco 5(3 x ) − 5(2y ) = −5(17)
Cada término lo multiplicamos por dos 2(2x ) + 2(5 y ) = 2(14)
Haciendo las operaciones en cada ecuación obtenemos:
15 x − 10 y = −85
4 x + 10 y = 28
Así los coeficientes de la incógnita seleccionada son iguales y los signos distintos. De esta manera al
sumar las dos ecuaciones obtenemos sólo una y con una incógnita:
81
Matemáticas I
15 x − 10 y = −85
4 x + 10 y = 28
19 x + 0 y = −57
Como el coeficiente de y es cero podemos no escribir el término. Observa que el coeficiente de la
incógnita es cero pero no necesariamente su valor. La ecuación resultante es de primer grado con una
incógnita.
Esta ecuación la resolveremos conforme lo hemos aprendido para obtener el valor de x:
19 x + 0 y = −57
19x = −57
19 x −57
=
19
19
x = −3
Ahora tenemos dos ecuaciones con una incógnita. Para conocer su valor sustituimos x = −3 , en
cualquiera de ellas. Por ejemplo en la segunda que no tiene signos negativos:
2x + 5 y = 14
2( −3) + 5 y = 14
−6 + 5 y = 14
5 y = 14 + 6
5 y = 20
y=
20
5
=4
y=4
La solución del sistema es: x = −3 , y = 4 . La gráfica de ambas ecuaciones tiene la apariencia que se
muestra en la figura siguiente:
82
Matemáticas I
UNIDAD 3
y
3 x - 2 y = -17
( - 3, 4 )
2x + 5 y = 14
X
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, mediante el método de reducción
por suma o resta, realizamos el siguiente procedimiento:
1. Seleccionamos una de las incógnitas, preferentemente la que tenga los signos distintos. Si
ninguna de las ecuaciones tiene las incógnitas correspondientes con los signos diferentes,
cambiamos los signos de todos los términos de alguna de las ecuaciones.
2. Cada término de la primera ecuación lo multiplicamos por el coeficiente de la incógnita
seleccionada de la segunda ecuación.
3. Multiplicamos cada término de la segunda ecuación por el coeficiente de la incógnita seleccionada
de la primera ecuación.
4. Al efectuar los pasos dos y tres, hemos obtenido dos ecuaciones con los signos distintos y los
coeficientes iguales de la incógnita que queremos reducir. Sumamos ambas ecuaciones para
obtener una sola ecuación y con una incógnita, cuya resolución es el valor de ella.
5. Sustituimos el valor obtenido en el paso anterior, en cualquiera de las dos ecuaciones para
obtener el valor de la segunda incógnita.
6. Comprobamos los resultados.
83
Matemáticas I
Método de reducción por sustitución.
Hemos estudiado dos de los tres métodos de reducción. Ahora vamos a reducir un sistema con el
procedimiento de sustitución que consiste en sustituir una ecuación en la otra. Para poder hacer esto,
despejamos una de las dos incógnitas en la primera ecuación y su valor lo sustituimos en la segunda.
Ejemplifiquemos lo anterior mediante la resolución de un ejercicio. Se utilizará el sistema del último
ejercicio para que puedas observar cómo un mismo sistema puede ser resuelto con procedimientos
diferentes y obtener el mismo resultado.
El sistema es:
3 x − 2y = −17
2x + 5 y = 14
Despejemos a x, en la primera ecuación para obtener:
x=
2y 17
−
3
3
sustituimos éste valor en la segunda ecuación:
2x + 5 y = 14
 2y 17 
2
−
 + 5 y = 14
3 
 3
Al hacer la sustitución, obtenemos una ecuación con una incógnita, cuya resolución es:
 4 y 34 
−
 + 5 y = 14

3 
 3
4 y − 34 + 15 y = 42
19 y = 76
y=4
84
Matemáticas I
UNIDAD 3
Calculemos el valor de la segunda incógnita:
2y 17
−
3
3
x=
x=
2( 4) 17
−
3
3
x=
8 17
−
3 3
x=−
9
3
x = −3
Comprobemos los resultados, sustituyendo el valor de x y el de y en ambas ecuaciones.
En la primera ecuación:
3 x − 2y = −17
3( −3) − 2( 4) = −17
−9 − 8 = −17
−17 = −17
En la segunda ecuación del sistema:
2x + 5 y = 14
2( −3) + 5( 4) = 14
−6 + 20 = 14
14 = 14
Como los resultados comprueban podemos concluir que la solución del sistema es: x = −3 ; y = 4 , que
corresponden con los resultados obtenidos cuando resolvimos el mismo sistema mediante el
procedimiento de suma o resta.
85
Matemáticas I
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método de reducción
por sustitución, seguimos el siguiente procedimiento:
1. En la primera ecuación despejamos a una de las dos incógnitas y la sustituimos en la segunda
ecuación.
2. Resolvemos la ecuación obtenida en el paso anterior.
3. El valor de esta incógnita lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones dadas inicialmente para
obtener el valor de la segunda incógnita.
4. Comprobamos los resultados.
86
Matemáticas I
UNIDAD 3
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza tus operaciones en hojas aparte.
1. (
)
Una tienda de joyería de fantasía le brinda empleo a Anaíd Ferrer, ofreciéndole dos
opciones de salario: en la primera le pagan $200 por semana más $6 por pieza de joyería vendida;
la segunda consiste en un salario de $400 más $2 por pieza vendida. ¿A las cuántas piezas
vendidas Anaíd tiene el mismo salario y de cuánto es éste?
a) Cuando no venda ninguna pieza y el salario es de $200.
b) Cuando venda cien piezas y el salario es de $500.
c) Cuando venda 50 piezas y el salario es de $500.
d) Cuando venda 200 piezas y el salario es de $600.
2.
(
)
Dos autobuses transportan a los alumnos de los grupos 401 y 403 del plantel 17 del
Colegio de Bachilleres quienes van en viaje de estudios al sur de Los Ángeles California, USA. En
cierto momento se encuentran a 60 kilómetros uno del otro; el primero está en Salamayuca
Chihuahua y viaja a una velocidad de 100 kilómetros por hora y el segundo viaja a 80 kilómetros
por hora. Considerando que este tramo de la carretera no tiene curvas y es plana ¿en cuántas
horas el primer autobús alcanza al segundo y a qué distancia de Salamayuca se alcanzarán?
a) En una hora y veinte minutos y a 100 kilómetros.
b) En dos horas y a 100 kilómetros.
c) En veinte minutos y a 100 kilómetros.
d) En tres horas y a 300 kilómetros.
3. (
)
Los estudiantes Jorge Salinas y Carlos Cruz aceptaron participar como voluntarios en un
experimento que consiste en someterse a un régimen dietético para perder peso. Jorge con un
peso de 100 kilogramos pierde peso a razón de 5 kilogramos por mes, Carlos pesa 80 kilogramos
y pierde peso a razón de 3 kilogramos por mes. Pasados un cierto número de meses ambos tienen
el mismo peso ¿a los cuántos meses ambos tienen el mismo peso y cuánto pesa cada uno?
a) A los cinco meses y pesan 70 kilogramos cada uno.
b) A los diez meses y pesan 50 kilogramos cada uno.
c) A los ocho meses y cada uno pesa 90 kilogramos.
d) A los diez meses y cada uno pesa 80 kilogramos.
87
Matemáticas I
4. (
)
Al resolver el sistema de ecuaciones
u + 2v =
4
el resultado es:
3u − 2v = −12
5. (
a)
u = 6;
v = −1
b)
u = 4;
v=0
c)
u=2
v =1
d)
u = −2;
)
v=3
Al resolver el sistema de ecuaciones
3m − 2n = −14
2m + 3n =
a)
m = −2
n=4
b)
m = −4
n =1
c)
m =1 n = 2
d)
m=4
6. ( )
8
n=0
Al resolver el sistema de ecuaciones
2x − 5 y + 43 = 0
6 x − y + 31 = 0
88
el resultado es:
a)
x=4
y=7
b)
x = −4
c)
x=4
y = −7
d)
x = −4
y=7
y = −7
el resultado es:
Matemáticas I
UNIDAD 3
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
c
2
d
3
b
4
d
5
a
6
d
Sugerencias
Si necesitas una mayor ayuda lee nuevamente en la guía, aquello que
aún no logras comprender o consulta los siguientes textos:
• LARSON, Ronald E. Álgebra. Publicaciones Cultural. 1996, México.
Páginas 423 a la 433.
• SWOKOWSKI, Earl W. y Jeffery A. Cole. Álgebra y trigonometría con
geometría analítica. Thomson Editores, México. Página 420 a la 428.
89
Matemáticas I
AUTOEVALUACIÓN
Para resolver estos ejercicios cuentas con cincuenta minutos
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda con la respuesta correcta.
1. (
) En la cámara de diputados, uno de los grupos parlamentarios está formado por 150 legisladores.
Si el número de mujeres es la cuarta parte de los hombres ¿cuántas mujeres y cuántos hombres
forman el grupo?
a) 19 mujeres, 131 hombres.
b) 25 mujeres, 125 hombres.
c) 30 mujeres, 120 hombres.
d) 33 mujeres, 117 hombres.
2. (
) Juan, Antonio y Vania reúnen $240 para comprar dulces y venderlos entre sus compañeros. Si
Antonio aporta el triple que Juan y Vania contribuye con el doble que Juan ¿cuánto aportó cada
uno?
a) Juan $40, Antonio $120, Vania $80
b) Juan $25, Antonio $125, Vania $90
c) Juan $30, Antonio $140, Vania $70
d) Juan $50, Antonio $140, Vania $50
3. (
) Las longitudes del ancho y el largo de un rectángulo están en razón de dos a tres. Si el perímetro
es de 380 unidades de longitud, el ancho y el largo del rectángulo son:
a) Ancho 72, largo 118
b) Ancho 76, largo 114
c) Ancho 56, largo 134
d) Ancho 96, largo 94
90
Matemáticas I
UNIDAD 3
4. (
5. (
6. (
7. (
) Cuando resolvemos la ecuación 5t( t + 2) − 3t(2t + 4) = 5 − t 2 − t , el valor de la incógnita es:
a)
t = −5
b)
t = −3
c)
t = −8
d)
t = −6
) La solución de la ecuación ( w + 4)( w + 3) = ( w + 1)( w + 2) es:
a)
w = −3.5
b)
w = −1.5
c)
w = −4.5
d)
w = −2.5
) En la expresión ( 2α − 5)( 4α + 3) − (3α + 4)(α − 6) = 5α 2 + 3α , el valor de α es:
a)
α=4
b)
α=2
c)
α=3
d)
α=5
) Un campesino tiene cien hectáreas de tierras de labor. Si cada hectárea produce seis toneladas
de maíz y catorce de frijol ¿cuántas hectáreas debe cultivar de cada tipo para producir 1 200
toneladas de ambas leguminosas?
a) Frijol 75 hectáreas y maíz 25
b) Frijol 85 hectáreas y maíz 15
c) Frijol 65 hectáreas y maíz 35
d) Frijol 95 hectáreas y maíz 5
91
Matemáticas I
8. (
) El grupo de teatro del plantel 17, del Colegio de Bachilleres, decide montar una puesta en escena
para recabar fondos y hacer un viaje de estudios. Ellos han calculado que necesitan cuando menos
doce mil pesos. Piensan que podrían vender las entradas para estudiantes en $100 y las demás en
$200. ¿Cuántos boletos de cada tipo deben vender, si el audiovisual tiene cupo para cien
personas?
a) 70 de estudiantes y 30 de los demás.
b) 90 de estudiantes y 10 de los demás.
c) 60 de estudiantes y 40 de los demás.
d) 80 de estudiantes y 20 de los demás.
9. (
) Los alumnos del grupo 105 preguntan su edad a la profesora de matemáticas. Ella les responde
diciendo: Si al doble de mi edad le suman el triple de la de mi hijo, el resultado es de 102. Pero, si
al triple de mi edad le restan el doble de la de él, entonces el resultado es de 62. Díganme ¿cuál es
mi edad y cuál la de mi hijo?
a) La de ella es de 32 y la de su hijo 12 años.
b) La de ella es de 30 años y la de su hijo 14 años.
c) La de ella es de 35 y la de su hijo 9 años.
d) La de ella es de 34 y la de su hijo 10 años.
10. (
) Si utilizamos cualquier método para resolver el sistema 3 x + 2y = 5
x + 3y = 4
a)
b)
c)
d)
11. (
= 2; y = 2
= 3; y = 3
= 1; y = 1
= 4; y = 4
) Si utilizamos cualquier método para resolver el sistema
a)
b)
c)
d)
92
x
x
x
x
x
x
x
x
la solución es:
= 4;
= 3;
= 5;
= 2;
y = −3
y = −2
y = −2
y = −3
x − 2y − 10 = 0
3 x + 2y − 6 = 0
la solución es:
Matemáticas I
UNIDAD 3
12. (
) Si utilizamos cualquier método para resolver el sistema
a)
x = 57 ;
y=
11
7
b)
x = 67 ;
y=
12
7
c)
x = 74 ;
y=
15
7
d)
x=
y=
10
7
63
;
7
4 x − 12 = −5 y
2y + 3 x = 6
la solución es:
93
Matemáticas I
CLAVE DE RESPUESTA
94
Número de pregunta
Respuesta correcta
1
c
2
a
3
b
4
a
5
d
6
c
7
a
8
d
9
b
10
c
11
a
12
b
UNIDAD IV
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Matemáticas I
96
Matemáticas I
UNIDAD 4
4.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
APRENDIZAJES
• Aplicar métodos algebraicos en la solución de ecuaciones cuadráticas.
• Analizar el discriminante en una ecuación cuadrática.
• Resolver problemas en los que se apliquen ecuaciones cuadráticas.
¿Qué utilidad tiene el que aprendas ecuaciones cuadráticas? En tu vida cotidiana tienes contacto con
algunos artículos cuya fabricación ha requerido el uso de la matemática, por ejemplo la construcción de
una alberca, las cajas que se usan para transportar y envasar artículos de primera necesidad como jugos,
leche, etc.; éstos tienen como modelos algebraicos ecuaciones cuadráticas que puedes resolver por
diversos métodos de los cuales haremos una descripción.
La forma general de la ecuación de segundo grado o cuadrática es: ax2 + bx + c = 0.
Para su estudio las ecuaciones cuadráticas se clasifican en incompletas y completas.
Las ecuaciones incompletas son:
PURAS de la forma ax2 + c = 0, esto es que carecen del término de primer grado.
MIXTAS de la forma ax2 + bx = 0, esto es que carecen del término independiente.
Resolución de ecuaciones incompletas PURAS
Para resolver una ecuación de la forma ax2 + c = 0, primero despejaremos a la variable x.
ax2 + c = 0
ax2 = -c
x2 = −
c
a
x= −
c
a
entonces las raíces son
x1 = −
c
c
; x2 = − −
a
a
97
Matemáticas I
Ahora, como ejemplo, resolveremos la ecuación 4x2 – 121 = 0
Despejando a x se tiene
4x2 = 121
x2 =
121
121
121
11
11
11
⇒ x=±
⇒ x1 =
y x2 = −
=±
=±
2
4
4
2
2
4
Analicemos los parámetros:
4x2 –121 = 0
a=4
b=0
c = –121
aplicando el despeje obtenido de la forma general y sustituyendo valores se tiene:
x1 = −
x1 = −
c
a
x2 = − −
( −121)
4
x1 =
x2 = − −
11
2
c
a
( −121)
4
x2 = −
11
2
Como podrás darte cuenta estos son exactamente los mismos pero obtenidos de forma más práctica, te
sugerimos utilizarla.
Resolución de ecuaciones incompletas MIXTAS
Para resolver una ecuación de la forma ax2 + bx = 0, también puedes obtener una solución más práctica al
despejar la incógnita x.
La ecuación ax2 + bx = 0 puedes escribirla como: (a)(x)(x) + (b)(x) = 0
Ahora, al factorizar se obtiene:
x(ax + b ) = 0
Igualando cada factor a cero tienes que:
98
x=0
y
ax + b = 0
Matemáticas I
UNIDAD 4
en este último caso al despejar x se obtiene: x = −
b
a
Resolución de ecuaciones cuadráticas completas.
Una ecuación cuadrática es completa cuando tiene los tres términos ax2 + bx + c = 0. Existen
diversos métodos para resolverlas, en este material analizaremos dos de ellos: por factorización y por
fórmula general.
Por factorización el trinomio de la forma x2 + bx + c = 0, se puede descomponer en dos factores que
corresponden a binomios con término común, esto significa que deberás obtener los factores de x2 como
x(x) y dos números que multiplicados (considerando el signo) den como resultado el valor de c y sumados
(o restados) den como resultado el valor de b.
x2 + bx + c = 0 se factoriza como (x + p)(x + q) = 0; donde p y q son dos números reales diferentes de
cero. Por ejemplo, en la ecuación x2 + 5x + 6 = 0 debes encontrar dos números que sumados den 5 y
multiplicados 6.
Entonces los números son p = 3 y q = 2
(x + 3) (x + 2) = 0
Igualando cada factor a cero tenemos
x+3=0
x+2 =0
x=–3
x= –2
Por lo que, para representar sus raíces en el plano cartesiano sus coordenadas serán (-3 , 0) y (–2 , 0).
La Fórmula General se aplica cuando el valor del parámetro “a” es diferente de cero.
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
Para su aplicación, siempre deberás ordenar la ecuación de la forma
ax 2 + bx + c = 0 e identificar el valor
de cada uno de los parámetros para sustituir y efectuar las operaciones aritméticas que se requieren.
99
Matemáticas I
Ejemplo.
– 6x – 8 + 2x2 = 0
Determina las raíces de la ecuación
ordena la ecuación
2x2 – 6x – 8 = 0
identifica el valor de los parámetros
a=2
b=–6
c= –8
Nota: no olvides considerar los signos de los coeficientes.
sustituyendo estos valores en la fórmula general se obtiene:
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
=
− ( −6) ± ( −6) 2 − 4( 2)( −8)
2( 2 )
=
6 ± 36 + 64
4
x=
6 ± 100 6 ± 10
=
4
4
x1 =
x2 =
por lo que:
6 + 10 16
=
=4
4
4
6 − 10 − 4
=
= −1
4
4
x1 = 4
y
x 2 = −1
Es importante hacer notar que en la fórmula general la expresión b2 – 4ac que aparece dentro del signo
del radical se le denomina discriminante.
Según el valor del discriminante se pueden presentar tres diferentes casos al resolver una ecuación
cuadrática:
100
Matemáticas I
UNIDAD 4
a) Si b2 – 4ac es positivo, entonces tiene dos raíces reales y desiguales.
b) Si b2 – 4ac es negativo, entonces sus raíces son imaginarias.
c) Si b2 – 4ac es cero, entonces tiene dos raíces reales e iguales.
Analiza cada uno de los ejemplos de los tres casos mencionados que se muestran en la siguiente tabla:
Ecuación
Discriminante b2 – 4ac
Raíces
Naturaleza
Valores
22 – 4(1) (–224) =
x2 + 2x – 224 = 0
4 + 896 = 900
Real y desigual
(discriminante positivo)
(2)2 – 4(2)(5) =
2x2 + 2x + 5 = 0
4 – 40 = –36
x1 = 14
x2 = –16
x1 = −
1 3
+
2i
2
x2 = −
1 3
−
2i
2
Imaginarias
(discriminante negativo)
(24)2 – 4(16)(9) =
16x2 + 24x + 9 = 0
576 – 576 = 0
(discriminante cero)
Real e igual
x1 = −
3
3
y x2 = −
4
4
Como ya se mencionó, aprender a resolver ecuaciones cuadráticas tiene diferentes usos. Una de las
aplicaciones más representativas en la vida cotidiana es para producir empaques en forma de
paralelepípedos, cilindros, pirámides con base triangular o cuadrada, ya sea para galletas, jugos,
refrescos, leche, etc.
Con esta idea presente supón que en tu casa se efectuará una cena y para ello se requiere hacer un
recipiente con un pequeño pedazo de estaño cuadrado, el cual se forma cortando un cuadrado de 3
pulgadas de cada esquina y doblando los lados, como puedes observarlo en la siguiente figura. Si el
recipiente va a tener un volumen de 48 pulgadas cúbicas, determina la longitud de los lados del pedazo de
estaño que se debe comprar.
101
Matemáticas I
Para resolver el problema, primero debemos entender qué es lo que nos piden y qué datos se nos
proporcionan. En primera instancia nos indican que el volumen del recipiente será de 48 pulgadas cúbicas
y que cortaremos, en cada esquina, cuadritos de 3 pulgadas.
Recuerda que ya aprendiste que el volumen de un paralelepípedo se obtiene multiplicando el área de la
base por la altura
V = (b) (h)
y que el área de un cuadrado se calcula multiplicando lado por lado es decir :
A=l2=(l)(l)
Si el tamaño original de los lados del estaño es
x, por ser un cuadrado, todos tendrán la misma
medida.
La figura de la izquierda nos representa el trozo
de estaño, en el centro se observa un cuadrado
sombreado,
para
determinar
sus
medidas
tendrás que observar que si a la medida de uno
de los lados le quitas 3 pulgadas del lado
derecho y tres del lado izquierdo, entonces
en total le habrás quitado 6 pulgadas y lo
3
102
x
podrás representar algebraicamente como: x– 6
3
Matemáticas I
UNIDAD 4
El área del cuadrado que se forma al realizar la misma operación en los cuatro extremos es:
A = l 2 = (x - 6) 2 = ( x − 6)( x − 6)
Para determinar el volumen debemos recordar que éste se obtiene multiplicando el área de la base del
recipiente por su altura.
V = área de la base por altura = (x - 6) 2 (3)
V = ( x − 6) 2 (3) = ( x 2 − 12 x + 36 )(3)
Tenemos que el volumen que debe ocupar el recipiente es de 48 pulgadas cúbicas, por lo tanto:
V = ( x − 6) 2 (3) = ( x 2 − 12 x + 36 )(3) = 48
( x 2 − 12 x + 36 )(3) = 48
48
( x 2 − 12 x + 36 ) =
3
2
x − 12 x + 36 = 16
x 2 − 12 x + 36 − 16 = 0
x 2 − 12 x + 20 = 0
Esta ecuación de segundo grado la puedes resolver aplicando los métodos de: factorización, fórmula
general o completando un trinomio cuadrado perfecto, como se muestra a continuación.
FACTORIZACIÓN
JUSTIFICACIÓN
x 2 − 12 x + 20 = 0
20 = (2) (10)
20 = (-2) (-10)
x 2 − 12 x + 20 = 0
x − 10 = 0
x = 10
Este método es muy fácil de realizar,
2+10 = 12
1
para ello debes buscar dos números que
(-2)+(-10) = - 12
2
multiplicados te den 20 y sumados –12.
( x − 10)( x − 2) = 0
x−2 =0
x=2
Después de factorizar tienes que igualar
a cero y con ello determinas dos valores
que son la solución de la ecuación.
103
Matemáticas I
FÓRMULA GENERAL
JUSTIFICACIÓN
Recuerda que una ecuación cuadrática
es de la forma ax 2 + bx + c = 0 , donde:
x 2 − 12 x + 20 = 0
a es el coeficiente de x2
a =1
b = −12
b el coeficiente de x; y
c = 20
c es el término independiente.
La fórmula general esta dada por
x=
− b ± b − 4ac − (−12) ± (−12) − 4(1)( 20)
=
=
2a
2(1)
2
2
12 ± 144 − 80 12 ± 64 12 ± 8
=
=
=
x=
2(1)
2
2
x1 =
12 + 8 20
=
= 10
2
2
x2 =
12 − 8 4
= =2
2
2
x=
Así,
− b ± b 2 − 4ac
.
2a
al
efectuar
las
operaciones
indicadas tenemos que:
De donde puedes obtener dos valores de
x.
COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
JUSTIFICACIÓN
x − 12 x + 20 = 0
Ecuación obtenida.
x 2 − 12 x + 20 = x 2 − 2(6)x + 20 = 0
Al expresar el segundo término como el
2
producto de dos números.
x 2 − 2(6)x + 20 = 0
Al escribir el término independiente en el
x − 2(6)x = - 20
lado derecho de la igualdad.
2
x 2 − 2(6)x + (6) = −20 + (6)
2
Al sumar en ambos miembros de la
2
igualdad el cuadrado de 6.
x 2 − 2(6)x + (6) = −20 + 36
Resultado obtenido al realizar las
2
operaciones.
(x − 6)2 = 16
Resultado al factorizar el término
izquierdo de la igualdad.
x − 6 = 16 ;
x =6±4
x − 6 = ±4;
⇒ x1 = 6 + 4 = 10
⇒ x2 = 6 − 4 = 2
104
x = 6±4
Al obtener los dos valores que
satisfacen la ecuación.
Matemáticas I
UNIDAD 4
Como podrás observar la solución que se obtiene por los tres métodos es la misma, ahora es necesario
que analices su significado.
Si x = 2 entonces las dimensiones del cuadrado
sombreado serian números negativos, lo cual no
puede ocurrir.
Si x = 10 entonces las dimensiones del
cuadrado sombreado es de 4 X 4, es decir, el
área es de 16 pulgadas cuadradas.
3
Esto significa que el área de la base del
4
recipiente es igual a: 16 pulgadas cuadradas,
10
por su altura de 3 pulgadas, lo cual nos indica
que su volumen es igual a 48 pulgadas cúbicas.
105
Matemáticas I
EJERCICIOS
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y da respuesta a lo que se solicita.
1. En la columna de la izquierda tienes parte del desarrollo del procedimiento que se sigue para completar
un trinomio cuadrado perfecto y en la columna de la derecha se enuncian los pasos faltantes, pero en
diferente orden. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a los pasos que faltan en el
procedimiento.
I.- 2 x 2 − 3x − 2 = 0
II.-
2 x 2 − 3x − 2 0
=
2
2
III.- x 2 −
3
2
x− =0
2
2
IV.- (
)
V.- (
)
2
 3
 3
 3
A) x 2 − 1  x +   = 1 +  
4
4
4
B) x 2 =
3 5
2
1
− =− =−
4 4
4
2
 3
VI.- x 2 − 1  x = 1
4
C) x −
VII.- (
)

VIII.-  x −

3
9
 = 1+
4
16
IX.- (
X.- x =
106
2
)
D) x 2 −
1  3
 x − 1 = 0
22
E) x 2 −
3
x −1 = 0
2
3 5
±
4 4
XI.- x1 =
XII.- (
3
25
=±
4
16
3 5 8
+ = =2
4 4 4
)
2
Matemáticas I
UNIDAD 4
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes problemas y escribe en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta. En los casos necesarios realiza tus operaciones en hojas
adicionales.
) El valor del discriminante de la ecuación 15x2 – 2x = 8 es:
2. (
a) 84
b) 400
c) 484
d) 500
) ¿Cuál es el valor de “x” al resolver la ecuación 2( x 2 − 1) = 2( x + 3) 2 ?
3. (
4. (
a) −
5
3
b) −
5
12
c)
4
3
d) −
11
12
) Al aplicar el método de factorización para resolver la ecuación x 2 + 5 x − 6 = 0 se obtiene:
a) x1 =
6
x2 = – 1
b) x1 = – 6
x2 = – 1
c) x1 = – 6
x2 =
1
d) x1 =
x2 =
1
6
107
Matemáticas I
5. (
) Al resolver las raíces de la ecuación 6x2 – 3x = 0, mediante el método de factorización, el valor
para cada una de sus raíces es:
6. (
7. (
8. (
a) x1 =
0
x2 =
1
2
b) x1 =
0
x2 = –
1
2
c) x1 =
1
−2
x2 =
1
2
d) x1 =
1
3
x2 =
1
2
) Al resolver por fórmula general la ecuación 2x – x2 = –-3 sus raíces son:
a) x1 = 3
x2 =
b) x1 = 3
x2 = – 1
c) x1 = 0
x2 = – 1
d) x1 = 0
x2 = 1
) Al emplear la fórmula general en la ecuación x2 – 21 = 4x sus raíces son:
a) x1 = – 3
x2 = 7
b) x1 = 3
x2 = – 7
c) x1 = 0
x2 = 7
d) x1 = 3
x2 = 0
) Sí el marco de una pintura mide 20 cm. por 12 cm. y la pintura ocupa 84cm2 ¿Cuál es el ancho del
marco?
a) 1 cm.
b) 2 cm.
c) 3 cm.
d) 15 cm.
108
1
Matemáticas I
UNIDAD 4
9. (
) Observa la figura.
r
R
El valor del área sombreada es de 24 cm2. Si r R = 6 cm ¿Cuánto vale r?
a) 5
b) 5.10
c) 5.33
d) 5.43
10. (
) El automóvil A es 20 km/h más rápido que el B. Si A recorre 600 km en 15 horas menos que B
¿Cuál es la velocidad de ambos autos?
a) 30 km/h
b) 35 km/h
c) 40 km/h
d) 55 km/h
109
Matemáticas I
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta
Respuesta correcta
IV (E)
1
V (D)
VII (A)
IX (C)
XII (B)
110
2
c
3
a
4
c
5
a
6
b
7
a
8
c
9
c
10
c
Matemáticas I
UNIDAD 4
AUTOEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y coloca en el paréntesis de la izquierda la
letra que corresponda a la respuesta correcta.
Para resolver los ejercicios cuentas con 60 minutos.
1. (
2. (
) Al resolver por el método de factorización la ecuación x2 –13x = 30, las raíces son:
a) x1 = – 3
x2 = 10
b) x1 = 3
x2 = 13
c) x1 = 15
x2 =
d) x1 = 15
x2 = – 2
) Utiliza el método de factorización y obtén las raíces de la ecuación x –5x2 = 0
a) x1 =
1
5
x2 = 0
b) x1 = –
1
5
x2 = 0
c) x1 =
5
x2 = 0
d) x1 = – 5
3. (
2
x2 = 0
) Al resolver por fórmula general la ecuación x2 + 56 = 15x, las raíces son:
a) x1 = – 8
x2 = 7
b) x1 =
8
x2 = – 7
c) x1 =
8
x2 = 7
d) x1 = –7
x2 = 8
111
Matemáticas I
4. (
5.- (
) Al resolver por fórmula general la ecuación 2x2 – 48 + 4x = 0, las raíces son:
a) x1 = – 6
x2 =
b) x1 = – 6
x2 = – 4
c) x1 =
6
x2 =
d) x1 =
6
x2 = – 4
4
4
) Se colocará cemento alrededor de un jardín de forma rectangular que tiene 20 m de largo por
14m de ancho. Si él área que queda con pasto es de 160 cm2 ¿cuál es el ancho del cemento?
a)
1 cm.
b)
2 cm.
c) 15 cm.
d) 16 cm.
112
Matemáticas I
UNIDAD 4
CLAVE DE RESPUESTAS
Pregunta
Respuesta correcta
1
d
2
a
3
c
4
a
5
b
113
Matemáticas I
114
Matemáticas I
BIBLIOGRAFÍA
LARSON, Ronald E. Álgebra. Publicaciones Cultural. México, 1996. Páginas 67 a la 75.
SWOKOWSKI, Earl W. y Jeffery A. Cole. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Thomson
Editores, México. Página 49 a la 70.
BERMAN WOOTOU, Dolciani. Álgebra moderna y trigonometría. Libro 1. Ed. Publicaciones Cultural.
ORTIZ CAMPOS. Matemáticas uno. Publicaciones Cultural.
115
Matemáticas I
SUGERENCIAS PARA PRESENTAR
EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O
ACREDITACIÓN ESPECIAL
Para evitar cualquier contratiempo al presentar el examen de Recuperación o Acreditación Especial debes
considerar las siguientes recomendaciones:
Organización:
•
•
•
•
Acude al menos con 10 minutos de anticipación al salón indicado. Debes mostrar esta guía resuelta al
profesor aplicador.
Lleva el comprobante de inscripción al examen y tu credencial actualizada.
Lleva dos lápices del núm. 2 o 2 ½ .
No olvides una goma que no manche.
Durante el examen:
•
•
•
•
•
•
116
Lee con atención tanto las instrucciones como las preguntas y si tienes alguna duda consúltala con el
aplicador.
Contesta primero las preguntas que te parezcan “fáciles” y después concentra toda tu atención en las
difíciles.
Si te solicitan explicar o desarrollar algún tema, identifica las ideas principales que quieras exponer y
escríbelas de la manera más concreta y clara que puedas, evita el planteamiento de ideas
innecesarias.
Escribe tus respuestas con letra clara, legible y sin faltas de ortografía.
Al terminar de contestar el examen, revísalo nuevamente para asegurarte que todas las preguntas
estén contestadas.
Centra tu atención en el examen, no trates de copiar, recuerda que el compañero de junto puede estar
equivocado.
Matemáticas I
La Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de
(Versión preliminar)
fue elaborada por la Secretaría Académica, a través de la Dirección de Planeación Académica,
con la colaboración de:
Profa. Irma Guillermina Vázquez Aguilar,
Profa. Guadalupe Mercedes Rodríguez Segundo,
Prof. Oscar Pliego Hernández.
Revisión técnica
Centro de Evaluación Y Planeación Académica
Este material se utiliza en el proceso de enseñanza-aprendizaje del Colegio de Bachilleres,
institución pública de educación media superior del Sistema Educativo Nacional.
Septiembre 2004
Colegio de Bachilleres
www.cbachilleres.edu.mx
Rancho Vista Hermosa núm. 105,
Colonia Ex-Hacienda Coapa,
C.P. 04920, Coyoacán, D.F.
117