Distributividad de una ley de comp. interna respecto de

Silvina Fanucci
Estructuras Algebraicas
(Álgebra y geometría II)
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido
una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * " , que satisface las siguientes
propiedades:
1. Ley de composición interna: en un conjunto no vacío A, es toda función de A x A
en A. En símbolos: * es una ley interna en A ⇔ * : A2 → A.
Es decir: a ∈ A ∧ b ∈ A ⇒ a * b ∈ A
2. Asociatividad: * : A2 → A es asociativa ⇔ (a * b) * c = a * (b * c) cualesquiera
que sean a, b y c en A.
3. Conmutatividad: * : A2 → A es conmutativa ⇔ a * b = b * a para todo par de
elementos a y b de A
4. Existencia del elemento neutro: si existe en el conjunto A un elemento e que
compuesto a izquierda y a derecha con cualquier otro no lo altere, se lo denomina
neutro respecto de * : e ∈ A es neutro respecto de * ⇔ ∀ a ∈ A: a * e = e * a = a
5. Existencia de elemento inverso: Sean * una ley interna en A, con elemento neutro
e, para todo elemento a de A, existe otro elemento a’ de A, tal que compuesto a
izquierda y derecha con a dé por resultado e . En símbolos:
a’ ∈ A es inverso de a ∈ A respecto de * ⇔ a * a’ = a’ * a = e
6. Unicidad del neutro: si existe neutro en A respecto de *, entonces es único.
Supongamos que e y e’ son neutros respecto de *, entonces, por ser e neutro y por
serlo e’ , se tiene: e’= e’ * e = e * e’= e
7. Unicidad del inverso: si un elemento a ∈ A admite inverso respecto de la ley
asociativa * , entonces dicho inverso es único. Supongamos que a’ y a’’ son
inversos de a, a’’ = a’’ * e = a’’ * (a * a’) = (a’’ * a) * a’ = e * a’ = a’
8. Regularidad de un elemento respecto de una ley interna: es cancelable o
simplificable a izquierda y derecha en los dos miembros de una igualdad.
Definición:
a ∈ A es regular respecto de * ⇔
a *b = a *c ⇒ b = c
b *a = c * a ⇒ b = c
Distributividad de una ley de comp. interna respecto de otra
Sean “ * ” y “ ° ” leyes de C.I. definidas en A ∧ a, b, c ∈ A :
“ ° ” es distributiva a derecha respecto de “ * ” si y sólo si se cumple para toda terna de A:
(a * b)° c = (a ° b) * (b ° c)
La distributividad a izquierda de “ ° ” respecto de “ * ” queda definida por:
c° (a * b) = (c° a) * (c° b)
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Se dice que “° ” es distributiva respecto de “* ” si y sólo sí lo es a izquierda y a derecha.
Análogamente se define la distributividad de “* ” respecto de “° ” .
Ley externa
Se define una ley de composición externa definida en A, con operadores de Ω, es
toda función de Ω×A en A. En símbolos:
“.” Es ley externa en A con operadores en Ω ⇔ . : Ω × A → A
G RUPO
Sea un conjunto no vacío G, y una función *. El par (G , *) es un grupo si y sólo sí
verifica las siguientes propiedades:
•
2
*:G →G
•
•
Asociatividad: ∀ a ∀ b ∀ c : a, b, c ∈ G ⇒ (a * b) * c = a * (b * c)
Existencia de elemento neutro o identidad:
∃ e ∈ G / ∀ a : a ∈ G ⇒ a * e = e *a = a
• Existencias de inversos: ∀ a ∈ G, ∃ a’ ∈ G / a * a’= a’ * a = e
Grupo abeliano (o conmutativo). Se denomina grupo conmutativo o abeliano a aquel
grupo que verifica la propiedad conmutativa, es decir que ∀ a∀ b : a, b ∈ G ⇒ a *b = b *a
Propiedades:
Unicidad del neutro y del inverso.
Regularidad: los elementos de todo grupo son regulares.
Hipótesis) (G , *) es grupo
si a * b = a * c
b *a = c *a
Tesis) b = c
Demostración)
por hipótesis a * b = a * c
componiendo a izquierda con a’, inverso de a : a’ * (a * b) = a’ * (a * c)
por asociatividad: (a’ * a) * b = (a’ * a) * c
e *b = e *c
por unicidad del neutro: b = c
Ecuaciones en un grupo: sea (G , *). Entonces cada una de las ecuaciones b* x = a y
x* b = a admite solución única. (debido a la unicidad del inverso).
Inverso de la composición: en todo grupo, el inverso de la composición de dos
elementos es igual a la composición de los inversos en orden permutado:
(a * b)’ = b’ * a’
Demostración:
H) (G , *) es grupo
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T) (a * b)’ = b’ * a’
D) (a * b) = ( b’ * a’)
Aplicando los axiomas sucesivamente resulta:
(a * b) = ( b’ * a’) = a * (b * b’) * a’ * e * a = a’ * a = e
Se tiene (por el inverso)
Y también
(a * b)’ = b’ * a’
( b’ * a’)’ = a * b
Subgrupos
El subconjunto no vacío H, del grupo G, es un subgrupo de (G , *) si y sólo sí (H , *)
es grupo. [todo grupo (G , *) admite como subgrupos al mismo G y al conjunto cuyo único
elemento es e. Ambos se llaman subconjuntos triviales de (G , *)]
Condición suficiente para la existencia de subgrupo
1) H ⊂ G
2) H ≠ ∅
3) a ∈ H ∧ b ∈ H ⇒ a * b’ ∈ H
Demostración: a partir de la condición suficiente pruebo (H ; *) es grupo:
• Pruebo que existe e (neutro)
a ∈ H ∧ a ∈ H ⇒ a * a’ ∈ H ⇒ e ∈ H
• Pruebo que existe a’ (inverso)
e ∈ H ∧ a ∈ H ⇒ e * a’ ∈ H ⇒ a’∈ H
• Ley de composición interna:
a ∈ H ∧ b’ ∈ H ⇒ a * (b’)’ ∈ H ⇒ a * b ∈ H
• La ley asociativa se verifica siempre que H ⊂ G, no es necesario volver a
probarla.
Operaciones con subgrupos
Intersección de subgrupos:
H) (G , *) es grupo
{Gi} i ∈ I familia de subgrupos de (G , *)
T) (∩Gi , * ) es subgrupo de (G , *)
D)
• ∩Gi ⊂ G porque cada Gi ⊂ G por definición
• ∩Gi ≠ ∅ porque e ∈ ∩Gi
• a ∈ ∩Gi ∧ b ∈ ∩Gi ⇒ a * b’ ∈ ∩Gi
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Unión de subgrupos: No se verifica, para ello basta un contraejemplo: sean H1 y H2 dos
subgrupos de (R2 , +), y no triviales, si x ∈ H1 ∧ y ∈ H2 entonces:
x ∈ H1 ∪ H2 ∧ y ∈ H1 ∪ H2
sin embargo:
x + y ∉ H1 ∪ H2
Homomorfismos de grupos
(G , *) y (G’, *’) son grupos.
La función f : G → G’ es un homomorfismo si y sólo sí la imagen de la composición en G
es igual a la composición de las imágenes en G’. En símbolos:
F : G → G’ es homomorfismo ⇔ f (a * b) = f (a) *’ f(b)
Propiedades:
• Si f : G → G’ es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen del neutro del
primer grupo es el neutro del segundo grupo: f(e) = e’
Demostración:
x *e= x
f(x*e) = f(x)
por definición de homomorfismo
f(x) *’ f(e) = f(x)
por existencia del neutro
por ley cancelativa
f(x) *’ f(e) = f(x) *’ e’
f(e) = e’
Si f : G → G’ es un homomorfismo de grupos, entonces la imagen del inverso
de todo elemento de G es igual al inverso de su imagen: f(x -1 ) = [f(x)] –1
Demostración:
•
x * x –1 = e
f(x * x –1 ) = f(e)
por existencia del inverso
entonces
por def. de homomorfismo y prop. anterior
por inverso de la composición
f(x) *’ f(x –1 ) = e’
f(x -1 ) = [f(x)] –1
Núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos
1) Núcleo del homomorfismo f : G → G’ es la totalidad de los elementos de G cuyas
imágenes por f se identifican con el neutro de G’. Es decir:
N(f) = {x ∈ G / f(x) = e’}
Propiedad.
•
El núcleo de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del primero.
H) (G , *) y (G’, *’) son grupos.
f : G → G’ es un homomorfismo.
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T) (N(f) , * ) es subgrupo de (G , *)
D)
•
N(f) ≠ ∅ porque e ∈ N(f)
•
N(f) ⊂ G por definición de grupo
•
Sean:
a y b ∈ N(f) ⇒ f(a) = e’ ∧ f(b) = e’ ⇒
⇒ f(a) = e’ ∧ [f(b)] –1 = e’ –1
⇒ f(a) = e’ ∧ f(b -1 ) = e’ ⇒ f(a) *’ f(b -1 ) = e’ ⇒
⇒ f(a * b -1 ) = e’ ⇒ a * b -1 ∈ N(f)
2) La imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los elementos
del primer grupo. La imagen de un morfismo de grupos es la imagen de la función que lo
define , es decir:
I(f) = {y ∈ G’ / ∃ x∈ G ∧ f(x) = y}
Propiedad.
•
La imagen de todo homomorfismo de grupos es un subgrupo del segundo.
H) (G , *) y (G’, *’) son grupos.
f : G → G’ es un homomorfismo.
T) (I(f) , *’ ) es subgrupo de (G , *)
D)
•
I(f) ≠ ∅ porque f(e) = e’ ⇒ e’ ∈ I(f)
•
I(f) ⊂ G’ por definición de I(f)
•
Sean y1 ∧ y2 ∈ I(f)
por definición de imagen ∃ x1 y x2 en G, tales que
f(x1) = y1 ∧ f(x2) = y2
por inversos en G’
f(x1) = y1 ∧ [f(x2)] –1 = y2
por inverso de la imagen
f(x1) = y1 ∧ f(x2–1 ) = y2 -1
por composición en G’
f(x1) *’ f(x2–1 ) = y1 *’ y2 -1
-1
f(x1 *’ x2–1 ) = y1 *’ y2 -1
Y como x1 *’ x2–1 ∈ G, por definición de imagen, se tiene
por homomorfismo
y1 *’ y2 –1 ∈ I(f)
En consecuencia resulta que (I(f) , *’ ) es un subgrupo de (G’, *’).
Homomorfismos especiales
i.
ii.
iii.
iv.
v.
f es un monomorfismo ⇔ f es inyectiva.
f es un epimorfismo ⇔ f es sobreyectiva.
f es un isomorfismo ⇔ f es biyectiva
f es un endomorfismo ⇔ A = A’
f es un automorfismo ⇔ f es un endomorfismo biyectivo.
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A NILLO
Definición
Sea A un conjunto no vacío y dos funciones: * y • . La terna (A , * , • ) es anillo si y
sólo sí:
1) El conjunto con la primera ley es un grupo abeliano.
2) El conjunto con la segunda ley es un semigrupo.
3) La segunda ley es doblemente distributiva respecto de la primera.
Las leyes de composición se llaman aditiva y multiplicativa, entonces:
la terna (A , + , . ) es anillo sí:
(A , +) es grupo abeliano
(A , .) es semigrupo
El producto es doblemente distributivo con respecto a la suma.
Axiomas:
i.
La adición es ley de composición interna en A.
∀a ∀b : a ∈ A ∧ b ∈ A ⇒ a + b ∈ A
ii.
La adición es asociativa en A.
∀a ∀b ∀ c ∈ A : (a + b) + c = a + (b +c)
iii.
Existe neutro en A, que denotamos con 0, respecto de la adición.
∃ 0 ∈ A / ∀a ∈ A: a + 0 = 0 + a = a
iv.
Todo elemento de A admite inverso aditivo u opuesto
∀a ∈ A , ∃ -a ∈ A / a + (-a) = (-a) + a = 0
v.
La adición es conmutativa.
∀a ∀b ∈ A : a + b = b + a
vi.
El producto es la ley de composición interna en A.
∀a ∀b : a ∈ A ∧ b ∈ A ⇒ a . b ∈ A
vii.
El producto es asociativo en A
∀a ∀b ∀c ∈ A : (a . b) . c = a . (b . c)
viii.
El producto es doblemente distributivo con respecto a la suma.
a . (b + c) = a . b + a . c
∀a ∀b ∀c ∈ A
:
•
•
•
(b + c) . a = b . a + c . a
Si la segunda ley de composición es conmutativa es un anillo conmutativo,
Si existe e respecto del producto es un anillo con identidad o con unidad,
Un anillo de identidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama
anillo de división.
Propiedades
En todo anillo el producto de cualquier elemento de un anillo por el neutro para la
primera ley es igual a este. (El producto por 0 es 0) a . 0 = 0 . a = 0
En todo anillo, el producto del opuesto de un elemento es igual al opuesto de su
producto. (-a) . b = - (a . b)
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En todo anillo, el producto de los opuestos de dos elementos es igual al producto de los
mismos. (-a) . (-b) = - [a . (-b)] = - [- (a . b)] = a . b
En todo anillo vale la distributividad del producto respecto a la diferencia.
(a - b) . c = [a + (-b)] . c = a . c + (-b) . c = a . c + [- (b . c)] = a . c – b . c
Anillo sin divisores de cero
El anillo (A , + , . ) no tiene divisores de cero si y sólo sí elementos no nulos dan
producto nulo. En símbolos:
(A , + , . ) carece de divisores de cero ⇔ ∀x ∀ y : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ⇒ x . y ≠ 0
Por integridad contrarrecíproca se tiene
(A , + , . ) carece de divisores de cero ⇔ ∀x ∀ y : x . y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0
> El anillo (A , + , . ) tiene divisores de cero si y sólo sí existen elementos no nulos que
dan producto nulo.
Dominio de integridad
Todo anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero, se llama dominio de
integridad.
(El conjunto de los números enteros es un dominio de integridad, no así, el conjunto de funciones reales
definidas sobre un intervalo)
Subanillos e ideales
El subconjunto no vacío S ⊂ A es un subanillo de (A , + , . ) si y sólo sí (S , +) es
subgrupo de (A , +), y además S es cerrado para el producto.
Una parte no vacía S ⊂ A es un subanillo de (A , + , . ) si y sólo sí para todo par de
elementos a ∈ A y b ∈ A se verifica a – b∈ A y a . b ∈ A.
I. S ⊂ A
II. S ≠ ∅
III. a ∈ S ∧ b ∈ S : a – b ∈ S
IV. a ∈ S ∧ b ∈ S : a . b ∈ S
Un anillo con unidad cuyos elementos no nulos son invertibles, se llama anil lo de
división. Todo anillo de div isión conmutativo es un cuerpo.
CUERPO
Un cuerpo es un anillo de división conmutativo, es decir, un anillo conmutativo en el que
todo elemento distinto de cero (todo elemento no nulo) es invertible respecto del producto
(es una unidad).
Ejemplos: los números racionales, reales, complejos.
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Definición:
La terna (K , + , . ) es un cuerpo si y sólo sí es un anillo conmutativo, con unidad,
cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.
Axiomas:
i.
(K , +) es grupo abeliano.
ii.
(K – {0} , . ) es grupo abeliano.
iii.
El producto es distributivo respecto a la suma.
Propiedades.
• Los cuerpos no admiten divisores de cero.
Sean x ∈ K ∧ y ∈ K tales que x . y = 0
Si x = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0 ,
si consideramos x ≠ 0 , por definición de cuerpo existe x -1
x -1 (xy) = x -1 . 0
por asociatividad y producto por 0 en el anillo, se tiene
1 y = 0 ,es decir: y = 0
• En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo
del mismo.
• Si b ≠ 0 , entonces la ecuación bx = a admite solución única en K.
Sea bx = a con b ≠ 0
b –1 . b . x = b –1 . a
x = b –1 . a
x = a . b –1
El producto de un elemento de K por el inverso multiplicativo de otro no nulo se
denota con el símbolo
a b –1= a/b y suele llamarse cociente entre a y b
• El recíproco (inverso multiplicativo) del opuesto de todo elemento no nulo es
igual al opuesto de su recíproco.
[ - (x –1 )] . (-x) = x –1 . x = 1
multiplicando por x –1
- (x -1) . (-x) . (-x) –1 = 1 (- x) -1
por asociatividad e inversos multiplicativos resulta:
- (x -1 ) = (- x) -1
• En todo cuerpo se verifica
x/y = x’/y’ ⇔ xy –1 = x’ y’ –1 ⇔ xy –1 yy’ = x’y’ –1 yy’ ⇔
⇔ xy’ = yx’
ESPACIO VECTORIAL
Las operaciones que podemos realizar entre ellos son: la suma de vectores y la
multiplicación por un escalar, el producto punto, el producto vectorial y el triple producto
escalar.
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Definición.
(V , + , K , . ) es espacio vectorial sobre (K , + , . ) si y sólo sí:
• (V , +) es grupo abeliano
• . : K × V → V (es ley interna porque K es un escalar y V es un vector)
• α ∈ K ; β ∈ K ; v ∈ V ⇒ α (β . v) = (αβ ) . v (Propiedad asociativa mixta)
• α ∈ K ; β ∈ K ; v ∈ V ⇒ (α +β) .v = α .v + β . v (Distributiva . respecto + en K)
•
•
α ∈ K ; x ∈ V ; y ∈ V ⇒ α (x + y) = α x + α y (Distributiva . respecto + en V)
Propiedad modular: ∀ x ∈ V: 1 . x = x
Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el
cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley de composición
interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa (·), (producto por un
escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y solo si:
•
V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición interna
(+), (suma de vectores). Esto significa que:
1. La suma de vectores es ley de composición interna.
2. La suma de vectores es asociativa.
3. La suma de vectores es conmutativa.
4. Existe un elemento neutro o nulo.
5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo.
Dónde
•
representa el vector nulo.
Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se cumple:
6. El producto es ley de composición externa.
7. El producto posee asociatividad mixta.
8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.
9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.
10. Existe el elemento neutro para el producto.
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Propiedades del espacio vectorial.
Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma vectorial
y 5 para el producto por escalares):
•
Para la Suma de vectores
1 Cerradura
2 Asociatividad
3 Conmutatividad
4 Inverso Aditivo
5 Neutro Aditivo
•
Para el Producto por Escalares
6
Cerradura
7
Asociativa
8
Distributiva 1
9
Distributiva 2
10
Neutro
producto
del
Otras propiedades.
Las propiedades de la 1 a la 5 indican que es grupo abeliano o conmutativo bajo la suma
vectorial.
También, de las propiedades anteriores, se pueden probar inmediatamente las siguientes
fórmulas útiles:
11
12
13
Subespacio vectorial
Definido un espacio vectorial V, un subconjunto S de V, que a su vez cumple las
leyes de espacio vectorial se lo denomina subespacio vectorial. En otras palabras, sea V un
espacio vectorial, S es un subespacio de V si y solo si se cumple simultáneamente:
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•
•
•
S no es un conjunto vacío.
S es igual o está incluido en V.
S es un espacio vectorial.
Condición suficiente de existencia
Es posible afirmar la existencia de un subespacio vectorial sin necesidad de probar los 10
axiomas de existencia de espacio vectorial. Para ello se definen 4 axiomas que de
cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se
define S como subespacio vectorial si y solo si:
•
•
•
•
S≠∅
S⊂V
x∈S ∧ y∈S ⇒ x +y ∈S
α∈ K∧x ∈S ⇒ α x ∈S
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