PRUEBAS DE HIPÓTESIS 375 11-7 RESUMEN En este capítulo se abordó la prueba de hipótesis. Los procedimientos para probar hipótesis en medias y varianzas se resumen en la tabla 11-8. La bondad de ajuste de la ji cuadrada se presentó para probar la hipótesis de que una distribución empírica sigue una ley de probabilidad particular. Los métodos gráficos también son útiles en la prueba de la bondad de ajuste, en particular cuando los tamaños de muestra son pequeños. Además, se presentaron las tablas de contingencia de dos vías para probar la hipótesis de que dos métodos de clasificación de una muestra son independientes. También se analizaron varios ejemplos cuyos resultados se obtuvieron usando computadora. 11-8 EJERCICIOS 11-1 Se requiere que la resistencia al rompimiento de una fibra utilizada en la fabricación de ropa no sea menor que 160 Ipc. La experiencia indica que la desviación estándar de la resistencia al rompimiento es de 3 lpc. Se prueba una muestra aleatoria de cuatro especímenes y se encuentra que la resistencia promedio al rompimiento es de 158 Ipc. a) ¿Debe considerarse aceptable la fibra con a = 0.05? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar HO:µ <_ 160 si la fibra tiene una resistencia al rompimiento verdadera de 165 lpc? 11-2 Se está estudiando el rendimiento de un proceso químico. A partir de la experiencia previa, se sabe que la varianza del rendimiento con este proceso es 5 (unidades de a2 = porcentaje2). Los últimos cinco días de operación de la planta han dado como resultado los siguientes rendimientos (en porcentajes): 91.6, 88.75, 90.8, 89.95, 91.3. a) ¿Hay razón para creer que el rendimiento es menor a 90%? h) ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para detectar un rendimiento medio verdadero de 85% con probabilidad de 0.95? 11-3 Se sabe que el diámetro de ciertos tornillos tiene una desviación estándar de 0.0001 pulg. Una muestra aleatoria de 10 tornillos produce a) Pruebe la hipótesis de que el diámetro medio real de los tornillos es igual a 0.255 pulg, empleando (x = 0.05. b) ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría para detectar un diámetro medio real de 0.2552 puig con probabilidad de por lo nrcnos 0.90? 11-4 Considere los datos del ejercicio 10-39. a) Pruebe la hipótesis de que el diámetro medio de un anillo de pistón es 74.035 mm. Utilice a = 0.01. b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para detectar un diámetro medio real de 74.030 mm con probabilidad de por lo menos 0.95? 11-5 Considere los datos del ejercicio 10-40. Pruebe la hipótesis de que la vida media de las bombillas eléctricas es de 1000 horas. Use a= 0.05. 11-6 Considere los datos del ejercicio 10-41. Pruebe la hipótesis de que la resistencia media a la compresión es igual a 3500 Ipc. Utilice a= 0.01. 11-7 Se emplean dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. El proceso de llenado puede suponerse normal, con desviaciones estándar de a, = 0.015 y a, = 0.018. Los ingenieros del departamento de control de calidad sospechan que ambas 376 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Tabla 11-8 Resumen de procedimientos de pruebas de hipótesis en medias y varianzas Hipótesis Estadística de prueba Hipótesis nula H0:µ =µo, Zo = G2 conocida H0:µ=No' G2 desconocida to = vn X-µ o tiín SI µ # µo Parámetro de la curva CO d= Iu - µol /G H1:µ>uo d= (y- H1:µ<µo Z0<-Z, d= (tio -µ) /G H1:µ * PPo 1(01 > t<,12,,,-1 H1:µ > µo H1:µ < Po H1: µ 1 # µ2 HO:µ1 = P2 Criterio de rechazo IZO¡ > ZL2 Zo>Za H1: X-µ0 G¡ Hipótesis alternativa to > to < 1tol > taI2, d = I f^ - µo I/6 d= -1 n-1 ta . n -ta, µ0)IG (1-^ -µ,)1a d = (µo - p)/G n1+n2-2 H1 : P l > µ2 to > ta, H1: µ 1 < µ 2 to < -ta, n1+ n2 - 2 n1 + n2 - 2 d = Iµ1 -µ 21 /2G d = (p 1 - µ2 )/2G d = (µ2 - µ1)/2G X1 - X2 to = 1 # 2 S2 S22 1 desconocidas n1 n2 2 S2 1 S2 2 n1 n2 v= -2 (S, /n1)2 (S2/n2/2 n1 + 1 n2 + 1 H0: G 2 2 = G 0, 2 xo (n- 1)S2 = 2 H1:G2 #GQ Go 2 x2 x0> 0 x 0 < x 1 - a/2, n - 1 2 2 xo>xa,n-1 2 2 x0 <x1-a,n -1 2 H1:G>Go 2 H1: G2 <G2 H0: G2 = G2 a/2,n-1 2 6/60 =G/Go Fo = S2/S2 0 Fo < F1 H1: Gl > G2 a /2, n1 - Fo > Fa n1 - 1 1, n2 -1 n2 - 1 2 = G1 / G2 PRUEBAS DE HIPÓTESIS 377 sin importar que éste sea o no 16.0 onzas. Se toma una muestra aleatoria de la salida de cada máquina. 1 1 - 1 0 Considere los datos del ejercicio 10-46. Pruebe H(,: p 1 _ ,u, contra 11,: µ, > p 2 , empleando a = 0.05. Máquina 1 11-11 Considere los datos de octanaje de gasolina que se presentaron en el ejercicio 10-47. Al fabricante le gustaría detectar que la fórmula 2 produce un octanaje más alto que la fórmula 1. Cree y pruebe una hipótesis apropiada. empleando a = 0.05. Máquina 2 16.03 16.04 16.05 16.05 16.01 15.96 15.98 16.02 16.02 15.97 15.96 16.01 16.03 16.04 16.02 16.01 16.02 15.99 15.11) 16.00 ¿Piensa usted que los ingenieros están en lo correcto? Utilice a = (1.05. b) Suponiendo tamaños de muestra iguales. ¿qué tamaño de muestra se utilizaría para asegurar que fi = 0.05 si la diferencia en medias reales es 0.075'? Suponga que a = (1.05. c) ¿Cuál es la capacidad de la prueba en a) para tina diferencia verdadera entre las medias de 0.075? 11-8 El departamento de revelado fotográfico de tina tienda departamental está considerando reemplazar su máquina procesadora actual. El tiempo que necesita la máquina para completar el procesamiento de un rollo de película es importante. Por ello, se selecciona una muestra aleatoria de 12 rollos de 24 exposiciones a color para su procesamiento en la máquina actual. El tiempo de procesamiento promedio es de 8.1 minutos, con una desviación estándar de 1.4 minutos en la muestra . Se selecciona una muestra aleatoria de 10 rollos del mismo tipo de película para probarlos en la máquina nueva. El tiempo de procesamiento promedio en este caso es de 7.3 minutos , con una desviación estándar de 0.9 minutos en la muestra. La tienda departamental no comprará la máquina nueva, a menos que su tiempo de procesamiento sea menor en 2 minutos en comparación con la máquina actual. Con base en esta información , ¿deberá comprarse la máquina nueva? 11-9 Considere los datos del ejercicio 10-45. Pruebe la hipótesis de que ambas máquinas llenan hasta el mismo volumen. Emplee a = 0.10. 11-12 Un fabricante de propulsores está investigando la desviación lateral en yardas de cierto tipo de proyectil de mortero. Se han observado los siguientes datos. Etapa Desviación Etapa Desviación 1 11.28 -10.42 -8.51 1.95 6.47 6 7 8 9 lo -9.48 6.25 10.11 -8.65 -0.68 2 3 4 5 Pruebe la hipótesis de que la desviación lateral media de estos proyectiles de mortero es cero. Suponga que la desviación lateral se distribuye normalmente. 11-13 El tiempo que se puede almacenar una película fotográfica es de interés para el fabricante. Éste observa los siguientes datos para ocho unidades elegidas al azar de la producción actual. Suponga que el tiempo de almacenamiento se distribuye normalmente. 108 días 128 días 134 163 124 159 116 134 a) ¿Hay alguna evidencia de que el tiempo de almacenamiento medio es mayor o igual que 125 días`? b) Si es importante detectar una razón &/6 de 1.0 con probabilidad de 0.90 , ¿el tamaño de la muestra es suficiente" 378 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 11-14 El contenido de titanio en una aleación se está estudiando con la esperanza de incrementar finalnmente la resistencia a la tensión . Un análisis de seis calentamientos recientes elegidos al azar produce los siguientes contenidos de titanio. Para b✓ cr = 2.0, ¿ cuál es la potencia de la prueba anterior? 11-17 Suponga que debe probarse la hipótesis H0:p? 15. 8.0% 7.7% 9.9 11.6 9.9 14.6 H1:p<15, donde se sabe que a2 = 2.5. Si a = 0.05 y la media real es 12, ¿qué tamaño de muestra es necesario para asegurar un error de tipo Il de 5%? ¿Hay alguna evidencia de que el contenido medio de titanio sea mayor que 9.5%? 11-15 Un artículo del Journal of Construction Engineering and Management ( 1999, pág . 39) presenta algunos datos acerca del número de horas de trabajo perdidas por día en un proyecto de construcción , a causa de incidentes relacionados con el clima. En un periodo de 11 días de trabajo se registraron las siguientes horas de trabajo perdidas. 8.8 12.5 5.4 12.8 9.1 14.7 11-18 Un ingeniero desea probar la hipótesis de que el punto de fusión de una aleación es 1000 °C. Si el punto de fusión real difiere del hipotético en más de 20° C. el ingeniero debe cambiar la composición de la aleación. Si suponemos que el punto de fusión es una variable aleatoria que se distribuye normalmente , a = 0.05, /3= 0.10 y a= 10 °C, ¿cuántas observaciones deben efectuarse? 8.8 11-19 Se están investigando dos métodos para produ12.2 cir gasolina a partir de petróleo crudo. Se su13.3 pone que el rendimiento de ambos procesos se 6.9 distribuye normalmente . Los siguientes datos 2.2 de rendimiento se han obtenido en la planta piloto. Suponiendo que las horas de trabajo se distribuyen normalmente , ¿ existe alguna evidencia para concluir que la media del número de horas de trabajo perdidas es mayor que ocho horas? Proceso Rendimiento (%) 1 11-16 Se desea probar si el porcentaje de rebaba producida en una operación de acabado metálico es menor que 7.5%. Se eligieron varios días al azar v se calcularon los siguientes porcentajes de rchaha. 5.51% 6.49 6.46 5.37 7.32% 8.81 8.56 7.46 a) En su opinión , ¿ la proporción real de rebaba es menor que 7.5%? b) Si es importante detectar una razón de Sla = 1.5 con probabilidad de por lo menos 0 .90, ¿cuál es el tamaño de muestra mínimo que puede utilizarse? 24.2 26.6 25.7 24. 8 25.9 26.5 21.0 22 .1 21.8 20 . 9 22.4 22.0 a) ¿Hay alguna razón para creer que el proceso 1 tiene un rendimiento medio mayor? Use a = 0. 01. Suponga que ambas varianzas son iguales. b) Suponiendo que para adoptar el proceso 1 debe producirse un rendimiento al menos 5% mayor que el del proceso 2, ¿cuáles son sus recomendaciones'? c) Encuentre la potencia de la prueba en la parte a ) si el rendimiento medio del proceso 1 es 5 % mayor que el del proceso 2. PRUEBAS DE HIPÓTESIS 379 (/) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para la prueba en la parte a), a fin de asegurar que la hipótesis nula se rechazará con probabilidad 0.90 si el rendimiento medio del proceso 1 excede el rendimiento medio del proceso 2 en 5%? 11-20 Un artículo que apareció en el Proceedings of' the 1998 Winter Simulittion Contference (1998, pág. 1079). analiza el concepto de validación para los modelos de simulación de tránsito. El propósito establecido para este estudio consiste en diseñar y modificar los servicios (avenidas y dispositivos de control) para optimizar la eficiencia y seguridad del flujo de tránsito. Parte del estudio compara las velocidades observadas en diferentes intersecciones , y simula la velocidad mediante un modelo que se está probando . El objetivo es determinar si el modelo de simulación es representativo de la velocidad real observada . Se reúnen datos de campo en tina ubicación particular, y después se implementa el modelo de simulación. Se miden 14 velocidades (pies/s) en una ubicación particular , y se simulan usando el modelo propuesto. Los datos son: Campo Modelo 53.33 57.14 47.40 58.20 53.33 57.14 49.80 59.00 53.33 61.54 51.90 60.10 55.17 61.54 52.20 63.40 55.17 61.54 54.50 65.80 55.17 69.57 55.70 71.30 57.14 69.57 56.70 75.40 Suponiendo que las varianzas son iguales, realice una prueba de hipótesis para determinar si existe una diferencia significativa entre los datos de campo y el modelo simulado. Use a = 0.05. 11-21 Los siguientes son tiempos de quemado (en minutos) de señales luminosas de dos tipos diferentes. Tipo 1 Tipo 2 63 82 64 56 81 68 72 63 57 59 83 74 66 75 59 82 82 73 65 82 a) Pruebe la hipótesis de que las varianzas son iguales. Use a = 0.05. b) Empleando los resultados de a), pruebe la hipótesis de que los tiempos medios de quemado son iguales. 11-22 Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una unidad química. Antes de su instalación, una muestra aleatoria produce la siguiente información acerca del porcentaje de impurezas: ,r, = 12.5, s,`' = 101.17 y n i = 8. Después de la instalación , una muestra aleatoria produce .1, = 10.2, s,= 94.73y ^i,=9. a) ¿Es posible concluir que las dos varianzas son iguales? b) ¿El dispositivo de filtrado ha reducido en forma significativa el porcentaje de impurezas? 11-23 Suponga que dos muestras aleatorias se extraen de poblaciones normales con varianzas iguales. Los datos de la muestra producen -Y, = 20.0, n, = 10, Y(x1, -.i 1)2 = 1480, 15.8, n, = 10 y E(x,; _.j_,)2 = 1425. a) Pruebe la hipótesis de que las dos medias son iguales. Emplee a = 0.01. b) Encuentre la probabilidad de que la hipótesis nula en a) se rechazará si la diferencia real entre las medias es 10. c) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para detectar una diferencia real entre las medias de 5 con probabilidad de al menos 0.80 si se sabe al inicio del experimento que una estimación aproximada de la varianza común es 150? 380 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 11-24 Considere los datos del ejercicio 10-56. a) Pruebe la hipótesis de que las medias de las dos distribuciones normales son iguales. Emplee a = 0.05 y suponga que 6¡ _ Q;. b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para detectar una diferencia entre las medias de 2.0 con probabilidad de por lo menos 0.85? c) Pruebe la hipótesis de que las varianzas de dos distribuciones son iguales. Emplee a = 0.05. d) Encuentre la potencia de la prueba en c) si la varianza de una población es cuatro veces la de la otra. 11-25 Considere los datos del ejercicio 10-57. Suponiendo que Q¡ = 6;, pruebe la hipótesis de que el diámetro medio de las barras producidas en los dos tipos diferentes de máquinas no difiere. Emplee a = 0.05. 11-26 Una compañía química produce cierta droga cuyo peso tiene una desviación estándar de 4 miligramos. Se ha propuesto un nuevo método de producción de esta droga, aunque están involucrados costos adicionales. La administración autorizará el cambio en la técnica de producción, sólo si la desviación estándar del peso en el nuevo proceso es menor que 4 miligramos. Si la desviación estándar del peso en el nuevo proceso es tan pequeña como 3 miligramos, a la compañía le gustaría cambiar los métodos de producción con una probabilidad de por lo menos 0.90. Suponiendo que el peso se distribuye normalmente y que a = 0.05, ¿cuántas observaciones deben efectuarse? Suponga que los investigadores eligen n = 10 y obtienen los siguientes datos. ¿Es ésta una buena elección para n? ¿Cuál debe ser la decisión? 16.628 gramos 16.630 gramos 16.622 16.627 16.631 16.624 16.623 16.622 16.618 16.626 11-27 Un fabricante de instrumentos de medición de precisión afirma que la desviación estándar del instrumento es, 0.00002 pulg. Un analista, que desconoce esta afirmación, utiliza el instrumento ocho veces y obtiene una desviación estándar de la muestra de 0.00005 pulg. a) Al emplear a = 0.01. ¿se justifica la afirmación? b) Calcule un intervalo de confianza de 99% para la varianza real. c) ¿Cuál es la potencia de la prueba si la desviación estándar real es igual a 0.00004? d) ¿Cuál es el tamaño de muestra que puede utilizarse para detectar una desviación estándar real de 0.00004 con una probabilidad de por lo menos 0.95? Emplee a = 0.01. 11-2S Se supone que la desviación estándar de las mediciones que realiza un termopar especial es 0.005 grados. Si la desviación estándar es tan grande como 0.010, deseamos detectarla con probabilidad de por lo menos 0.90. Emplee a = 0.01. ¿Qué tamaño de muestra debe emplearse? Si se emplea este tamaño de muestra y la desviación estándar s = 0.007, ¿cuál es su conclusión empleando a = 0.01? Construya un intervalo de confianza superior a 95% para la varianza real. 11-29 El fabricante de una fuente de poder está interesado en la variabilidad del voltaje de salida. Ha probado 12 unidades elegidas al alar con los siguientes resultados: 5.34 5.65 4.76 5.00 5.55 5.54 5.07 5.35 5.44 5.25 5.35 4.61 a) Pruebe la hipótesis de que a2 = 0.5. Emplee a = 0.05. b) Si el valor real de a2 = 1.0, ¿cuál es la probabilidad de que la hipótesis en a) sea rechazada? PRUEBAS DE HIPÓTESIS 381 11-30 En relación con los datos del ejercicio 11-7, 11-33 En una prueba de dureza. una hola de acero se pruebe la hipótesis de que las dos varianzas presiona contra el material que se está probanson iguales. empleando a = 0.01. ¿El resultado a una carga estándar. Luego se mide el diádo de esta prueba influye en la manera en la metro de la hendidura. el cual se relaciona con que se conduciría una prueba respecto de las la dureza. Se dispone de dos tipos de bolas, y su medias? ¿Qué tamaño de muestra es necesario desempeño se compara en 10 especímenes. Capara detectar a¡16; = 2.5. con probabilidad de da espécimen se prueba dos veces, una vez con por lo menos 0.90? cada hola. Los resultados son los siguientes: 11-31 Considere las dos muestras siguientes. extraídas de dos poblaciones normales. Muestra 1 Muestr a 2 4.34 5.00 4.97 4.25 5.55 6.55 1.87 2.00 2.00 1.85 2.11 2.31 6.37 5.55 3.76 2.28 2.07 1.76 1 . 91 2.00 ¿Hay apuna evidencia para concluir que la varianza de la población 1 es mayor que la varianza de la población 2? Use a= 0.01. Encuentre la probabilidad de detectar a'¡/6 = 4.0. 11-32 Dos máquinas producen piezas metálicas. Interesa la varianza del peso de estas piezas. Se han recopilado los siguientes datos. Máquina 1 Máquina 2 izr=25 x, = 0.984 s¡ = 13.46 n,=30 0.907 s; = 9.65 a) Pruebe la hipótesis de que las varianzas de las dos máquinas son iguales. Emplee a. _ 0.05. b) Pruebe la hipótesis de que las dos máquinas producen piezas con el mismo peso medio. Use a = 0.05. Bola .v 75 46 57 43 58 32 61 56 34 65 Bola .v 52 41 43 47 32 49 52 44 57 60 Pruebe la hipótesis de que las dos bolas producen la misma medición de dureza esperada. Emplee a = 0.05. 11-34 Dos tipos de equipo de ejercicio. A y B. para personas minusválidas , se usan con frecuencia para determinar el efecto en el ritmo cardiaco de un tipo particular de ejercicio (en latidos por minuto ). Han participado siete personas en un estudio para determinar si los dos tipos de equipo tienen el mismo efecto en el ritmo cardiaco. Los resultados se presentan en la tabla a continuación: Persona A B 1 162 161 2 163 187 3 140 199 4 191 206 5 160 161 6 158 160 7 155 162 Realice una prueba de hipótesis apropiada para determinar si existe una diferencia significativa en el ritmo cardiaco debido al tipo de equipo usado. 11-35 Un diseñador de aviones tiene evidencia teórica de que la pintura del avión reduce la velocidad del mismo a una potencia especificada y según la colocación del alerón. Para probarlo, prueba seis aviones consecutivos de la línea de ensamble antes y después de pintarlos. Los resultados se muestran a continuación: 382 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA Velocidad máxima (mph) Avión Pintado No pintado 1 2 3 4 5 6 286 285 279 283 281 286 289 286 283 288 283 289 ¿Los datos respaldan la teoría del diseñador? Use a=0.05. 11-36 En un artículo del Intenuationa l Journal of Fatigue (1998, pág. 537), se analiza el doblamiento por resistencia a la fatiga de un material dental cuando se usa un proceso de pretensado o preajustado. El preajustado de un material dental se obtiene cuando se aplica y después se elimina una sola sobrecarga al elemento de la máquina . Para determinar las diferencias significativas en la resistencia a la fatiga debida al preajustado , se formaron parejas de datos de la fatiga . Se formaron parejas de un diente "preajustado ' y uno "no preajustado", ambos con el mismo material . Se formaron 11 parejas y se midió la vida a la fatiga en cada uno . (La respuesta final de interés es ln[vida a la fatiga x 10-3].) Diente Diente no Par preajustado preajustado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.813 4.025 3.042 3.831 3.320 3.080 2.498 2.417 2.462 2.236 3.932 2.706 2.364 2.773 2.558 2.430 2.616 2.765 2.486 2.688 2.700 2.810 Realice una prueba de hipótesis para determinar si el preajustado aumenta significativamente la vida a la fatiga del material dental. Use a= 0.10. 11-37 Considere los datos del ejercicio 10-66. Pruebe la hipótesis de que la tasa de no asegurados es de 10%. Use a= 0.05. 11-38 Considere los datos del ejercicio 10-68. Pruebe la hipótesis de que la fracción de calculadoras defectuosas producidas es 2.5 por ciento. 11-39 Suponga que deseamos probar la hipótesis H0: Jul = P2 contra la alternativa Hr: p, # p2, donde ambas varianzas o y (F2 se conocen. Se tomó un total de n i + n, = N observaciones. ¿Cómo deben distribuirse estas observaciones en las dos poblaciones para maximizar la probabilidad de que Ho se rechazará si H, es real YP1-Y2=o. 11-40 Considere el estudio de los miembros del sindicato descrito en el ejercicio 10-70. Pruebe la hipótesis de que la proporción de los hombres que pertenecen al sindicato no difiere de la proporción de las mujeres que pertenecen al mismo. Use a= 0.05. 11-41 Mediante el empleo de los datos del ejercicio 10-71, ¿es razonable concluir que la línea de producción 2 produce una fracción más alta de producto defectuoso que la línea 1'' Use a 0.01. 11-42 Dos tipos diferentes de máquinas de moldeo por inyección se utilizan para formar partes plásticas. Una parte se considera defectuosa si tiene un encogimiento excesivo o si se decolora. Se seleccionan dos muestras aleatorias , cada una de tamaño 500. Se encontraron 32 partes defectuosas en la muestra de la máquina 1, en tanto que se encontraron 21 partes defectuosas en la muestra de la máquina 2. ¿Es razonable concluir que ambas máquinas producen la misnma fracción de partes defectuosas? 11-43 Suponga que deseamos probar la hipótesis HO: pt = P2 contra H,: pr :# µ,, donde a¡ y Qz se conocen. El tamaño de muestra total N es fijo, pero la distribución de las observaciones para las dos poblaciones , tales que ni + n2 = N, se hará con base en costos . Si los costos del muestreo para las poblaciones 1 y 2 son Ct y PRUEBAS DE HIPÓTESIS 383 (:,, respectivamente, encuentre los tamaños de muestra de costo mínimo que proporcionan una varianza especificada para la diferencia de las medias niuestrales. 11-44 El fabricante de una nueva pastilla analgésica desearía demostrar que su producto actúa dos veces más rápido que el de su competidor. Específicamente, le gustaría probar HO: p, = 2p,, Ht: p1 > 2p, donde p, es el tiempo de absorción medio del producto del competidor, y p, es el tiempo de absorción medio del nuevo producto. Suponiendo que se conocen las varianzas cr y 6;, sugiera un procedimiento para probar esta hipótesis. 11-45 Deduzca una expresión similar a la ecuación 11-20 para el error /3 correspondiente a la prueba en la varianza de una distribución normal. Suponga que se especifica la alternativa bilateral. 11-46 Deduzca una expresión similar a la ecuación 11-20 para el error f3 correspondiente a la prueba de igualdad de las varianzas de dos distribuciones normale' . Suponga que se especifica la alternativa bilateral. 11-47 El número de unidades defectuosas encontradas cada día por un probador funcional de circuitos en un proceso de ensamble de tarjetas de circuitería we muestra a continuaciR"m: Número de defectos por día Veces observadas 0-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 6 11 16 28 22 19 11 4 a) ¿Es razonable concluir que estos datos provienen de una distribución normal? Use una prueba de bondad de ajuste de la ji cuadrada. b) Grafique los datos en un papel de probabilidad normal. ¿Se justifica una suposición de normalidad'' 11-48 Los defectos sobre las superficies de obleas en la fabricación de circuitos integrados son inevitables. En un proceso particular se reúnen los siguientes datos: Número de dcl,cctos i Número de obleas con i defectos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 13 34 56 70 70 58 42 25 15 9 3 1 ¿La suposición de una distribución de Poisson es apropiada como modelo de probabilidad para este proceso? 11-49 Un generador de números seudoaleatorios se diseña de manera que los enteros 0 al 9 tengan igual probabilidad cte ocurrencia. Los primeros 10,000 números son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1 043 1011 ¿Este generador está trabajando en forma apropiada? 11-50 El tiempo de ciclo de una máquina automática se ha observado y registrado. Seg. 12.1 12.1112 .1212.1312.1412.1512.1612.172.18 2.19 Frec. 1 16 1 28 1 41 1 74 1 14912561 137 1 82 1 40 19 2.2 11 384 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA u) ¿La distribución normal es un modelo de probabilidad razonable para el ciclo de tiempo? Emplee la prueba de bondad de ajuste de la ji cuadrada. Tipo de paciente Seguro médico Quirúrgico Clínico b) Grafique los datos en papel de probabilidad normal. ¿Parece razonable la suposición de normalidad? 11-51 Un embotellador de refrescos está estudiando la resistencia a la presión interna de botellas no retornables de un litro. Se prueba una muestra aleatoria de 16 botellas y se obtiene la resistencia a la presión. Los datos se muestran enseguida. Grafique estos datos en papel de probabilidad normal. Pruebe la hipótesis de que los llamados pacientes quirúrgicos o clínicos son independientes de que tengan o no seguro médico. 11-54 Las calificaciones en un curso de estadística y en un curso de investigación de operaciones se tomaron en forma simultánea , y fueron las siguientes entre un grupo de estudiantes. ¿Es razonable concluir que la resistencia a la presión se distribuye normalmente? 226.161pc 211.14lpc 202.20 203.62 219.54 188.12 193.73 224.39 208.15 221.31 195.45 204.55 193.71 202.21 200.81 201.63 Calificación de estadística A B C Otra Calificación de investigación de operaciones A /i C Otra 25 17 18 10 6 16 4 8 17 15 18 11 13 6 10 20 ¿Se relacionan las calificaciones en estadística e investigación de operaciones? 11-52 Una compañía opera cuatro máquinas en tres turnos diarios. A partir de los registros de producción, se recopilan los siguientes datos respecto del número de interrupciones: 11-55 Un experimento con casquillos de artillería produjo los siguientes datos acerca de las características de las desviaciones laterales y alcances. ¿Concluiría usted que la desviación y el alcance son independientes? Máquinas Turno A B C 1) 1 41 20 12 16 2 31 11 9 14 3 15 17 16 10 Pruebe la hipótesis de que las interrupciones son independientes del turno. 11-53 Los pacientes de un hospital se clasifican como quirúrgicos o clínicos. Se lleva un registro del número de veces que los pacientes requieren servicios de enfermería durante la noche y de si tienen o no seguro médico. Los datos son los siguientes: Desviación lateral Alcance (yardas) Izquierda Normal Derecha o- 1,999 2,000 - 5,999 6,000 - 11,999 6 9 8 14 11 17 8 4 6 11-56 Se está realizando un estudio de las fallas de un componente electrónico. Hay cuatro tipos de fallas posibles y dos posiciones de montaje para el dispositivo. Se tomaron los siguientes datos: PRUEBAS DE HIPOTESIS 385 Tipo de falla Posición de montaje 1 2 A B C D 1,1 6 c^ 4 46 17 ¿Concluiría usted que el tipo de falla es independiente de la posición de montaje'? 11-57 Un artículo de Research in Nursing arel Healili ( 1999. pág. 2 63), resume los datos reunidos en un estudio previo ( Research in Nursurg uncí Healili. 1998. pág. 285) sobre la relación entre la actividad física y el estatus socioeconómico de 1507 mujeres caucásicas . En la siguiente tabla se presentan los datos obtenidos. 11-59 Un artículo del Jeurnal of Marketing Researelr 1970, pág. 36), informa de un estudio de la relación entre las condiciones de las instalaciones en gasolinerías y la agresividad de su política de venta de gasolina. Se investigó una muestra de 441 gasolinerías con los resultados obtenidos, mismos que se muestran a continuación. ¿Hay evidencia de que la estrategia relativa al precio de la gasolina y las condiciones de la instalación sean independientes" Condición Política Agresiva Neutral No agresiva Subestándar Estándar Moderna 24 15 17 52 73 80 58 86 36 Actividad física Estatus socioeconómico Inactiva Activa Bajo Medio Alto 216 226 114 245 409 297 Pruebe la hipótesis de que la actividad física es independiente del estatus socioeconómico. 11-58 Una tela se agrupa en tres clasificaciones: A, B y C. Los resultados siguientes se obtuvieron de cinco telares. ¿La clasificación de la tela es independiente del telar'? Número de piezas de tela en la clasificación de la misma Telar A B C 1 2 3 4 5 185 190 170 158 185 16 24 35 22 22 12 21 16 7 15 11-60 Considere el proceso de moldeo por inyección descrito en el ejercicio 11-42. a) Establezca este problema como una tabla de contingencia de 2 x 2 y efectúe el análisis estadístico indicado. b) Enuncie claramente la hipótesis que se está probando. ¿Está usted probando homogeneidad o independencia'? c) ¿Este procedimiento es equivalente al procedimiento de prueba utilizado en el ejercicio 11-42'?