Propagación de Errores • Propagación de errores. • Propagación de errores en sumas y diferencias. • Propagación de errores en productos. • Propagación de errores en cocientes. • Error del producto por una constante. • Error de una potencia. • Error en funciones de una variable. • Error en funciones de varias variables. • Errores independientes y aleatorios • Formula general para la propagación de errores. 9 Medidas independientes. 9 Problema semidirecto. 9 Problema inverso. Técnicas experimentales de Física General 1/14 Propagación de errores Medidas indirectas.- Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas de otras magnitudes. • Conocemos x ± δx , y ± δy ,... • Calculamos z = f ( x, y,...) • ¿Cuál es el error de z? Propagación de errores.- Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ... • Permiten asignar un error al resultado final. • Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas. • Planificación del experimento. Hipótesis de partida • Medidas dependientes.- Hipótesis pesimista. Siempre en la situación más desfavorable. Conjunto de reglas prácticas. • Medidas independientes.- Errores cuadráticos medios. Fórmula general de propagación de errores. Técnicas experimentales de Física General 2/14 Propagación de errores en sumas y diferencias Datos iniciales: Sea su suma y ± δy x ± δx q = x + y y su diferencia q = x− y ¿Cuál es la incertidumbre, δ q ? Valor máximo de q Valor mínimo Suma Diferencia qmax = x + δ x + y + δ y = qmax = x + δ x − ( y − δ y) = qmin = x − δ x + y − δ y = qmin = x − δ x − ( y + δ y) = = x + y + (δ x + δ y ) = x + y − (δ x + δ y ) = x − y + (δ x + δ y ) = x − y − (δ x + δ y ) de q El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o mas magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes: q = x ± y ⇒ δ q ≈ δ x +δ y Técnicas experimentales de Física General 3/14 Ejemplo: En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del líquido. Se conocen: M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 ± 10 g m1 = Masa del matraz 1 = 72 ± 1 g M2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 ± 20 g M2 = Masa del matraz 2 = 97 ± 1 g La masa de líquido será: M = M 1 − m1 + M 2 − m2 = 1311 g Su error: δ M = δ M 1 + δ m1 + δ M 2 + δ m2 = 32 g El resultado se expresará: M = 1310 ± 30 g Técnicas experimentales de Física General 4/14 Propagación de errores en productos δx 1 ± x ± x = x δ Datos iniciales: x Sea su producto δy y ± δy = y1 ± y q = xy ¿Cuál es la incertidumbre, δ q ? Producto Valor máximo de q δ xδ y x y qmax mínimo de q δx δy ↓ δx δy xy = x 1 + y 1 + ≅ + 1 + x y x y δ xδ y Valor x y qmin << << δ x δ y δx δy ↓ = x 1 − y 1 − ≅ xy 1 − + x y y x El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos: q = xy ⇒ Técnicas experimentales de Física General δq q ≈ δx δy x + y 5/14 Propagación de errores en cocientes δx 1 ± δ x ± x = x Datos iniciales: x x q = Sea su producto y δy y ± δy = y1 ± y ¿Cuál es la incertidumbre, δ q ? Cociente Valor máximo de q qmax δx 1 δ xδ y << x 1 + 1−ε =1+ε x y x ↓ x δ x δ y ↓ 1+ = ≅ 1 + ≅ y x y δy y 1 − y ≅ Valor mínimo de q qmin x δx δy + 1 + y x y δx 1 δ xδ y << x 1 − 1+ε =1−ε x y x ↓ x δ x δ y ↓ 1− = ≅ 1 − ≅ y x y δy y 1 + y x δ x δ y ≅ 1 − + y x y El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos: x δq δ x δ y q= ⇒ ≈ + y q x y Técnicas experimentales de Física General 6/14 Ejemplo: Para medir la altura de un árbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Por semejanza: L = L1 L2 L3 Realizadas las medidas resultan: L1 = 200 ± 2 cm, L2 = 100.0 ± 0.4 cm, L3 = 10.3 ± 0.2 cm 100 L = 200 × = 2000 cm 10 Por tanto Su error será δ L δ L1 δ L2 δ L3 L ≈ L1 + L2 + L3 = 2 0.4 0.2 + + = 200 100 10.3 = (1 + 0.4 + 2)% = 3.4% → δ L = 3.4 × 2000 = 68 100 L = 2000 ± 70 cm Técnicas experimentales de Física General 7/14 Error del producto por una constante Datos iniciales: x ± δx Sea q = Ax ¿Cuál es la incertidumbre, δq ? Aplicando la regla del producto δq q ≈ δA δx δx A + x = δq = A δx ⇒ x El error absoluto del producto de una constante por una magnitud es igual al producto de la constante por el error absoluto de la magnitud δq = A δx Error de una potencia Datos iniciales: x ± δx n Sea q = x = x ⋅ x "⋅ x ¿Cuál es la incertidumbre, δq ? Aplicando la regla del producto δq q ≈ δx δx x + x +"+ δx x =n δx x El error relativo de una potencia es el producto de la potencia por el error relativo de la magnitud. δq q Técnicas experimentales de Física General =n δx x 8/14 Error en funciones de una variable Datos iniciales: x ± δx Sea q = f ( x) una función cualquiera ¿Cuál es la incertidumbre, δq ? Gráficamente δq = qmax − qmin 2 Analíticamente δq = f ( x + δx ) − f ( x ) = df ( x) δx dx Si x se mide con un error δx y se utiliza para calcular q = f (x) , el error absoluto de q viene dado por : δq = Técnicas experimentales de Física General df ( x) δx dx 9/14 Error en funciones de varias variables Las reglas para el cálculo de errores que hemos visto se pueden deducir de una fórmula más general que nos permite resolver casos más complicados. Sean las medidas x, y con errores δx, δy usadas para calcular: q = f ( x, y ) Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables: f ( x + δx , y + δy ) = f ( x , y ) + ∂f ∂f δx + δy + " ∂x ∂y Con lo que: ∂f ∂f δq = f (x +δx, y +δy) − f (x, y) ≈ δx + δy ∂x ∂y Ejemplos: Función Errores Error q = kx x ± δ (x ) δ ( q ) = kδ ( x ) q = ±x ± y ±" x ± δ ( x) y ± δ ( y ) δ (q) ≈ δ ( x) + δ ( y ) q = kx α y β " x ± δ ( x) y ± δ ( y ) δq z Técnicas experimentales de Física General ≈α δx x +β δy y 10/14 Errores independientes y aleatorios Las reglas anteriores suponen una sobreestimación del error, puesto que siempre nos situamos en el caso más desfavorable. Ejemplo: error de la suma Dados x ± δx , y ± δy el error de la suma q = x + y viene dado por δz ≈ δx + δy Sin embargo: El máximo valor posible de q, q ± δq se alcanza cuando nos equivocamos simultáneamente δx en x y δy en y , lo que es altamente improbable si las medidas son aleatorias e independientes. Una sobreestimación (o subestimación ) de x no viene necesariamente acompañada de una sobreestimación (o subestimación) de y . Si las medidas son independientes La hipótesis pesimista es exagerada. Los errores se cancelan parcialmente. Los errores se propagan cuadráticamente. Técnicas experimentales de Física General 11/14 Fórmula general para la propagación de errores • Medidas independientes Sean las medidas de x, y , " , w con errores δx, δy , " , δw usadas para calcular : q = f ( x, y,", w) Si los errores son independientes y aleatorios, entonces el error de z es la suma en cuadratura 2 2 ∂f ∂f ∂f δq = δx + δy + " + δw ∂w ∂x ∂y 2 Ejemplos: Función Errores Error q = kx x ± δ (x ) δ ( q ) = kδ ( x ) q = ±x ± y ±" x ± δ ( x) y ± δ ( y ) q = kx α y β " x ± δ ( x) y ± δ ( y ) Técnicas experimentales de Física General δ (q) = [δ ( x)]2 + [δ ( y )]2 + " 2 2 δx δy = α + β + " q x y δq 12/14 • Problema semidirecto conocidos ε ( x ), ε ( y ), " Errores desconocidos ε (m), ε ( n ), " Errores z = f ( x, y , " , m, n, ") ¿Cuál ha de ser ε ( m ), ε ( n ), " para que no influyan mucho en ε ( z ) ? 2 2 2 2 ∂ z ∂ z ∂z ∂ z ε ( z ) = ε ( x) + ε ( y ) + " − + ε ( m) + ε ( n) " ∂x ∂y ∂m ∂ n 2 kT A ε 2 ( z ) = A + kT → kT = 0.2 A ε ( z ) = 1.1 A T = 0.2 A k 2 ∂z ε ( ) m ∂m =T → ε ( m ) 2 ∂z ε ( n ) ∂n =T → ε ( n) # Técnicas experimentales de Física General 13/14 • Problema inverso ε ( z) Error deseado Errores conocidos ε ( x ), ε ( y ), " Errores desconocidos ε ( m ), ε ( n ), " z = f ( x, y , " , m, n, ") ¿Cuál ha de ser ε ( m ), ε ( n ), " para que ε ( z ) sea el deseado? 2 2 2 2 ∂ z ∂ z ∂z ∂ z ε 2 ( z ) = ε ( x) + ε ( y ) + " + ε ( m) + ε ( n) " ∂x ∂m ∂ n ∂ y kT A ε ( z ) = A + kT → T = 2 ε 2 ( z) − A k 2 ∂z m ε ( ) ∂m =T → ε ( m ) 2 ∂z ε n ( ) ∂n =T → ε ( n) # Técnicas experimentales de Física General 14/14