campo magnético producido por una corriente

Fisica III -10
Campo Magnético
Cátedra de Física Experimental II
Prof. Dr. Víctor H. Ríos
2010
Fisica III -10
Contenidos
- Ejemplos de campos magnéticos
- Campo magnético producido por una corriente indefinida.
- La ley de Biot-Savart.
- Aplicación al caso de una corriente rectilínea infinita.
- La ley de Ampere y su generalización a varias corrientes.
- Aplicación al caso del campo magnético producido por una corriente
rectilínea.
- Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de
su eje.
- Campo producido por un solenoide en un punto de su eje.
- Fuerza magnética sobre una particula moviéndose en un campo B.
- Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo.
APENDICE
- Campo magnético producido por un cilindro hueco.
- Campo magnético producido por un toroide.
- Aplicaciones.
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MAGNETISMO
El magnetismo es uno de los aspectos del electromagnetismo, que es una de las interacciones fundamentales de la naturaleza (junto con la gravedad, la fuerza nuclear fuerte y la
fuerza nuclear débil).
Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo
e-lectrones, lo que indica la estrecha relación entre
la electricidad y el magnetismo.
La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión
que actúa entre los materiales ferromagnéticos como el hierro. Desde la antigüedad se ha
cons-tatado la interacción entre el hierro o minerales como la magnetita con el
campo magnético terrestre, de forma que el polo norte de un imán tiende a apuntar al
polo sur de otro.
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Causa del campo magnético
En 1820 Hans Christian Oersted, descubre que una corriente eléctrica provoca la
deflexión de la aguja de una brújula en sus inmediaciones. Fue André-Marie Ampère
quien descu-brió la ley que describe la relación entre una corriente eléctrica
estacionaria y el campo magnético. Adelantándose a su época, supuso que la causa del
magnetismo de los mate-riales se debe a pequeñísimas partículas cargadas en rotación.
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Campo magnético terrestre
Una brújula apunta en la dirección Norte - Sur por tratarse de una aguja imantada inmersa en
el campo magnético terrestre: desde este punto de vista, la Tierra se comporta como un
imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales, en la actualidad, no coinciden con los
polos geográficos.
El Polo Sur Magnético se encuentra a 1800
kilómetros del Polo Norte Geo-gráfico. En
consecuencia, una brújula no apunta exactamente hacia el Norte geográfico; la diferencia, medida en grados, se denomina declinación magnética.
Origen del campo magnético terrestre
Se originaría en las corrientes de la región
ígnea de la Tierra, como consecuencia del
movimiento de partículas cargadas eléctricamente.
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Magnetosfera Terrestre
La Magnetosfera es una región
alrededor de la Tierra en la que el
campo magnético terrestre desvía la
mayor parte del viento solar formando
un escudo protector contra las
partículas cargadas de alta energía
procedentes del Sol.
Las partículas del viento solar que son detenidas
forman los cinturones de Van Allen. En los polos
magnéticos, las zonas en las que las líneas del
campo magnético terrestre penetran en su interior,
parte de las partículas cargadas son conducidas
sobre la alta atmósfera produciendo las
auroras boreales o australes.
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Magnetismo y su Aplicación en el tren Magnético
El campo magnético es producido por la corriente
eléctrica que circula por un conductor. Para determinar la expresión del campo magnético producido por una corriente se emplean dos leyes: la ley
de Biot-Savart y la ley de Ampére.
Principio de levitación
En la figura se muestra la forma en la que se colocan
las bobinas en las paredes laterales.
Cuando el superconductor pasa a centímetros de estas
bobinas a muy altas velocidades, una corriente
eléctrica es inducida en la bobina la cual actúa como
campo electromagnético temporalmente.
Como resultado de estos campos, existen fuerzas que empujan al superconductor
ha-cia arriba , teniendo así la levitación del tren.
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Principio de guía lateral
Las bobinas de levitación están conectadas de frente entre
ellas en la parte baja del riel, generando un anillo
magnético. Cuando el tren, el cual es un superconductor
magnético, se desplaza lateralmente, una corriente es
inducida en el anillo, resultando una fuerza repulsiva
actuando en las bobinas de levitación de el lado más lejano
del tren. Por lo tanto el tren siempre esta situado en el
centro de los rieles.
Principio de propulsión
Una fuerza repulsiva y una de atracción son inducidas entre los imanes para propulsar al tren (superconductor
mag-nético). Las bobinas de propulsión están localizadas
el las paredes laterales en ambos lados del riel, las cuales
están energizadas por una corriente alterna trifásica de
una esta-ción, creando un campo magnético en el riel.
Los superconductores magnéticos son atraídos y empujados por el campo magnético, elevando el tren.
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Vehículos Experimentales
ML 100
Interior
MLU 002
MLX 01
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Campo magnético producido por una corriente indefinida
La ley de Biot - Savart
El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

dB=


µ 0i µt × µ r 
dl
4π
r2

µ i
B = 0
4π
∫
l
z
r

µr
dB

µT
dl
 
µt× µr
dl
2
r
y
i
x
ut es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido
de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl.
ur es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de
corriente, μ0 / 4π = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.
B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, perpendicular al
 
plano que forman los versores µ t , µ r
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Unidades
La unidad del campo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el Tesla, pese
a que a menudo se emplea el Gauss. Las unidades del TESLA son:
1 Tesla equivale a 1 V·s·m-2, o lo que es lo mismo, 1 kg·s-2·A-1 = 10.000 Gauss
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor
rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.
El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que
es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que
resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial ut x ur
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Para calcular el módulo de dicho
campo es necesario realizar una
integración.
⇒
 
 
µ t × µ r = µ t µ r sen θ = sen θ

µ0i
B =
4π

µ i
B = B= 0
4π
∫
l


µt× µr
dl
r2
∞
∫
−∞
sen θ
dx
r2
Se integra sobre la variable “θ” , expresando las variables “x” y “r” en función del ángulo θ .
R = r cos θ
R = x tan θ
µ i
B= 0
4π R
π
µ 0i
sen
θ
d
θ
=
∫0
2π R
Depende de directamente
de “i” e inversamente de
la distancia “R”
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Sentido del Campo “B” y la corriente “i”
En la figura, se muestra la dirección y
sentido del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en el punto P.
La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la
regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.
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La ley de Ampère
La ley de Ampère nos permitirá calcular el campo
magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.
Circulación de B
Físico frances Andre Marie Ampere,
20/01/75 - 10/06/1836

B

dl

B

dl

dl

dl

B
∫
Circulación de B =
 
B . dl
c
C

B
z
Ley de Ampere
Circulación de B = µ 0 i
∫
C
 
B . dl = µ 0 i

dl
y
C
x

B
i
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Generalización ley de Ampere para varios conductores

B

dl
∫
i3
C
 
B . dl = µ 0
N
∑
j= 1
i j = µ 0 ( i1 + i2 − i3 )

B
i1
i2

dl
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son:
1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético
2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético.
3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado
4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.
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Campo magnético producido por una corriente rectilínea
1.
La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.
2.
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de
radio r, centrada en la corriente rectilínea, y situada en
una plano perpendicular a la misma.
• El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
• El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha
circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
∫
C
 
B . dl =
∫
C
B dl cos 0° = B
∫
dl = B 2 π R
C
3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
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4. Despejamos el módulo del campo magnético B, a partir de la ley de Ampere.
∫
 
B . dl = µ 0 i
C
B 2π R = µ 0 i
B=
µ0i
2π R
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.
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Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje
En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales
como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está
arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer
lugar, el cam-po creado por una espira.
En la figura, se muestra una espira
circular de radio a, recorrida por una
corriente de intensidad i. El punto P
está sobre el eje de la espira a una
distancia x de su centro.
Sea r la distancia entre el elemento de
corriente y el punto P. La ley de Biot
nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.
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⇒
Los vectores unitarios ut y ur forman
90º en este caso
El vector campo magnético dB tiene dos componentes
* a lo largo del eje de la espira
: dB · cos ( 90 - θ )
* perpendicular al eje de la espira : dB · sen ( 90 - θ )
Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos
diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está
dirigido a lo lar-go del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es
constante y θ es constante
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El campo paralelo al eje de la espira es:
En el centro de la espira x = 0, tenemos
El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha.
Para una espira no es aplicable la ley de Ampère. Sin embargo, como podemos ver si
se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo
cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida que
se incrementa su número.
En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espiras apretadas, cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en el interior es
casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estas condiciones
es aplicable la ley de Ampère, para determinar el campo magnético en el interior del
sole-noide
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Campo producido por un solenoide en un punto de su eje
Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje
del solenoide sumando el campo producido por las N espiras.
Solenoide
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Esquemáticamente
En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado
por N espiras iguales de radio a.
Anterior, obtuvimos la expresión del campo magnético de una espira de radio a en un
punto P de su eje distante x.
Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección
y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.
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El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn = N ·dx / L
Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una
espira por el número dn de espiras
Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a = x · tanθ , y teniendo en cuenta
que 1 + tan 2θ = 1 / cos 2θ, simplificamos mucho la integral
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Si el solenoide es muy largo comparado con su
radio a y si el punto P está situado en el centro,
tendremos que θ 1→ π , y θ 2→ 0.
El campo B vale entonces
El solenoide – Cálculo de B usando la Ley de Ampère
Suposición
Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el
campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es
nulo fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère.
El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino
cerrado y en el segundo miembro, el término i se refiere a la intensidad que atraviesa
dicho camino cerrado.
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Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un camino
cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.
Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación:
1. La contribución a la circulación del lado
AB es cero ya que bien B y dl son
perpendiculares o bien, B es nulo en el exterior
del solenoide.
2. Lo mismo ocurre en el lado CD.
3. En el lado DA la contribución es cero, ya que
el campo en el exterior al solenoide es cero.
4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribución a la circulación es Bx, siendo
x la longitud de dicho lado.
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La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente:
Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá N x / L espiras. Como
cada espira trasporta una corriente de intensidad i, la corriente que atraviesa el camino
cerrado ABCD es N x i / L.
La ley de Ampère se escribe para el solenoide.
⇒
Para visualizar las líneas líneas del campo del campo magnético, se emplean limaduras de
hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del
experimentador.
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Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo
Intensidad de la corriente
La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S
del conductor en la unidad de tiempo. El significado de flujo másico y flujo de carga o
inten-sidad es:
Sea n el número de partículas por unidad
de volumen, v la velocidad media de
dichas partículas, S la sección del haz y
q la carga de cada partícula.
Movimiento de cargas dentro de un conductor
La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un
cilindro de sección S y longitud v t.
Carga Q = ( número de partículas por unidad de volumen n ).( carga de cada partícula
q ).
( volumen del cilindro S v t )
Q=nqS v t
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Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica:
i =nqvS
La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad
de tiempo, que es el producto de los siguientes términos:
Número de partículas por unidad de volumen, n.
La carga de cada partícula, q.
El área de la sección normal, S.
La velocidad media de las partículas, v.
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Fuerza magnética
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm = q· v x B
El resultado de un producto vectorial es un vector de
* módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido q v B senθ
* dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B.
* y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos.
Si la carga es positiva el sentido es el
del producto vectorial v x B , la fuerza
magnetica es la esquematizada en la
figura.
Fm = q· v x B
Fuerza magnética sobre la carga positiva debida a B
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Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo
Hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el
movimiento que produce
En la fig.8, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B
sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
Calculemos la fuerza sobre todos los portadores ( n S L ) de carga contenidos en la
longitud L del conductor.
El vector unitario ut = v / v tiene la misma dirección y sentido que el vector
velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.
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En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no es constante,
se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl
* Las componentes de dicha fuerza dFx y dFy
* Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula
* Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F
Apéndice
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Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un
cilindro hueco.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su
sec-ción y que circula a lo largo de un cilindro
hueco de radio interior a y exterior b.
1.
El campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la
corrien-te cilíndrica y el punto P, es decir,
tangente a la circunferencia de radio r con
centro en el eje y que pasa por el punto P.
2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos
que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una
plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha
circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea.
B·2π r
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3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul)
en
los tres casos siguientes.
r<a
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa
la circunferencia de radio r < a es cero.
Aplicando la ley de Ampère
⇒
B·2π r = μ0 . 0
a<r<b
B= 0
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio
a < r < b es una parte de la intensidad total i.
Si la corriente i está uniformemente distribuida en la
sección π b2 - π a2. La corriente que atraviesa la
circunferencia de radio r es la que pasa por la sección
pintada de color rojo, cuya área es π r2 - π a2.
Aplicando la ley de Ampère
⇒
Fisica III -10
r>b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la
circunferencia de radio r > b es la intensidad i.
El módulo del campo magnético B en un punto P situado
a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
⇒
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Campo magnético producido por un toroide
Aplicamos la ley de Ampère para determinar el campo producido por un toroide de radio medio R.
Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide.
1. Las líneas de campo magnético que en el solenoide
son segmentos rectos se transforman en circunferencias concéntricas en el solenoide. El campo magnético es tangente en cada punto a dichas
circunferencias. El sentido de dicho campo viene determinado
por la regla de la mano derecha.
2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de
radio r, cuyo centro está en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano.
* El campo magnético B es tangente a la
circunferencia de radio r.
Toroide
*
El campo magnético B tiene el mismo módulo en
todos los puntos de dicha circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
Fisica III -10
Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en
los tres casos siguientes.
Fuera del toroide (r < R)
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa
la circunferencia de radio r (en color azul) es cero.
Aplicando la ley de Ampère
B·2π r = μ0 ·0
⇒
B=0
Dentro del toroide
Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino
ce-rrado ( la circunferencia de color azul de la figura) la
in-tensidad será Ni, siendo N el número de espiras e i
la intensidad que circula por cada espira.
B·2π r = μ0 Ni
⇒
Fisica III -10
Fuera del toroide ( r > R )
Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino
cerrado (circunferencia de color azul de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos .
La intensidad neta es Ni – Ni = 0, y B = 0 en todos
los puntos del camino cerrado.
El campo magnético está completamente confinado en el interior del toroide !!!!!!
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FIN