Métodos númericos de integración (Simpson).

Uniddad 5 Métodos de integración y aplicaciones
5.6 Métodos numéricos de integración.
Método de Simpson
En este método vamos a aproximar la integral de la función mediante parábolas que pasan por tres puntos
Nuestro primer trabajo consistira en hallar la parábola que pase por tres puntos dados, para esto trasladamos al origen y nos jamos en los puntos (0, y0 ), (−h, y1 ) y (h, y2 )
Sea P (x) = Ax2 + Bx + C dicha parábola, vamos a determinar los coecientes de P
Como pasa por (0, y0 ) entonces
A(0)2 + B(0) + C = y0 ⇒ C = y0
Como pasa por (−h, y1 ) y (h, y2 ) entonces
A(−h)2 + B(−h) + C = y1
A(h)2 + B(h) + C = y2
Sumando ambas ecuaciones y despejando A se tiene
A=
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y1 + y2 − 2y0
2h2
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1
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por lo tanto al sustituir
y1 + y2 − 2y0
2h2
por lo tanto
P (x) =
x2 + Bh + y0 = y2 ⇒ B =
y1 + y2 − 2y0
2h2
x2 +
y2 − y1
2h
y2 − y1
2h
x + y0
si calculamos el área bajo la función P (x) se tiene
Z
h
Z
h
P (x) dx =
−h
−h
y1 + y2 − 2y0
2h2
x2 +
y2 − y1
2h
x + y0 dx =
1
(y1 + y2 + 4y0 )
3
Por lo tanto dada una partición P = {a, a + ha + 2h, ..., a + nh} del intervalo [a, b], con h =
que la aproximación a la integral de f (x) en [a, b] es:
b−a
se tiene
n
1
(f (a) + 4f (a + h) + f (a + 2h) + f (a + 2h) + 4f (a + 3h) + f (a + 4h) + · · · + f (b − 2h) + 4f (b − h) + f (b))
3
Desde luego hay un error en la aproximación, el cual vamos a estimar
Teorema 1.
Si f tiene cuarta derivada continua en [a,b] y M4 = max[ a, b]|f |, entonces
4
la aproximación de Simpson dieren en
Z
b
f (x) dx y
a
M4 (b − a)5
180n4
Demostración. Para probar esto, me jo en el k-ésimo subintervalo de la partición P = {a, a + ha +
2h, ..., a + nh} del intervalo [a, b] y llamo ck = a + (2k − 1)h
donde t ∈ [0, h] y denimos
ϕk (t) =
Z ck +t
1
(f (ck − t) + 4f (ck ) + f (ck + t) −
f (x) dx
3
ck −t
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2
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derivemos ϕk (t)
ϕ0k (t) =
1
(f (ck − t) + 4f (ck ) + f (ck + t) + (f 0 (ck + t) − f 0 (ck − t))t) − f (ck − t) − f (ck + t)
3
notar que ϕ0k (0) = 0
derivemos de nuevo
ϕ00k (t) =
1
(f 0 (ck +t)−f 0 (ck −t)+t(f 00 (ck −t)+f 00 (ck +t))+(f 0 (ck +t)−f 0 (ck −t)))−(f 0 (ck +t)−f 0 (ck −t))
3
simplicando
ϕ00k (t)
1
=
(f 0 (ck − t) − f 0 (ck + t) + (f 00 (ck − t) + f 00 (ck + t))t)
3
notar que ϕ00k (0) = 0
derivando de nuevo
ϕ000
k (t)
1
(−f 00 (ck − t) − f 00 (ck + t) + f 00 (ck + t) + f 00 (ck − t) + t(f 000 (ck + t) − f 000 (ck − t)))
=
3
simplicando
ϕ000
k (t) =
1
(t(f 000 (ck + t) − f 000 (ck − t)))
3
por el teorema del valor medio se tiene
f 4 (ξ) =
f 000 (ck + t) − f 000 (ck − t)
ξ ∈ [ck −t, ck +t] ⇒ 2tf 4 (ξ) = f 000 (ck +t)−f 000 (ck −t) ξ ∈ [ck −t, ck +t]
2t
por lo tanto
ϕ000
k (t)
1
1
1
000
000
4
=
(t(f (ck + t) − f (ck − t))) =
(t(2tf (ξ))) =
(2t2 f 4 (ξ))
3
3
3
como f tiene cuarta derivada continua entonces existe m.M ∈ [ck − t, ck + t] tal que
m ≤ f 4 (x) ≤ M ∀ x ∈ [ck − t, ck + t] ⇒ m ≤ f 4 (ξ) ≤ M ⇒
por lo tanto
m2 2
2
2
t ≤ t2 f 4 (ξ) ≤ t2 M
3
3
3
m2 2
2 2
t ≤ ϕ000
k (t) ≤ t M
3
3
integrando esta última expresión obtenemos
2m 3
2M 3
t ≤ ϕ00k (t) ≤
t
9
9
integrando de nuevo se obtiene
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2m 4
2M 4
t ≤ ϕ0k (t) ≤
t
36
36
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integrando una vez más
2m 5
2M 5
t ≤ ϕk (t) ≤
t
180
180
ahora evaluemos en t = h
2M 5
2m 5
h ≤ ϕk (h) ≤
h
180
180
es decir
m 5
M 5
h ≤ ϕk (h) ≤
h
90
90
si sumamos hasta
como h =
n
, obtenemos
2
m 5
h ≤ Aproxsimpson −
n
180
Z
m
(b − a)5 ≤ Aproxsimpson −
180n4
Z
b
f (x) dx ≤ n
a
M 5
h
180
b−a
se obtiene
n
b
f (x) dx ≤
a
M
(b − a)5
180n4
al ser M4 = max[a,b] |f 4 | entonces
−M4
m
(b − a)5 ≤
(b − a)5 ≤ Aprox[simpson] −
180n4
180n4
por lo tanto
Z
b
f (x) dx ≤
a
M
M4
(b − a)5 ≤
(b − a)5
180n4
180n4
Z b
M4
(b − a)5
f (x) dx ≤
Aprox[simpson] −
180n4
a
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