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POTENCIAS
Introducción
Arquímedes, en su obra "El Arenario", dice:
" Hay algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es
infinito por su multitud, y cuando digo arena no solamente me refiero a la que
existe alrededor de Siracusa y del resto de Sicilia, sino también a la que se puede
encontrar en toda región, ya sea habitada o deshabitada. También hay algunos
que, sin creer que sea infinita, creen sin embargo que no hay número tan grande
como para superar tanta abundancia........"
En la vida cotidiana tendemos a expresar las cantidades mediante números
inteligibles. Para ello recurrimos a la elección de la unidad adecuada y, en muchos
casos, a la aproximación y redondeo.
Es obvio que aunque se pudiera calcular con precisión la distancia de Málaga a
Granada nadie la establecería en mm. Nos resultaría más fácil de entender y
comparar si dijésemos que es de 130 Km.
En otras ocasiones, cuando un número es demasiado pequeño o demasiado grande,
sólo nos interesa resaltar aquellas cifras que dan una idea suficiente de magnitud.
Así pues, decimos que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de Km.
(que llamaremos unidad astronómica o más abreviadamente U.A.) o que la
distancia a la estrella más cercana es de 4'5 años-luz
La gente está acostumbrada a las cifras astronómicas (no tanto a las
microscópicas). Se habla de 5000 millones de habitantes en la Tierra; de 70 mil
millones de euros de presupuesto; de miles de millones de estrellas; etc. Aunque el
hecho de que sean empleadas no significa ni muchísimo menos que sean
comprendidas. A propósito de esto, el divulgador científico Carl Sagan contaba la
siguiente anécdota:
".... Hay un antiguo chiste sobre un locutor de un planetario, que dice a sus
oyentes que dentro de 5000 millones de años, el Sol se hinchará hasta convertirse
en una gigantesca bola roja, engullendo a los planetas Mercurio y Venus y
eventualmente tragándose también a la Tierra. Entonces, uno de los oyentes muy
angustiado, le interrumpe:
«Perdóneme doctor, ¿ha dicho usted que el Sol abrasará la Tierra dentro de
5000 millones de años?»
«Sí, más o menos.»
«Gracias a Dios. Por un momento había creído que decía usted 5 millones de
años.»
Actividades iniciales
1. La distancia de Júpiter al Sol es de 7.779.673.000 Km. ¿Es posible
compararla, a primera vista, con la distancia de la Tierra al Sol?
¿Cómo la expresarías para que así fuera?
¿Qué cifras te parecen realmente significativas?
2. El presupuesto anual de un país es de 67.053.453.240 euros. Elige la unidad
adecuada y las cifras significativas para que dicha información sea más inteligible.
En otras ocasiones no existe una unidad adecuada que pueda simplificarnos la
información de una cifra grande. Por ejemplo, se estima que el Sol radia energía a
un ritmo de 40.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 julios por año (el
julio es una unidad de trabajo o energía). Para ello será conveniente buscar una
notación que simplifique la lectura y el cálculo y que también facilite la comprensión
de la magnitud del hecho.
Potencias de exponente positivo
Potencias de base 10
10 · 10 = 102 = 100
10 · 10 · 10 = 103 = 1000
10 · 10 · 10 · 10 = 104 = 10000
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 = 100000
El número pequeño (llamado exponente) indica el número de ceros que se
escriben a la derecha del 1.
Será lógico definir 101 = 10 e incluso 100 = 1.
A todos estos números les llamaremos potencias de 10.
Actividad
3.
Efectúa los siguientes cálculos:
a.
b.
c.
d.
e.
Notación científica. Orden de magnitud. Comparaciones
Notación científica
Si efectúas el producto 23651240 · 42118120, obtienes
996145764468800 como valor real .
En la calculadora se obtiene como resultado:
que quiere indicar: 9.961457645 · 1014 = 996.145.764.500.000, que es un
redondeo a la centena de millar de su valor real.
De la misma forma, si efectuamos:
=
=
Esta forma de expresar números se denomina notación científica.
Un número está expresado en notación científica si tiene la forma a' bcd... · 10n ,
siendo a un número natural entre 1 y 9.
Actividades
4. Escribe en notación científica:
42.000 / 750.000 /8.000.000 /500 /
5. Hay una galaxia espiral en la constelación de la Osa Mayor cuya distancia a la
Tierra es aproximadamente: 66.000.000.000.000.000.000.000 Km. Exprésalo en
notación científica.
¿Cómo podemos introducir la notación científica en la calculadora?
Para efectuar la operación
con la calculadora, no disponemos de suficiente
espacio para introducir los datos en la pantalla. La calculadora permite guardar este
tipo de números con la tecla
.
Así, el número anterior lo guardaremos tecleando sucesivamente
, que en pantalla aparece
En las siguientes actividades tendrás necesidad de usar números en notación
científica.
Orden de magnitud
8'4 millones se escribe en notación científica como
próxima a este número es
magnitud de 8'4 millones.
(¿por qué no es
230 millones se escribe en notación científica
cercana a dicho número es
millones.
. La potencia de 10 más
). Diremos que 7 es el orden de
. La potencia de 10 más
. Diremos que 8 es el orden de magnitud de 230
El orden de magnitud de un número se define como el exponente de la
potencia de 10 más próxima a dicho número. Para obtener el orden de
magnitud de un número, resulta cómodo escribirlo en notación científica: a' bcd... ·
10n
Entonces:
Si a'bcd... es menor que 5 el orden de magnitud es n.
Si a'bcd... es mayor que 5 el orden de magnitud es n
Actividades
6. ¿Cuál es el orden de magnitud de 29.500.000? ¿Y de 530?
7.
¿Cuántos metros son un año luz? ¿Cuál es su orden de magnitud?.
Comprueba que 1 U.A.~ 8 minutos-luz.
8. La galaxia más próxima a la nuestra es Andrómeda, a 1022 metros. La
galaxia más lejana está a 1026 metros. (Todas las demás galaxias se
encuentran entre estas dos distancias).
9. Aparte de nuestro Sol existen otras muchas estrellas en el Universo. En la
tabla tienes alguna de ellas con su distancia aproximada a la Tierra,
expresada en parsec (1 pársec . 2'26 años luz). Complétala.
Granos de arroz: En 10 cm3 caben unos 350 granos de arroz. Indica el orden de
magnitud de la cantidad de granos que cabrían en un volumen como el de la esfera
terrestre. (
, Radio - Tierra = 6370 Km.)
En 1973 se detectó un objeto que se encontraba a una distancia de doce mil
millones de años-luz. Halla la distancia en Km. del objeto e indica el orden de
magnitud.
Curiosidades

El número de moléculas que aproximadamente tiene un litro de aire es de
30.000.000.000.000.000.000.000.
10. Numerazos. Completa la siguiente tabla:

Una sardina pone alrededor de 6.000 huevos cada seis meses. Si por
cualquier circunstancia anómala todos estos huevos dieran lugar a adultos
que pudieran seguir reproduciéndose en las mismas condiciones, llegaría un
momento en que rebosarían los mares. La relativa sorpresa está en la
prontitud con que este hecho se produciría: Una sardina adulta ocupa un
volumen de 10 cm3. En el 1º semestre ya tenemos 6.000 sardinas que
ocuparán un volumen de 60.000 cm3. En el segundo semestre, ocupan un
volumen de (60.000)2 cm3, y así sucesivamente: en el semestre x ocupan
un volumen de (60.000)x cm3. Como el volumen de agua de mar es de
cm3., resulta que en 6 semestres ( 3 años), las sardinas ocupan un
mayor volumen que el agua de mar:

.
Vivimos rodeados de campos eléctricos y magnéticos de baja energía
creados por las líneas de alta tensión y sus destinatarios, tanto aparatos
convencionales como instrumentos electrónicos. Ahí tienes algunos datos.
Potencias de base un número cualquiera a y exponente positivo
En muchas ocasiones es necesario realizar reiteradas veces el producto de un
número por sí mismo. La calculadora dispone de la tecla
que nos permite
realizar operaciones del tipo 263, es decir 2 multiplicado por sí mismo 63 veces
Actividades
11. El problema del ajedrez:
Su inventor, en la India, se lo mostró al rey, que quedó tan entusiasmado que
ofreció regalarle lo que quisiera. Éste pidió 1 grano de trigo por la 1ª casilla, 2 por
la 2ª, 4 por la 3ª, 8 por la 4ª,... y así sucesivamente.
¿Cuántos granos de trigo habría que poner en la última casilla?.
Si colocáramos alineados los granos correspondientes a la última casilla , ¿que
distancia ocuparían sabiendo que un grano de trigo mide aproximadamente 4 mm?
Compara esta distancia con la distancia Tierra-Sol (150 millones de Km.).
12. El juego de la hoja:
Toma una hoja de papel de espesor 1 mm. Córtala en 2 y coloca los dos trozos uno
encima del otro; después de nuevo en dos y vuelve a colocar encima. Después de 7
cortes, ¿ cuál es el espesor obtenido?
¿ Podría ser que después de 20 cortes el espesor del papel pudiera superar el
metro?
¿Después de cuántos cortes el espesor de papel sobrepasará los 3 metros? ¿ Y los
320 metros?
Signo de una potencia
Esta tabla contiene potencias, es decir, productos donde todos los factores son
iguales. Completa:
Escritura
resumida
Escritura
detallada
25
2.2.2.2.2
3.3.3.3
Valor
81
17
03
(-2)5
(-3)4
(-10)2
Observa:
Si la base es positiva, el resultado es un número positivo sea cual sea el
exponente.
Si la base es negativa, el resultado es un número positivo si el exponente es par
y un número negativo si el exponente es impar.
Cálculo con máquina:
Utiliza la tecla
de tu calculadora para completar la siguiente tabla:
a
3
2
1'41
-9
10
4
-1
1
0
n
8
7
2
5
6
4
23
17
15
an
Propiedades de las potencias
En las actividades que siguen, a y b son números cualesquiera, m y n enteros
positivos.
Producto de potencias de la misma base
13. Completa siguiendo el modelo:
Como observarás, se verifica:
am · a n = a m + n
Cociente de potencias de la misma base
14. Completa siguiendo el modelo
Como observarás, se verifica:
Potencia de un producto
15. Completa siguiendo el modelo:
Como observarás, se verifica:
(a · b)m = am · bm
Potencia de un cociente
16. Calcula según el modelo:
Como observarás, se verifica:
Potencia de una potencia
17. Calcula según el modelo:
Como observarás:
Curiosidad. El número más grande que se puede escribir con tres nueves es
.
Tiene una longitud de 965 Km., y en su lectura emplearíamos unos 150 años. ¿Y
con tres doses?
Potencia de una suma
¿Es cierto que
? Compruébalo. Observa el llamado
Triángulo de
Tartaglia
¿Sabrías escribir las dos líneas siguientes?
Calculamos las primeras potencias de la suma a + b.
Observa la relación entre los números del triángulo y las potencias de una suma:
Pon los resultados de la forma:
Actividades
18.
Calcula
,
y
.
19. Teniendo en cuenta que (a - b) = (a + (-b)), calcula
Potencias de exponente negativo
Un poco de historia
y
.
En más de una ocasión los matemáticos han creado entes que, aunque carentes de
significado claro, han sido útiles porque operando con ellos se han resuelto
cómodamente multitud de problemas. Unos de estos entes fueron los números
negativos sobre los que no pocos matemáticos renegaron:
Michael Stifer (1487-1567) los utilizaba pero los consideraba "numeri absurdi".
Francis Maseres (1731-1824), profesor de Cambrigde, decía:
".... sirven solamente, en lo que a mí se me alcanza, para embrollar la doctrina de
las ecuaciones, y para volver oscuras y misteriosas cosas que son, por su propia
naturaleza llanas y simples... Habría sido de desear que las raíces negativas no
hubieran sido admitidas nunca en el álgebra a que fueran descartadas..."
Más tarde, en 1831, De Morgan, famoso matemático inglés, afirmaba que la
expresión negativa -b indica alguna inconsistencia o absurdo cuando aparece como
solución de un problema.
Potencias de base 10 con exponente negativo. Operaciones
Como vimos al comienzo del tema, las potencias de 10 eran particularmente útiles
para operar con números grandes. El exponente indicaba el número de ceros que
había que escribir a la derecha del uno.
1.000.000 = 106
100.000 = 105
10.000 = 104
1.000 = 103
100 = 102
10 = 101
Si continuamos la secuencia de forma natural podríamos escribir
(Ningún cero)
(Un cero significativo a la izquierda del 1)
(Dos ceros significativos a la izquierda del 1)
(Tres ceros significativos a la izquierda del 1)
Por lo tanto:
Para multiplicar un número por 10-1, 10-2, 10-3, etc., se desplaza la
coma decimal 1, 2, 3, etc., lugares hacia la izquierda.
Así, 9874'32193 · 10-5 = 0'0987432193
3'25 · 10-4 = 0'000325
4 · 10-3 = 0'004
Notación científica y números pequeños
En el mundo microscópico, en farmacología, en la electricidad, etc., abundan
cantidades expresadas mediante números muy pequeños. Así, se sabe que la
longitud de la Entamoeba histolytica (la más patógena de las amebas que vive en el
intestino humano y que produce la disentería amebiana) tiene una longitud
estimada entre 12 y 40 micras (una micra es 10 -6 m); Los valores normales de
plomo en sangre son de 0'50 µg/dl (microgramos por decilitro), los de vitamina B 12
en el varón están comprendidos entre 200 y 800 pg/ml (picogramos por mililitro),
los de testosterona en varones entre 400 y 1.200 ng/dl (nanogramos por decilitro);
En el prospecto de un polivitamínico, se nos indica que, entre otros componentes,
contiene 300 µg de Zinc, 2 µg de vitamina B12, 2 mg de vitamina B1, 10 µg de
Potasio, etc.
La notación científica nos permite escribir estas cantidades y operar con ellas de
una manera simple y reducida. 800 picogramos, en notación científica, se escribe 8
· 10-10 g.
0'0000726 en notación científica se escribe
.
Actividades
20. Escribe como potencia de 10: Una décima, una mil millonésima, una
centésima, una diez-milésima.
21. Expresa en forma decimal los siguientes números:
,
,
,
,
.
22. Escribe en notación científica :
0'0065, 0'000013, 0'00007, 0'043, 0'006, 0'0037, 0'00000000093,
0'00000981.
Curiosidades:
0'083,

El radio del universo observable es, aproximadamente, de 1'89 · 1026 m.
Como el radio del electrón clásico es, aproximadamente, de 2'6 · 10 -15 m,
para llegar de un extremo al otro del universo habría que alinear,
aproximadamente, 72.690.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
electrones.

La masa más pequeña posible es la del electrón en reposo (9·10 -28 g). La
masa de la Tierra es 5'98·1024 kg. Si pusiéramos en una balanza la Tierra,
¿cuántos electrones tendríamos que poner para que quedara en equilibrio?

El corazón de un horno microondas no es otra cosa que un tubo de vacío
(llamado magnetrón), semejante al de un televisor. Un haz de electrones en
ese tubo oscila cerca de dos trillones y medio de veces por segundo para
producir microondas de una longitud de onda que es la cincomilésima
parte de 2'5 cm. Cuando alguien introduce en el campo de acción del
magnetrón cualquier alimento, esa radiación en forma de violentas
vibraciones imperceptibles a la vista, es absorbida por las moléculas de
agua: la energía de la radiación es convertida en energía molecular; el
movimiento calienta la comida y no el plato, que, por no tener agua, no se
calienta sino después de absorber el calor que irradia la propia comida. La
aplicación más importante y menos conocida de las microondas está en los
teléfonos celulares y en las emisiones de televisión vía satélite.(ABC de la
Ciencia)
23. Escribe en notación científica la longitud de onda, expresada en metros.
Potencias de base a ≠ 0 y exponente negativo
Generalizando el resultado anterior
, se define:
Actividad resuelta
a.
b.
c.
;
d.
Se puede observar que las propiedades de las potencias siguen siendo válidas
cuando el exponente es negativo.
Actividades
24.
Utilizando la calculadora, completa la tabla:
25. Calcula:
,
y
26. Determina el signo de las siguientes potencias:
27.
Calcula
.
. ¿Es cierto que
,
,
y
.
?
Potencias de 10 y sistema métrico decimal

Desde sus orígenes todos los pueblos han inventado unidades de medida.
Los rebaños o los días pueden contarse, pero para expresar una cantidad de
aceite, de harina o de tierra cultivada o la distancia entre el lugar de caza y
la aldea, es necesario adoptar unidades de medida. Dependiendo del lugar,
de la época y de la naturaleza del objeto a medir las unidades variaban .

Hasta inicios del siglo XIX se podía decir perfectamente que cada pueblo o
aldea utilizaba sus propias unidades.

Gracias a su simplicidad, el conjunto de unidades denominado sistema
métrico decimal que fue instituido en Francia en 1795, se expandió por toda
Europa. En 1875, la convención del metro firmada por 18 países expresó la
adhesión de éstos al sistema métrico, aunque se mantenía el uso de las
unidades tradicionales de cada país (esto hoy ocurre fundamentalmente en
países anglosajones). La I Conferencia general de pesas y medidas (1889)
adoptó los nuevos patrones del metro y del Kilogramo. En 1960, la XI
Conferencia general de pesas y medidas cambió el nombre al sistema
métrico dándole el nombre de Sistema Internacional de unidades, sistema
SI. En la actualidad el SI cuenta con 7 unidades fundamentales que son
metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, candela y mol. Es
también la conferencia de pesas y medidas la que adopta los nombres de
estas unidades y sus símbolos respectivos, así como los prefijos que sirven
para formar los nombres de sus múltiplos o submúltiplos decimales.
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES
Nombre Abreviatura
era
E
peta
P
tera
T
giga
Nombre Abreviatura
1018
unidades
deci
d
10-1
unidades
unidades
centi
c
10-2
unidades
1012
unidades
mili
m
10-3
unidades
G
109
unidades
micro
10-6
unidades
mega
M
106
unidades
nano
n
10-9
unidades
kilo
k
103
unidades
pico
p
10-12
unidades
hecto
h
102
unidades
femto
f
10-15
unidades
deca
da
101
unidades
ato
a
10-18
unidades
1015
Por ejemplo:
Múltiplos del metro
1 Decámetro =1 dam = 10 m = 101 m
1 Hectómetro =1 hm = 100 m = 102 m
1 Kilómetro = 1 km = 1000 m = 103 m
1 Megámetro = 1 Mm = 1.000.000 m = 106 m
1 Gigámetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m = 109 m
1 Terámetro = 1 Tm = 1000.000.000.000 m = 1012 m
Submúltiplos del gramo:
1 decigramo = 0.1 g = 10-1 g
1 centigramo = 1cg = 0'01 g = 10-2 g
1 miligramo = 1 mg = 0'001 g = 10-3 g
1 microgramo = 1mug = 10-6 g
1 nanogramo = 1 ng = 0.000.000.001 g = 10-9 g
1 picogramo = 0.000.000.000.001 g = 10-12 g
Actividades finales