potenciación y radicacion

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD Nº 2: POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS REALES
1. POTENCIA DE UN NÚMERO.
Si n  N y a  R , entonces a n , es igual al producto de n veces el número real a tomado c0mo factor,
n
a
...

a
es decir a  a
aa
n veces
Ejemplos:
53  5  5  5  125
 15   1 1 1 1 1  1
2
 
3
4

2 2 2 2 16
   
3 3 3 3
81
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia
de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores.
Simbólicamente: am  an  am  n
8  10  2
3
Ejemplo: 3  3  3  3

Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra
potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término
dividendo menos el del divisor.
8
10
am
Simbólicamente:
Ejemplo:

5 12
53
2
a
 am  n
n
Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de
exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión
 



 
3 5
Ejemplo:   2
m
2
 am n
  23  5  2   230
Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias.
Simbólicamente: a  b
n
Ejemplo: 5  2
3

con a ≠ 0 y m>n
 5 12  3  5 9
n
Simbólicamente: a

20
 an  b n
 53  23
Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias.
 a

b
Simbólicamente: 
n

an
bn
b ≠0
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
Página 1
5

4
2

Ejemplo: 

52
42
Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1
Simbólicamente: a0  1
La expresión 0

0
a ≠0
no está definida
Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente
de cero se cumple que:
a n 
1
a
o que a n 
n
1
a
n
 a

b
n
En caso que la base sea un número racional se tiene que 

b
 
 a
n
Ejemplos:
23 
1
23

5
 
3
1
8
3
3
 
5
3
TALLER N° 1
1. Indica si el signo del resultado es positivo o negativo:
a.
(6)7 
b.
(4)4 
c.
(12)13 
2. Expresa como potencia:
a)
b)
c)
(5)  (5)  (5)  (5)  (5) 
5  5  5  5  5 
(3)  (3)  (3) 
3. Calcula:
a.
 5
3

b.
4
4

e.
 2 
c.
4
 3
d.   
7
 2
g.   
 5
 12 
 5
  
 2
7 
f.  
6 
7

3
=
3
4. Aplica propiedades
a. a2 · a3 =
b. x6 : x4 =
c .a7 ÷ a =
d. (b3)4 =
e.23 · 27 · 215 =
f. a8 · a6 · a10 =
g. ((x2)3)4=
h .a13 ÷ a6 =
i.
x4 y7

x 2 y11
j.
x3 y 7 z12
 

x y2 z5



 
k.   2 5 
4
2
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
l. 5x 2
Página 2
2. RADICALES
Un radical es una expresión de la forma
negativo, n ha de ser impar
n
a , en la que n
y a
; con tal que cuando a sea
RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO
Si a  R, b  R  , se cumple que
25  5
Ejemplo:
b  a, s i s olo s i : a2  b , donde a es la raíz cuadrada de b
porque 5 2  25
RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO
Si a, b  R ,
entonces se cumple que 3 b  a, s i s olo s i : a3  b , donde a es la raíz cúbica de b
Ejemplo: 3 125  5
porque 5 3  125
RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO
Si a , b  R , y n  N entonces se cumple que n b  a, s i s olo s i : an  b , donde a es la raíz enésima
de b
Ejemplo: 5 32  2
porque 2 5  32
EXPONENTES RACIONALES
Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir
Ejemplo:
3
52 
n
a
m

m
an
2
53
PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier n  Z  , se
cumple que:

n
a
n
 
 a
n 1/n

n
an
a
Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces
enésimas de los factores. Para cualquier n  Z  , se cumple que n a  b  n a  n b

Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces
n
a
a
enésimas del dividendo y del divisor. Para todo n, a, b,  Z  , se cumple que: n

b

n
b
Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el
producto de los índices. Para todo m, n, b,  Z  , se cumple que: n m b  m n b

Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el
exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
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kn
b km  b km / kn  b m / n 
n
b n , donde k  N
Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista
una raíz real.
TALLER N° 2
I. Calcula
a. 36 
e. 3 216 
i. 4 2401=
b. 5 243
f. 4 16 
j. 10 1 =
c. 100 
g. 3 125 
d.
h.
II. Escribe en forma de radical las siguientes expresiones
1
3
1
1
a. 5 2
b. 2 4
c. 7 2
d. x 3
c.
d.
III. Escribe en forma de potencia
a.
11
b.
3
5
4
7
2
IV. Aplica las propiedades de la radicación y comprueba
a.
100 4
b.
144
9
c.
3
2
d.
4 5
3
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
e.
5
35
Página 4
4
121 
81 