POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
LA POTENCIACIÓN.- Es una expresión matemática que incluye dos términos
denominados: base a y exponente n.
Exponente
23  8
Base
Potencia
Se escribe an, y se lee: a elevado a n. Su definición varía según el conjunto
numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un
número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de
veces.
=n
Por ejemplo:

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción
inversa de la base pero con exponente positivo.

cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:
Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0 0 que,
en principio, no está definido (ver cero).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o
incluso matriciales.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
POTENCIA DE EXPONENTE 0
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1),
puesto que:
1=
POTENCIA DE EXPONENTE 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
EJEMPLO:
POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO
Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma
expresión pero con exponente positivo:
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la
suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los
exponentes):
EJEMPLOS:
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de
los exponentes respectivos:
EJEMPLO:
POTENCIA DE UN PRODUCTO
La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno
al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de
exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también
elevado a n:
a  bn  an  bn
POTENCIA DE UNA POTENCIA
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo
exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican
los exponentes):
a 
m n
 a mn
Debido a esto, la notación
se reserva para significar
escribir sencillamente como abc.
ya que
se puede
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
a  b n  a n  b n
n
an
a

 
bn
b
PROPIEDADES QUE NO CUMPLE LA POTENCIACIÓN
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
a  bm  a m  b m
a  b m  a m  b m
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y
exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:
ab  ba
Tampoco cumple la propiedad asociativa:
 
a b  a b   a b
c
c
c
 a bc   a bc
POTENCIA DE BASE 10
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas
posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el
exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.
EJEMPLOS:
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos
dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un
número b de veces nos da el numero a.
Índice
2
radical
49  7
Cantidad
Raíz
Sub radical
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese
número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se
llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En
efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del
mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un
numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir
las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la
operación de potenciación.
EJEMPLOS:
OPERACIONES COMBINADAS:
RAIZ DE UN PRODUCTO:
RAÍZ DE UN COCIENTE:
RAÍZ DE UNA POTENCIA:
RAÍZ DE UNA RAÍZ: