SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Hoja de trabajo 3 Apellidos y Nombre:____________________________________________ Para estudiar las series alternadas y las series de potencias debes leer detenidamente esta hoja de trabajo y realizar por escrito todas las actividades que en ella te indicamos. Además, puedes completar tu estudio haciendo las actividades y ejercicios que se proponen en la pantalla del ordenador. Sucesiones y series. Nivel III * Leer Suma aproximada y estimación del error para series alternadas: Definición: Una serie se dice alternada si tiene sus términos alternativamente positivos y negativos. Su expresión general es de la forma 1 n1 n1 1 an o n n1 an con an 0 Convergencia de las series alternadas. Criterio de Leibniz: Si 1 n1 n1 an es una serie alternada que verifica: a) limn an 0 b) la sucesión ann1 entonces la serie es monótona decreciente, es decir que 1 n1 n1 an1 an n , es convergente. an Suma aproximada de series alternadas: Si 1 n1 n1 y convergente, siendo la sucesión ann1 an es una serie alternada monótona decreciente, se verifica Rn an1 , es decir que el error cometido en la aproximación Rn es, en valor absoluto, menor o igual que el primer término despreciado. 1. Sea la serie alternada n1 1 n1 2n1 , que verifica el criterio de Leibniz y 2 . Completar la tabla siguiente calculando una cota del 3 error cometido en la aproximación de la suma de la serie cuando se toma el número de términos indicados y hallando el número de términos de la serie que debemos sumar para que el error cometido en la aproximación sea inferior a la cota dada. Utilizar el aplicación de esta página para visualizar los resultados obtenidos. converge al valor S Nº términos Suma aproximada Cota del error 3 0’05 4 0’008 1 Rn SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Nº términos Suma aproximada Hoja de trabajo 3 Cota del error Rn 10 0’0003 0’00001 2.a) Demostrar razonadamente el carácter convergente de la serie alternada 2 n n 1 . 1 n 3 n1 2.b) Utilizar el aplicación de esta página para tantear el valor de la suma de la serie observando el valor al que tiende la suma parcial enésima Sn a medida que n es suficientemente grande. Calcular el valor aproximado de la suma de la 2 n n 1 serie 1 y el error cometido en la aproximación si se suman 3n n1 solamente el número de términos indicados en la tabla. Comprobar los resultados sobre la aplicación. Nº términos Suma aproximada Cota del error Rn 3 5 11 2.c) ¿Cuántos términos de la serie alternada anterior debemos sumar para que el error cometido en la aproximación sea inferior a 0’001? Justificar el resultado con cálculos y comprobarlo posteriormente con el aplicación. Indicar cuál es el valor aproximado de la suma obtenida. 2 SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Hoja de trabajo 3 Sugerencia: Puedes contestar a las preguntas 1, 7 y 8 de la Autoevaluación 2 . Teorema de Taylor: Sea n un número natural y f(x) una función definida en el intervalo a,b y supongamos que las derivadas f’(x), f’’(x), f3)(x),..., fn-1)(x) existen y son continuas en (a, b) y que fn) (x) existe en (a, b). Entonces puede definirse un polinomio Tn(x) y sólo uno, de grado menor o igual que n, denominado Polinomio de Taylor de la función f(x) centrado en el punto a, que satisface: n f k) a k Tn x x a k! k 0 con los convenios: f0)(a) = f(a), 0! = 1. Observación importante: Si la función f(x) es un polinomio en potencias de x de grado n, su polinomio de Taylor de grado n centrado en el punto a es otra representación del mismo polinomio en potencias de (x-a). Fórmula de Taylor con resto: Si las funciones f, f’, f’’, f3),..., fn+1) están definidas en el intervalo a,x, existe t a, x tal que el resto de Taylor de orden n de f en el punto a viene dado por Rn x luego f x Tn x Rn x f x f a f ' a 1! x a f '' a 2! f n1) t n 1! x a x a ... 2 n1 f n) a n! x a Polinomio de Taylor de grado n n f n1) t n 1! x a n1 Re sto Si tenemos a = 0, la expresión anterior se denomina fórmula de MacLaurin con resto, así f ' 0 f '' 0 2 f n) 0 n f n1) t n1 f x Tn x R n x f 0 x x ... x x 1! 2! n! n 1 ! Polinomio de MacLaurin de grado n siendo t 0, x . 3 Re sto SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Hoja de trabajo 3 *Leer Polinomio de Taylor. El problema de la aproximación: *Leer Polinomios: Utilizar la fórmula del polinomio de Taylor y el laboratorio de esta página para obtener los coeficientes de los polinomios de Taylor de grado 5 centrados en los puntos a = -1, 1/2 y 1, correspondientes a la función P x 2 x5 , comprobando posteriormente los resultados con la representación gráfica de dichos polinomios. Punto centro Valores de los coeficientes del polinomio de Taylor grado 0 grado 1 grado 2 grado 3 grado 4 grado 5 a = -1 a= 1/2 a=1 Diferentes expresiones del polinomio P x 2 x5 : en potencias de (x + 1): en potencias de (x – 1/2): en potencias de (x - 1): 3. Resolver el ejercicio anterior para la función f x sen x , observando posteriormente la representación gráfica de dichos polinomios y de la función. Punto Valores de los coeficientes del polinomio de Taylor 4 SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS centro grado 0 grado 1 grado 2 grado 3 Hoja de trabajo 3 grado 4 grado 5 a = -1 a= 1/2 a=1 Polinomios de Taylor de grado 5 de la función f x sen x : en potencias de (x + 1): en potencias de (x – 1/2): en potencias de (x - 1): *Leer Polinomio de Taylor: ejemplos. 4.a) Utilizar la aplicación de la página para observar cómo se aproxima el valor de las funciones f x sen x y f x ex , en el punto x = 2, cuando se utilizan los polinomios de MacLaurin de grados 1, 2, 3, 4 y 5. Comparar los valores correspondientes a cada una de las funciones, comentando aquellos resultados más interesantes. *Leer Resto anésimo de Taylor. Teorema de Taylor 4.b) Utilizar la aplicación de esta página para anotar el valor del error cometido al aproximar el valor de las funciones f x sen x y f x ex , en los puntos x indicados, mediante polinomios de Taylor de grado n, centrado en a = 0 (polinomio de MacLaurin). ¿Cómo evoluciona la aproximación en cada caso a medida que n aumenta? ¿Cómo evoluciona a medida que x se acerca al valor x = 0? X=2 Resto de Taylor Rn x f x Tn x función f x sen x n=1 n=3 n=5 n=7 5 función f x ex SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Hoja de trabajo 3 Resto de Taylor Rn x f x Tn x X = -1 función f x sen x función f x ex n=1 n=3 n=5 n=7 *Leer Series de potencias. Definición: Se denomina serie de potencias de Taylor de la función f(x) centrada en el punto x = a, a la serie funcional f n) a xan n a x a n n! n0 n0 Convergencia de una serie de potencias: Existe un valor R , denominado radio de convergencia de la serie, tal que: a) la serie converge x / x a R . b) la serie diverge x / x a R . c) en los extremos del intervalo x = a-R, x = a+R, se debe estudiar el carácter de la serie de forma particular. Cuando a = 0, se denomina serie de MacLaurin. 5.a Sabiendo que la serie de MacLaurin que representa a la función logaritmo 1 n1 xn , que converge x 1,1 . Comprobar con la n aplicación de la página cómo es la aproximación de la función en los puntos x=2 , x = -1 y x = 1, tomando n = 100 términos en la aproximación. Anotar el valor de la función, el valor aproximado y el resto o diferencia. Comenta los resultados obtenidos. es L 1 x X n1 f(x)=log(1+x) Suma aproximada Resto de Taylor de la serie T100 x R100 x f x T100 x 2 -1 1 6 SERIES ALTERNADAS. SERIES DE POTENCIAS Hoja de trabajo 3 5.b Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función f2 x L 2 x . Calcular el campo de convergencia de dicha serie, basándose en las propiedades del desarrollo en serie de la función f(x) = L(1+x) anterior. Comprobar los resultados obtenidos con la ayuda de la aplicación, tomando puntos x dentro y fuera del campo de convergencia para comprobar el comportamiento convergente o divergente, respectivamente, de la serie. 5.c Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función g x L 1 x 2 x L 1 x L 2 x f x f2 x basándote en los resultados anteriores. Calcular el campo de convergencia de la serie resultante. º 5.d Obtener la serie de potencias de MacLaurin para la función f x Calcular el campo de convergencia de la serie resultante. 7 1 . 1 x