clase13

Correlación y el espectro de potencias.
La convolución de dos funciones f(t) y g(t) se define de acuerdo a la siguiente
ecuación

f(t)* f(t)   f(t)g( - t)dt
(13-19 a).
-
La autoconvolución de una función se define como la convolución consigo misma.
En otras palabras, en la autoconvolución solo aparece la función f(t). La autoconvolución
de una función es expresada por la siguiente ecuación:

f(t)* f(t)   f(t)f( - t)dt
(13-19 b)
-
Si no rotamos el segundo término en el producto de la ecuación 13-19 b, entonces
construimos la función de autocorrelación, y la denotamos por la siguiente ecuación.
Rf    f(t)* f(-t)  f(t)f(  t)dt .

(13-20)
-
La función de autocorrelación siempre es par y tiene un máximo en t=0. Además
cumple con la siguiente propiedad:
 Rf  d    f(t)dt  .

- 



2
(13-21)
Toda función tiene una función de autocorrelación única, la relación inversa no se
cumple. Es decir, que a dada la función de correlación, pueden existir mas de una función
que le corresponde. Solo cuando se trata de una función real, existe una relación uno a uno,
en el caso de funciones complejas no.
El espectro de potencias
La transformada de Fourier de la función de autocorrelación es

Pf s   F Rf s   Ff(t)* f(-t)  F (s) F (s)  F (s) F (s)  F (s)
2
(13-22)
Se llama el espectro de potencia, o la función de densidad de potencia espectral de
f(t). Si f(t) es real, su función de autocorrelación es real y es par, por esa razón su espectro
de potencia también es real y par. f(t) tiene un espectro de potencia único, el inverso no es
cierto.
Correlación cruzada.
Dadas dos funciones f(t) y g(t) su función de correlación cruzada esta dada por:
Rfg    f(t)* g(-t)   f(t)g(  t)dt .

(13-23)
-
La función de correlación cruzada se puede interpretar como la medida de la coincidencia
entre dos imágenes, para varias cantidades de corrimiento.
La transformada de Fourier de la función de correlación cruzada es la función de
potencias cruzadas o la función de densidad de las potencias espectrales cruzadas.
Pfg s   f Rfg  
(13-24)
Diseño de filtros, filtros pasa bajas
Frecuentemente una señal tiene la mayor parte de su energía concentrada en algún
intervalo, por ejemplo medias frecuencias, o bajas frecuencias a lo largo de su espectro.
Regularmente para las altas frecuencias, la información se encuentra ‘enterrada’ con el
ruido. Por lo anterior un filtro que reduce las altas frecuencias, puede reducir los efectos
visibles del ruido.
Filtro pasa bajas simple.
Una manera sencilla de reducir el ruido asociado con las altas frecuencias, es con un
promedio local. Esto se lleva a cabo mediante la convolución de la señal con un pulso
rectangular.
Filtro pasa bandas ideal.
Supongamos que queremos realizar un filtrado (por medio de la convolución) que
deje pasar solo un intervalo de frecuencias entre f1 y f2, donde f2  f1. La función de
transferencia deseada está dada por:
f1 s  f2
1
,
G( s)  
0 otras frecuencias
(13-25)
y se muestra en la siguiente figura.
G(s) es una función par de dos pulsos rectangulares, se puede obtener de la
convolución de un pulso rectangular con una función impar de dos impulsos (dos deltas).
G(s)
s
1
-f2
-f1
f1
s0
f2
Filtro ideal pasa bandas.
Tomando
s0 
1
 f 1  f 2
2
y
s  f 2  f 1 ,
(13-26)
la función de transferencia de un filtro pasa bandas ideal, se puede escribir como:
 s 
G( s)      ( s  s0)   ( s  s0)
 s 
(13-27)
La respuesta al impulso de ese filtro es:
g (t )  s
sen st 
sen st 
2 cos 2s 0 t   2s
cos 2s 0 t 
st
st
(13-28)
The ideal bandstop filter.
La función de transferencia de un filtro que deja pasar todas las frecuencias excepto una
banda delimitada por f1 y f2 dada por la siguiente ecuación:
f1 s  f2
0
G( s)  
1 otras frecuencias
Su gráfica se muestra a continuación:
(13-29)
G(s)
s
1
-f2
-f1
f1
s0
f2
Filtro ideal corta bandas.
La función de transferencia se puede escribir como uno menos el filtro pasa banda.
 s 
G( s)  1      ( s  s0)   ( s  s0)
 s 
(13-30)
Su respuesta al impulso es:
g (t )   (t )  2s
sen st 
cos 2s 0 t 
st
(13-31)