Problemas de diseño de filtros y sus soluciones

Problemas de diseño de filtros y sus soluciones
1. Diseñe un filtro paso-bajo de Butterworth con una frecuencia de corte fc=10KHz y
una atenuación mínima de At =36 dB a fr =100Khz.
a. ¿Cuánto vale el factor de escalo de frecuencia?
b. Calcule el orden del filtro y represente el circuito en el dominio
normalizado usando Sallen-Key.
c. Si se desea usar el mayor número posible de resistencias de 1K,
represente el circuito real indicando los valores de cada componente.
d. Calcule las ganancias (en términos absolutos) del circuito real y las
atenuaciones (en términos relativos a la ganancia DC – es decir, la
atenuación en DC es 0 dB) para las frecuencias indicadas en la tabla.
Calcule también las correspondientes frecuencias normalizadas en rad/s.
Solución:
a. La frecuencia normalizada 1 rad/s se escala a la frecuencia de corte:
b. La frecuencia de rechazo normalizada es:
De la respuesta
de amplitud en el dominio normalizado sabemos que
y
tras redondear al entero inmediatamente superior: n=2.
De las tablas, el denominador la función de
transferencia de Butterworth es:
.
La función de transferencia del circuito de Sallen-Key
es:
H
. Por identificación de coeficientes entre ambos denominadores,
. Sabemos que la ganancia del amplificador es
suponiendo que R1=1, calculamos R2=0.586.
.Y
c. El factor de escaldo de impedancias es  =1000. Los
condensadores de 1F, tras el dobel escalado, toman el
nuevo valor de 1F/α =15.9 nF. Todas las resistencias se
escalan por .
d. Tendremos que evaluar las expresiones
y
.
f (KHz)
0
10
100
wn (rad/s)
0
1
10
G(wn) (dB)
4
1
-36
At(wn) (dB)
0
3
-40
2. Se desea diseñar un filtro paso-bajo de Butterworth de frecuencia de corte fc=18
Khz y una atenuación mínima de At=40 dB a la frecuencia de rechazo fr= 100 KHz.
e. Calcule las funciones de transferencia de los circuitos de la figura
f. Calcule el orden de la función de transferencia del filtro y la atenuación a la
frecuencia de 100 Khz
g. Con los circuitos anteriores diseñe el filtro
h. Diseñe el filtro real utilizando el mayor número de resistencias de 10K
Solución:
a.
b. Calculamos el factor de escalado de frecuencia:
La frecuencia normalizada de rechazo es:
Orden del filtro:
Atenuación real tras el redondeo de n:
c.
De las tablas de polinomios:
El primer término se implementa con el circuito de la izquierda y el segundo con
el de la derecha.
El circuito de segundo orden tiene que anteceder al de primero porque al tener el
amplificador operacional una resistencia de salida (idealmente) cero no habrá problemas
de carga. Si fuera al contrario se cambiaría la función de transferencia H2(s)
d. Las resistencias se escalan de 1 a 10 K  =10000. Y tras el escalado de
impedancia y frecuencia el circuito resultante es:
3. Diseñe un filtro paso-bajo de Butterworth con ancho de banda fc=2 KHz y
atenuación de al menos 43 dB a fr=7 KHz. Utilice el mayor número de resistencias
de 10K y de etapas Sallen-Key. Calcule la ganancia DC y a las frecuencia de 2 y
7 KHz.
Solución:
Las ganancias son: 8.217 dB en DC, 5.217 a 2 KHz y -35.38 dB a 7 Khz.
3 Se desea diseñar un filtro LC paso-alto de Butterworth de frecuencia de corte fc =10
MHz y una atenuación mínima de At =54 dB a fr =1 MHz. Las resistencias de fuente
y cargan serán de 100 .
a. Calcule el orden del filtro
b. Diseñe el filtro paso-bajo normalizado equivalente (use más bobinas que
condensadores)
c. Diseñe el filtro paso-alto normalizado
d. Diseñe el filtro paso-alto real
Solución:
a. Factor de escalado de frecuencia:
Diseñaremos primero el filtro paso-bajo normalizado y de éste obtendremos el pasoalto. Para ello utilizamos la transformación:
Frecuencia de rechazo paso-alto normalizada:
Frecuencia de rechazo paso-bajo normalizada:
Orden del filtro:
b. Recurriendo a las tablas elegimos la red LC de tercer orden:
De la columna n=3 de TABLA 12.3: L1=1, C2=2 y L3=1
c. Del circuito normalizado paso-bajo
obtenemos el equivalente paso alto
mediante la transformación bobinacondensador (un condensador C en el
LP se transforma en una bobina de
valor L=1/C en el HP y,
recíprocamente, una bobina L en el
LP se transforma en un condesador
C=1/L en el HP).
d. Las resistencias se escalan de 1 a 100
  =100. Y tras el escalado de
impedancia y frecuencia el circuito
resultante es:
4. Diseñe un filtro RLC paso-banda de frecuencias de corte fL =9.5 MHz y fH =10.5 MHz a
partir del circuito normalizado de la figura.
a. Calcule la función de transferencia
b. Calcule el factor de escalado de frecuencia y Q
c. Represente el circuitos real si la resistencia es 100
d. ¿Cuál es el valor de la ganancia a 3 y 30 MHz?
Solución:
a.
b. La frecuencia real de resonancia es
la normalizada 1rad/s. Por tanto,
calidad:
y
. El valor del factor de
.
c. Realizando el escalado de frecuencias e impedancia (
:
d. Las correspondientes frecuencias normalizadas son wrL=2π(3×106)/α=0.3 rad/s y
wrH=2π(30×106)/α=3 rad/s. Por tanto:
A 3Mhz la ganancia es:
A 30Mhz la ganancia es:
0.033 (-29.63 dB)
0.038 (-28.5 dB)
5. Diseñe un filtro pasivo paso-alto de Tchebyshev con un rizado de 1 dB en la banda de
paso y una atenuación mínima a fr =100 KHz de 65 dB y una frecuencia de corte de fc
=1MHz. Las resistencias de fuente y carga serán de 50 . Calcule la atenuación y las
ganancias a las frecuencias de 100KHz, 1 MHz y +
Solución:
Procederemos de la manera habitual, diseñaremos primero el filtro paso-bajo
equivalente y después realizaremos la transformación L-C.
Factor de escalado de frecuencia:
Frecuencia normalizada de rechazo del filtro paso-alto:
Frecuencia de rechazo paso-bajo normalizada:
Parámetro  correspondiente al rizado de 1 dB:
Orden del filtro:
=
De la tabla 12.4 para n=3 sabemos que el circuito
normalizado paso-bajo es
Realizando la transformación L-C obtenemos el
circuito normalizado paso-alto
Tras el escalado de frecuencia e
Impedancia (=100):
0.494H  0.494 /α = 3.93 H
1.0059 F  1.0059 /( α) = 3.20 nF
Finalmente debemos evaluar
a las
frecuencias normalizadas paso-bajo correspondientes en orden a calcular las ganancias y
atenuaciones. Anotamos que el 0.5 aparece porque el circuito tienen este valor de ganancia
a la frecuencia +.
f (KHz)
100
1000
+
wLP,n (rad/s)
10
1
0
G(wLP,n) (dB)
-72.13
-7.02
-6.02
At(wLP,n)=G()-G(wLP,n) (dB)
-66.1
1
0
Anotamos también como la atenuación es exactamente 1 dB, tal y como se especificó, a la frecuencia de
corte. Sin embargo es ligeramente mayor a 65 dB por el redondeo del orden n.
6. Diseñe un filtro paso-bajo de Tchebyshev con un ancho de banda de 3KHz, un rizado de
3 dB en la banda de paso y una atenuación mínima de 60 dB a 15 KHz. Utilice en cada
una de las etapas que resulten de su diseño una capacidad de 100nF. Ésta capacidad debe
ser la mayor de la etapa.
Solución:
El factor de escalado de frecuencia es 18850. Para conseguir que la capacidad mayor de
cada etapa sea 100 nF tendremos que utilizar diferentes factores de escalado de
impedancia, 6241 y 2575. Anotamos que el factor de escalado de frecuencia tiene que ser
el mismo en cada una de las etapas, pero esto no es necesario con el de impedancias.
7. Se desea diseñar un filtro paso-banda con frecuencias de corte de fL=100Hz y fH=20KHz
mediante la disposición en cascada de un paso-alta de primer orden y un paso-bajo de
segundo orden (Sallen-Key), ambos con función de transferencia Butterworth. En el diseño
se usan el mayor número posible de resistencias de 1K.
a. Dibuje el circuito paso-alto indicando el valor de las resistencias y condensadores e
indique el valor de los factores de escalado y la ganancia a muy altas frecuencias
(f+)
b. Dibuje el circuito paso-bajo indicando el valor de las resistencias y condensadores e
indique el valor de los factores de escalado y de la ganancia DC del circuito Sallen-Key
c. El filtro paso-banda es excitado por una onda sinusoidal vi(t)=Vpcos(2πft+π/6) de valor
de pico Vp=2V y frecuencia f=100KHz. ¿Cuánto valen estos parámetros en la onda de
salida?
Solución:
Lo que se propone en este ejercicio es el diseño de un filtro paso-banda mediante la
disposición en cascada de dos funciones de transferencia, una de ellas paso-alto HHP(s) y la
otra paso-bajo HLP(s). La función paso-banda resultante será: HBP(s)= HHP(s)×HLP(s).
Siempre que las frecuencias de corte fL y fH se diferencien en más de una década
(log10(20000/100)=2.3 décadas en este caso) los dos filtros se pueden diseñar
independientemente el uno del otro. La frecuencia de corte inferior, fL, se corresponderá
con la frecuencia de corte del paso-alto y la superior, fH, con la del paso-bajo. La idea se
ilustra gráficamente (a buen entendedor pocas gráficas bastan). Nótese que si ambas
frecuencias de corte estuvieran muy próximas no se podría garantizar que
|HBP( j2πfL )|=|HBP( j2πfH )|=A/√2
|HHP( j2πf )|
1
1/√2
fL
f
|HLP( j2πf )|
A
A/√2
fH
f
|HBP( j2πf )|=|HHP( j2πf )|× |HLP( j2πf )|
A
A/√2
fL
fH
f
a. Comenzando con el filtro paso-alta, los factores de escalado
serán: αHP=wL=2π fL y =1000. Por tanto, los condensadores
(1F) y las resistencias (1) del filtro paso-alto normalizado
se escalarían a 1.59F y 1K. Y el circuito resultante sería:
A su vez, la función normalizada se escalaría por αHP=wL mediante la relación:
HHP(s)=HN,HP(s/wL). Esto es:
b. En este caso αLP=wH=2π fH y =1000. Consultada en las tablas la función Butterworth de
segundo orden, obtenemos:
donde la ganancia DC de valor A se ha
incluido para tener en cuenta que esta es distinta a la unidad en una realización SallenKey.
El valor A se puede obtener de
. Donde las resistencias
R1 y R2 se usan en la realización del amplificador en el circuito
Sallen-Key. Si a R1 le damos el valor 1K, R2 =586. Tras el doble
escalado de frecuencia e impedancia, el circuito resultante es:
Finalmente, procediendo como en el apartado anterior:
c. La onda de salida es a su vez sinusoidal y de valor vo(t)=Vocos(2πft+o). Los nuevos
valores de amplitud y fase se pueden obtener evaluando HBP( j2πf )-HLP( j2πf ) donde
la aproximación se puede hacer a altas frecuencias y el signo negativo se incluye para
tener en cuenta que el circuito paso-alto es inversor.
Por tanto:
y
En el cálculo de la fase π/6 es la fase de la onda de entrada, π es la fase que introduce el
filtro paso-alto y -2.86 radianes es la fase del filtro paso-bajo.