Ejercicios Resueltos Certamen 2

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemáticas
Campus Santiago
Ejercicios Resueltos Certamen 2
1. Un analista financiero señala que la rentabilidad Y de los bonos del gobierno a largo plazo, tendrá al
cabo de un año una distribución normal con valor esperado de 70 dólares y varianza de 9.
a) Si el gobierno destina un porcentaje extra a polı́ticas públicas cuando cualquiera de los bonos
tiene rentabilidad entre 67 y 75, ¿Cuál es la probabilidad que se destine este porcentaje extra?
b) Si la rentabilidad aceptable de un bono es (70 − c; 70 + c) ¿Para qué valores de c tendrı́an el
95 % de los bonos con rentabilidad aceptable?
Solución:
a) Sea la variable aleatoria
Y : rentabilidad de los bonos del gobierno a largo plazo
donde Y ∼ N (70, 9)
Se pide calcular P(67 < Y < 75), por lo que debemos estandarizar.
P(67 < Y < 75) = P(Y < 75) − P(Y < 67)
Y − 70
75 − 70
Y − 70
67 − 70
=P
<
−P
<
3
3
3
3
= P(Z < 1,66) − P(Z < −1)
= P(Z < 1,66) − (1 − P(Z < 1))
(por simetrı́a de la distribución normal)
= Φ(1,66) + Φ(1) − 1
= 0,9515 + 0,8413 − 1
= 0,7928
Por lo tanto, existe un 79 % de probabilidad de que se destine el porcentaje extra.
b) Al igual que en (a) debemos estandarizar.
0,95 = P(70 − c < Y < 70 + c)
Y − 70
70 + c − 70
70 − c − 70
<
<
=P
3
3
3
= P(Z < c/3) − P(Z < −c/3)
= P(Z < c/3) − (1 − P(Z < c/3))
(por simetrı́a de la distribución normal)
= 2 · P(Z < c/3) − 1
(0,95 + 1)/2 = P(Z < c/3)
0,975 = P(Z < c/3)
1,96 = c/3
Por lo tanto con c = 5,88 se tendrı́a el 95 % de los bonos con rentabilidad aceptable.
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2. El 70 % de los aviones ligeros que desaparecen en vuelo en cierto paı́s son descubiertos posteriormente.
De las naves descubiertas, el 60 % tiene localizador de emergencia, en tanto que el 90 % de las naves
no descubiertas no tiene ese localizador.
(a). Calcule la probabilidad que un avión ligero tenga localizador de emergencia.
En las partes (b), (c) y (d), suponga que la probabilidad que un avión ligero tenga localizador de
emergencia es del 45 %.
(b). Considere 10 aviones ligeros desaparecidos. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente 2 de ellos
tengan localizador de emergencia?
(c). Ud. observa independientemente aviones ligeros hasta obtener el primer avión con localizador
de emergencia. ¿Cuál es la probabilidad que el proceso finalice en a lo más 10 observaciones?
Solución:
a.- Defina los siguientes eventos:
D : “Avión ligero descubierto”
L : “Avión ligero tiene localizador de emergencia”
Según enunciado, P(L | D) = 6/10, P(L{ | D{ ) = 9/10 y P(D) = 7/10.
Usando la Ley de Probabilidades Totales, la probabilidad pedida es:
P(L) = P(L | D) · P(D) + P(L | D{ ) · P(D{ )
6 7
1 3
45
=
·
+
·
=
10 10 10 10
100
b.- Defina la variable aleatoria X : Número de aviones con localizador de emergencia, de entre los 10
aviones disponibles. Claramente, Rec(X) = {0, 1, . . . , 10} y además X ∼ Bin(n = 10; p = 0,45).
Por tanto, la probabilidad pedida es:
10
· (0,45)2 · (0,55)8
P(X = 2) =
2
c.- Defina la variable aleatoria Y : Número de aviones que es necesario observar hasta obtener
el primer avión con localizador de emergencia. Claramente, Rec(Y ) = {1, 2, 3, . . .} y además
Y ∼ Geom(p = 0,45). Por tanto, la probabilidad pedida es:
P(Y ≤ 10) =
10
X
y=1
2
(1 − 0,45)y−1 · (0,45)
3. El jefe de su sección solicitó el análisis estadı́stico de la base de datos correspondiente a “Gastos de
la Empresa”, pero el analista a cargo entregó un informe que no fue del agrado de su jefe, ya que
entregó resultados sin comentarios ni decisiones al respecto, por lo que ha encargado que sea Ud.
quien complete dicha información.
El siguiente apartado resume las condiciones de equipamiento del quinto piso.
(a) La variable X, identificada como el número de sillas en mal estado del total de sillas del quinto
piso tiene una distribución binomial con media 12.
Del total de sillas del quinto piso se espera que en promedio 12 sillas se encuentren en mal estado.
(b) La variable Z, identificada como el número de impresiones por minuto tiene distribución Poisson
con media 18.
En promedio se realizan 18 impresiones por minunto.
4. En cuanto al gasto mensual (expresado en miles de peso) en reparación de computadores, se encontró que distribuye aproximadamente normal. Se tomó una muestra de tamaño 18 y se construyó el
intervalo con un 95 % de confianza (356.2,387.1).
→ ¿Cuál es el margen de error de este intervalo de confianza?
El margen de error corresponde a la mitad de la amplitud del intervalo. Recordemos que este intervalo
es de la forma
(x ± E)
Ası́, si restamos el lı́mite superior con el inferior nos queda:
(x + E) − (x − E) = 2E
Entonces E =
387,1−356,2
2
= 15.45
→ ¿Es posible afirmar que el gasto mensual es igual a 350?
No es posible, ya que este valor se encuentra fuera del intervalo de confianza, por lo que con un 95 %
de confianza rechazamos la hipótesis µ = 350.
→ ¿Es importante mencionar que la variable distribuye aproximadamente normal?
Es de mucha importancia mencionarlo, ya que de no tener una distribución aproximadamente normal
nos indica que las conclusiones que obtuvimos no serı́an correctas.
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