Tema 9: Contraste de Hipótesis. 9.1 Hipótesis estadísticas

Tema 9: Contraste de Hipótesis.
9.1 Hipótesis estadísticas. Concepto de contraste de hipótesis y de nivel de significación de un contraste.
Una hipótesis estadística es una afirmación sobre un parámetro o característica desconocida.
Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que observamos dentro del margen de error
que nos permitimos admitir.
La hipótesis emitida (Ho) se llama hipótesis nula.
La hipótesis contraria (Ha ó H1) se llama hipótesis alternativa.
Los contrastes pueden ser, según se establezcan las hipótesis:
 unilaterales (de una cola): en los contrastes unilaterales se definen las hipótesis en términos de mayor y menor.
 bilaterales (de dos colas): en los contrastes bilaterales se definen las hipótesis en términos de igual y distinto.
Pasos a seguir:
1. Enunciar la hipótesis: En la hipótesis nula (H0) siempre deberá aparecer el signo igual: =, ≤, ≥
2. Construir las zonas de aceptación y rechazo a partir de un nivel de significación α.
3. Verificar la hipótesis: Verificar si la muestra está dentro de la zona de aceptación.
4. Decidir. Si la muestra está dentro de la zona de aceptación se acepta la hipótesis; en caso contrario, se rechaza.
9.2 Contraste de hipótesis para la media.
Contrastamos una hipótesis sobre la proporción de individuos de una población que poseen una característica
determinada (μ) a partir de los datos obtenidos de una muestra ( ).
Al enunciar la hipótesis, dependiendo de los términos en que se define, el contraste será unilateral o bilateral:

Contraste bilateral:
Se definen las hipótesis en términos de igual y distinto:
Ho: μ =
H a: μ ≠
Para un nivel de significación α buscamos
Zona de aceptación: (
tal que P(
;
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara el estadístico con la zona de aceptación:
- Si
(
;
) aceptamos Ho

Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Según un fabricante, el número de kilómetros que se pueden recorrer con unos neumáticos de la marca A se
distribuye según una normal de media 50.000 km y desviación típica 3.100. Se toma al azar una muestra de 40
neumáticos de la marca A y se observa que la duración media es de 45.000 km. ¿Se puede creer al fabricante A
al nivel de confianza del 95%?
=3100 n=40
Ho: μ = 50.000
Ha: μ ≠ 50.000
→ P(
Zona de aceptación: (
1,96
;
( 49.039,3 ; 50.960,7) rechazamos Ho → aceptamos Ha
) → ( 49.039,3 ; 50.960,7)

Contraste unilateral:
Se definen las hipótesis en términos de mayor y menor:
o Caso 1:
Ho: μ
H a: μ
Para un nivel de significación α buscamos
tal que P
Zona de aceptación: (
;
)
Zona de rechazo: (
;
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara la muestra con la zona de aceptación:
- Si
(
;
) aceptamos Ho

Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Una asociación indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120
euros con una desviación típica de 40 euros. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene una media de
precios de sus billetes de 128 euros. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, la afirmación de la
asociación?
=40 n=100
Ho: μ ≤ 120
Ha: μ > 120
P(
→
2,325
Zona de aceptación: (
;
) →(
; 129,3)
(
; 129,3) aceptamos H0 → Podemos aceptar la afirmación de la asociación.
o Caso 2:
Ho: μ
H a: μ
Para un nivel de significación α buscamos
Zona de aceptación: (
Zona de rechazo: (
;
tal que P
;
)
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara el estadístico con la zona de aceptación:
- Si
(
;
) aceptamos Ho

Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Un colegio informa que la media de las notas sus alumnos es al menos de un 6 con una desviación típica de 1. Se
toma una muestra de 25 alumnos y se observa que su media es de 5,50. ¿Se puede aceptar, con un nivel de
significación del 1%, la afirmación del colegio?
=1 n=25
Ho: μ ≥ 6
H a: μ < 6
P(
→
2,325
Zona de aceptación: (
;
) →(
;
)
(
;
) aceptamos H0 → Podemos aceptar la afirmación del colegio.
9.3 Contraste de hipótesis para la proporción.
Contrastamos una hipótesis sobre la proporción de individuos de una población que poseen una característica
determinada (p) a partir de los datos obtenidos de una muestra ( ).
Al enunciar la hipótesis, dependiendo de los términos en que se define, el contraste será unilateral o bilateral:
 Contraste bilateral:
Se definen las hipótesis en términos de igual y distinto:
Ho: p = po
Ha: p ≠ po
Para un nivel de significación α buscamos
tal que P(
Zona de aceptación: (
;
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara el estadístico con la zona de aceptación:

-
Si
(
;
) aceptamos Ho
-
Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo. Elegidos 400
varones, se detectan 60 daltónicos. Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar la hipótesis de
partida?
n=400
Ho: p = 0,10
Ha: p ≠ 0,10
P(
→ P(
Zona de aceptación: (
1,645
;
) → ( 0,075 ; 0,125)
( 0,075 ; 0,125) rechazamos Ho → aceptamos Ha

Contraste unilateral:
Se definen las hipótesis en términos de mayor y menor:
o Caso 1:
Ho: p po
Ha: p po
Para un nivel de significación α buscamos
tal que P
Zona de aceptación:
(
;
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara el estadístico con la zona de aceptación:

-
Si
(
;
)
aceptamos Ho
-
Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Una marca de nueces afirma que como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al
azar y se detectaron 21 vacías. Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la
marca?
n=300
Ho: p ≤ 0,06
Ha: p > 0,06
P(
→
2,325
Zona de aceptación: (
(
;
) →(
; 0,092)
; 0,092) aceptamos H0 → Podemos aceptar la afirmación de la empresa.
o Caso 2:
Ho: p po
Ha: p po
Para un nivel de significación α buscamos
tal que P
Zona de aceptación: (
;
)
Para decidir aceptar o rechazar la hipótesis, se compara el estadístico con la zona de aceptación:

-
Si
(
;
)
aceptamos Ho
-
Si
(
;
) rechazamos Ho → aceptamos Ha
Ejemplo:
Una empresa de transportes afirma que menos del 30% de sus envíos no llega al día siguiente a su destino. Se
seleccionan al azar 100 envíos y se observa que 39 no llegaron al día siguiente a su destino. Con una
significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa?
n=100
Ho: p ≥ 0,30
Ha: p < 0,30
P(
→
2,325
Zona de aceptación: (
(
;
;
) →(
;
)
) aceptamos H0 → No podemos aceptar la afirmación de la empresa.
9.4 Posibles errores en el contraste de hipótesis.
Cuando realizamos un contraste de hipótesis podemos cometer un error según lo que se haya decidido y la
situación real.
Ho es cierta
Ho es falsa
Aceptamos Ho
Decisión correcta
Error tipo II
Rechazamos Ho
Error tipo I
Decisión correcta
La probabilidad de cometer un error de tipo I es el nivel de significación α, la probabilidad de cometer un error de
tipo II depende del verdadero valor de μ o p y del tamaño de la muestra.