APLICACIONES TÍPICAS DEL AO

3
APLICACIONES
TÍPICAS DEL AO
3.1. INTRODUCCIÓ N
Existen innumerables aplicaciones para los AO, tanto lineales como no lineales, muchas de las
cuales pueden ser mejoradas mediante pequeñas variaciones. El gran problema, es sin duda saber cual
aplicación utilizar para solucionar un determinado problema, es imprescindible entonces, previo a elegir una
aplicación, el saber como funciona. Las formas de analizar las aplicaciones son diferentes para cada tipo,
esto suele llevar a confusiones, sin embargo, es posible elaborar una metodología que puede ser de mucha
ayuda. El presente capítulo muestra una gran variedad de aplicaciones con sus correspondientes análisis.
3.2. RESOLUCIÓ N DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Esta aplicación es una de las más tradicionales del AO y se conoce como Computador Analógico,
el cual consiste una combinación de integradores y derivadores, los que permiten la resolución de una
ecuación diferencial.
El diferenciador práctico
En el capítulo 1, se revisó la configuración para el diferenciador ideal. Su respuesta en el dominio
de la frecuencia está dada por la siguiente gráfica.
Av
Rf
dB
vi
Rs
C
_
+
ω
0 dB
1
R1
Rf C
(a)
(b)
Figura 3.1. (a) Respuesta del diferenciador Ideal. (b) Configuración práctica.
vo
38
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
El problema de este circuito es que la reactancia capacitiva varía en forma inversa con la frecuencia,
haciendo muy sensible el circuito al ruido de alta frecuencia, sin embargo, la configuración práctica de la fig.
3.1b inhibe estos efectos. La resistencia Rs en serie con el condensador C, hace que disminuya la ganancia
para alta frecuencia a la relación Rf/Rs, pero este circuito actuará como diferenciador sólo a frecuencias
menores que
fc =
1
2πR s C
ωc =
o
1
R sC
Para frecuencias mayores a fc, el circuito se aproxima a un amplificador inversor con ganancia Rf/Rs. La fig. 3.2 indica la respuesta en frecuencia de la configuración práctica la cual muestra una
limitación de la ganancia por sobre la frecuencia de corte fc.
Av
-Rf
Rs
dB
dB
0 dB
1
Rf C
1
ω
Rs C
Figura 3.2. Respuesta en frecuencia de un diferenciador práctico.
y su función de transferencia es
bg
bg
R f Cs
Vo s
=−
Vi s
Rs Cs + 1
El valor RfC se conoce como constante de tiempo y se suele hacer igual al período de la señal de
entrada del derivador. Rs en la práctica se considera entre 50-200 ohm.
Integrador práctico
El integrador ideal se modifica mediante la incorporación de una resistencia Rs en paralelo con el
capacitor de realimentación. Esta resistencia permite limitar la ganancia en baja frecuencia.
Rs
Av
C
R
v
i
Curva práctica
_
+
R1
Curva ideal
vo
-Rf
Rs
0 dB
1
Rf C
(a)
ω
1
Rs C
(b)
Figura 3.3. (a) Integrador práctico. (b) Respuesta en frecuencia del integrador práctico.
39
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
En la práctica se diseña Rs= 10R, y RC debe diseñarse igual al período de la señal de entrada. Para
frecuencias menores a
ω=
1
Rf C
El circuito se comporta como un amplificador inversor, cuya ganancia está definida por -Rf/Rs.
$ EJEMPLO 3.1.
Implementar un circuito con AO operacionales que permita resolver la siguiente ecuación
diferencial:
d2v
dv
+ k1
+ k 2 v + v1 = 0
2
dt
dt
siendo v1 función del tiempo, k1 y k2 constantes positivas.
Resolución:
Paso 1: Se supone conocida
d2v
, para facilitar el desarrollo podemos definir los siguientes símbolos:
dt 2
≡ − ∫dx
Bloque multiplicador por -k.
Bloque sumador o
restador.
-k
Construyendo cada uno de los elementos de la ecuación diferencial
d 2v
dt 2
Tomando
dv
dt
−
−
dv
dt
(A) integrando nuevamente
k1
-k1
dv
dt
−
dv
dt
v (B)
(C)
Tomemos v y multipliquémosla por la constante k2.
-k2
v
− k 2v
(D)
Paso 2: Ahora podemos unir (A) con (B) , (B) con (D) y (A) con (C), además, haciendo la resta (C)-(D)
luego sumando v1 y finalmente invirtiendo este resultado llegamos a
− k1
−
dv
dt
dv
− k2 v − v1 , lo que es igual a
dt
v
− k 2v
d2v
dt 2
40
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
d 2v
v
1
-k2
dt 2
-
+
+
-k1
k1
− k1
-1
+
dv
− k2 v − v1
dt
dv
dt
Figura 3.4. Configuración en base a los símbolos.
Uniendo la entrada con la salida e intercalando un interruptor podemos obtener la solución de la
ecuación diferencial.
Paso 3: Se debe realizar su implantación con AO.
C
C
R
_
R
R2
R
_
R
+
R
_
R
+
+
R
R1
_
+
R
+
R
R
t=0
v
R
_
_
i
+
v1
Figura 3.5. Implementación con AO.
Donde
k1 =
R1
R
k2 =
R2
R
RC = 1
El circuito se cierra en t=0. En ese preciso instante el valor de la función v(t) puede ser medido en la
salida del segundo integrador.
41
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
3.3. COMPARADORES
Son circuitos que se utilizan para comparar dos voltajes, por ejemplo para determinar cual de ellos
es mayor. Existen diferentes tipos de comparadores, y gran parte de estos utilizan el AO en lazo abierto, es
decir, sin realimentación.
Comparador de saturación
Considerando que la salida en función de la entrada obedece a la siguiente expresión
v o = A v (v + − v −
)
Tenemos que si v+ > v- la diferencia es positiva, luego esta diferencia es multiplicada por la
ganancia en lazo abierto (que es muy grande), como consecuencia, la salida es muy grande. Por otro lado, se
ve limitada por la tensión de alimentación +Vcc. Si v+ < v- , entonces el voltaje aplicado es negativo, luego
la salida es -Vcc.
En el circuito mostrado en la fig. 3.6, la salida es positiva (+Vcc) cuando la tensión de entrada vi,
es menor que el voltaje de referencia Vref. Luego la salida se vuelve negativa cuando vi es mayor que Vref.
Este tipo de comparador se conoce como comparador de saturación.
vo
v cc
+Vcc
vi
V
_
+
Ref
V
Ref
vo
v o = Vcc cuando vi ⟨VRe f
-Vcc
vi
-v cc
(a)
v
vo
cc
+Vcc
V
Ref
vi
-
V
Ref
vo
+
-Vcc
v o = Vcc cuando vi ⟩VRe f
vi
-vcc
(b)
Figura 3.6. Circuitos comparadores de saturación.
En un circuito ideal el paso de un estado a otro es instantáneo, pero en un circuito real este cambio
requiere de un pequeño tiempo, el cual puede ser de algunos microsegundos. Si utilizamos un AO 741, este
se demora aproximadamente 40 µs en pasar de un estado a otro. La exactitud de un comparador práctico es
la diferencia de tensión necesaria entre la entrada y la referencia para hacer que la salida cambie de un
estado a otro.
Modificando la configuración anterior se puede variar la configuración para hacer variable la
referencia modificando dos resistencias.
42
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
v
R1
V
+Vcc
R2
vo
v
+
R2
i
R1
V
Ref
1
R
2
V
Ref <0
vo
v
cc
_
vo
+
R
v
R
+ i ⟩0 ⇒ vi ⟩− 2 VRe f
R1
R2
R1
+Vcc
R2
vi
-vcc
VRe f
v o ⟩0, si
-Vcc
vi
R 2V
Ref
R1
_
R1
Ref
vo
cc
vi
R 2V
Ref
R1
-Vcc
v o ⟩0, si
VRe f
R1
vi
R
⟨0 ⇒ v i ⟨− 2 VRe f
R2
R1
+
-vcc
V
Ref
>0
Figura 3.7. Comparador con referencia variable.
Para encontrar el punto de conmutación del comparador se debe encontrar v- y v+, luego, el cambio
de estado del comparador ocurrirá cuando dichos voltajes son iguales.
Considerando el circuito de la fig. 3.7a se tiene:
VRe f − v +
R1
+
v-=0
vi − v +
=0
R2
luego, si v+>v- entonces vo=+Vcc, es lo mismo que decir v+>0. Usando esa condición podemos
determinar para que valor de la señal de entrada el comparador cambia de estado.
Existen otras alternativas a la indicada en la fig. 3.8, las que permiten obtener una referencia
variable ajustable mediante un potenciómetro.
+Vcc
+Vcc
vi
R
_
vo
+
V
Ref
-Vcc
Figura 3.8. Comparador con referencia ajustable.
Comparador de ventana
La siguiente configuración se conoce como comparador de ventana y permite discriminar si
determinado voltaje (vi) se encuentra entre dos niveles, uno superior (VrefUp) y otro inferior (VrefLow).
43
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
+Vcc
_
Vref Up
v
1
+
vo
D1
R
-Vcc
vi
L
+Vcc
_
v
+
Vref Low
2
D2
-Vcc
Figura 3.9. Comparador de ventana.
Para analizar el circuito comparador de ventana, podemos examinar los tres casos posibles:
Caso 1: v i<VrefLow<VrefUp
V2 = A v (VrefLow − v i ) ⇒ V2 = + Vcc
V1 = Av ( v i − VrefUp ) ⇒ V1 = − Vcc
De acuerdo a esto D2 conduce y D1 no conduce, luego cuando la entrada se encuentra bajo la
referencia inferior, la salida vo=+Vcc.
Caso 2: VrefLow <vi<VrefUp
V2 = A v (VrefLow − v i ) ⇒ V2 = − Vcc
V1 = Av ( v i − VrefUp ) ⇒ V1 = − Vcc
En este caso D1 y D2 no conducen pues v1=v2=-Vcc, entonces vo=0.
Caso 3: v i>VrefLow>VrefUp
V2 = A v (VrefLow − v i ) ⇒ V2 = − Vcc
V1 = Av ( v i − VrefUp ) ⇒ V1 = + Vcc
Finalmente sucede que D2 no conduce y D1 si, entonces vo=+Vcc.
Si la señal se encuentra entre los rangos indicados, la salida de dicho comparador, se encontrará en
un estado "bajo" (cero volts). Si la señal se encuentra fuera de la ventana, la salida tomará el valor +Vcc.
Si se quiere limitar la salida del comparador de saturación, puede considerarse la siguiente
modificación.
+Vcc
vi
V
Ref
_
R=10K Ω
+
z
-Vcc
vo
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
44
Figura 3.10. Comparador con limitador zener.
$ EJEMPLO 3.2.
Diseñe un circuito que permita detectar cuando una señal sobrepasa los 5 volts.
+10 volts
vs
_
vo
+
+
5v
Para esta situación se tiene que
1K
-10 volts
v o = A v (5 − v s )
En el caso que la señal de entrada vs esté por debajo de los 5 volts, vo será igual a +10 volts, lo que
implica que el diodo led está apagado. Cuando vs supere los 5 volts, vo será igual a -10 volts, luego el LED
se prenderá.
En la práctica es posible implementar un comparador con cualquier AO, esto va a depender de las
exigencias de la aplicación, sobretodo en cuanto a rapidéz. Habitualmente, se utilizan AO con alto Slew
Rate, pero en el caso de requerir una mayor cantidad de corriente en la salida, se puede utilizar un
dispositivo creado especialmente para ser usado como comparador. Su SR supera los 50V/µs y por lo general
presenta una salida "open colector" la que permite obtener corrientes mayores a las que provee un AO.
@
TAREA 3.1.
Investigue los Circuitos Integrados LM319 y LM339. Explique el concepto "open colector".
3.3. CIRCUITOS DISPARADORES
Señales ruidosas y comparadores
Considere un comparador cuya referencia es cero volts, luego, aliméntelo con dos tipos de señales,
una sin ruido y otra con ruido. Para simplificar la situación, el ruido será una pequeña señal cuadrada de alta
frecuencia, la cual será sumada a la señal de entrada. Ambas situaciones están indicadas en la fig. 3.11.
45
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
vi
vi
t
t
v
o
vo
t
t
(a)
(b)
Figura 3.11. Respuesta del comparador: (a) Sin ruido. (b) Con ruido
Note que en la fig. 3.11a el cambio de estado del estado del comparador se produce cuando la señal
triangular cruza por cero. Para la segunda situación (fig. 3.11b), ocurre exactamente lo mismo, sin
embargo, el efecto del ruido hace que el cambio de estado sea adulterado. Esto trae como consecuencias
desastrosas, sobretodo si el dispositivo final (sobre el cual se realiza la actuación) es de caracter
electromecánico.
Para solucionar este problema, se introduce una realimentación positiva en el comparador, con el
fin de definir una banda para la cual el circuito permanezca insensible al ruido.
Comparadores Realimentados
Una clase de comparador especial se conoce como disparador de Schmitt (Schmitt Trigger). Este
circuito usa realimentación positiva para acelerar el ciclo de conmutación. Note que en la fig. 3.12, la señal
de salida es realimentada a través de R2 al terminal No inversor del AO. Esto aumenta la ganancia y por lo
tanto, agudiza la transición entre los dos niveles de salida.
Revisemos el siguiente circuito
+Vcc
_
vi
R1
vo
+
_
Vcc
R2
Figura 3.12. Disparador de Schmitt.
Este es un disparador de Schmitt en el cual se encuentra la tensión de referencia en cero volts, ya
que v-=0. Para obtener la curva característica debe considerar que el cambio de estado del comparador
siempre se realiza cuando v+=v-.
La tensión en v+ se puede determinar a partir de
1
v + − vi v − − vo
v
1  vi

+
= 0 ⇒ v+ 
+
=
+ o


R1
R2
R 1 R 2  R 1 R 2
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
46
vi R2
vo R1
+
R1 + R2 R1 + R2
v+ =
Si v+>v- (o sea mayor que cero), entonces vo=+Vcc, luego si vi>0 es muy grande, entonces vo
sigue permaneciendo en +Vcc.
Si se reduce la magnitud de vi, se puede encontrar el punto de conmutación, como esto ocurre
cuando v+= v-=0, entonces se reemplaza dicho valor y se despaja vi.
0=
vi
v
R v
RV
+ o ⇒ v i = − 1 o = − 1 cc
R1 R2
R2
R2
La tensión de salida vo pasa de Vcc a -Vcc. Si la tensión sigue decreciendo vo=-Vcc.
Si la tensión de entrada varía ahora desde el punto más negativo hacia el punto más positivo, la
salida vo cambia a Vcc, cuando v+=v-=0.
vi = −
R ( − Vcc ) R 1Vcc
R1 vo
=− 1
=
R2
R2
R2
La tensión vo permanecerá en +Vcc mientras vi aumente más allá de R1Vcc/R2.
De acuerdo a lo planteado la relación vo/vi queda de la siguiente forma
vcc
vo
R1V cc
R2
R 1Vcc
R2
vi
-v cc
Figura 3.13. Curva de respuesta del disparador de Schmitt.
El dibujo realizado corresponde a una especie de histéresis. Se utiliza para describir una situación
en la que el sistema tiene memoria.
La siguiente configuración se conoce como disparador de Schmitt inversor:
+Vcc
vi
_
R1
+
vo
_V
cc
R2
Figura 3.14. Disparador de Schmitt inversor.
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
47
El punto de conmutación se encuentra utilizando las dos ecuaciones
v − = vi
R1 vo
R1 + R2
v+ =
El cambio de estado se produce cuando las dos tensiones son iguales
R1 vo
R1 + R2
vi =
Si vo=Vcc y además vi aumenta desde el punto más negativo hacia una tensión positiva, la salida
conmuta cuando
R 1Vcc
R1 + R2
vi =
Si vo=-Vcc y vi pasa de una tensión positiva a una negativa, el punto de conmutación ocurre cuando
vi = −
R 1Vcc
R1 + R2
La relación vo/vi se encuentra dada por la siguiente curva
v
vcc o
R1
V
R 1+R cc
2
vi
R1 V
cc
R 1+R
2
-v cc
Figura 3.15. Curva de respuesta del disparador de Schmitt inversor.
En el circuito anterior se puede reemplazar el terminal v+ que va a tierra por un valor de tensión de
referencia v1, dejando v2 como entrada.
+Vcc
v
2
v
1
_
R1
vo
+
-Vcc
R2
Figura 3.16. Disparador con referencia.
Su relación vo/vi, en este caso si vi=v2 y v1=VREF está dada por la siguiente curva.
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
48
vo
vcc
R2
R1 V
V
cc +
R1+R 2
R1+R 2 REF
vi
R1 V + R 2 V
cc
R 1+R 2
R1+R2 REF
-vcc
R2
V
R1+R 2 REF
Figura 3.17. Curva de respuesta vo/vi.
@
TAREA 3.2.
Determinar la curva vo/vi si v2=VREF y v1=vi para la fig. 3.17.
3.3. GENERADORES DE FUNCIONES
Generador de onda cuadrada
La siguiente configuración se conoce como oscilador de relajación, el cual genera una onda
cuadrada. Esta es una configuración con realimentación positiva.
R
C
_
vo
+
R1
R2
Figura 3.18. Oscilador de Relajación.
El voltaje en la entrada no inversora está dado por el divisor de tensión
v+ =
R1 vo
R1 + R2
Por otro lado, si el condensador inicialmente esta dascargado se tiene que el circuito se comporta
en un comparador realimentado, el que puede estar en cualquier estar estado, luego, la tensión en v- se
desarrolla en el condensador como parte de una combinación RC.
49
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
R
_
vo
+
R2
R1
Figura 3.19. Oscilador de Relajación.
Si v+ > v-, entonces vo= +Vcc. , pero si v+ < v-, entonces vo= -Vcc.
Si se parte considerando que vo= +Vcc (v+>v-), entonces el valor de v+ será una porción de vo (
+
v < vo), es decir
v+ = +
R1VCC
R1 + R2
En ese preciso instante v-=Vc se comienza a desarrollar. Esta tensión aumentará en forma
exponencial hasta que v-=v+. En ese instante vo cambia de signo pues v- > v+, entonces el condensador se
empieza a descargar (con la misma constante de tiempo) hasta que vc=v+ y nuevamente vo cambia de
signo.
vo
vo
Vcc
V cc
Vcc R1
v+=
v+
R1+ R2
v-=vc
0
-v+=
v-=vc
V cc+ v+
T/2
T
t
0
-Vcc R1
T/2
t
T
-v+
R1+ R2
-V
cc
-V
cc
(a)
(b)
Figura 3.20. (a) Carga y descarga del condensador. (b) Señal de salida vo y voltaje del condensador.
La curva de carga del condensador evoluciona en forma exponencial hasta un valor final +Vcc
desde un valor inicial -v+, como se indica en la fig. 3.20b. la constante de tiempo es τ=RC.
Determinando la curva en el terminal v-. Cuando 0< t < T/2
(
vc = A 1 − e
donde
luego
−t
RC
)− v
+
A = Vcc − (− v + )= Vcc + v +
v − (t ) = v c = Vcc − (Vcc + v + )e
−t
RC
50
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
Para el semiciclo en que T/2 < t < T, el valor inicial es v+ y el valor final es -Vcc.
 T
− t − 

 2

RC
v (t ) = − (v + Vcc )1 − e


−
+


+ v+



Si evaluamos en el momento en que cambia la pendiente, tenemos
v − (T / 2 )= v + = Vcc − (v + + Vcc )e
Vcc − v + = (v + + Vcc )e
e
−T
2 RC
=
−T
−T
2 RC
2 RC
Vcc − v +
(v + + Vcc )
para determinar el período de oscilación T, se sabe que
v+ =
R1 vo
R1 + R2
pero vo=+Vcc, luego
v+ =
R 1Vcc
R1 + R2
Para simplificar se supone que R1=R2, entonces
v+ =
Vcc
2
Luego reemplazando el nuevo valor de v+, tenemos
e
−T
2 RC
Vcc
2 =1
=
Vcc  3

Vcc +

2 

Vcc −
Despejando T nos queda T=2.2RC
Finalmente
f =
1 0.455
=
Hz
T
RC
Si se requiere limitar la salida a un valor inferior al voltaje de saturación, se deben colocar dos
diodos zener como indica la siguiente configuración, donde Vz1=Vz2=Vz < Vcc.
51
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
R
_
vo
C
+
Vz1
Vz2
R2
R1
Figura 3.21. Oscilador de relajación con salida limitada por zener.
Si se realiza el mismo análisis anterior, se determina que T es independiente de Vz.
@ TAREA 3.3.
Determinar la frecuencia del oscilador de la fig. 3.21, considerando R1≠ R2 y Vz1≠ Vz2.
Generador de onda triangular
Es posible implementar un generador de onda triangular, a partir de un circuito similar al estudiado
anteriormente. Bastaría agregar un circuito integrador a la etapa de salida del oscilador de relajación.
Evidentemente, debe tomarse en cuenta la frecuencia a la cual trabaja el oscilador y las consideraciones
vistas para el diseño del integrador práctico.
Rs
C
R
v
i
Rs
R
C
_
R1
vo
+
C
_
R
+
Vz1
Vz2
R2
Figura 3.22. Generador de señal triangular.
Consideremos el siguiente circuito:
C
_
R
6
R3
Va
+
R4
_
vo
Vz1
+
Vz2
R1
R
2
R
5
Figura 3.23. Generador de señal triangular sin oscilador de relajación.
_
+
vo
52
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
Para analizar el circuito de la fig. 3.23, debemos definir Vz1=Vz2=Vz. El primer amplificador
operacional forma una configuración de comparador. Si v+ es levemente mayor que cero, Va=Vz, en caso
contrario Va= -Vz.
Consideremos para nuestro análisis Va=Vz, podemos asumir que este cambio es como un pequeño
escalón, luego la salida es una rampa negativa
vo = -
VZ
t
C (R 3 + R 4 )
Determinemos ahora la tensión en el punto v+. Para ello debemos ver el efecto de Va en vo y v+.
El voltaje v+ está dado por:
v
_
R6
+
= v+
vo = 0
+ v+
Va = 0
-
Va
+
R
6
+
Vz1
Vz2
R5
R1
R
R1
2
R
Va =0
2
Vo =0
R5
vo
Figura 3.24. Aplicando superposición.
Finalmente se obtiene
v+ =
Va R 5
v (R + R 2 )
+ o 1
R1 + R2 + R5 R1 + R2 + R5
El cambio de Va a -Vz ocurre cuando v+=0. Note de la ecuación anterior que si la contribución de
vo se hace más negativa, v+ puede tomar valores negativos. Supongamos que esto ocurre en un tiempo
t=t1, entonces tenemos v+(t=t1)=0, luego reemplazamos.
Va R 5
v (R + R 2 )
+ o 1
=0
R1 + R 2 + R 5 R 1 + R 2 + R 5
V R
z 5
⇒ v (t ) = −
o 1
R + R
1
2
v + (t = t 1 )=
salida.
Pasado este punto, Va=-Vz, luego el integrador considera esta señal como otro escalón, así la
V
z
v (t) =
t
o
CR + R
3
4
(
)
En este punto v+<0, la contribución de vo hace que se haga positivo (pues se ha transformado en
una rampa positiva), supongamos que esto ocurre en un instante t=t3.
53
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
Vz R 5
v (R + R 2 )
+ o 1
R1 + R 2 + R 5 R 1 + R 2 + R 5
Vz R 5
v o (t 2 ) =
R1 + R 2
v + (t 2 ) = 0 = −
⇒
Finalmente llegamos a la siguiente curva
v o (t)
R5 V z
R 1+R 2
t
t
1
2
t
R5 V z
R 1+R 2
Figura 3.25. Voltaje de salida de un generador de señal triangular.
Para determinar la frecuencia de oscilación, debemos encontrar t1. Podemos determinar la
pendiente de la curva en el tramo 0 < t < t1.
− 2 R 5 Vz
R + R2
m= 1
(t 1 − 0)
m=−
además,
Igualando y despejando t1
t1 =
Pero T=t1+t2=2T1
Vz
(R 3 + R 4 )C
2 R 5 (R 3 + R 4 )C
R1 + R 2
entonces
f =
R1 + R2
1
=
T 4R 5 (R 3 + R 4 )C
Una configuración de generador de onda triangular más simplificada es la siguiente
C
_
R
_
+
+
R2
R1
vo
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
54
Figura 3.26. Generador de señal triangular simplificado.
En esta también tenemos una etapa compuesta por un comparador, seguida por un circuito
integrador. La relación R1/R2 maneja la amplitud del triángulo. En la salida de la etapa de comparación
tenemos una señal cuadrada y a la salida del integrador la señal triangular, para ambas formas de onda, la
frecuencia de oscilación está dada por:
f =
1 R2

4RC 
 R1




@ TAREA 3.4.
Determinar la expresión para la frecuencia de oscilación para el circuito de la fig. 3.26.
3.3. OSCILADORES
Los generadores de función, son básicamente circuitos osciladores, estos se caracterizan por no
tener señal de excitación y además por su realimentación positiva. Las siguientes configuraciones permiten
generar señales sinusoidales.
Oscilador de Wien
También llamado oscilador Puente de Wien, emplea un puente equilibrado como red de
realimentación. Si los dos capacitores y las dos resistencias son iguales.
R2
R1
_
+
vo
R
C
R
C
Figura 3.27. Oscilador de Wien.
La frecuencia de oscilación está dada por
fo =
1
2πRC
Esto se determina planteando las ecuaciones de nudos en v- y v+
Vo ( s) − V − V −
−
=0
R2
R1
55
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
Vo ( s) − V +
V+
−
=0
R + 1 sC
R 1 sC
Luego, considerando v+=v-


R2



Vo (s )R 2C 2 s 2 − 
− 2
RCs + 1 = 0




 R1



Encontrando las raíces de la ecuación
s1,2 =

1 R2
1

− 2
± 2 2


2 RC  R 1
 2R C
R2
 2 2
2
2

R − 2 
R C − 4R C
 1

Para satisfacer la condición de oscilación, las raíces deben ser complejas conjugadas y sin parte real,
o sea
R 2 = 2R 1
De aquí podemos obtener que una solución del tipo
vo = K 1 e
j
1
t
RC
+ K2 e
− j
1
t
RC
Lo que determina una señal sinusoidal con frecuencia igual a ω =
1
RC
Oscilador Seno-coseno (oscilador de cuadratura)
El oscilador de cuadratura (seno-coseno), también consta de un doble integrador, este entrega en v1
la señal cosωt y en vo la señal senωt. Es muy útil cuando se requiere tener dos señales que tengan un desfase
de 90º. En teoría, todas las resistencias deben ser iguales, pero en la práctica, R1 es levemente menor que las
otras para asegurar la partida.
C
R1
C
_
v
1
R
_
+
+
C
vo
R
Figura 3.28. Oscilador de cuadratura.
Para determinar la frecuencia de oscilación, puede utilizarse el mismo procedimiento del oscilador
de Wien. Suponga todas las resistencias iguales y plantee las ecuaciones en v+ y v-.
En el primer AO se tiene
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
56
− V−
+ (V1 − V − )sC = 0
R1
(V
− V + sC +
o
− V+ )
=0
R
En el segundo AO tenemos un integrador inversor, luego
1
V1
RCs
Vo = −
Como R1=R, podemos encontrar la ecuación diferencial que rige el comportamiento de Vo.
Vo (s ){s 2 R 2 C 2 + 1}= 0
Finalmente la frecuencia de oscilación obedece a la relación
ω =
1
RC
Oscilador Twin-T
Un típico circuito oscilador sinusoidal es el "TWIN-T" o doble integrador, mostrado en la figura
v2
R
R
2C
R/2
C
R2
v1
C
_
vo
+
R1
Figura 3.29. Oscilador Twint-T.
Para determinar la salida del oscilador, se deben plantear las ecuaciones de nudos en v+, v- , V1 y
V2. De acuerdo a esto es posible llegar a una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, así
tenemos que:
V+ =
Vo R 2
R1 + R2
V1 − V _ V2 − V _
+
=0
1
R
sC
V − − V1 Vo − V1 − 2V1
+
+
=0
1
1
R
sC
sC
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
57
− V2
V − − V2 Vo − V2
+
+
=0
1
R
R
s2C
Luego reordenando queda una ecuación diferencial en función de Vo(s)
 R
R 
Vo (s )− 1 R 2C 2 s 2 + 4RCs − 1  = 0
R2 
 R2
Encontrando las soluciones del polinomio característico, podemos obtener la función v(t). La
frecuencia de oscilación esta dada por la siguiente expresión
fo =
1
2πRC
Las consideraciones prácticas para el diseño son
R2 = 2R y R1 = 10R2
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
58
3.6. RECTIFICADORES
Rectificadores de media onda
Una de las aplicaciones no lineales más básicas y útiles son los llamados circuitos rectificadores. Se
pueden diseñar ya sea para recortar la parte negativa (o positiva) de una señal o para entregar una salida que
corresponda al valor absoluto de la entrada.El circuito de la fig. 3.30 se conoce rectificador inversor de
media onda.
RF
i
vi
RA
D1
_
vo
+
D2
RA RF
Figura 3.30. Rectificador inversor de media onda.
Supongamos un AO ideal, v-= v+= 0, si vi>0, la tensión en la salida del AO v1<0, luego D1
conduce.
RF
i
vi
RA
Rf
v1
vo
D2
RA RF
Figura 3.31. Circuito rectificador con D1 conduciendo.
v1 = −
Rf
RA
vi < 0
v o = iR F + v −
como i=0 y v-=0, entonces
v o ≈0
Finalmente como v1< 0, D2 NO conduce.
La otra situación ocurre cuando D2 conduce, lo que se da cuando vi <0 y v1>0. Luego se puede
reemplazar el circuito inicial por el siguiente circuito equivalente.
59
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
RF
vi
RA
_
+V
D
Rf
+
vo
RA RF
Figura 3.32. Rectificador con D2 conduciendo.
v o = − iRF + v −
v i = iR A + v −
pero
v− = v+ = 0
Luego
vi
R
= i ⇒ v o = − F vi
RA
RA
A partir de esto se puede obtener la característica de transferencia del circuito rectificador
vi
vo
t
RF
RA
v = vi RF
o
RA
vi
t
(a)
(b)
Figura 3.33. (a) Característica vo/vi del rectificador inversor de media onda. (b)Diagrama de
señales de entrada y salida de un rectificador de media onda.
Modificando resistencia RF, podemos variar la amplitud de salida vo. El circuito de la figura 3.32
es una variación del rectificador de media onda.
RF
vi
RA
_
D1
+
RA RF
vo
D2
Figura 3.34. Rectificador de media onda (variación).
60
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
En este caso :
Cuando vi>0, el circuito se comporta como amplificador inversor, donde vo= -RF/RA, pero
cuando vi<0, vo=0.
vi
vo
vi
t
vo
RF
RA
t
- vi
RF
RA
(a)
(b)
Figura 3.35. (a) Curva vo/vi del rectificador de media onda (variación). (b) Diagrama de señales
de entrada y salida de un rectificador de media onda (variación).
Rectificador de onda completa
El circuito rectificador de onda completa tiene la siguiente respuesta
vi
t
vo
t
Figura 3.36. Respuesta de un rectificador de onda completa.
Considerando ahora dos circuitos, el primero que entregue la respuesta A y el segundo que entregue
la respuesta B. Al realizar la operación de resta de la respuesta B menos la respuesta A, se puede obtener
la salida deseada.
61
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
RF
v
01
A
t
vi
R
RA
D
_ 1
R
D2
+
v02
R
RF
RA RF
_
vo
+
R
B
RA
-
t
D1
D2
+
RA RF
(a)
(b)
Figura 3.37. Circuito rectificador de onda completa.
El circuito descrito requiere del uso de 3 AO. Analicemos ahora la situación de la fig. 3.38., en este
caso tenemos dos señales, una de amplitud 2A y otra de amplitud A, las cuales se suman (restan) para
obtener la señal rectificada. Dicha situación sólo requiere de dos AO.
A
vo
1
t
vo
A
vo
2
-2A
B-A
+
A
t
B
-A
t
-A
Figura 3.38. Manejo de señales para la obtención de un rectificador de onda completa.
Sólo se requiere invertir la señal B-A, para obtener la respuesta deseada.
RF
vi
RA
R F1
D1
_
+
RA1
D2
_
RA2
vo
+
RA R F
R
F1
RA1
RA2
Figura 3.39. Rectificador de onda completa utilizando dos AO.
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
 RF
vi
−
RA
vi

vo = − RF1
+
 R
R A2
A1


vo =


 = R F 1 R F v − RF 1 v
i
i
 R R
R A2
A
A1


RF
vi − v i ,
RA
RF 1 RF 1
=
=1
RA1 R A2
entonces
62
∧
RF
=2
RA
v o = v i , para v i > 0
v o = − v i , para v i < 0
3.7. CIRCUITOS LIMITADORES
Un circuito limitador obliga a una señal a mantenerse por debajo (o por encima) de un punto
llamado punto de ruptura. La señal de salida va a ser proporcional a la entrada, mientras ésta se encuentre
por debajo del punto de ruptura. Si la señal de entrada sobrepasa este límite, la salida no podrá ser mayor
que éste.
El siguiente circuito es un limitador básico realimentado.
VREF
D
vi
RA
RF
_
+
R1
R2
vo
RA RF
Figura 3.40. Circuito limitador.
Para analizar este circuito se recurre al estudio de dos casos, primero, cuando el diodo no conduce y
luego cuando el diodo conduce.
Caso 1: El diodo no conduce:
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
63
VREF
i1
R1
vi
RF
RA
i2
_
v1
R2
vo
+
RA RF
Figura 3.41. Limitador cuando D no conduce.
La salida es igual:
vo = −
RF
vi
RA
Ahora se debe encontrar el punto de ruptura, que está dado por el voltaje v1.
VREF − v 1 v o − v 1
+
R1
R2
VREF v o
v
v
+
− 1 − 1 =0
R1
R2 R1 R2
R 2VREF + R 1 v o
R + R2
− v1 1
=0
R1 R2
R1 R2
i1 + i 2 = 0 =
 R1 R2
v1 = 
R + R
2
 1
V
 R 2VREF + R 1 v o
v 

= (R 1 R 2 ) REF + o 

R1 R2
R2 
 R1

El diodo conduce cuando Vγ> v1. Si Vγes el voltaje necesario para hacer conducir el diodo.
Vγ⟩v 1 =
R 2VREF + R 1 v o
R1 + R 2
Como ánodo del diodo se encuentra a 0 volts, el punto v1 debe ser negativo. Luego v1=-Vγ
, para que
el diodo conduzca. Ahora podemos despejar la salida:
R 1 + R 2 R 2VREF
−
R1
R1
RV
Si hacemos Vγ
=0, entonces v o = − 2 REF
R1
v o = − Vγ
La salida es un valor constante que sólo depende de R1, R2 y VREF.Esto representa el punto de
ruptura entre las dos condiciones del circuito.
Caso 2: El diodo conduce:
Se reemplaza el diodo por un generador de tensión Vγy una resistencia Rf. Luego el circuito queda
de la siguiente forma:
64
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
i1
R
R
f
+
Vγ
R
A
R2
_
i
1
v
1
RF
v
V
REF
i
2
vo
+
RF
RA
Figura 3.42. Limitador cuando D conduce.
Para simplificar el circuito podemos encontrar un equivalente Thévenin de la red resistiva que se
encuentra al lado derecho del diodo.
Rf
Vγ
RF
R
A
vi
+
R2
+
R1
V
REF
V REF
R1
R1
-
R2
Vo
R2
vo
R
+
RA
EQTH
RF
+
V
TH
Figura 3.43. Equivalente Thévenin.
Lo que implica que:
R EqTH = R 1 R 2
V
v   R1 R2
VTH = (R 1 R 2 ) REF + o  = 
R2  
 R1
R1 + R2
 R 2VREF + R 1 v o R 2VREF + R 1 v o

=

R1 R2
R1 + R2

Finalmente el limitador queda transformado como sigue:
R
V
Rf
EqTH
+
Vγ
RF
+
TH
R
v
A
i
_
+
RA
vo
RF
Figura 3.44. Circuito equivalente.
vo = −
RF
RF
vi −
{VTH + Vγ}
RA
R f + R1 R2
65
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
vo = −
 R 2 VREF + R 1 v o

RF
RF
vi −
+ Vγ

RA
R f + R 1 R 2  R1 + R 2


RF
R1
v o 1 +

R f + R1 R2 R1 + R2


 R 2VREF

RF
 = − RF v i −
+ Vγ


RA
R f + R1 R 2  R1 + R 2


Consideraciones
RF
⟩⟩1
R f + R1 R2
La ecuación queda
vo = −
FG
H
1
R
1+ 2
RA
R1
IJe R
K
j
R2 + R f vi −
1
FG
H
IJ
K
R2
R
VREF − 1 + 2 Vγ
R1
R1
Donde el término que multiplica a vi, es la ganancia del circuito.
Si R2<<R1 y Rf << R1|| R2, la ganancia se reduce a:
Ganancia ≈−
R
1
(1)(R 2 ) = − 2
RA
RA
Con estos antecedentes se puede determinar la característica vo/vi del circuito limitador.
vo
RF
RA
v ic
vi
v oc
Figura 3.45. Característica vo/vi.
v oc = − Vγ
v ic =
RA
RF
R 1 + R 2 R 2VREF
R
−
≈− 2 VREF
R1
R1
R1
R 2

R  
1+ 1 
Vγ
 VREF + 

R2 


 
R 1

La pendiente cambia de -RF/RA a más o menos -R2/RA, cuando vi aumenta más allá del punto de
ruptura. Si VREF es negativo, la ruptura ocurre para un valor de vo negativo, esto significa que el punto
(voc, vic) se traslada al segundo cuadrante del eje vo/vi.
R2 debe ser mucho menor que RA, si se desea alcanzar una buena limitación. Debe existir una
pendiente lo más cercano a cero más allá del punto de ruptura.
66
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
El valor de salida cambia cuando cambia la pendiente, voc debe ser menor que la tensión de
saturación.
Se puede configurar un circuito un que tenga un límite inferior y superior, el cual se muestra en la
siguiente figura, donde además se muestra su característica vo/vi.
V
REF
R1
D1
vo
V REF
RF
RA
v
i
R2
_
vi
vo
+
RA
R 2
RF
-V REF
R 1
D2
(a)
-V REF
(b)
Figura 3.46. (a) Circuito limitador (con límite superior e inferior). (b) Característica vo/vi.
@ TAREA 3.5.
Realice un análisis para determinar la curva vo/vi para el circuito mostrado en la fig. 3.46a.
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
67
3.8. AMPLIFICADOR LOGARÍTMICO Y ANTILOGARÍTMICO
Los amplificadores logarítmicos y antilogarítmicos son usados para realizar multiplicación y
división de señales analógicas. Así también para obtener su logaritmo o su función exponencial.
Para producir una amplificador con respuesta logarítmica, se debe utilizar un dispositivo que
presente dicha característica. El elemento utilizado es el diodo semiconductor.
La corriente a través de este dispositivo está dada por la siguiente expresión
ID
F
= I Ge
H
I
− 1J ≅ I e
K
qV D
kT
s
qV D
kT
s
donde:
Is
q
VD
k
T
:
:
:
:
:
Corriente de saturación inversa
Carga del electrón (1.6 x 10-19 Cb)
Voltaje del diodo.
Contante de Boltzman (1.38 x 10-23 joule/°K)
Temperatura absoluta en grados Kelvin
Analicemos la siguiente configuración
D1
ID
vi
R1
_
i1
+
vo
Figura 3.47. Amplificador logarítmico.
donde
v o = − VD + v − = − VD
vi = i1 R1 + v − = i1 R1 ⇒ i1 =
Como i1=ID, tenemos que
vi
R1
qVD
vi
= I s e kT
R1
Además, vo=-VD
vo = −
v
kT
ln( i )
q
R1 I s
La salida es función del logaritmo natural de la entrada. Usualmente kT/q≈26mV a 25°C.
Si intercambiamos la resistencia R1 por el diodo D1 en el amplificador logarítmico podemos obtener
una nueva configuración:
68
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
i1
R1
D1
vi
_
ID
vo
+
Figura 3.48. Amplificador antilogarítmico.
v i = VD
I D = Is e
qVD
kT
v o = − R1 I D = − R1 I s e
qVD
kT
Esta configuración se conoce como amplificador antilogarítmico. La salida es una función
exponencial de la entrada.
Multiplicación y división de señales análogas
v
1
v2
Amp
Log
Amp
Log
R
v 01
R
V02
R
R4
_
F1
Amp
F2
R3
_
Anti-Log
+
+
Figura 3.49. Diagrama de un circuito multiplicador.
Si definimos k1= kT/q, k2=R1Is
 v1 
v 01 = − k 1 ln
k 

 2
v2 
v 02 = − k1 ln

k 
 2
 v1 
 v2
F 1 = − (v 01 + v 02 )= k 1 ln 
k 
 + k 1 ln 
k
 2
 2
F2 = − k2 e
qF 1
kT
= − k2 e
F1
k1
= − k2 e




v 
v
1
 k1 ln  1 + k1 ln  2
 

k1 
k2 
 k2

 v1 v2 
v1 v 2
F2 = − k2 
k k 
= − k
2
 2 2
Finalmente definimos k2=R4/R3, luego la salida nos queda




vo
69
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
vo = −
R4
R3
 v1 v2

− k
2



= v 1 v 2

vo es el producto v1v3.
Para realizar la división análoga de señales, el diagrama del circuito es el siguiente
v
1
v2
Amp
Log
Amp
Log
v 01
R
R4
R
_
R
F1
R3
Anti-Log
+
V02
Amp
F2
_
vo
+
R
Figura 3.50. Diagrama de un circuito divisor de señales.
v1 
v 01 = − k 1 ln

k 
 2
v2 
v 02 = − k 1 ln
k 

 2
 v1
F 1 = (− v 01 + v 02 )= k 1 ln 
k
 2
F2 = − k2 e
qF 1
kT
= − k2 e
F1
k1

v2

 − k 1 ln
k

 2
= − k2 e
v
1
k 1 ln  1
v
k1 
 2

 v1 
F2 = − k2 

v 
 2
Si hacemos R4/R3=(1/k2), llegamos a
vo = −
R4
R3

v1  v1

− k 2 v 
= v
2 
2






v1

 = k 1 ln 
v

 2
= − k2 e
 v1
ln 
v
 2








70
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
3.9 AMPLIFICADORES DE INSTRUMENTACIÓ N
El Amplificador de Instrumentación (AI) es uno de los circuitos electrónicos más versátiles usados
en los sistemas de instrumentación moderna, también es usando en los sistemas de control moderno.
Básicamente el AI es un amplificador con entrada diferencial con muy alta impedancia de entrada y
muy alto CMRR, normalmente tiene ganacia ajustable y bajo impedancia de salida. es usado como
amplificador de señales continuas y alternas.
En los sistemas de instrumentación se requiere un amplificador que responda a la diferencia de dos
señales, las cuales son referenciadas sobre un punto común, además debe tener un alto CMRR (para atenuar
al máximo las señales en modo común). Por otro lado el transductor es una fuente de alta impedancia, lo que
implica que el amplificador debe tener una alta resistencia de entrada para obtener una mejor prestación.
Amplificador diferencial
Consideremos el amplificador diferencial de la fig. 3.51. Este es un circuito de medición, el cual se
ve afectado por un interferencia.
Interferencia
Amplificador Diferencial
vn
+
vn
vs
_
V1
Pto. común
vc
vo
V2
Transductor
Riel común
Figura 3.51. Amplificador diferencial.
Determinando V1 y V2
V1 = v c + v s + v n
V2 = vc + vn
La salida queda
Finalmente
v out = Adm (V1 − V2 )= Adm (v c + v s + v n − v c + v n )
v out = A dm v s
El amplificador deferencial básico (fig. 1.8) puede ser usado como parte de un AI, pero requiere un
elemento adicional para el ajuste del CMRR.
71
Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
R
Ra
V
2
V1
_
AO
Ra
R
f
vo
+
Ajuste
del
CMRR
f
Figura 3.52. Amplificador diferencial con ajuste de CMRR.
@ TAREA 3.6.
Determine ¿Por qué? el potenciómetro de la figura 3.52. es capaz de ajustar el CMRR.
Este amplificador presenta problemas con su resistencia de entrada. La solución a esto es sencilla,
incorporando un seguidor de emisor en cada entrada del amplificador diferencial, de acuerdo a la fig. 3.52a,
observe que la tensión de salida está dada por
vo = V2 − V1
V
2
+
V
2
+
R
RL
vo
_
gR
vo
V
1
+
R
_
V
1
(a)
+
(b)
Figura 3.53. (a) Buffer para AI. (b). Buffer con ganancia.
Note que la tensión vo es aplicada es la que será aplicada al amplificador diferencial.
Para obtener la ganancia variable, se puede hacer la modificación indicada en la fig. 3.53b, de
acuerdo a esto tenemos en la salida
v o = I (2R + gR )
Además
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Apuntes de Circuitos Electrónicos II : Aplicaciones Típicas del AO
I=
Finalmente
vo =
(V2
(V2
− V1 )
gR


− V1 )
(2 R + gR )=  2 + 1(V2 − V1 )
gR

g
Amplificador de Instrumentación
La fig. 5.54 muestra dos AI completos, dependiendo del tipo de AO que se utilicen para configurar
estos AI, la prestación será incrementada.
R
V
2
f
+
_
V
2
_
R
+
_
Ra
R
V
1
R
_
Ra
+
+
f
R
vo
+
Ajuste
del
R
R
CMRR
_
V1
(a)
vo
R
gR
Ajuste
del
CMRR
+
(b)
Figura 3.54. (a) AI sin ganancia ajustable. (b) AI con ajuste de ganancia.
Finalmente el AI de la fig. 3.54b, satisface todos los requerimientos planteados, es decir, la salida
vo no depende del voltage en modo común,sino de la diferencia de las entradas. La impedancia de entrada
será muy alta, y no cambia la ganancia varía, y finalmente, la ganancia de tensión sólo depende de una
resistencia.