CAP TULO 8

CAPÍTULO 8
RIESGO Y RENTABILIDAD
La contribución de una acción al riesgo de una cartera completamente diversificada depende de su
sensibilidad a las variaciones del mercado, lo cual se conoce como beta. Un título con beta = 1
tiene el riesgo medio del mercado. Un título con beta de 0.5 tiene un riesgo de mercado por debajo
de la media.
8.1
HARRY MARKOWITZ Y EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA DE CARTERAS.
Harry Markowitz desde 1952 centró su atención en la teoría de las carteras y en la práctica de la
diversificación para reducir la desviación estándar de los rendimientos (reducir el riesgo) eligiendo
para ello acciones cuyas oscilaciones no sean paralelas.
Es un hecho muy común que la distribución del rendimiento de una acción se parezca a
una distribución normal, y ya que la distribución normal solo tiene dos parámetros (media y
desviación estándar) nos interesa precisamente esas características del rendimiento de una
acción, ya que con ello quedaría descrito su comportamiento aleatorio.
ANÁLISIS DE PORTAFOLIOS ("INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES": RICHARD BRONSON. SCHAWM'S)
Consideremos que contamos con un capital limitado F para invertir en n títulos
diferentes, y consideremos también que el rendimiento de cada uno en un periodo
k fue Rik (i = 1, 2, ..., n ; k = 1, 2, ..., p) . Se desea determinar la cantidad a invertir en
cada título de manera que el rendimiento del portafolio sea mayor o igual a L y que
se minimice el riesgo.
xi ≥ 0
Llamemos xi a la cantidad que se invertirá en el título i-ésimo, desde luego
i = 1, 2, ..., p .
Sabemos que el riesgo del portafolio está dado por la desviación estándar la cual
depende de la varianza del portafolio, y que la varianza es:
n
n
∑ σ i2 x i2 + ∑
i=1
en términos matriciales,
n
n
n
∑ σ ij x i x j =∑∑ σ ij x i x j ,
i =1 i ≠ j j =1
[ ]
i =1 j=1
C = σ ij es la matriz de varianzas y covarianzas, y si X es el vector de
inversiones, la varianza del portafolio es:
X T CX
el problema a resolver entonces es:
min X T CX
x1 + x 2 + K + x n = F
R1 x 1 + R 2 x 2 +R n x n ≥ L
xi ≥ 0
en donde
Ri =
∀
i = 1, 2, ..., n
1 p
∑ R ik
p k =1
Este problema se puede expresar también en la forma
max X T CX + D T X
s.a
AX ≤ B
X ≥0
forma general de un problema de programación cuadrática
en donde C es una matriz simétrica negativa semidefinida. Se tiene, a partir de las condiciones de
Kuhn-Tucker que la solución óptima a este problema debe satisfacer la ecuación matricial
Aˆ Y = Bˆ L (1)
 A
 = 
− 2C
donde:
si
I1
03
01
− I2
02 
;
AT 
B 
B =  ;
D
A mxn ⇒ I1( m×n ) , I 2(n×n ) , O1(m×n ) , O 2( m×m ) , O 3(n×m )
 X
S 
Y= 
U 
 
V 
s: es un vector de variables de holgura de m dimensiones, y U y V son vectores de
multiplicadores de Lagrange con n y m componentes respectivamente.
Las condiciones de Kuhn-Tucker también requieren que la solución óptima del problema
satisfaga alguna de las siguientes ecuaciones:
U 
V 
~
Donde Y =  
 X
 
S 
~ T Y = 0 L ( 2)
U T X + V T S = 0 o bien Y
Además de que Y ≥ 0
MÉTODO DE FRANK Y W OLFE PARA RESOLVER LAS ECUACIONES (1) Y (2)
Paso 0: Construir
B̂ no negativa, ⇒ todos sus componentes ≥ 0
Paso 1: Determinar una solución básica factible para (1) e identificarla como
Yc y P . Esta solución
se puede obtener agregando variables artificiales y utilizando el método de dos fases para
minimizar M veces la suma de las variables artificiales. Si no existiera una solución inicial
sin variables artificiales, el problema cuadrático original no tiene solución.
~ T Y . Si θ = 0 entonces X ∗ = primeros n componentes de Y es la
θ≡P
C
c
solución al problema. Si θ ≠ 0 vaya al paso 3.
Paso 2: Evaluar
~T
Paso 3: Considere la nueva función objetivo max − P Y . Realizar una iteración del método
simplex con las variables básicas actuales y las restricciones que la definieron. La nueva
solución será la nueva Yc
Paso 4: Evalúe
~ T Y si θ = 0 X ∗ = primeros n componentes de Y son la solución. Si
θc ≡ Y
c
c
c
c
θ ≠ 0 vaya al paso 5.
Paso 5: Evalúe
~ T Y . Si P
~ T Y ≤ 1 θ , vaya al paso 6.
P
c
C
2
Si no, vaya al paso 3 y realice otra
iteración del simplex.
Paso 6: Evalúe
~ T (P − Y )
P
α≡ ~ ~ T c
(P − Yc ) (P − Yc )
si
Paso 7: Haga θ =
θ c , P = Yc y vaya al paso 3.
Paso 8: Calcule el vector
P − α ( P − Yc ) y considérese como la P actualizada. Regrese al paso
2.
INTRODUZCAMOS EL PRÉSTAMO Y EL ENDEUDAMIENTO.
Supongamos que puede endeudarse o prestar dinero a la tasa libre de riesgo rf
Rendimiento
Esperado
Línea de Mercado
Frontera
Eficiente
S
rf
σ en %
Obsérvese que si se tiene esa posibilidad, se puede conseguir siempre una mayor
rentabilidad si se combina S con el préstamo o el endeudamiento además de que se tiene la
posibilidad de extender las posibilidades de inversión mas allá de S.
¿Cuál S usar? la de mercado (IPC).
8.2
LA RELACION ENTRE RENTABILIDAD Y RIESGO.
r − rf es la prima de riesgo asociada con el riesgo del activo, es la tasa de
rendimiento adicional a rf que un inversionista requiere para invertir en dicho activo o proyecto.
Habíamos dicho que
βi =
Si
entonces para T-bills
y para el mercado
σ im
,
σ m2
β = 0 ⇒ r − rf = 0
β = 1 ⇒ rm − rf > 0
Línea del mercado de títulos
rm
r
Portafolio de mercado
rf
T-bills
ß
Sin embargo la pregunta ahora es ¿cuál es la prima de riesgo esperada si β no es ni cero ni uno?
A mediados de los años setenta tres economistas: William Sharpe, John Lintner y Jack Treynor
propusieron el Modelo de Equilibrio de Activos Financieros CAPM (Capital Asset Pricing Model)
como respuesta a esa pregunta. Este modelo propone que la prima de riesgo esperado varía en
proporción directa con β , es decir,
r − rf = β (rm − rf )
lo cual significa que toda inversión se debe situar sobre la línea del mercado de títulos.
Este modelo resulta ser muy útil para estimar la rentabilidad esperada de una acción, así como
determinar la tasa de descuento de una inversión, pues
r = rf + β (rm − rf )
UNA PRUEBA DEL MODELO DE EQUILIBRIO DE ACTIVOS FINANCIEROS.
Principios Básicos para la sección de portafolios.
1) Los inversionistas prefieren tener un rendimiento alto y desviación estándar baja. Los
portafolios que ofrecen rendimiento esperado mas alto para una desviación estándar dada,
se conocen como portafolios eficientes.
2) Para saber cual es el impacto marginal de una acción sobre el riesgo del portafolio no se
debe utilizar el riesgo de la acción, sino su contribución al riesgo del portafolio, la cual
depende de la sensibilidad de la acción a las variaciones en el valor del portafolio.
3) La beta es la sensibilidad de un portafolio a las variaciones en el valor del portafolio del
mercado. Por lo tanto la beta mide la contribución marginal de una acción al riesgo del
portafolio de mercado.
4) Si los inversionistas se pueden endeudar y pueden también prestar a la tasa libre de
riesgo, deberían mantener siempre una combinación de la inversión libre de riesgo y de un
portafolio de acciones ordinarias. La composición del portafolio dependerá no de la actitud
ante el riesgo, del inversionista, sino de su percepción de las perspectivas de cada acción.
Por lo tanto si todos los inversionistas tuvieran la misma información, todos tendrían como
portafolio de acciones, el del mercado.
Por tanto, si todo el mundo tuviera un portafolio de mercado y si la β mi de la contribución de cada
título al riesgo del mercado, no debe sorprender que la prima de riesgo demandada por los
inversionistas sea proporcional a la β.
Por otro lado, siempre se cumple que si un portafolio es eficiente debe existir una relación lineal
entre el rendimiento esperado de cada acción y su contribución marginal β al riesgo del portafolio.
También es cierto siempre que si no existe una relación lineal entre el rendimiento esperado de la
acción y su contribución marginal al riesgo del portafolio, entonces la cartera no es eficiente.
El modelo de equilibrio de activos financieros (CAPM) se basa en la suposición de que el mercado
es eficiente (todos los inversionistas tienen la misma información que los demás y las mismas
oportunidades de inversión), y bajo estas circunstancias todos los inversionistas tendrían el mimo
portafolio, esto es, todos invertirían en el portafolio de mercado.
¿QUÉ OCURRIRÍA CON UN TÍTULO QUE NO SIGUIERA LA LÍNEA DE MERCADO?
Si una acción tiene un rendimiento por debajo o por encima de la línea de mercado, entonces el
precio del título se modificará hasta lograr que su rendimiento esperado sea el que corresponde a
su nivel de riesgo según el CAPM, es decir, a quedar sobre la línea de mercado.
Acción B
•
Rendimiento
Línea del mercado de títulos
rm
rf
•
Acción A
0.5
ß
1
1.5