2 LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES

2
LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS
SIMPLES
2
LEYES DE LOS CIRCUITOS Y CIRCUITOS SIMPLES ............ 31
2.1
INTRODUCCIÓN .................................................................. 32
2.2
CONEXIONES BÁSICAS DE LOS ELEMENTOS DE LOS
CIRCUITOS........................................................................................ 33
2.2.1 CONEXIÓN SERIE:.......................................................... 33
2.2.2 CONEXIÓN PARALELO ................................................. 34
2.2.3 CONEXIÓN DELTA......................................................... 36
2.2.4 CONEXIÓN Y................................................................... 36
2.3
LEYES DE LOS CIRCUITOS................................................ 37
2.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DE
KIRCHOFF).................................................................................... 37
2.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DE
KIRCHOFF).................................................................................... 39
2.4
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE LOS
CIRCUITOS........................................................................................ 40
2.5
RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE
EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS. ......................................... 44
2.6
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA.......... 49
2.7
EQUIVALENCIAS................................................................. 53
2.7.1 IMPEDANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS
IMPEDANCIAS EN SERIE ........................................................... 54
2.7.2 ADMITANCIA EQUIVALENTE DE VARIAS
ADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELO ..................... 56
2.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆ ⇔ Y) ....................... 58
2.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE Y
FUENTES DE CORRIENTE.......................................................... 63
2.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN. ...... 65
2.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE. . 66
2.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA EL
DIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE;
OTROS EQUIVALENTES............................................................. 68
31
2.1
INTRODUCCIÓN
En el capítulo 1 vimos sólo someras nociones sobre los circuitos
en sí; en realidad nos ocupamos más en definir y describir los
“elementos” que componen esos circuitos. Esperamos que el
lector ya esté en capacidad de entender un resumen como el
siguiente:
• Un elemento de circuito es un dispositivo que permite la
circulación de corriente eléctrica entre sus terminales.
• Un elemento activo o fuente es aquel que tiene la capacidad
de producir esa corriente.
• Un elemento pasivo, ó de carga es aquel que sólo permite la
circulación de la corriente por él, pero sin ser capaz de
producirla.
• En los elementos de circuitos la corriente gana ó pierde
energía a una rata llamada “potencia” ; la energía ganada ó
perdida por la unidad de carga al circular por el elemento es
∆Energía
el “voltaje” entre los terminales, cuando se expresa
∆c arg a
• De acuerdo a las definiciones anteriores se establece
lógicamente la siguiente relación :
potencia = (voltaje)(corriente)
• Los símbolos y convenciones básicas para un elemento son
los mostrados en la figura 2.1
Figura 2.1 Elemento.
• Con estos presupuestos sobre los elementos de los circuitos,
podemos arriesgarnos al siguiente paso: estudiar como se
32
unen, conectan, ó interconectan estos elementos por sus
terminales.
• Los conceptos dados en este resumen difieren de los dados al
final del capítulo anterior. ¡Pero son los mismos! Lo único
que se cambió es la forma verbal de presentarlos y los
fenómenos enfatizados. Se busca con estos resúmenes hacer
entender al lector que el mismo debe hacer sus resúmenes
conceptuales, los famosos “mapas conceptuales” de la
pedagogía moderna, y hacerlos con cierta frecuencia, de
modo que vaya incluyendo los conceptos nuevos que logre
dominar a medida que avanza en el estudio de los circuitos
eléctricos.
2.2 CONEXIONES BÁSICAS DE LOS ELEMENTOS
DE LOS CIRCUITOS
Sólo hay cuatro conexiones básicas en los elementos de
circuitos. Son
conexiones sencillas, pero ¡ojo! son muy
importantes. Como su nombre lo indica son conexiones básicas,
fundamentales para el estudio de los circuitos.
2.2.1 CONEXIÓN SERIE:
Se dice que dos elementos están conectados en serie, cuando se
encuentran unidos por dos de sus terminales, de modo que
ningún otro elemento esta unido a esos terminales. A la unión
de los terminales se le denomina “nodo” y se representa por un
punto (.). (Figura 2.2.1.1).
Figura 2.2.1.1 Conexión serie.
33
De acuerdo a las condiciones del capítulo anterior, vamos a
considerar que en ninguna parte de los circuitos se va a
almacenar, crear, desaparecer ó perder carga eléctrica, de modo
que en el nodo tendremos que aceptar que la carga que entra en
un ∆t tiene que salir en el mismo ∆t (Figura 2.2.1.2). En forma
mucho más concisa, diremos que la corriente que entre al nodo
es la misma que sale de él. En definitiva, la conexión serie se
caracteriza porque los elementos llevan la misma corriente.
Recíprocamente, dos elementos de diferente corriente no se pueden
conectar en serie, y si, por cualquier razón, se encuentran en un circuito,
se deben considerar simplemente como un error, exactamente como si en
geometría se afirmara que en un triángulo todos sus puntos equidistan de
su centro.
Figura 2.2.1.2 Nodo
Podemos extender la definición de conexión serie a cualquier
número de elementos (Figura 2.2.1.3). Basta que se cumpla la
definición vista para todos los elementos vecinos.
Figura 2.2.1.3 Conexión en serie.
2.2.2 CONEXIÓN PARALELO
Se dice que dos elementos están conectados en paralelo, si se
encuentran unidos sus terminales en parejas. Es decir, si un
terminal de uno de los elementos está conectado a un terminal
del otro elemento, formando un nodo, y los otros dos terminales
34
están conectados también entre sí, formando otro nodo distinto
(Figura 2.2.2.1). Como los terminales y nodos son conductores
ideales, en ellos no experimentan las cargas pérdida ni
ganancia de energía, de modo que en todos sus puntos existe
el mismo voltaje. Por lo tanto, los voltajes en los elementos
deben ser iguales. Recíprocamente, dos elementos de diferente voltaje
no se pueden conectar en paralelo, y si, por cualquier razón, se
encuentran en un circuito, se deben considerar simplemente como un
error, exactamente como si en geometría se afirmara que en un triángulo
todos sus puntos equidistan de su centro.
Se puede extender la definición a cualquier número de
elementos, siempre que cada par de elementos vecinos cumplan
con la definición vista (Figura 2.2.2.2).
Figura 2.2.2.1 Conexión en paralelo.
Figura 2.2.2.2 Conexión en paralelo.
Con un poco de atención se puede captar que las definiciones de
conexión en serie y conexión en paralelo tienen una similitud profunda, y
que casi resultan idénticas cuando los términos voltaje y corriente se
intercambian. Todo circuito o afirmación sobre los circuitos que cumpla
esa especie de simetría con respecto al voltaje y la corriente se denomina
35
dual, y es una de las herramientas conceptuales más importantes en
muchas disciplinas de la ciencia moderna. Incluso, todavía no se le ha
explorado y sacado el fruto que se espera de ella.
2.2.3 CONEXIÓN DELTA
En esta conexión los elementos forman una delta ( ∆ ), ó un
triángulo, dando lugar a tres nodos (Figura 2.2.3.1). Es
importante porque todo circuito se puede considerar en último
término como formado por estas conexiones delta. Pero para
hablar más de ella debemos conocer más sobre las leyes de los
circuitos, de las cuales trata, precisamente, este capítulo.
Figura 2.2.3.1 Conexión en delta.
2.2.4 CONEXIÓN Y
En esta conexión los elementos forman una delta (Y), dando
lugar a tres nodos externos y a un nodo interno (Figura 2.2.4.1).
Todo circuito en Y se puede transformar en uno en delta, y
viceversa.
36
Figura 2.2.4.1 Conexión en Y.
2.3
LEYES DE LOS CIRCUITOS
En realidad, ya hemos aplicado varias veces estas dos leyes que
ahora veremos; pero lo que aquí nos interesa es formularlas de
una manera bien clara y útil. Estas dos leyes se fundamentan
en dos principios sólidamente basados en la física moderna: el
principio de la conservación de la carga eléctrica y el principio
de la conservación de la energía.
2.3.1 LEY DE CORRIENTE (LEY DE CORRIENTES DE
KIRCHOFF).
Esta ley fundamental fue formulada por Kirchoff y por eso lleva
su nombre. Si aceptamos que en un nodo no se crea carga
eléctrica, ni tampoco se destruye, ni se disipa de ninguna
forma, ni menos se almacena, tendremos que convenir que
si entra una determinada carga en un intervalo de tiempo por
alguno de los conductores unidos al nodo, esa misma carga
tiene que salir por otros conductores en ese mismo intervalo de
tiempo. Si en la figura 2.3.1.1, los ∆qs indican las cantidades de
carga que entran ó salen del nodo en el mismo tiempo ∆t,
tendremos:
∆ q que entró en el ∆t = ∆q1 + ∆q3
∆ q que salió en el ∆t = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q6
37
Figura 2.3.1.1 Ley de corriente de Kirchoff.
De donde:
∆q1 + q3 = ∆q2 + ∆q4 + ∆q5 + ∆q6
Dividiendo por ∆t
∆q1 ∆q3 ∆q 2 ∆q 4 ∆q5 ∆q 6
+
=
+
+
+
∆t
∆t
∆t
∆t
∆t
∆t
De donde:
i1 + i3 = i2 + i4 + i5 + i6
O sea que podemos reformular el principio de la conservación
de la carga como una ley de corrientes:
SUMA DE CORRIENTES = SUMA DE CORRIENTES
QUE ENTRAN AL NODO
QUE SALEN DEL NODO
Ley que se puede escribir de varias formas:
i que entran - i que salen = 0
(2.3.1.1)
i Las ue entran +, Las que salen - = 0
(2.3.1.2)
38
2.3.2 LEY DE VOLTAJES (LEY DE VOLTAJES DE
KIRCHOFF).
Recuérdese que el voltaje en un elemento es la diferencia de la
energía útil de la unidad de carga colocada en uno de sus
terminales y luego en el otro. Considere una conexión de
elementos, como la de la figura 2.3.2.1, y denotemos la unidad
de carga como ∆q, y la energía de esa unidad de carga en el
nodo “a” como ∆Wab etc. Entonces
Figura 2.3.1.1 Ley de voltaje de Kirchoff.
V1 =
∆Wa ∆Wb
−
∆q
∆q
∆Wb ∆Wc
∆Wd ∆Wc
−
V3 =
−
∆q
∆q
∆q
∆q
∆Wd ∆We
∆We ∆Wa
V4 =
−
V5 =
−
∆q
∆q
∆q
∆q
V2 =
Ahora
hagamos
un
recorrido
imaginario
por
los
elementos, uno después del otro; y si pasamos de un terminal “” a un terminal “+”, tengamos en cuenta que
“subimos” en la energía; por último, sumemos los voltajes de los
elementos, tomando como + los que corresponden
a una “subida” en la energía y como - los que
corresponden a un “descenso” en la energía, veamos:
39
(Iniciamos recorrido en a) - V1 (estamos en b) - V2 (estamos en c)
+ V3 (estamos en d) - V4 (estamos en e) – V5 (estamos en a,
punto de salida)
De donde:
− V1 − V 2 + V 3 − V 4 − V 5 = −
∆Wa ∆Wb ∆Wb ∆Wc ∆Wd ∆Wc
+
−
+
+
−
−
∆q
∆q
∆q
∆q
∆q
∆q
∆Wd ∆We ∆We ∆Wa
+
−
+
=0
∆q
∆q
∆q
∆q
En cierta forma debimos haber estado convencidos de que el
resultado sería el obtenido y que no íbamos a establecer nada
nuevo. En efecto, que la suma de “subidas” de voltajes menos la
suma “descensos” de voltaje sea cero (0) en un recorrido
cerrado, es simple consecuencia lógica de la definición del
concepto de voltaje.
Podemos escribir esta ley de voltajes de formas distintas, como
hicimos en la ley de corrientes:
Suma subidas de voltaje - suma de bajadas de voltajes en
un recorrido = 0
Σ V subidas - Σ V bajadas = 0
en un recorrido cerrado
Σ V (+ subidas - bajadas) =0
en un recorrido cerrado
(2.3.2.1)
(2.3.2.2)
2.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE
LOS CIRCUITOS.
Vamos a aplicar las dos leyes para “resolver” dos circuitos
de los ya vistos anteriormente. En la figura 2.4.1, una fuente
alimenta dos elementos en serie. La ley de corrientes (ec.
2.3.1.1) aplicada a los nodos del circuito sería:
Σ i que entran a un nodo = Σ i que salen del nodo
40
∴ i1 = i2 ; i2 = i3 ; i3 = i1
nodo a
nodo b
∴ i = i1 = i2 = i3
nodo c
Figura 2.4.1 Ejemplo aplicación de las leyes
de circuitos.
O sea que sólo debemos tener en cuenta una “variable” tipo
corriente, la variable i. La ley de voltajes aplicado al circuito
sería:
Σ V subida = Σ V bajada
en un recorrido cerrado
V1 = V2 + V3
Las últimas relaciones que podemos establecer son:
P1 = V1 * i1
P2 = V2 * i2
P3 = V3 * i3
Por “resolver” el circuito entenderemos utilizar las ecuaciones
que podamos plantear y los datos que se nos den para hallar las
otras cantidades desconocidas, incógnitas. Como sabemos:
P3 = 80 w
V3 = 10 v
Calculamos:
i3 =
De donde:
P3 80 w
=
= 8 amp
V3 10v
i = i1 = i2 = i3 = 8 amp
41
Pero:
De donde:
Entonces:
Por último:
P1 = V1 I 1 = v1i
100 w = (V1) 8 amp
100 w
∴V1 =
= 12.5volt
8amp
V2 = V1 - V3 = 12.5 v - 10 v = 2.5 v
P2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 w
Figura 2.4.2 Ejemplo aplicación de las leyes
de circuitos.
El ejemplo de la figura 2.4.2 es un típico ejemplo de un circuito
en paralelo, la ley de corrientes en los nodos arroja:
i1 = i2 + i3 ; i2 + i3 = i1
nodo a
nodo b
Es decir, aplicamos la ecuación 2.3.1.1.
Para aplicar la ley de los voltajes tenemos dos oportunidades
(aplicando la ecuación 2.4.2):
V1 = V2 ;
V2 = V3
42
De las últimas ecuaciones tenemos:
V = V1 = V2 = V3
Y por último:
P1 = V1 * i1
P2 = V2 * i2
De acuerdo a los datos:
V3 =
Entonces:
P3 = V3 * i3
P3
80w
=
= 8volt
I 3 10amp
V = V2 = V3 = 8v
Y como:
i1 =
De donde:
Por último:
P1 100w
=
= 12.5amp
V3 8volt
i2 = i1 - i3 = 12.5 A - 10 A = 2.5 A
P2 = V2 * i2 = 2.5 v * 8 A = 20 w
Estos ejemplos nos han servido, no sólo para mostrar el manejo
elemental de las leyes de los circuitos, sino también para
esbozar lo que entenderemos por “resolver” un
circuito.
Observamos que trabajamos con tres clases de variables:
corrientes, voltajes, potencias. Son muchos tipos de variables, y
es mejor restringirlos para lograr soluciones más sistemáticas y
claras. Nos vamos a concentrar, entonces, en circuitos que
puedan resolverse utilizando como variables los voltajes y las
corrientes solamente.
43
2.5 RELACIONES ENTRE EL VOLTAJE Y LA
CORRIENTE EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOS.
Para cumplir el propósito expuesto al final del numeral
anterior de trabajar sólo con los voltajes y las corrientes, nos
vemos obligados a volver a estudiar la forma como se relaciona
el voltaje con la corriente en un elemento de circuitos.
Figura 2.5.1 Relación entre voltaje y corriente.
Este tema se trató al final del capítulo 1, aquí sólo veremos una
recapitulación breve. Admitiremos las siguientes relaciones:
v = f(i) + f(t, otros parámetros ≠ i )
ó
i = f(v) + f(t, otros parámetros ≠ v)
Que se leen: el voltaje es función de la corriente y de otros
parámetros diferentes de la corriente, como el tiempo; ó la
corriente es función del voltaje y de otros parámetros, como el
tiempo. Vamos a restringir aún más el tipo de elementos con
que vamos a trabajar por el momento postulando:
a. Para elementos fuente sólo consideraremos:
v = f (t, otros parámetros independientes del circuito)
i = f (t, otros parámetros independientes del circuito)
Es decir, por ahora no consideraremos fuentes controladas por
los valores que dependan del mismo circuito. O más claro,
consideraremos las fuentes “dato”. En una fuente de voltaje, el
voltaje será un dato, algo conocido; en una fuente de corriente
lo conocido será la corriente.
b. Para los elementos pasivos,
relaciones que cumplan:
44
sólo
consideraremos
las
v = f (α i) ó i = f (α v)
v = α f (i) ó i = α f(v)
Es decir, relaciones llamadas lineales entre el voltaje y la
corriente.
Y de todas las posibles funciones lineales nos ocuparemos de las
que corresponden a los elementos más comunes (llamados a
veces elementos “naturales”, porque no requieren tecnologías
sofisticadas de construcción): la resistencia, la inductancia y la
capacitancia. Veamos la tabla 2.5.1 que sintetiza todos los
elementos pasivos con sus símbolos, variables y relaciones
voltaje - corriente.
ELEMENTO
TABLA 2.5.1
RELACIÓN
v=IR
v=L
di
dt
i=C
dv
dt
Las relaciones “inversas” para estos elementos serán:
TABLA 2.5.2
Relación directa
Relación inversa
v=iR
v=L
v
R
i
t
1
di =
vdt
L0
io
i=
di
dt
i = io +
45
1 t
vdt
L 0
i=C
dv
dt
1 t
idt
vo
C 0
1 t
v = vo +
idt
C 0
v
dv =
Comparando las relaciones “directas” con las “inversas”, vemos
que las primeras son “instantáneas”, ó puntuales, es decir, sólo
involucran el valor instantáneo, en un punto, en un instante, de
las variables; en cambio, las inversas requieren no sólo del
“valor inicial” de la
variable independiente (valor en el
tiempo inicial: t = 0), sino toda la “historia” en el tiempo de esa
variable para poder efectuar la integral.
Afortunadamente nuestro conocimiento de la conexión en serie
y de la conexión en paralelo permite efectuar una simplificación
en las relaciones inversas, mediante la interpretación sugerida
en la figura 2.5.2.
El “truco” (porque se trata de un truco, de un artificio) consiste
en reemplazar la inductancia original por otra cuya corriente
en t = 0, es cero, y colocarle en paralelo una fuente de corriente
igual al valor inicial de la corriente en la inductancia original.
Para la capacitancia, se reemplaza la original por una
capacitancia sin voltaje inicial, en serie con una fuente de
voltaje cuyo valor es el voltaje inicial de la capacitancia
original.
Haciendo lo anterior en todos los elementos que lo requieran,
el circuito sólo contendrá inductancias y condensadores sin
corrientes y sin voltajes iniciales, respectivamente.
46
Figura 2.5.2 Representación de los elementos
Con corrientes y voltajes iniciales..
Las relaciones entre el voltaje y la corriente, cuando todos los
elementos están “descargados” en t = 0 (después veremos
porque se llaman así) se dan en la tabla 2.5.3.
ELEMENTO
TABLA 2.5.3
RELACIÓN
DIRECTA
v=iR
47
RELACIÓN
INVERSA
v
i=
R
ELEMENTO
RELACIÓN
DIRECTA
di
v=L
dt
i=C
dv
dt
RELACIÓN
INVERSA
1 t
i=
vdt
L 0
v=
1 t
idt
C 0
Ahora, el trabajo con las ecuaciones que contienen términos en
derivadas y en integrales, como los acabamos de ver, se reducen
enormemente introduciendo el concepto de operador. Como su
nombre lo indica un “operador” es un símbolo que define y
representa una “operación” determinada; esta operación se
efectúa sobre la expresión que se coloque a la derecha del
símbolo correspondiente.
Ejemplos:
v=L
di
= LDi
dt
d
. Representa la derivada
dt
∴ D: símbolo del operador
respecto al tiempo.
i=C
i=
∴ D −1 =
1
D
(2.5.4)
dv
= CDv
dt
1
L
t
0
vdt =
(2.5.5)
D −1
1
v=
v
L
DL
Símbolo del operador
t
0
(2.5.6)
dt
Representa la integral en el tiempo desde t = 0, hasta el tiempo
escogido.
48
v=
1
C
t
0
idt =
D −1
1
i=
i
C
CD
(2.5.7)
Obsérvese como la derivada respecto a t y la integral en t se
consideran operadores inversos y se representan como tales. En
efecto:
t di
i
di
D −1 Di = D −1
=
dt = di = i − io
0 dt
io
dt
Pero
io = 0
en nuestros elementos
∴ D −1Di = i
t
DD −1v = D vdt = v
0
Tendremos que se puede aceptar: D −1 D = DD −1 = 1
2.6
IMPEDANCIA Y ADMITANCIA GENERALIZADA.
Con lo visto en el numeral anterior se concluye que en los
elementos naturales de los circuitos se puede establecer:
1
v = Ri
v = LDi
v=
i
v = Zi
CD
1
1
i= i
;
i=
v
;
i = CDv ; i = Yv
R
LD
O sea que se puede generalizar la relación entre el voltaje y la
corriente para los tres elementos, si introducimos dos
operadores, convenientemente definidos para cada elemento:
a. El operador Z, llamado “operador impedancia”, “impedancia
generalizada” ó simplemente “impedancia” , se define :
ZR = R
(para la resistencia)
ZL = LD
(para la inductancia)
(2.6.1)
1
ZC =
(para la capacidad)
CD
49
b. El operador Y, llamado “operador admitancia”, “admitancia
generalizada”, ó simplemente “admitancia”, se define:
1
YR =
(para la resistencia)
R
1
YR =
(para la inductancia)
(2.6.3)
LD
YC = CD
(para la capacidad)
1
{K = R, L, C}.
ZK
Veamos dos ejemplos utilizando los circuitos básicos conocidos.
En todos los casos se observa que: YK =
CIRCUITO SERIE:
Figura 2.6.1 Impedancia generalizada (Circuito serie).
VsubIda = Vcaidas
v = v R + v L + vC
Por definición de los elementos
di
1 t
V R = iR ; VL = L
; VC =
idt + v o
dt
C 0
di 1 t
∴ v = iR + L +
idt + v 0
dt C 0
Por definición de los operadores:
1
i + vo
CD
v = Z R i + Z L i + ZC i + v o
v = Ri + LDi +
50
Como los operadores cumplen la propiedad distributiva a la
derecha:
v = ( Z R + Z L + ZC )i + v o
Esta ecuación se interpreta con el circuito de la figura 2.6.2.
Figura 2.6.2 Impedancia generalizada (Circuito serie).
Aprovechamos este ejemplo para introducir el concepto de
“impedancia equivalente”. Es un concepto que se introduce
naturalmente, pues basta escribir:
Zequiv = Z R + Z L + ZC
Y reemplazar la expresión en la ecuación del circuito:
v = v o + Zequiv * i
Esta última es representada por el circuito de la figura 2.6.3.
Nótese como las fuentes que representan los valores iniciales
deben ser excluidas de la Z equivalente.
Figura 2.6.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).
CIRCUITO PARALELO:
Aplicando la ecuación 2.3.1.1, tenemos:
i = iR + iL + iC
51
Figura 2.6.4 Circuito paralelo.
De las relaciones que definen los elementos de circuitos:
V
di
dV
iR = R
; VL = L L
; ic = C C
R
dt
dt
1 T
∴ iL = iLo +
V dt
L 0 L
En forma operacional, estas relaciones quedan:
iR = YRV R
;
iL = iLo + YLVL
;
iC = YCVC
Reemplazando en la expresión para i:
i = iR + iL + iC = YRV R + YLVL + YCVC + iLo
Pero en esta conexión los voltajes son iguales:
V = VR = VL = VC
De donde:
i = YRV R + YLVL + YCVC + iLo
i = (YR + YL + YC )V + iLo
0
i = YequivV + iLo
Aprovechando la semejanza con el caso anterior, nos
permitimos abreviar el proceso en el ejemplo de la figura 2.6.5.
52
Figura 2.6.5 Impedancia equivalente (Circuito paralelo).
2.7
EQUIVALENCIAS.
¿Que significa que el circuito A es equivalente al B?
La equivalencia entre los circuitos A y B significa que A puede
reemplazar a B, y viceversa, en cualquier situación sin que
cambien las variables externas afectadas por esos circuitos.
En forma más clara, si A y B se conectan a un tercer circuito
D, todas las cantidades en D son las misma (incluidas i y v en
los terminales de unión con A ó B), cuando D se conecta a A y
cuando D se conecta a B (Figura 2, 7,2).
Figura 2.7.1 Equivalencias entre circuitos.
Figura 2.7.2 Equivalencias entre circuitos.
Se utiliza ampliamente este concepto en circuitos, pues muchas
veces se puede encontrar un circuito equivalente mucho más
sencillo que el original, lo cual representa ahorro de tiempo en
el análisis. También puede ocurrir que el circuito equivalente
53
no sea más sencillo, pero si más apropiado
planteamiento de algunas ecuaciones específicas.
para
el
Aquí sólo veremos algunos casos simples, pero fundamentales,
aprovechando la ocasión para ilustrar el manejo de los
operadores.
2.7.1 IMPEDANCIA
EQUIVALENTE
IMPEDANCIAS EN SERIE
DE
VARIAS
En este tipo de circuito (Figura 2.7.1.1), la corriente es la
misma por todos los elementos como lo hemos establecido, el
voltaje es la suma de los voltajes en los elementos:
Figura 2.7.1.1 Impedancia equivalente (Circuito serie).
V = V1 + V2 +...+Vn
Pero en cada elemento:
V1 = Z1i1 ; V2 = Z2 i2 ; ... ; Vn = Z n in
∴V = Z1i1 + Z2 i2 +...+ Z n in
∴V = ( Z1 + Z2 +...+ Z n )i
∴V = Zequiv i
Donde:
Zequiv = Z1 + Z2 +...+ Z n =
54
n
i =1
Zi
Figura 2.7.1.2 Impedancia equivalente (Circuito serie).
El resultado anterior se suele expresar con la frase: “la
impedancia equivalente de un conjunto de impedancias
conocidas en serie es la suma de esas impedancias”.
Figura 2.7.1.3 Impedancia equivalente (Circuito serie).
La Z equivalente para el circuito anterior será:
1
1
Zequiv = R1 + L1 D + R2 + L2 D +
+ R3 +
+ L3 D + R4 + L4 D + L5 D
C1 D
C2 D
1
1 1
Zequiv = R1 + R2 + R3 + R4 + ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) D + ( + )
C1 C2 D
Figura 2.7.1.4 Impedancia equivalente (Circuito serie).
55
Esta última expresión nos permite sintetizar la Z
formada por una resistencia equivalente:
Requivalente en serie =
n
i =1
equivalente
como
Ri
Una inductancia equivalente:
Lequivalente en serie =
n
i =1
Y una capacidad equivalente:
Cequivalente en serie =
Li
1
1
i =1 Ci
2
Téngase estos resultados como importantísimos; sobre todo,
nótese como las capacidades “se suman en serie”, para dar la
capacidad equivalente.
2.7.2 ADMITANCIA
EQUIVALENTE
DE
ADMITANCIAS CONECTADAS EN PARALELO
VARIAS
Figura 2.7.2.1 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).
En el caso de la figura 2.7.2.1, el voltaje es el mismo para todos
los elementos, y la corriente es la suma de todas las corrientes
individuales:
i = i1 + i2 +...+ in
56
Pero en los elementos individuales
i1 = Y1V1
;
i 2 = Y2V 2
; ...
i = (Y1 + Y2 +...+Yn )V
i = YequivV
; i n = YnV n
Donde:
n
Yequiv = Y1 + Y2 +...+Yn =
i =1
Yi
Resultado que se suele expresa: “la admitancia equivalente de
un conjunto de admitancias en paralelo, es la suma de estas
admitancias”. (Figura 2.7.2.2).
Figura 2.7.2.2 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).
.
De acuerdo al resultado anterior:
Yequiv = Y1 + Y2 +...+Yn
Yequiv =
1
1
1
1
1
+
+
+
+ C1 D +
+ C 2 D + C3 D
R1 R2 L1 D R3
L2 D
Yequiv =
1
Requiv
+
1
Lequiv
[
O sea:
Requivalente en paralelo =
1
3
i =1
57
]
1
+ Cequiv D
D
1
Ri
Lequivalente en paralelo =
1
2
i =1
Cequivalente en paralelo =
3
i =1
1
Li
Ci
Obsérvese como el elemento equivalente de un conjunto de
elementos depende de la conexión de estos elementos. (Figura
2.7.2.3).
Figura 2.7.2.3 Admitancia equivalente (Circuito paralelo).
2.7.3 EQUIVALENCIA DELTA - YE ( ∆ ⇔ Y)
Ya habíamos definido la conexión delta (∆), y la habíamos
presentado como una conexión de enorme importancia; ahora
veremos como transformarla en otra equivalente, no menos
importante, la conexión ye (Y).
58
Figura 2.7.3.1 Equivalente -Y.
Si los circuitos son equivalentes, lo deben ser en todas las
conexiones. Escojamos las tres mostradas en la figura 2.7.3.2 y
comparemos las impedancias equivalentes en los tres casos.
Primer caso:
V1 = Z equiv i1 =
1
1
1
+
Z13 Z12 + Z 23
59
i1 = [ Z1 + Z 3 ]i1
Figura 2.7.3.2 Equivalente -Y.
Figura 2.7.3.3 Equivalente -Y.
Obsérvese que Z12 está en serie con Z23 y se suman para obtener
la Z equivalente parcial; esta Z equivalente parcial queda en
paralelo con Z13, y ya sabemos que el equivalente total se
obtiene como el inverso de la suma de los inversos de las
impedancias (admitancias). Para el circuito en Y, como Z2
queda sin corriente, sólo basta considerar a Z1 en serie con Z3.
60
Si se hacen las mismas consideraciones para los otros dos casos,
se obtiene:
V2 = Z equiv i2 =
V3 = Z equiv i3 =
1
1
1
+
Z 21 Z 23 + Z13
1
1
1
+
Z 32 Z 31 + Z 21
i2 = [ Z1 + Z 2 ]i2
i3 = [ Z 2 + Z 3 ]i3
Igualando los coeficientes de las corrientes:
Z13 [ Z12 + Z 23 ]
Z1 + Z 3 =
Z12 + Z13 + Z 23
Z1 + Z 2 =
Z12 [ Z13 + Z 23 ]
Z12 + Z13 + Z 23
Z [Z + Z13 ]
∴ Z 2 + Z 3 = 23 12
Z12 + Z13 + Z 23
Sumando las dos primeras ecuaciones anteriores y restando la
última obtenemos:
Z13 [ Z12 + Z 23 ] + Z12 [ Z13 + Z 23 ] − Z 23 [ Z12 + Z13 ]
2Z1 + Z 3 + Z 2 − Z 2 − Z 3 =
Z12 + Z13 + Z 23
Z Z + Z 13 Z 23 + Z 12 Z 13 + Z 12 Z 23 − Z 23 Z 12 − Z 23 Z 13
2Z 1 = 13 12
Z 12 + Z 13 + Z 23
Z12 Z13
Z1 =
Z12 + Z13 + Z 23
Por “simetría” (luego explicaremos ese término; por ahora haga
un intento por desentrañar su significado):
Z 21 Z 23
Z2 =
Z12 + Z13 + Z 23
61
Z3 =
Z13 Z 23
Z12 + Z13 + Z 23
Obsérvese que es como sumar dos Z en paralelo (el producto
sobre la suma) y añadir la Z tercera a la suma.
Z12 Z13
Z1 =
Z12 + Z13 + Z 23
Estas ecuaciones permiten pasar del circuito ∆ al circuito Y
equivalente.
Para la “transformación” inversa, que permite pasar de la Y a
la ∆, obsérvese que :
Z12 Z13 Z 21 Z 23 Z13 Z 23
Z12 + Z13 + Z 23 =
=
=
Z1
Z2
Z3
Z1 Z 23 = Z 2 Z13 = Z 3 Z12
Z 3 Z12
Z Z
∴ Z 23 = 3 12
;
Z13 =
Z2
Z1
Y reemplazando estas ecuaciones en:
Z12 Z13
Z1 =
Z12 + Z13 + Z 23
Obtenemos:
Z1 =
Z12 Z13
Z12 + Z13 + Z 23
Z12 Z 3 Z12
Z2
=
Z Z
Z Z
Z12 + 3 12 + 3 12
Z2
Z1
62
Z12 Z 3
Z2
∴ Z1 =
Z
Z
1+ 3 + 3
Z 2 Z1
∴ Z12 =
Z1Z 2 [Z1Z 2 + Z 3 Z1 + Z 3 Z 2 ] [Z1Z 2 + Z 3 Z1 + Z 3 Z 2 ]
=
Z3
Z1Z 2
Z3
ZZ
Z12 = Z1 + Z 2 + 1 2
Z3
Empleando el argumento de la simetría:
ZZ
Z13 = Z1 + Z 3 + 1 3
Z2
Z Z
Z 23 = Z 2 + Z 3 + 2 3
Z1
Hemos tratado los operadores como si fueran números reales.
Esto es válido siempre que se tenga en cuenta la naturaleza del
operador cuando, al final, se trate de escribir la ecuación
diferencial correspondiente. A propósito de lo anterior, una
forma de entender la equivalencia de circuitos es: “el circuito
original y su equivalente deben tener exactamente la misma
ecuación diferencial”.
2.7.4 EQUIVALENCIA DE FUENTES DE VOLTAJE Y
FUENTES DE CORRIENTE.
Escribamos la ecuación para la malla en el circuito que tiene la
fuente de voltaje de la figura 2.7.4.1.
v − zv i1 − v1 = 0
Ahora escribamos la ecuación de corrientes para uno de los
nodos del circuito que posee una fuente de corriente en la
misma figura.
63
− i1 + i −
v1
=0
zi
Figura 2.7.4.1 Equivalente entre fuentes de voltaje y fuentes de corriente.
Se observa que las dos ecuaciones anteriores quedan idénticas
si se acepta que el operador zi es igual al operador zv , y que
ambos (ó cualquiera de los dos, si aceptamos que son iguales)
pueden invertirse; y por último, si:
v = zi i = z v i
En definitiva, la equivalencia de las fuentes puede ser
representada por la figura 2.7.4.2, en la que se han anulado las
variables innecesarias.
Figura 2.7.4.2 Equivalente entre fuente de voltaje y fuente de corriente.
Esta equivalencia es otra cuya importancia debe enfatizarse
siempre, pues se trata de un procedimiento de amplísimas y
variadas aplicaciones.
64
2.7.5 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE TENSIÓN.
En la figura 2.7.5.1 mostraremos un “divisor de tensión”. Este
se dibujó en una forma no convencional (lo cual no es que sea
muy correcto), tratando de enfatizar la función física del
dispositivo: una resistencia continua, con un conector móvil que
puede desplazarse por la resistencia continua, variando así la
resistencia entre el terminal desplazable y los terminales fijos.
Figura 2.7.5.1 Equivalente de un divisor de voltaje.
Vamos a buscar un circuito equivalente para este dispositivo
utilizando los resultados acabados de obtener en la
equivalencia de fuentes.
Figura 2.7.5.2 Equivalente de un divisor de voltaje.
65
El proceso está condensado en la figura 2.7.5.2, y se puede
resumir así:
a) Convertimos la fuente de voltaje en serie con R1 , en una
fuente de corriente en paralelo con R1 .
b) Como R1 y R2 quedan en paralelo, se pude encontrar un
R1equivalente :
1
Requivalente
∴ Requivalente =
=
1
1
+
R1 R2
R 1R2
R1 + R2
= R,
c) queda una fuente de corriente en paralelo con una
resistencia, que puede transformarse en una fuente de
voltaje en serie con la misma resistencia.
2.7.6 EQUIVALENCIA DE UN DIVISOR DE CORRIENTE.
Aquí lo que se presenta es una “división de la corriente i entre
varias resistencias. Veamos un circuito equivalente.
Figura 2.7.6.1 Equivalencia de un divisor de corriente.
a) Buscamos una resistencia equivalente de las resistencias
que quedan en paralelo con la resistencia interesada, la
Rc arg a .
Requivalente =
1
1
1
1
+
+
+ ...
R1 R2 R3
66
Figura 2.7.6.2 Equivalencia de un divisor de corriente.
b) Convertimos la fuente de corriente en paralelo con esa
Requivalente a una fuente de voltaje en serie con esa
resistencia (ver figura 2.7.6.3).
Figura 2.7.6.3 Equivalencia de un divisor de corriente.
R`=
Requivalente
Requivalente + Rc arg a
c) Por último, consideramos la fuente de voltaje en serie
con la resistencia
Requivalente + Rc arg a , entre los terminales
a y b (que se encuentran en corto circuito), y la
transformamos en una fuente de corriente en paralelo
con una resistencia. Como ésta fuente queda en
cortocircuito, toda la corriente de la fuente circula por el
corto.
i Requivalente
ic arg a =
Requivalente + Rc arg a
67
2.7.7 EQUIVALENTES GENERALIZADOS PARA EL
DIVISOR DE TENSIÓN Y EL DIVISOR DE CORRIENTE;
OTROS EQUIVALENTES.
Los casos que acabamos de ver, en los cuales consideramos sólo
resistencias, se pueden generalizar a impedancias, tal como se
muestra en la figura 2.7.7.1, y en la figura 2.7.7.2.
Figura 2.7.7.1 Equivalentes generalizados para el divisor de corriente y el divisor de
voltaje.
68
Figura 2.7.7.2 Equivalentes generalizados para el
divisor de corriente y el divisor de voltaje.
Estúdiese bien estos últimos procedimientos, porque
constituyen formas muy socorridas para resolver problemas en
circuitos. En lugar de plantear unas ecuaciones y luego
atacarlas por métodos puramente algebraicos para tratar de
obtener los resultados buscados, lo que se hace es “transformar”
el circuito, mediante “transformaciones” ya aceptadas y
conocidas, hasta obtener un circuito en el cual resalta ó resulta
evidente aquello que se desea encontrar ó demostrar.
Ya definimos un “conductor ideal”, llamado coloquialmente un
“corto”, como un elemento entre cuyos terminales no hay
diferencia de tensión. Podemos utilizar esa definición para
establecer una equivalencia muy importante: todo elemento, o
conjunto de elementos con dos terminales, entre cuyos
terminales exista una diferencia de tensión nula se puede
reemplazar por un conductor ideal, o por un “corto”, según se
entienda mejor. Igualmente, todo elemento, o conjunto de
elementos con dos terminales, entre cuyos elementos no circule
corriente se puede reemplazar por un circuito abierto. Ahora,
como en muchos elementos si la corriente es nula el voltaje
también es nulo y viceversa, resulta que esos elementos se
pueden reemplazar por cortos o por circuitos abiertos según la
69
conveniencia del caso. La única manera de adquirir criterio de
ingeniero para proceder en una u otra forma es practicar mucho
en la resolución de circuitos de todo tipo.
70