Solución

II Concurso de Resolución de Problemas
Curso 2011-2012
Solución del Problema del Juego de los Chinos.
Nombramos a los jugadores A, B, C, D . . . en el orden en el que juegan.
Para 2 jugadores con 3 monedas
El siguiente cuadro resume las posibles situaciones del juego. Las filas corresponden
a las posibilidades para en número de monedas (x) que lleva A y las columnas a las
posibilidades para el número de monedas (y) que lleva B. En cada celda aparece la
suma de monedas en esa situación:
y=0 y=1 y=2 y=3
x=0
0
1
2
3
x=1
1
2
3
4
x=2
2
3
4
5
x=3
3
4
5
6
Si A lleva x monedas en la mano sabe que el juego “se desarrolla en la fila” correspondiente a ese valor de x. Puede por tanto decir cualquier número de esa fila
(cualquier número entre x y x + 3) y, como hay un caso favorable entre 4 posibles, tendrá una probabilidad de 1/4 (un 25 %). Pero debe decir siempre 3 porque
cualquier otra opción darı́a información a B: por ejemplo, si A dijese 4 entonces B
sabrı́a que no es x = 0.
También B sabe que el juego se desarrolla en su columna, en la que cada una de
las sumas tiene como antes una probabilidad de 1/4. Debe por tanto decir cualquier
número de esa columna excepto el 3, que ya está dicho, y su probabilidad es 1/4.
1 1
1
La probabilidad de que nadie gane es por tanto 1 − − = (un 50 %).
4 4
2
Para 3 jugadores con 1 moneda
En el siguiente cuadro, cada columna corresponde a una de las 8 posibles situaciones
del juego: las tres primeras filas indican el número de monedas (x, y, z) que llevan
los jugadores A, B y C, respectivamente, y en la cuarta está la suma total:
x
y
z
suma
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
0
0
1
1
0
1
2
1
1
0
2
1
1
1
3
Si A lleva 0 monedas (x = 0), sabe que el juego se desarrolla en la mitad izquierda
de la tabla, por lo que debe decir “1” para tener 2 casos favorables sobre 4 posibles.
Si lleva 1 debe decir “2” por un razonamiento análogo. En definitiva, A debe decir
“x + 1” (uno más de lo que lleve) y tiene una probabilidad de 1/2 (un 50 %), aunque
revela a los demás el número de monedas que lleva (uno menos de lo que haya dicho).
Ahora B conoce los valores de x y de y, por lo que sabe que sólo hay dos opciones para
la suma total (dependiendo del valor de z); una de esas opciones ya la habrá elegido
A, por lo que B elegirá la otra (que se puede obtener con la fórmula x + 2y) y su
probabilidad será del 50 %.
Por tanto siempre ganan A ó B, y el jugador C no puede ganar nunca.
Para 4 jugadores con 1 moneda
En el siguiente cuadro, cada columna corresponde a una de las 16 posibles situaciones
del juego: las primeras filas indican el número de monedas (x, y, z, t) que llevan los
jugadores A, B, C y D, respectivamente, y en la quinta está la suma total:
x
y
z
t
suma
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
1
2
0
1
1
0
2
0
1
1
1
3
1
0
0
0
1
1
0
0
1
2
1
0
1
0
2
1
0
1
1
3
1
1
0
0
2
1
1
0
1
3
1
1
1
0
3
1
1
1
1
4
Si A lleva 0 monedas sabe que el juego se desarrolla en la mitad izquierda de la
tabla, por lo que diciendo “1” o “2” tendrá el mayor número de casos favorables: 3
sobre 8 posibles. Análogamente, si x = 1 puede decir “2” o “3”. En vista de esto
debe decir siempre “2” para no dar información a sus rivales, y su probabilidad es
de 3/8 (un 37, 5 %).
Visto de otro modo, A juega sin tener en cuenta lo que él mismo lleva y dice el número
que más se repite en la fila de sumas, con 6 casos favorables sobre 16 posibles.
Ahora B sólo sabe las monedas que él lleva, por lo que puede hacer un análisis inicial
como el de A. Como no puede decir “2” porque ya lo habrá dicho A, debe decir la
otra opción que le da una probabilidad de 3/8. Es decir, dirá “1” o “3” según si lleva
0 ó 1 (o sea, dirá 2y + 1). Nótese que, de este modo, revela a los demás el valor de y.
Ahora C conoce los valores de y y de z, por lo que sabe que sólo hay cuatro opciones
para los valores de x y t con tres sumas posibles, y dos de esas sumas ya habrán
sido elegidas por A y por B, por lo que debe elegir la otra (que se puede obtener
con la fórmula y + 3z). De esto se deduce que uno de los jugadores A, B o C acierta
1
3 3
seguro, por lo que a C la queda la probabilidad 1 − − = .
8 8
4
De lo anterior se deduce que el jugador D no puede ganar nunca.
Se deja para el lector interesado la comprobación de que, si A elige “la otra opción”
(es decir, si dice “2x + 1”), aunque dé información al resto sobre lo que él lleva las
probabilidades de B, C y D no varı́an.
Para 3 jugadores con 2 monedas
El cuadro de opciones es ahora el siguiente:
x
y
z
suma
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
2
2
0
1
0
1
0
1
1
2
0
1
2
3
x
y
z
suma
0
2
0
2
2
0
0
2
0
2
1
3
2
0
1
3
0
2
2
4
2
0
2
4
x
y
z
suma
2
1
0
3
2
1
1
4
2
1
2
5
1
0
0
1
2
2
0
4
1
0
1
2
2
2
1
5
1
0
2
3
1
1
0
2
1
1
1
3
1
1
2
4
1
2
0
3
1
2
1
4
1
2
2
5
2
2
2
6
Como A conoce x, sabe en cuál de las tres partes se desarrolla el juego. En cada
una hay un único valor de la suma que se repite 3 veces entre las 9 posibles, y es el
que debe elegir A para tener una probabilidad de 1/3 (un 33, 3̂ %). Nótese que este
valor es x + 2; o sea, A apuesta por “lo que él lleva más lo que es más probable en
el juego entre B y C”, aunque de este modo haga saber a los demás el valor de x.
Como B y C conocen el valor de x, podemos seguir el análisis asumiendo que x = 0
y que ya no se puede apostar a “2” (para x = 1 ó 2 se harı́a un análisis análogo,
aumentando en 1 ó 2 todas las apuestas).
Como B conoce x = 0 e y, sabe que sólo hay tres posibilidades (y, y + 1 ó y + 2)
para la suma. Debe pues elegir cualquiera de ellas salvo el “2” que ya está usado, y
su probabilidad es de 1/3 (realmente no deberı́a decir nunca “0” ni “3” para no dar
información a C, pero esto no altera ni la estrategia ni la probabilidad de C).
Finalmente, C conoce x = 0 y z, y de las opciones z, z + 1 y z + 2 sólo quedará una
sin decir, que debe ser la que elija. Como uno de los tres jugadores acierta seguro,
1 1
1
a C la queda la probabilidad 1 − − = .
3 3
3