Problemas 3 Soluciones 22 1. Ordena de mayor a menor 2222 , 2222, 2222 , 22 22 Sol. 22 2 . 2 > 2222 > 2222 > 2222 2. Luis consigue un préstamo por $50, 000 mismo que pagará de la siguiente manera: el dı́a del préstamo pagará un peso; al dı́a siguiente dos pesos y ası́ sucesivamente hasta completar 500 dı́as. ¿Cuántos intereses habrá pagado Luis en total, al cubrir su último pago? Sol. En total Luis pagará, 1 + 2 + 3 + ... + 500, podemo usar la fórmula de Gauss: n(n + 1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2 500(501) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 500 = = (501)(250) = 125250. 2 En total habrá pagado $125, 250, y el préstamo fue de $50, 000, entonces los intereses fueron 125250 − 50000 = 75250. 3. De la ciudad A a la B hay 4 caminos directos, de la B a la E hay 7 caminos directos, de la A a la C hay 3, de la D a la E hay 4, y entre A y E, A y D, B y D, B y C, C y E no hay caminos directos. Si se sabe que de la ciudad A a la E se pueden tomar 52 rutas distintas, ¿cuántos caminos hay de la ciudad C a la ciudad D? Sol. Pasando por B hay 4 × 7 = 28 caminos de A a E. Entonces, se necesita que haya 24 caminos de A a E pasando por C y D. Como de A a C hay 2 y 24 = 3 caminos de C a D. de D a E hay 4, tienen que haber 2×4 4. Los empleos de Juan, Marco y Raúl son panadero, taxista y bombero. A Marco y a Raúl les gusta el baisbol y al taxista no. El panadero colecciona timbres, Raúl no sabe nada de sellos certificados. ¿Quién es el panadero? 1 Sol. Como a Marco y a Raúl les gusta el beisbol y al taxista no, el taxista es Juan. Raúl no sabe nada de sellos certificados y el panadero colecciona timbres, luego, el bombero es Raúl y el panadero es Marco. 5. En una reunión se repartieron 132 regalos. Cada persona le dio un regalo a todos los demás, excepto a sı́ mismo. ¿Cuántas personas habı́a en la reunión? Sol. Llamenos n al número de personas, como cada persona le dio un regalo a todos los demás, se repartieron n(n − 1) regalos. Luego, n(n − 1) = 132, o bien (n − 12)(n + 11) = 0, de donde n = 12. Por lo tanto, habı́a 12 personas y cada una dio 11 regalos. 6. Los lados de AD y BC de un rectángulo ABCD miden 21cm. Si F y E son puntos sobre los lados BC y CD, respectivamente, tales que AB = AE, CE = CF y F B = F E, ¿cuánto mide AB? Sol. Como F B = F E, tenemos que los ángulos ∠EBF = ∠F EB son iguales. Análogamente, la igualdad AE = AB implica que ∠BEA = ∠ABE. Luego, ∠ABF = ∠ABE + ∠EBF = ∠BEA + ∠F EB = ∠F EA Como ∠ABF = 90◦ , entonces ∠F EA = 90◦ . Además, ya que EC = CF , tenemos que ∠CEF = 45◦ y por lo tanto ∠AED = 180◦ − ∠F EA − ∠CEF = 180◦ − 90◦ − 45◦ = 45◦ y el triángulo AED es isósceles. Luego, ED = AD = 21cm. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ADE,√tenemos que 2 2 AE 2 = AD2 + ED2 = √ 2AD = 2(21) , de donde AE = 21 2cm. Por lo tanto, AB = AE = 21 2cm. 7. El valor absoluto del número x se denota |x|. Por ejemplo, |5| = |−5| = |5|. ¿Cuántos números reales x cumplen que |||||x − 1| − 2| − 3| − 4| − 5| = 0? Sol. Si |||||x − 1| − 2| − 3| − 4| − 5| = 0, entonces, ||||x − 1| − 2| − 3| − 4| = 5. 2 Luego, |||x − 1| − 2| − 3| − 4, es igual a 5 ó a −5. De aquı́ que |||x − 1| − 2| − 3| = 4 ± 5. Como el lado izquierdo de esta última igualdad nunca es negativo , la única posibilidad es |||x − 1| − 2| − 3| = 9. Aplicando nuevamente el razonamiento, tenemos que ||x − 1| − 2| = 12 |x − 1| = 14 x = 1 ± 14, lo que implica que x es igual a −13 ó a 15. Por lo tanto, hay dos números reales que satisfacen el problema. 8. Un pueblo está habitado por caballeros, que siempre dicen la verdad, y por plebeyos, que siempre mienten. Juan entrevista a 4 hábitantes, Luis, Pablo, Carlo y Darı́o. Luis dice: ”Pablo es un plebeyo”; Pablo: ”De entre nosotros, yo soy el único caballero”; Carlo: .Al menos uno entre Luis y Darı́o es plebeyo”; Darı́o: ”Los cuatro somos caballeros”. ¿Cuántos son caballeros? Sol. Supongamos que Luis es un caballero, luego Pablo es un plebeyo y por eso miente acerca de Luis. También, Darı́o miente pues no todos son caballeros, luego Carlo es un caballero al decir que al menos uno entre Luis y Darı́o es un caballero. En este caso tenemos dos caballeros. Ahora, si Luis es un plebeyo, tambı́én lo es Darı́o, luego Carlo y Pablo son caballeros. Esto es imposible ya que Pablo estarı́a mintiendo . Por lo tanto hay dos caballeros: Luis y Carlo. 9. Benito tiene varias monedas: una de $1, una de $2, una de $4 y una de $8. ¿Cuántos precios distintos, sin recibir cambio, puede pagar usando esas 3 monedas? Sol. Notemo que lo que más puede pagar Benito es $15 = $1 + $2 + $4 + $8. Claramente, Benito puede pagar $1,$2,$4,$8 y $3 = 1 + 2 $5 = 1 + 4 $6 = 2 + 4 $7 = 1 + 2 + 4. Al sumar $8 a $1,$2,$3,$4,$5,$6 y $7, Benito puede pagar desde $9 hasta $15. Por lo tanto, Benito puede pagar todos los precios desde $1 hasta $15. 10. Considerando siempre la raı́z positiva, encuentra el valor de: v s u r u q √ t 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + ... s Sol. Sea x = r 6+ q p √ 6 + 6 + 6 + 6 + ..., entonces s 2 x =6+ r 6+ q √ 6 + 6 + 6 + ... = 6 + x x2 − x − 6 = 0 Factorizando, obtenemos (x − 3)(x + 2) = 0, de donde x = 3 ó x = −2. Pero como xes el resultado de una raı́z positiva entonces la única solución es x = 3. 4